SKKN Hướng dẫn học sinh tiếp cận bài toán chứng minh họ các đường đi qua điểm cố định TOÁN THCS

Giải pháp : Hớng dẫn học sinh tiếp cận bài toán " chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định" Phần I: đặt vấn đề 1- lí do chọn đề tài Hình học là môn học có tính tổng hợp cao, đòi hỏi h

Giải pháp : Hớng dẫn học sinh tiếp cận bài toán

" chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định"

Phần I: đặt vấn đề 1- lí do chọn đề tài

Hình học là môn học có tính tổng hợp cao, đòi hỏi học sinh không những phải biết nắm chắc các kiến thức, mà cần phải biết suy luận và vận dụng kiến thức một cách hợp lí

Trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào các trờng Trung học

phổ thông ở tỉnh ta, rất nhiều năm trong bài tập hình có yêu cầu "Chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định" nh : Đề thi chọn học sinh giỏi toán 8 cấp tỉnh năm

học 2001-2002; Đề thi tuyển sinh vào THPT năm học 2000- 2001; Thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Thái Bình năm học 2003-2004; 2007-2008; Đề thi chọn học sinh giỏi toán 7 cấp huyện năm học 2013-2014;

"Chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định" trong hình học là một dạng

toán tơng đối khó, bởi dạng toán này rất phong phú, nhng không có kiến thức riêng

để giải, mà luyện tập kĩ năng này không đợc phân phối thành tiết riêng trong phân phối chơng trình toán của bộ giáo dục đào tạo

Thực trạng còn có một bộ phận không nhỏ học sinh học ngại học môn hình, một lí do phổ biến là các em cha có phơng pháp t duy thích hợp, nên hiệu quả học

tập bộ môn nói chung và chuyên đề "Chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố

định " nói riêng còn cha cao

Vấn đề trên đặt ra cho giáo viên cần có giải pháp hợp lý cả về mặt thời gian và phơng pháp truyền đạt nhằm nâng cao chất lợng giảng dạy nói riêng , chất lợng giáo dục nói chung

1i- mục đích nghiên cứu đề tài

Đã có nhiều tác giả nghiên cứu về đề tài này, nhng phần lớn chỉ đa ra ví dụ và lời giải bài toán, mà cha chỉ rõ định hớng chung để giải quyết đợc bài toán

Để giúp các em dễ dàng tiếp cận với bài toán "chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định" trong hình học, đồng thời phát huy các năng lực sáng tạo cho

học sinh, trong đề tài này tôi xin trao đổi với các đồng chí đồng nghiệp một giải pháp hớng dẫn học sinh tiếp cận bài toán trên mà tôi đã thử nghiệm, thấy có tính khả thi và bớc đầu đã đạt những kết quả nhất định

III- đối tợng nghiên cứu

Các bài toán " Chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định " trong hình

học phẳng và cách tiếp cận để giải quyết đợc bài toán trong chơng trình Trung học cơ sở

IV- phơng pháp nghiên cứu

- Phơng pháp phân tích, tổng hợp; đặc biệt hoá; tổng quát hoá

- Phơng pháp tích hợp

- Phơng pháp thực nghiệm

- Phơng pháp đánh giá

* Để tiếp tục hoàn thiện hơn nữa, tôi rất mong đợc sự giúp đỡ và các ý kiến đóng góp chân thành của các đồng chí

Xin trân trọng cảm ơn các đồng chí!

Phần 2: Nội dung A- Cơ sở đề tài

1 Cơ sở lí luận :

- Trong chơng trình giáo dục hiện nay đòi hỏi học học sinh cần phải biết tự học tự nghiên cứu rất cao, tức là cần phải biến quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo dục Nh vậy mới phát huy đợc năng lực sáng tạo, t duy khoa học tự xử lí đợc các tình huống trong thực tế Trong thực tế và khoa học, việc dự đoán một sự việc -

hiện tợng nào đó đóng vai trò quan trọng hàng đầu, việc dự đoán chính xác là kim chỉ nam cho những ngời nghiên cứu

Để giúp học sinh đạt đợc mục tiêu đó thì các môn học nói chung và môn toán nói riêng cần phải khích lệ đợc học sinh tìm tòi, nghiên cứu sâu hơn, tự giải quyết đợc vấn đề tơng tự, từ đó thúc đẩy các em phát hiện ra các tri thức và kĩ năng mói cho bản thân, yêu thích môn học và say mê nghiên cứu khoa học

-"Chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định " cũng tơng tự, các em cần biết

dự đoán đúng điểm cố định, từ đó mới có hớng giải quyết bài toán

II.

Cơ s ở thực tiễn

- Trong bài toán hình, các yếu tố thờng liên quan chặt chẽ với nhau Khi một yếu tố trong bài toán di động thì kéo theo đờng d nào đó trên hình vẽ cũng di động Đờng

d di động nhng luôn đi qua điểm S cố định thì ở mọi vị trí d cũng đi qua S, từ đó ta nghĩ tới xác định S là giao điểm 2 vị trí của d và chứng minh S cố định

- Điểm S cố định thờng là giao điểm của 2 đờng cố định, từ đó cần xác định xem điểm S di động trên những đờng cố định nào?

Đến đây ta thấy bài toán "Chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định " có nét tơng đồng với bài toán toán "tìm tập hợp điểm".

* Trên cơ sở đó, tôi đã xây dựng cho học sinh hớng tiếp cận bài toán "Chứng minh

họ các đờng đi qua điểm cố định " nh sau:

B/ Nội dung Đề TàI

I- giải pháp H ớng dẫn học sinh tiếp cận bài toán

"Chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định"

Để giúp học sinh tiếp cận dễ dàng hơn với bài toán "Chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định" trong học hình, tôi hớng dẫn học sinh suy nghĩ và làm theo quy

trình sau:

I-1 Nghĩ:

* Điểm cố định thờng nằm trên những đờng cố định, nh vậy nó phải quan hệ tới các yếu tố cố định và yếu tố không đổi trong bài, nên ta cần

1/ Xác đinh yếu tố cố định: Học sinh tự suy nghĩ và trả lời: Trên hình vẽ có:

- Những điểm nào cố định?

- Những đờng nào cố định?

- Những hình nào khác cố định? (góc cố dịnh; cung tròn cố định; )

2/ Xác đinh yếu tố không đổi: Học sinh tự suy nghĩ và trả lời: Trên hình vẽ có

- Đoạn thẳng nào có số đo không đổi

- Góc nào có số đo không đổi

- Cung tròn nào có số đo không đổi

- Chu vi, diện tích hình nào không đổi

- Những đại lợng nào khác không đổi?

3/ Xác định điểm cần chứng minh cố định:

Cho yếu tố di động chạy đến vị trí thứ hai (thờng là vị trí đặc biệt), khi đó đờng

d chạy đến vị trí đặc biệt d1 và d1 sẽ cắt d ở vị trí lúc đầu ở điểm S, ta cần chứng minh S là điểm cố định

4/ Xác định quan hệ của S với các yếu tố cố định

- Điểm cố định thờng là giao của 2 đờng cố định, nên ta cần xác định xem S có quan hệ nh thế nào với các yếu tố cố định và yếu tố không đổi (gồm các quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau, đồng dạng, tạo thành hình đặc biệt, cách đều 1

điểm hay 1 đờng cố định; ), từ đó chỉ ra S thuộc đờng d2 cố định

- S là giao điểm của 2 đờng cố định d1 và d2 suy ra S cố định

I-2 Làm

1/ Cấp độ 1: Chứng minh họ đờng d luôn đi qua điểm S cố định đã có sẵn trên hình vẽ:

Cách làm:

B

ớc 1 : Chỉ ra S thuộc d

B

ớc 2: Lập luận yếu tố cố định, yếu tố không đổi để suy rs S là điểm cố định

B

ớc 3 : Kết luận

* Chú ý: Nếu S cha thuộc d, để làm bớc 1 ta có thể làm theo một trong các phơng

án sau:

a/ Ph ơng án 1: Chứng minh trực tiếp điểm S thuộc đờng d

* Nếu d là đờng thẳng, ta có thể chứng minh bằng 1 trong các cách sau:

- Cách 1: Chỉ ra S cùng với 2 điểm khác trên d là 3 điểm thẳng hàng

- Cách 2: Chỉ ra S cũng có tính chất của những điểm nằm trên d (thờng dùng khi d

là đờng đặc biệt nh: đờng trung trực của đoạn thẳng; tia phân giác của góc; )

* Nếu d là đờng tròn (O; R) ta có thể chứng minh bằng 1 trong các cách sau:

- Cách 1: Chỉ ra OS = R

- Cách 2: Chỉ ra S cùng với 3 điểm phân biệt khác trên d tạo thành một tứ giác nội tiếp

- Cách 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc

b/ Ph ơng án 2 : Chỉ ra S đã nằm trên đờng d1 cố định, gọi giao điểm của d và d1 là

S1 rồi ta chứng minh cho S trùng với S1

c/ Ph ơng án 3 : Chỉ ra S là giao điểm của hai đờng cố định d1 và d2, rồi ta chứng minh cho d; d1; d2 là ba đờng đồng quy

2/ Cấp độ 2: :"Chứng minh họ đờng d luôn đi qua điểm S cố định " mà S cha

có trên hình vẽ

- ớc 1B : Vẽ đờng d 1 (ở bớc nghĩ thứ 3 trên), đờng d 1 cắt đờng d tại S

- ớc 2B : Chỉ ra quan hệ của S với các yếu tố cố định và yếu tố không đổi ở bớc nghĩ thứ 4 trên, từ đó suy ra S thuộc đờng d 2

- ớc 3B : Lập luận yếu tố cố định, yếu tố không đổi suy ra d 1 ; d 2 cố định, từ

đó suy ra S cố định

- ớc 4B : Kết luận

* Ngoài ra ta có thể lấy S là điểm cố định trớc rồi chứng minh cho S thuộc đờng thẳng d cần chứng minh đi qua điểm cố định

II- ví dụ minh họa

Bài 1: Cho ∆ABC cân tại A; trên cạnh BC lấy D (D ≠ b; D ≠ C), trên tia đối của tia

CB lấy E sao cho CE = BD Đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D cắt AB tại M, Đ-ờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ E cắt AC tại N Chứng minh:

a/ DM = EN

b/ MN > BC

c/ Khi D thay đổi trên cạnh BC thì đờng trung trực của MN luôn đi qua một

điểm cố định (Trích đề thi học sinh giỏi toán lớp 7 năm học 2013- 2014)

Giải: + Câu a và câu b tôi xin phép không trình bày ở đây

a/ Học sinh dễ dàng chứng minh đợc

∆MBD = ∆NCE (g-c-g) → DM = EN

b/ Lấy giao điểm của đoạn thẳng MN và cạnh BC

dựa vào quan hệ đờng vuông góc- đờng

hình chiếu vàđiểm nằm giữa 2 điểm ta

chứng minh đợc MN > BC

c/ H ớng dẫn phân tích

1- Xác định yếu tố cố định:

+ Điểm cố định: A; B; C

+ Đờng cố định: đờng thẳng AB; BC; AC và

các đờng chủ yếu trong ∆ABC (đờng cao;đờng trung trực; đờng trung tuyế; đờng phân giác của ∆ABC)

2- Xác định yếu tố không đổi

+ Độ dài các cạnh và độ lớn các góc của ∆ABC

+ Các góc 900

3- Xác định điểm cố định mà đờng trung trực của đoạn thẳng MN đi qua

Vì D di động trên cạnh BC (D ≠ b; D ≠ C), ta có thể cho D đến vị trí đặc biệt là trung điểm cạnh BC

* Nếu cho D trùng với trung điểm của cạnh BC thì M ≡ A → MB = AB

Do BM = CN (vì ∆MBD = ∆NCE) )và ∆ABC cân → AB = AC nên ta suy ra đợc

AC = CN → C là trung điểm của đoạn thẳng AN → đờng trung trực d của đoạn thẳng MN khi đó trùng với đờng thẳng Cx vuông góc với AC tại C

- Nếu đổi chỗ của B và C (Vì B; C có vai trò nh nhau) thì ta cũng thấy đờng thẳng

By vuông góc với AB tại B cũng là một vị trí của d

- Nếu gọi S là giao điểm của Cx và By thì ta dễ dàng chứng minh đợc

∆ABS = ∆ACS → SB = SC và từ đó chứng minh đợc ∆MBS = ∆NCS (c-g-c)

→ SM = SN→ S thuộc đờng trung trực d của đoạn thẳng MN

+ Vói sự phân tích trên ta có hớng giải quyết sau:

Cách 1: Kẻ Cx ┴ AC tại C; Kẻ By ┴ AB tại B;

gọi giao điểm của Cx và By là S 90 0 ( 1 )









Xét ∆ABS và ∆ACS có:















AC

AB

ACS

→ ∆ABS = ∆ACS (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

→ SB = SC (2) (2 cạnh tơng ứng)

Xét ∆MBS và ∆NCS có: 















NC MB

SCN MBS

th eo SC

SB

0 90 ))

2 ( (

→ ∆MBS = ∆NCS (c-g-c) → SM = SN (3)(2 cạnh tơng ứng)

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN → IM = IN (4)

Xét ∆MIS và ∆NIS có: 



 ( ( 4 ) )

)) 3 ( (

theo IN

IM

theo SN

SM

→ ∆MIS = ∆NIS (c-c-c) MIS  NIS( 5 ) (2 góc tơng ứng)







MIS NIS (Tổng 2 góc kề bù)

Từ (5); (6)  MIS  NIS  90 0→ SI ┴ MN tại trung điểm I của đoạn thẳng MN →

SI là đờng trung trực của đoạn thẳng MN

S

A

M

N I

Cạnh huyền AS chung

(Vì ∆ABC cân tại A (gt))

(theo cách vẽ)

A

M

N I

Cạnh SI chung

(theo cách vẽ)

Vì A; B; C cố định → đờng thẳng AC và đờng thẳng BC cố định

→ By và Cx cố định (Vì Cx ┴ AC tại C; By ┴ AB tại B)

→ S cố định (Vì S là giao điểm của Cx và By)

Vậy khi D thay đổi trên cạnh BC thì đờng trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua điểm S cố định

* Nếu đặc biệt hoá cho D ≡ B thì 











C N E B M

→ đờng trung trực d của đoạn thẳng MN trùng với đờng trung trực d1 của đoạn thẳng BC, từ đó ta nghĩ tới vẽ thêm

đờng trung trực d1 của đoạn thẳng BC; d1 cắt đờng trung trực d của đoạn

thẳng MN tại S, dễ thấy đợc 



















(*)

ACS ABS ACS

ABS SC SB SN SM

Từ đó → ∆MBS = ∆NCS (c-c-c)  MBS  NCS

0

90









 ACS NCS (theo (*) và có ACS NCS  180 0)

→ CS ┴ AC, vì AC cố định → S cố định Ta có cách chứng minh thứ hai

Cách 2: Tôi xin phép đợc trình bày tóm tắt nh sau:

- Vẽ d1 là đờng trung trực của đoạn thẳng BC, d1 cắt đờng trung trực d của đoạn thẳng MN tại S Gọi I; K thứ tự là trung điểm các

đoạn thẳng MN và CB

- Chứng minh ∆MIS = ∆NIS (c-g-c) → MS = NS

- Chứng minh ∆BKS = ∆CKS (c-g-c) → BS = CS

- Chứng minh ∆MBS = ∆NCS (c-c-c) MBS  NCS( 1 )

- Chứng minh:∆ABS = ∆ACS (c-c-c)

ACS



Mà NCS ACS  180 0(Tổng 2 góc kề bù)

0

90









- Vì A; B; C cố định → đờng trung trực d1

của đoạn thẳng BC cố định và đờng thẳng

CS vuông góc với AC tại C cố định

→ S cố định (Vì S là giao điểm của d1 và CS)

Vậy khi D thay đổi trên cạnh BC thì đờng trung trực

của đoạn thẳng MN luôn đi qua điểm S cố định

Bài 2: Cho góc nhọn xOy Hai điểm A; B lần lợt di chuyển trên tia Ox và tia Oy

sao cho

3

1 1 1





OB

OA Chứng minh đờng thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định

(Trích đề thi HSG lớp 8 cấp tỉnh 2001-2002)

* H ớng dẫn phân tích

1- Xác định yếu tố cố định:

- Góc xOy cố định, tia phân giác của góc xOy

2- Yếu tố không đổi:

- Số đo góc xOy

- Đẳng thức giả thiết cho:

3

1 1 1





OB OA

3- Xác định điểm cần chứng minh cố định

Vì A; B có vai trò nh nhau, nên không mất tính tổng quát ta

giả sử 0 < OA ≤ OB  1  1  0

OB

Từ giả thiết

3

1 1 1





OB



















3 1 2 0

2 3 1 1 0

OB

OA OA













) (

6

) (

6 3

dvdd OB

dvdd OA

(đvđd - đơn vị độ dài)

Trên tia Ox tứ tự lấy E; C sao cho OE = 3 đvđd; OC = 6 đvđd, theo nhận xét trên thì A chỉ di động từ E đến C trên tia Ox

- Nếu cho A ≡ C → AB ≡ CD với D thuộc tia Oy sao cho OD = 6 đvđd

CD cắt AB tại S, ta cần chứng minh S là điểm cố định

O

A

B

S E

F

C

D

x

y

S B

A

D

M

N

I K d d

1

- Nếu cho A tiến đến E thì B tiến tới điểm xa vô cùng trên tia Oy, khi đó AB tiến tới đờng thẳng qua E và song song với Oy, mà AB đi qua điểm cố định S

→ ES // Oy, mà E là trung điểm của đoạn thẳng OC → S là trung điểm của đoạn thẳng CD → OS là đờng phân giác của ∆DCO (vì ∆DCO cân tại O)

(Chọn OS là đờng phân giác của ∆DCO vì tia phân giác của xOy là tia cố định)

Từ sự phân tích trên ta nên lấy S là giao điểm tia phân giác của xOy cố định và

đờng thẳng ES cố định → S cố định Ta có cách chứng minh sau

Chứng minh:

Gọi giao điểm của AB vói tia phân giác Ot của xOy là S

Từ S kẻ SE // Oy (E € tia Ox); kẻ SF // Ox (F € tia Oy)

Theo cách vẽ ta có 



SE OF

SF OE

//

//

→ Tứ giác OESF là hình bình hành

Mà có tia OS là tia phân giác của xOy

→ hình bình hành OESF là hình thoi

→ SE = SF = OE (1)

Xét AOB có 

OA

S F

OB

S E

OB F

AB S

OA E

//

//

;

;

(theo cách vẽ hình và A €tia Ox; B €tia Oy)













AB SB OA

SF

AB AS OB

SE

(theo hệ quả của định lí Ta Lét)

1

















AB

AB AB

BS AS AB

BS AB

AS OA

SF

OB

1 ) 1 1



OA OB

3

1 

 OE (Vì theo gt có

3

1 1 1





OB

Vì E € tia Ox cố định và OE = 3 đvđd → E cố định

Vì xOy cố định; E cố định và ES // Oy → tia phân giác Ot của xOy cố định và

đờng thẳng ES cố định → S cố định (Vì S là giao điểm của Ot và ES)

Vậy đờng thẳng AB luôn đi qua điểm S cố định

Bài 3: Cho C là điểm chính giữa nửa đờng tròn tâm O đờng kính BA Điểm M

thuộc cung AC, trên dây BM lấy N sao cho BN = AM Kẻ đờng thẳng d vuông góc với BM tại N, chứng minh rằng d luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung AC

(Trích ý d bài thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Thái Bình năm học 2002 - 2003)

A

C M

N

S * Phân tích bài toán:

1- Yếu tố cố định:

+ Điểm cố định: A; B; C; O + Đờng cố định: AB; CB; AC; CO; (O); tiếp tuyến của đờng tròn tại A; B; C và các đờng chủ yếu của

∆ABC

2- Yếu tố không đổi:

- Các góc 900; góc 450 (góc nội tiếp chắn cung AC; cung BC)

- Số đo các đoạn thẳng AB; AC; CO; AO; BO; CB

3- Xác định cố định mà d đi qua

M di động trên cung AC, ta có thể cho M đến A hoặc đến C

O

A

B

S E

F

x

y t

* Nếu M ≡ A→ BM ≡ BA và N ≡ B

+ Vì d ┴ BM tại N→ d ≡ tia Bx- là tia tiếp tuyến của nửa đờng tròn (O) tại B

+ Vẽ tia Bx là tia tiếp tuyến của nửa đờng tròn (O) tại tiếp điểm B, tia Bx cắt d tại S , ta dễ dàng thấy 















SBN MAB

ABS AMB 90 0

Từ đó → ∆ABM = ∆BSN (g-c-g) → SB = AB

Do A; B; (O) cố định → tia Bx cố định và đoạn thẳng AB có độ dài không đổi → S cố định Từ phân tích trên ta có cách chứng minh sau

Chứng minh:

A

C M

Có M thuộc nửa đờng tròn (O)- đờng kính AB (gt)

0

90





 AMB (1) (theo hệ quả góc nội tiếp)

Vẽ tia tiếp tuyến Bx tại tiếp điểm B của nửa đờng tròn (O)- đờng kính AB, Bx cắt d tại S  MAB NBS( 2 ) (theo hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây xét trên (O))























)) 2 ( (

) (

)) ( );

1 ( (

90 0

theo NBS

MAB

gt BN

AM

gt SN BN

theo BNS

AMB

→ ∆AMB = ∆BNS (g-c-g) → AB = BS

Vì A; B; (O) cố định → tia tiếp tuyến Bx cố định và độ dài đoạn thẳng AB không

đổi, mà S thuộc tia Bx cố định và BS = AB không đổi → S là điểm cố định

Vậy khi M di động trên cung AC thì đờng thẳng d luôn đi qua điểm S cố định

* Nếu cho M ≡ C → BM ≡ BC và N ≡ C → d ≡ AC

Gọi giao điểm của d với AC là S:

- ta dễ dàng thấy tứ giác BNCS nội tiếp  NSC  NBC( 1 )

- ∆AMC = ∆BNC(c-g-c) → MC = NC và MCA NCB  MCB NCS( 2 )

→ ∆CMB = ∆CNS (g-c-g) → CS = BC

Do A; B; (O) cố định → AC cố định và đoạn BC có độ dài không đổi → S cố định

Từ đó ta có cách chứng minh thứ hai Tôi xin phép không trình bày cách 2 ở đây

III- Các bài tập đề nghị

Bài 1: Từ A ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến AB; AC với (O) (B; C là 2 tiếp điểm,

B ≠ C) Điểm M thuộc cung nhỏ BC (M ≠ C; M ≠ B) Gọi H; I; K thứ tự là hình chiếu của M trên CB; BA; AC Biết MB cắt IH tại E; MC cắt IK tại F

1/ C/minh: a/ MI2 = MH MK b/ EF ┴ MI

2/ Đờng tròn ngoại tiếp ∆MFK cắt đờng tròn ngoại tiếp ∆MEH tại điểm thứ hai là

N, chứng minh rằng khi M thay đổi trên cung BC nhỏ thì đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

N

S

(Trích đề thi tuyển sinh THPT Chuyên Thái Bình 2007-2008)

Bài 2: Hình vuông ABCD, điểm P nằm trong ∆ABC

a/ Giả sử cho góc BPC = 1350, chứng minh: 2PB2 + PC2 = PA2

b/ AP; CP thứ tự cắt BC; AB tại M; N Gọi Q đối xứng với B qua trung điểm của

MN Chứng minh khi P thay đổi trong ∆ABC thì PQ luôn đi qua một điểm cố định

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên - Đại học Quốc gia Hà nội 2006)

Bài 3: Từ C nằm ngoài (O; R) vẽ cát tuyến CAB tới (O) Vẽ đờng kính MN vuông

góc với dây AB tại trung điểm D của dây AB (M thuộc cung AB lớn) MC cắt (O) tại điểm thứ hai là I, AB cắt NI tại K

a/ Chứng minh tứ giác MDIK nội tiếp

b/ Chứng minh CI CM = CK CD ; AI BC = AC.BI

c/ Cho A; B; C cố định, đờng trong (O) thay đổi nhng vẫn qua A; B Chứng minh

NI luôn đi qua một điểm cố định

(Trích đề thi cuối năm toán 9 của SGD Thái Bình 2003-2004)

Bài 4: Cho A; C; B thẳng hàng theo thứ tự đó, trên tia Cx vuông góc với AB lấy D;

E sao cho   3

CD

CA CB

CE Đờng tròn ngoại tiếp ∆ADC và đờng tròn ngoại tiếp

∆BCE cắt nhau tại điểm thứ hai là H khác C

a/ C/m: A; D; H và B; H; E thẳng hàng

b/ C thay đổi trên cạnh AB thì HC luôn đi qua một điểm cố định

Bài 5: Cho ∆ABC; trên cạnh AB lấy M, trên cạnh AC lấy N sao cho BM = CN

Chứng minh: MN luôn đi qua một điểm cố định khi M; N di động

Bài 6: Cho tam giỏc ABC cỏc gúc đều nhọn, cạnh BC cố định Cỏc

đường cao

của tam giỏc ABC là AD, BE, CF Đường thẳng EF cắt BC tại P Đường thẳng đi

qua D song song EF cắt AC tại R và cắt AB ở Q Chứng minh

đường trũn ngoại

tiếp tam giỏc PQR luụn đi qua một điểm cố định khi điểm A di động

Bài 7: Cho gúc vuụng xOy Cỏc điểm A và B theo thứ tự di chuyển

trờn cỏc tia

Ox và Oy sao cho OA + OB = k (k khụng đổi) Vẽ cỏc đường trũn (A; OB), và (B;

OA) Gọi M, N là cỏc giao điểm của (A) và (B) Chứng minh đường thẳng MN

luụn đi qua một điểm cố định

Bài 8: Cho ∆ABC M trên BC, Đờng tròn qua M tiếp xúc với BA tại B và đờng

tròn qua M tiếp xúc với AC tại C cắt nhau tại P Chứng minh PM đi qua một điểm

cố định khi M thay đổi trên BC

Bài 9: Cho đường trũn (O) và dõy cung AB Lấy điểm E trờn dõy

cung AB (E

khỏc A và B) Qua E vẽ dõy cung CD của đường trũn (O) Trờn hai tia DA, DB lấy

hai điểm P, Q đối xứng qua E Chứng minh rằng đường trũn (I) tiếp xỳc với PQ tại

E và đi qua C luụn đi qua một điểm cố định khi E di động trờn dõy cung AB

Phần 3: kết luận

A- Kết quả thực hiện

Trớc đây khi cha hớng dẫn học sinh theo quy trình trên việc dạy học chứng minh "Họ các đờng luôn đi qua một điểm cố định" trong hình học tôi gặp rất nhiều khó khăn, học sinh thờng tiếp thu một cách thụ động, gần nh bị áp đặt theo lời giải

có sẵn, nên đa số các em hay nản, dẫn đến kết quả học tập cha cao

Sau khi tìm tòi học hỏi tôi đã xây dựng cho học sinh quy trình suy nghĩ nh trên , qua quá trình thực nghiệm tôi đã thu đợc một số kết quả nh sau:

- Năm học 2011 – 2012 tôi đợc phân công bồi dỡng đội tuyển toán 9 của

trờng, có 4 học sinh giỏi cấp huyện, điểm bình quân xếp thứ Ba toàn huyện, có 2

em đạt học sinh giỏi toán cấp tỉnh

- Năm học 2013 – 2014 tôi đợc phân công bồi dỡng đội tuyển toán 8 của

trờng, trong kì thi học sinh giỏi toán 8 cấp huyện vừa qua đã có 5 học sinh giỏi cấp huyện, điểm bình quân xếp thứ Nhất toàn huyện, có 1 em đạt thủ khoa

- Lớp tôi phụ trách có trên 90% học sinh đã có kĩ năng phân tích tìm hớng giải quyết bài toán, có khả năng tự học, tự kiểm tra và có thói quen xây dựng chơng trình học toán với các chuyên dề khác, biết khai thác bài toán theo các cách khác nhau, trong các giờ học giáo viên chỉ đóng vai trò là ngời tổ chức, cố vấn

.- Cách tiếp cận trên có thể áp dụng đợc với học sinh toàn cấp học THCS

B- Bài học kinh nghiệm:

1- Dạy toán là dạy các hoạt động toán học, đó chính là các thao tác t duy, các tri thức về phơng pháp học tập để học sinh có thể tự mình tìm tòi phát hiện vấn

đề, cao hơn nữa là phát triển vấn đề

2- Ngời thầy cần xây dựng cho học sinh các thủ thuật t duy Từ đó các em

có phơng pháp học tập bộ môn và áp dụng linh hoạt

3- Cần tập dợt cho các em khả năng phân tích, suy luận bài toán Các phân tích suy luận hợp lí, các mối quan hệ giữa các yếu tố tạo nên bài toán là cơ sở tìm

ra lời giải bài toán

4- Cần tập dợt cho học sinh khả năng sáng tạo và linh hoạt trong giải toán, sáng tạo trong tiếp thu, sáng tạo trong vận dụng Sau mỗi bài toán nên khuyến khích học sinh suy nghĩ sâu hơn hay tìm thêm cách giải khác,

5- Đối với mỗi chuyên đề giáo viên cần có sự tổng hợp các kiến thức, phân loại các dạng toán và xây dựng các kĩ năng giải toán, định hớng phơng pháp suy nghĩ cho học sinh

* Trên đây tôi đã trình bày giải pháp: Hớng dẫn học sinh tiếp cận bài toán

“chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định” trong hình học phẳng trong

ch-ơng trình THSC và các bài học rút ra trong quá trình dạy toán nói chung

Do bản thân còn có những hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót, Tôi rất mong đợc sự giúp đỡ và góp ý chân thành của đồng chí!

Một lần nữa xin trân trọng cảm ơn các đồng chí!

Tài liệu tham khảo

1 Sách giáo khoa; sách bài tập và sách hớng dẫn giảng dạy toán lớp 7 - 8 - 9

(Nhà xuất bản Giáo dục - 2011)

2 Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7- 8- 9

(Bùi Văn Tuyên- Nhà xuất bản Giáo dục - năm 2006)

3 Toán nâng cao và các chuyên đề hình học 7- 8- 9

(Vũ Dơng Thuỵ- Nguyễn Ngọc Đạm- NXBGD- năm 2009)

4 Toán bỗi dỡng học sinh lớp 9

(Vũ Hữu Bình- NXBGD- năm 2004)

5 Nâng cao và phát triển Toán 7- 8- 9

(Vũ Hữu Bình- NXBGD- năm 2007)

6 Bỗi dỡng Toán lớp 7- 8- 9

(Đỗ Đức Thái- Đỗ thị Hồng Thuý- NXBGD- năm 2005)

7 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Toán 7- 8- 9

(Đinh Vũ Nhân- Võ Thị ái Nơng- Hoàng Chúng- NXBGD)

8 Học tốt Toán 7- 8- 9

(Nguyễn Đức Tấn- Đặng Đức Trọng- Vũ Minh Nghĩa- Nguyễn Đức Hoà- Nguyễn Minh Sơn - NXB đại học quốc gia TPHCM- 2005)

9 Ôn kiến thức luyện kĩ năng hình 7- 8- 9

(Tôn Thân- Vũ Hữu Bình- Vũ Quốc Lơng- Bùi Văn Tuyên -

NXBGD- 2008)

10 Bài tập cơ bản và nâng cao Toán THCS

(Phan Văn Đức- Nguyễn Hoàng Khanh- Lê Văn Trờng- NXB Đà Nẵng- năm 2005)

11- Báo Toán học tuổi trẻ- Toán tuổi thơ 2

12- Các đề thi chọn HSG; đề thi tuyển sinh THPT; tuyển sinh THPT Chuyên của tỉnh Thái Bình các năm

13 Các chuyên đề hình học bồi dỡng học sinh giỏi THCS

(Trần Văn Tấn - nhóm GV chuyên toán ĐHSPHN- NXBGD- 2008)

14 Tuyển chọn và phân loại những bài toán hình học hay

(Nguyễn Tiến Quang- NXBGD - năm 1997)

15 Những bài toán tổng hợp về đờng tròn

(Nguyễn Tiến Quang- NXBGD - năm 2005)