Ôn thi môn toán chuyên đề giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức

I-/CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC1-PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ... 3.Phương pháp sử dụng tập giá trị Bài 24... Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức... DÙNG

I-/CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC

1-PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ.

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6:

Bài 7:

Bài 8:

Bài 9:

Bài 10:

Bài 11:

Bài 12 :

Bài 13 :

Bài 14 :

Bài 15 :

Bài 16 :T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x2+ 11y2- 6xy + 8x - 28y +21

2.Phương pháp tam thức bậc hai

Bài 17 :

Bài 18 :

nhất và nhỏ nhất của

Bài 20:

Bài 21 :

Bài 22:

Bài 23 :Cho x,ylµ c¸c sè thùc tho¶ m·n (x2– y2+ 1)2+ 4x2y2– (x2+ y2) = 0 T×m gi¸ trÞ LN,NN cña biÓu thøc S = x2+ y2

3.Phương pháp sử dụng tập giá trị

Bài 24 :

Bài 26 ( KA-2006)

Bài 27 :

Bài 28 :

Bài 29 :

4.Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Bài 30 :

Bài 31 (DB KB-2006)

Bài 32 ( KA-2006)

Bài 32:Cho x, y, z là cỏc số thực dương lớn hơn 1 và thoả món điều kiện 1 1 1

2

x  y z

Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1)

Bài 33: Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng 1 1 1 1

x y y z z x 

     

Bài 34 :

Bài 35 : (KB-2007) ;

Bài 36 :

Bài 37 :

Bài 38 ::

Bài 39::Cho x, y, z 0  và x2  y2 z2 3 Chứng minh: 3 3 3

3 2 2

Bài 40 :Cho x, y, z là cỏc số thực dương lớn hơn 1 và thoả món điều kiện xy + yz + zx2xyz

Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1)

Bài 41.Với mọi số thực dương x y z; ; thỏa điều kiện x  y z 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

P x y z

x y z

       

Bài 42:Cho a, b, c0 và a2b2c2 3.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

P

Bài 43:Cho 3 số dương x, y, z thỏa món : x +3y+5z 3 .Chứng minh rằng

4 625

3xy z4 +15yz x4 4+5zx 81y4 4  45 5xyz.

Bài 44:Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1] Chứng minh rằng : 1 1 1 5

Bài 45:Cho hai số dương x y, thỏa món: x y 5 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 2

4

P xy

Bài 46:Chứng minh:   1 1 1

12

x y z

x y z

     

  với mọi số thực x , y , z thuộc đoạn 1;3 .

Bài 47.Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món: x2+ y2+ z23 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1 1

P

Bài 48 Xột cỏc số thực dương x, y, z thỏa món điều kiện x + y + z = 1.

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

x (y z) y (z x) z (x y) P

yz zx xz

Bài 49:Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa món: x2 y2z2  xyz

Hóy tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu

thức:

xy z

z zx y

y yz x

x P











Bài 50.Cho x,y là các số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện x y 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thúc:

2

4

A

Bài 51.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của hàm số : 11 72

4 1 2

y x

  với x > 0

Bài 52.Cho x,y là các số thực thoả mãn điều kiện x2+ xy+ y2 3

Chứng minh rằng: 2 2

Bài 53.Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số : ysin5x 3 cosx

Bài 54: Cho x,y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

S =  2 2  2 2

x y  x y  y

Bài 55: Cho x,y,z là các số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của          

suy ra min S =9/2 khi x=y=z=1/2

Bài 56:

Bài 57:

Bài 58:

Bài 59

Bài 60:

Bài 61.

Bài 62:

Bài 63:

Bài 64:

Bài 65:

Bài 66:

Bài 6 7:

Bài 68:

Bài 69:

Bài 70:

Bài 71:

Bài 72:

Bài 73:

Bài 74:

Bài 75:

Bài 76:

Bài 77:

Bài 78:

Bài 79:

(DÙNG CÔ SI-SVAC)

Bài 80:

Bài 81:

Bài 82:

Bài 83:

Bài 84:

Bài 85:

Bài 86.

Bài 87.

(DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER)

Bài 88:

Bài 89:

Bài 90.:

Bài 91:

Bài 92:

5.Phương phỏp sử dụng đạo hàm

Bài 95: ( KD-2003)

Bài 97.Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện  2 2

2 x y xy1 Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

x y P

xy





 .

Bài 98.:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : 2

f x  x x  x

Bài 99.:Cho x, y, z 0thoả món x+y+z > 0 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

3 16

x y z P

x y z

 



 

Bài 100. Cho x,yR và x, y > 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của  3 3  2 2

P



Bài 101:.Cho cỏc số thực khụng õm x, y thay đổi và thỏa món x + y = 1 Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của

biểu thức S = (4x2+ 3y)(4y2+ 3x) + 25xy

Bài 102.Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : 13 13

A

x y

  với x0,y0 thay đổi và thoả mãn điều kiện (x+y) xy = x2+y2- xy

Bài 103:(KB-2006)

Bài 104:(KA-2007)

Bài 105.KB-2007)

Bài 107 KD-2007)

Bài 108 KB-2008)

Bài 109.:(KD-2008)

Bài 110:(KA-2009)

Bài 111:( KB-2009)

Bài 112:(KD-2009)

Bài 113 :(KB-2010)

Bài 114.KD-2010)

Bài 115 :(KA-2011)

Bài 116:(KB-2011)

Bài 117 KD-2011)

Bài 118 :(KA-2012)

Bài 119 KB-2012)

Bài 120 :Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :

2 1 9

x

yx 

Bài 121: Cho x0, y0va x y 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : P = 32x+ 3y

Bài 122:( KD-2012)

Bài 123.KA-2013)

Bài 124:(KB-2013)

Bài 125:( KD-2013)

Bài 126:

Bài 127:

Bài 128:(KB-2009)

Bài 12 9 ( KD-2009)

Bài 130.Cho x, y, z 0thoả mãn x+y+z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 16

x y z P

x y z

 



 

Bài 131:(CĐ- 2008)

Bài 132

Bài 133.

Bài 134.

Bài 135:

Bài 136:(DB- KB 2002 )

Bài 137

6.Phương pháp sử dụng lượng giác

+

+

Bài 138.(KB-2008)

Bài 139:(KD-2008)

Bài 140.

7.Phương pháp sử dụng véc tơ

Bài 142: (KB-2006)

Bài 143..Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a b c  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b 9 c

M         

8.Phương pháp sử dụng hình học

Bài 14 4.(DB KA-2004 )

Bài 145.

Bài 146:

Bài 147:

II- KỸ THUẬT GIẢM BIẾN TRONG CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤTCỦA MỘT BIỂU THỨC

1- Bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp thế:

Bài 148:

Bài 149:

Bài 150 :

Bài 151:

Bài 152:

Bài 153:

Bài 154:

Bài 155:

Bài 15 6.

Bài 157:

Bài 15 8.

2- Bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức đối xứng.

Bài 15 9.

Bài 160.Cho 2 số thực x, y thoả x2xyy22 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = x2– xy + y2

Bài 161:

Bài 162:

Bài 163:

Bài 164:

Bài 165:

Bài 166:

Bài 167:

Bài 168:

Bài 169:

Bài 170.

Bài 171:

Bài 172:

Bài 173.Cho hai số thực x và y thỏa đẳng thức x2(2x2– 1) + y2(2y2– 1) = 0

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = x2(x2– 4) + y2(y2– 4) + 2(x2y2– 4)

Bài 174.:

Bài 175:

Bài 176:

Bài 177:

Bài 178:

Bài 179:

Bài 180:

Bài 181:

Bài 182:

Bài 183:

Bài 184 :

Bài 185:

3- Bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức có thể hiện tính đẳng cấp

Bài 187:

Bài 188:

Bài 189:

Bài 190.

Baì 191:

Bài 192.:

Baì 193.

Baì 194:

Baì 195:

Bài 196 :

Bài 197 :

Bài 198:

4- Bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức có chứa ba biến

Bài 199.:

Bài 200:

Bài 201 :

Bài 203:

Bài 204 :

Bài 205.:

Bài 206:

Bài 207:

Bài 208 :

Bài 209:

Bài 210:

Bài 211:

Bài 212:

Bài 213:

Bài 214:

Bài 215.

Bài 216

Bài 217:

Bài 218:

Bài 219:

Bài 221.

Bài 222.

Bài 223.

Bài 224

Bài 225

……… Hết ………