SKKN Hướng dẫn học sinh kẻ thêm đường phụ khi giải một số bài toán hình học 7

bài tập SGK, STK mà quan trọng là hình thành cho học sinh phơng pháp chung để giải các dạng Toán từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo

Phòng giáo dục - đào tạo huyện quỳnh phụ

Trờng thcs quỳnh hội

************************

đề tài

hớng dẫn học sinh kẻ thêm đờng phụ khi giải một số bài toán hình học 7

Họ và tờn: Trần Thị Thủy

Ngày sinh: 20/10/1978

Trỡnh độ đào tạo: Đại học

Thỏng năm vào ngành: 03/ 2000

Tháng 4 năm 2014.

A phần mở đầu

I Lý do chọn đề tài:

Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản, mang tính trừu tợng nhng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng

Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải

bài tập SGK, STK mà quan trọng là hình thành cho học sinh phơng pháp chung để giải các dạng Toán từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện

kỹ năng, kỹ xảo – hoàn thiện nhân cách

Nói đến toán học, ngời ta không thể không nhắc tới bộ môn hình học Hình học không chỉ là nền móng vững chắc cho các môn khoa học tự nhiên mà hình học còn là một công cụ rèn trí thông minh, sáng tạo thúc đẩy t duy của học sinh Có lẽ cũng chính vì thế mà hình học là một phần không thể thiếu trong hành trang toán học của các em học sinh

Phát triển năng lực trí tuệ theo từng mức độ cho học sinh ngay từ các lớp dới là trách nhiệm của nhà trờng, là đòi hỏi của xã hội, là nỗi mong mỏi của các bậc phụ huynh và cũng là ớc muốn chính đáng của bản thân các em học sinh Trong các môn học, môn Toán đặc biệt có u thế về mặt này, song phát triển trí tuệ cho trẻ em thông qua hoạt động học tập, hoạt động vui chơi là một quá trình bền bỉ, không thể tính bằng tuần, bằng tháng Hơn nữa, còn phải xuất phát từ trình độ nhận thức và hoàn cảnh sống của trẻ em để cho các em luyện tập dần từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm phát huy ở trẻ óc quan sát nhanh nhạy, trí tởng tợng phong phú, khả năng suy luận lôgíc Vậy làm thế nào để môn hình học dù khó vẫn có một sức hấp dẫn cuốn hút kỳ lạ

và gây hứng thú cho ngời học ?

Đứng trớc yêu cầu đó, là một giáo viên làm công tác bồi dỡng học sinh giỏi, tôi luôn cố gắng tìm tòi, nghiên cứu, tiếp cận việc đổi mới phơng pháp giảng dạy nhằm giúp cho học sinh có đợc cái nhìn nhanh nhậy từ mỗi bài toán, tạo sự say mê hứng thú trong việc học tập của mình Từ mỗi bài toán nhỏ, tôi cố gắng khai thác phát triển dới nhiều góc độ khác nhau làm cho học sinh phải tự suy nghĩ, phải tự tìm tòi và thấy rằng việc học toán thật thú vị, hấp dẫn Qua mỗi tiết học nâng cao, giáo viên đa ra kiến thức nào thì nó sẽ là chiếc chìa khoá mở ra cho học sinh nhiều điều mới lạ, thú vị và từ đó xây dựng đợc khả năng tự học, tự nghiên cứu Trớc thực tế đó, tôi muốn qua bài viết này sẽ trao đổi kinh nghiệm với tất cả các đồng chí đồng nghiệp

II Mục đích nghiên cứu:

Giúp học sinh nắm đợc cách vẽ đờng phụ khi giải một số bài toán so sánh độ dài các đoạn thẳng: So sánh hai đoạn thẳng, một đoạn thẳng với tổng hai đoạn thẳng

III Giới hạn của đề tài

Trong chứng minh hình học, phần nhiều phải tự vẽ thêm đờng mới, tức là phải vẽ thêm đờng phụ mới chứng minh đợc Việc vẽ thêm đờng phụ rất nhiều loại nên không

có phơng pháp vẽ cố định Vẽ đờng phụ hợp lý là một phơng pháp để giải các bài toán

hình học Để tìm ra hớng đi đúng cho một bài toán khó và lạ là một điều không đơn

giản Nhằm giúp các em giải quyết vấn đề khó này, tôi xin đề cập đến cách hớng dẫn

học sinh kẻ thêm đờng phụ khi giải một số bài toán hình học 7 Song trong phạm vi

của đề tài này, tôi sẽ xoay quanh dạng toán về so sánh độ lớn hai đoạn thẳng Đây là dạng toán quen thuộc mà các em thờng gặp

B - phần nội dung

Trớc hết, học sinh phải thấy đợc việc kẻ đờng phụ nhằm

- Biến đổi hình vẽ, làm cho bài toán trở nên chứng minh dễ dàng hơn trớc

- Tạo nên một hình mới để có thể áp dụng những định lý đặc biệt nào đó

Trong thực tế, việc kẻ thêm đờng phụ là một việc làm thực sự khó Việc kẻ thêm

đờng phụ phải theo đúng nguyên tắc dựng hình vì nếu không bài toán càng trở nên phức tạp, không tìm ra hớng giải Chính vì vậy, khi đứng trớc một bài toán, các em cần chú ý các điểm sau:

- Không phải bài toán nào cũng cần vẽ đờng phụ

- Khi vẽ không đợc tuỳ tiện mà phải hợp lý đúng nguyên tắc các phép dựng hình cơ bản

Các ví dụ cụ thể:

1 Các bài toán so sánh hai đoạn thẳng

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, B= 60 0 Chứng minh rằng AB =

2

1

BC.

*Hớng giải 1: Dựng đoạn thẳng bằng 2AB, sau đó chứng minh 2AB = BC Với hớng suy nghĩ này hình thành cách vẽ sau:

Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho A là

trung điểm của BD  AB =

2

1 BD

- Xét ABC và ADC có:

AB = AD (cách vẽ)

BAD = DAC = 900 ( AB AC)

AC: cạnh chung

 ABC = ADC ( c.g.c)

 BC = DC  BCD là tam giác cân tại C

Mà B = 600 (gt)

 BDC là tam giác đều

 BD = BC, mà AB =

2

1

BD Suy ra: AB =

2

1 BC

B

D

*Hớng giải 2: Dựng đoạn thẳng bằng BC

2

1

2

1

= AB Với hớng suy nghĩ này hình thành cách vẽ sau:

- Trên tia BC lấy D sao cho BD = AB.

- ABD có AB = BD

 ABD cân tại B, mà B = 600(gt)

 ABD là tam giác đều

- ABC vuông tại A,B =600  C = 300

 B > C  BC > AB, mà AB = BD

 BC > BD  D nằm giữa B và C (1)

 BAD + DAC = 900,

B

D

mà BAD = 600 (ABD đều)  DAC = 300

-ADC có DAC = C (=300)  ADC cân tại D  DA = DC

Lại có AD = AB = BD (ADB đều)  DB = DC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = BC

2 1

Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông đờng trung tuyến ứng với cạnh

huyền bằng một nửa cạnh ấy.

*Hớng giải 1: Dựng đoạn thẳng bằng 2AM, sau đó chứng minh 2AM = BC Với hớng suy nghĩ này hình thành cách vẽ sau:

Trên tia đối của tia MA lấy D sao cho M là trung

điểm của AD  AM =

2

1

AD

ABM và DCM có:

BM = MC (AM là trung tuyến)

AMB = DMC (đối đỉnh)

AM = MD (cách dựng)

 ABM = DCM (cgc)  ABM = MCD

B

D

M

 AB // DC, mà AB  AC (ABC vuông tại A)  DC AC

ABC và DCA có:

AB = DC (ABM = DCM)

BAC = DCA = 900

AC chung

 ABC = CDA (c.g.c)  BC = AD, mà AM =

2

1

AD  AM =

2

1

BC (đpcm)

*Hớng giải 2: Dựng đoạn thẳng bằng AM, sau đó chứng minh đoạn thẳng đó bằng

BC

2

1

Với hớng suy nghĩ này hình thành cách vẽ sau:

Gọi M là giao điểm của đờng trung trực đoạn AB với cạnh BC

Vì M trung trực của BC  MB = MA

 AMB cân tại M  B = BAM

 BAM + MAC = 900

Mà B + C = 900 (ABC vuông tại A)

Từ (1) , (2), (3) suy ra MAC = C

 AMC cân tại M  MA = MC (**)

Từ (*) và (**) suy ra MB = MC = MA

 AM là trung tuyến và AM =

2

1 BC

M B

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC

Chứng minh rằng DE =

2

1

BC.

*Hớng giải:

Trên tia DE lấy điểm F sao cho E là trung điểm

của DF

Do ADE và CFE có:

AE = EC;AED =CEF; DE = EF

 ADE = CFE (c.g.c)

 DAE =ECF  AB //CF

BDC và FCD có:

BD = CF (=AD)

BDC = DCF (so le trong do AB//CF)

DC chung

E A

F D

 BDC = FCD (c.g.c)  DF = BC; mà DE =

2

1

DF  DE =

2

1 BC

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến CM Trên tia đối của tia BA lấy

điểm D sao cho BD = BA Chứng minh rằng : CM =

2

1

CD.

* Hớng giải :

- Hớng thứ nhất : Ta dựng đoạn thẳng bằng 2CM rồi chứng minh đoạn thẳng đó bằng

CD Với hớng suy nghĩ này, hình thành các cách vẽ đờng phụ.

Cách 1

2

1

NC (1)

Xét  BMN và  AMC có

MB = MA (M là trung điểm AB )

BMN = AMC (hai góc đối

đỉnh )

MN = MC (cách dựng)

Vậy BMN = AMC (c g.c)

 BN = AC

LạicóBNM=MCA (BMN =

AMC)

 BN // AC

B

A

C N

D

M

 NBC + BCA = 1800 (hai góc trong cùng phía)

Mà DBC + CBA = 1800 ( kề bù); ABC = ACB(ABC cân tại A )

 NBC = DBC

Xét  NBC và DBC có

NB = BD (=AC ); NBC = DBC ; BC là cạnh chung

  NBC = DBC (c.g.c)  NC =DC (2)

Từ (1) và (2)  MC =

2

1 DC

Cách 2

Sử dụng kết quả bài toán trong ví dụ 3, ta sẽ có một số cách vẽ đờng phụ nh sau:

Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CB

= CN

Ta có : DBC + CBA = 1800(2 góc kề bù)

ACN + ACB = 1800(2 góc kề

bù)

Mà CBA = ACB do  ABC cân tại

A)

 DBC = ACN

Ta có : CB = CN (cách dựng), MA = MB (gt)

 CM =

2

1

AN (1)

A

D

C M

Xét  DBC và  ACN có:

DB = CA (cùng bằng AB); DBC = ACN (cmt); BC = CN (cách dựng)   DBC =  ACN (cgc)  DC = AN (2)

Từ (1) và (2)  CM =

2

1

DC

- Hớng thứ hai: Dựng đoạn thẳng khác bằng

2

1

CD rồi chứng minh cho đoạn thẳng đó bằng CM Với hớng suy nghĩ này, hình thành các cách vẽ đờng phụ nh sau

Cách 3 :

- Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC

- Xét ADC và ADE có : AE = AC(cách vẽ)

A1 = A2(gt)

AD là cạnh chung

 ADC = ADE(c.g.c)

 ED = DC(1) và D1 = D2 (2)

A

E

- Do AB > AC(gt); AE = AC nên AB > AE  E nằm giữa A và B

- Ta có BED là góc ngoài của tam giác AED  BED > D2 (3)

D2 là góc ngoài của tam giác ABD  D2 > B (4)

Từ (2); (3) và (4)  BED > B

- BED có BED > B  BD > DE (quan hệ góc và cạnh đối diện) (5)

Từ (1) và (5)  BD > DC(đpcm)

Cách 2:

Trên tia AC lấy điểm E sao cho AB = AE

Xét ADB và ADE có: AB = AE(cách vẽ)

BAD = 

EAD(gt)

AD là cạnh chung

 ADB = ADE (c - g - c)

 BD = DF (6) và ABD = AED

7)

Do AB = AF; AB > AC nên AF > AC

 C nằm giữa A và F

A

E D

BCE là góc ngoài của tam giác ABC

BCE > ABD (8)

Từ (7) và (8)  DCE > CED CDE có DCE > CED  DF > DC

(quan hệ góc cạnh đối diện) (9)

Từ (6) và (9)  BD > DC(đpcm)

Bài tập tự giải

Bài 1: Cho tam giác ABC có BC = 2AB Gọi D, M lần lợt là trung điểm của các cạnh

BC và BD Chứng minh rằng AC = 2AM

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, A= 1200 Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với

AB, cắt BC tại D Chứng minh rằng BD = 2.DC

Bài 3: Cho tam giác ABC, I là giao điểm các đờng phân giác của góc B và góc C M là

trung điểm của BC Biết BIM= 900; BI = 2.IM

a) Tính số đo BAC

b) Vẽ IH vuông góc với AC, H thuộc AC Chứng minh rằng BA = 3.IH

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A Lấy điểm D nằm trong tam giác ABC sao cho 

ADB > ADC Chứng minh rằng DC > DB

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có B = 540 Trên AC lấy điểm D sao cho 

DBC = 180 Chứng minh BD < AC

2 Các bài toán so sánh một đoạn thẳng với tổng(hiệu) hai đoạn thẳng

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có B =C = 40 0 , phân giác BD

Chứng minh rằng: BD + DA = BC

* Hớng giải: Tách BC thành tổng hai đoạn thẳng sao cho từng đoạn thẳng trong tổng

đó lần lợt bằng đoạn thẳng BD, DA.

Với hớng giải nh trên ta có thể vẽ đờng phụ nh sau

- Lấy điểm I trên đoạn BC sao cho BD = BI Ta cần chứng minh thêm IC = DA

- Để chứng minh IC = DA ta tạo ra tam giác chứa cạnh DA bằng tam giác chứa cạnh

IC, nghĩa là tạo ra tam giác chứa cạnh DA bằng tam giác ICD.Dựa vào đặc điểm tam giác ICD, ta có thể vẽ đờng phụ nh sau: Qua A kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AB tại N Tam giác AND là tam giác cần dựng

Giải

- Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho BI = BD

- Qua D kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AB tại N

Do ND//BC nên AND = ABC;

ADN = C (đồng vị)

Mà ABC = ACB = 400

(gt)

 AND = ADN

 AND cân tại A  AN = AD

Mà AB = AC (gt)  AB – AN = AC –

AD

 BN = CD(1)

A

D N

I

-Vì BD là phân giác của ABC  ABD = DBC = 200

Mặt khác do ND//BC(cách vẽ) nên NDB = DBC (so le trong)

 NBD = NDB = 200  BND cân tại N  BN = ND(2)

- Do BD = BI nên BDI cân tại B  BDI = (1800 - 200) : 2 = 800

 IDC = 1800 – (ADN – NDB - BDI) = 400

Từ (1) và (2)  ND = CD

- XétAND và IDC có : AND = ICD(= 400)

ND = DC(cmt)

ADN = IDC(= 400)

 AND = IDC(g - c - g)

 AD = IC(2 cạnh tơng ứng)

Vì BC = BI + IC; BI = BD; IC = DA nên BD + DA = BC(đpcm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Chứng minh rằng AM < AB + AC

2

Để chứng minh 2AM < AB + AC ta tìm cách tạo ra một tam giác có ba cạnh bằng 2AM, AB, AC.

Với hớng giải nh trên ta có thể vẽ đờng phụ theo cách sau: Trên tia AM lấy điểm

D sao cho AM = MD Tam giác ADC là tam giác cần dựng.

Giải

- Trên tia AM lấy điểm D sao cho AM = MD

- Xét AMB và DMC có :

AM = MD(cách vẽ)

AMB = CMD(đối đỉnh)

BM = MC(gt)

 AMB = DMC(c – g - c)

 AB = CD(2 cạnh tơng ứng)

-Xét  ACD, theo bất đẳng thức tam giác ta

có

AD < AC + DC

Mà AD = 2AM (M là trung điểm của AD);

AB = CD (chứng minh trên)

 2AM < AB + AC

 AM < AB + AC

2 (đpcm)

M

A

D

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và ABC = 2 ACB Kẻ AD BC

thẳng và chứng minh chúng lần lợt bằng AB và BD Với hớng giải này ta có cách vẽ

hình sau:

Giải:

- Trên tia DC lấy điểm E sao cho DB = DE(1)

- Ta có B> C  AC > AB  DC > BD

 E nằm giữa D và E

ABD và AED có

BD = DC;

ADB = ADE = 900(gt)

AD chung

A

 ABD = AED (c.g.c)  AB = AE và B = AEB

- Ta có B = AEB và B = 2ACB  AEB = 2ACB

Lại cóAEB = ACB + EAC (tc gócngoài)

 ACB + EAC = 2.ACB

 EAC = ACE

 AEC cân tại E  AE = EC(2)

Từ bài toán trên ta có bài toán t ơng tự sau : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và 

cho BN = BD Đờng thẳng ND cắt AC tại M Chứng minh rằng:

b) M là trung điểm AC

c) AN = CD

Giải:

2

1

ABC)

b) MDC = MCD (=BDN)

 MDC cân tại M  MD = MC

MAD = ADM (cùng phụ với 2 góc

bằng nhau )

 AMD cân tại M  AM = MD

Suy ra M là trung điểm AC

c) Lấy E sao cho DE = BD

Do BD = BN  BN = DE

Chứng minh tơng tự nh trên ta có EC= AB

Do đó AB + BN = EC + DE hay AN = CD

A

N

D

M

E

Từ kết quả của câu b) ta có thể chứng minh câu c) theo hớng khác, đó là tạo ra đoạn thẳng bằng DC và ta chứng minh đoạn thẳng đó bằng AN

Trên tia đối của tia MD lấy P sao cho MP =

MD

AMP = CMD (c.g.c)  AP = DC(1)

Ta có P = MDC (AMP = CMD)

MDC = N (=BDN)

N = P  ANP cân tại A

 AN = AP(2)

Từ (1) và (2) suy ra AN = DC

A

N

P

D

M

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC nhọn có A = 30 0 , trên mặt phẳng bờ BC không chứa

điểm A vẽ tam giác đều BCD Chứng minh rằng: AD 2 = AB 2 + AC 2

*Hớng giải: Để chứng minh AD 2 = AB 2 + AC 2 ta sẽ tạo ra một tam giác vuông chứa một trong các cạnh AB, AC làm cạnh(ví dụ AC) sau đó chứng minh 2 cạnh còn lại bằng AB và AD.

AB, do đó hình thành cách vẽ hình sau:

Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ

tam giác đều ABE

EBC = EBA + ABC = 600 + ABC

ABD = ABC + CBD = 600 + ABC

Suy ra EBC = ABD

EBC và ABD có: EB = AB (ABE đều)

EBC = ABD

BC = BD (BCD đều)

B

D E

 EBC = ABD  EC = AD

Có EAC = EAB + BAC = 600 + 300 = 900

 EAC vuông tại A  EC2 = AE2 + AC2

Mà EC = AD(EBC =ABD); AE = AB (ABE đều )  AD 2 = AB 2 + AC 2

Bài tập tự giải

Bài 1: Cho tam giác ABC có B < 900; C< 900 Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác ABD, ACE vuông cân tại B và C Kẻ DI, EK vuông góc với BC, H; K  BC Chứng minh rằng BC = DI + EK

Bài 2: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 2cm, M là điểm nằm trong tam giác Qua

M kẻ các đờng thẳng song song với các cạnh của tam giác ABC, chúng cắt AB, BC, CA tại C’; A’; B’ Tính tổng MA’ + MB’ + MC’ ?

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB > AC Lấy điểm M trên phân giác AD Chứng minh

rằng AB – AC > MB – MC

C Kết quả sau khi thực hiện

Qua việc đa ra “Loại toán so sánh đoạn thẳng và cách vẽ đờng phụ tơng ứng”

thờng gặp trong hình học 7, tôi thấy đã đạt đợc một số kết quả nh sau:

- Cung cấp cho học sinh một hệ thống các phơng pháp giải, tạo điều kiện cho học sinh hiểu sâu kiến thức hình học, định hớng cho học sinh cách vẽ đờng phụ khi gặp các bài toán tơng tự Đồng thời làm cơ sở cho học sinh có đợc cách vẽ đờng phụ với các bài

toán khó hơn nữa Giúp cho học sinh rèn đợc những phẩm chất của trí tuệ nh : Độc lập,

sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt, độc đáo trong t duy, làm tiền đề cho sự phát triển t duy