SKKN Một số sai lầm của học sinh trung bình khi giải các phương trình lượng giác cơ bản

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG BÌNH KHI GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Người thực hiện: Trịnh Th

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG BÌNH KHI GIẢI CÁC

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Người thực hiện: Trịnh Thị Lệ

Chức vụ : Giáo viên

SKKN môn : Toán

THANH HOÁ NĂM 2013

MỤC LỤC

Mục Lục Trang

A ĐẶT VẤN ĐỀ 3

1 Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản 3

Các ví dụ minh họa

Các ví dụ minh họa

Các ví dụ minh họa

A.ĐẶT VẤN ĐỀ

Phương trình lượng giác là một trong những kiến thức quan trọng của môn Toán THPT, nó chiếm một phần kiến thức trọng tâm của chương trình giải tích 11 đặc biệt đối với học sinh có học lực trung bình thì giải các phương trình lượng giác

cơ bản là kiến thức nền tảng trọng tâm mà học sinh cần phải nắm

Trong các đề thi đại học, cao đẳng năm nào cũng có phần giải phương trình lượng giác do vậy để học sinh có học lực trung bình có thể làm được những dạng toán này thì ngay từ ban đầu phải giải tốt phương trình lượng giác cơ bản Tuy nhiên có một số học sinh chưa hiểu rõ bản chất nên thường hay mắc những sai lầm khi giải các phương trình lượng giác cơ bản , điều quan trọng là phải làm sao để học sinh nhận thấy được những sai lầm đó và biết cách khắc phục để đi đến kết quả đúng

Một số học sinh có học lực lực trung bình không phân biệt được hoặc đôi khi còn nhầm lẫn giữa một cung lượng giác của một cung đặc biệt từ cách nhìn nhận sai lầm đó dẫn đến khi giải một phương trình lượng giác cơ bản lại đi đến kết quả sai, nhìn thấy được những yếu điểm đó của học sinh tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: “ Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình lượng giác cơ bản” Nhằm khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao hơn từ những bài toán lượng giác cơ bản là nền tảng ban đầu học sinh cần nắm vững

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lí luận

Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ cái sai đến cái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh

II Thực trạng vấn đề

Ở trường trung học mà tôi giảng dạy hiện nay là vùng nông thôn, giáp danh với miền núi, đời sống nhân dân dang còn khó khăn, dân trí chưa cao, chất lượng học tập của học sinh còn thấp phần lớn ở đây học sinh chiếm học lực trung bình đang còn chiếm tỉ lệ cao Do vậy việc củng cố lại việc học của học sinh ngay từ những kiến thức cơ bản nhất là điều rất quan trọng, muốn làm được điều này cần phải cho học sinh thấy được những sai lầm cơ bản mà các em mắc phải, từ đó khắc phục được những hạn chế đó để dạt dược kết cao hơn trong học tập

III Giải pháp và tổ chức thực hiện

1 Phương pháp giải phương trình lượng giác các phương trình lượng giác cơ bản 1.1 Phương trình sinx=a (1)

a.TH1: a  1 thì PT(1) vô nghiệm

b.TH2 : a  1

- Nếu a là giá trị sin cung đặc biệt 

k Z

k x

k x

x a

x







































2 2

sin sin sin

-Nếu a không là giá trị sin của một cung đặc biệt 

k a x

k a x

a

























2 arcsin

2 arcsin sin

k x g x

f

k x g x f x

g x

























2 ) ( )

(

2 ) ( ) ( )

( sin ) ( sin

+ 





















0 0

0

180

360 sin

sin

x

k x

x

1.2 Phương trình cosx=a (2)

a TH1: a  1 PT(2) vô nghiệm

b TH2 : a  1

- Nếu a là giá trị cosin của một cung đặc biệt  (a=0,1, )

2

2 , 2

3 , 2 1

xax xk kZ

 2 ,

cos cos cos







-Nếu a không phải là giá trị cosin của một cung đặc biệt 

k a x

k a x

a























2 arccos

2 arccos cos

*Chú ý

+>cos f(x)  cosg(x)  f(x) g(x) k2  ,kZ

+>cosx cos 0  x 0 k360 0 ,kZ



 +> cos(   )  cos(    )

1.3 Phương trình tanx=a (3)

Điều kiện xác định của phương trình là: x k ,kZ



Phương pháp

-Nếu a là giá trị tan của một cung đặc biệt  (a= )

3

1 , 3 , 0 , 1

tanx =a tan x tan   x  k ,kZ

-Nếu a không phải là giá trị tang của một cung đặc biệt 

tanxa x arctanak ,kZ

* Chú ý :

- Nếu tanx tan   x  k ,kZ

Tổng quát : tan f(x)  tang(x)  f(x) g(x) k ,kZ

- Nếu tanx tan  0  x  0 k180 0

- tan(   )   tan 

1.4 Phương trình cotx=a (4)

Điều kiện xác định của phương trình là xk ,kZ

Phương pháp

-Nếu a là giá trị cotang của một cung đặc biệt )

3

1 , 3 , 1 , 0 ( a



cotxaxcotxcotk,kZ

-Nếu a không là giá trị cotang của một cung đặc biệt

cotxa xarccotak ,kZ

* Chú ý :

- cotx cot   x  k ,kZ

Tổng quát : cot f(x)  cotg(x)  f(x) g(x) k ,kZ

-cotx cot 0  x 0 k180 0 ,kZ





- cot(   )   cot 

2 Một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải

2.1 Sai lầm 1: học sinh đôi khi còn nhầm lẫn giữa giá trị lượng giác của một cung

đặc biệt và một cung đặc biệt

Ví dụ 1: Giải phương trình sau

sinx=21

* Sai lầm thường gặp

Z k k x

k x

x x







































2 6 5

2 6

6

sin 2

1 sin

* Hướng khắc phục

Học sinh cần phân biệt rõ một cung đặc biệt và giá trị sin của một cung đặc biệt

6

2



* Lời giải đúng

Z k k x

k x

x x







































2 6 5

2 6

6 sin sin 2

1 sin

Vậy nghiệm của phương trình là : x k  và x  k2  kZ

6

5 2

6

Ví dụ 2: Giải phương trình sau

cosx =

2 2

* Sai lầm thường gặp

2 cos 4

2 cosx  x

k Z

k x

k x

































2 4

2 4

* Hướng khắc phục

Học sinh cần phân biệt rõ một cung lượng giác đặc biệt và giá trị cosin của một cung lượng giác đặc biệt đó

4 2

2 



* Lời giải đúng

2 cos cos4

2 cosx  x 

k Z

k x

k x

































2 4

2 4

Vậy nghiệm của phương trình là : x k và x k2 ,kZ

4

2







Ví dụ 3: Giải phương trình

) 3

3 2 tan( x 

* Sai lầm thường gặp

Z k k

x

k x

x x

























, 2

3 3 2

3

) 3 2 tan(

3 ) 3 2 tan(















* Hướng khắc phục

Học sinh cần phân biệt rõ cung lượng giác đặc biệt và giá trị tang của cung đặc biệt đó 3 3

* Lời giải đúng

Z k k

x

k x

x x

























, 2

3 3 2

3 tan ) 3 2 tan(

3 ) 3 2 tan(















Vậy nghiệm của phương trình là : xk ,kZ

2



Ví dụ 4: Giải phương trình

) 1

3 2 cot(   

x

* Sai lầm thường gặp

) 4

3 2 cot(

1 ) 3 2 cot( x   x 

Z k k x

k x



















, 2 24

4 3 2











* Lời giải đúng

) cot4

3 2 cot(

1 ) 3 2 cot( x   x  

Z k k x

k x



















, 2 24

4 3 2











Vậy nghiệm của phương trình là : x=-24 +k ,kZ

2



2.2 Sai lầm 2:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

sin( 3x 1 ) 31

* Sai lầm thường gặp

Z k k

x

k x

Z k k x

k x

x

































































3

2 9

1 arcsin 3

3

2 9

1 arcsin 3

1

2 3

1 arcsin 1

3

2 3

1 arcsin 1

3 3

1 ) 1 3 sin(













* Hướng khắc phục

Học sinh cần nắm rõ arcsin31là một hằng số cụ thể ,tránh sai lầm

arcsin 31

3

1

arcsin 

* Lời giải đúng

Z k k

x

k x

Z k k x

k x

x

































































3

2 3

1 arcsin 3

1 3 3

2 3

1 arcsin 3

1 3 1

2 3

1 arcsin 1

3

2 3

1 arcsin 1

3 3

1 ) 1 3 sin(













Vậy nghiệm của phương trình là

x  k và x   k ,kZ

3

2 3

1 arcsin 3

1 3 3

1 3

2 3

1 arcsin 3

1 3

Ví dụ 2: Giải phương trình sau

) 51

4 2 cos(   

x

* Sai lầm thường gặp

Z k k

x

k x

k x

k x

x





























































, 10

1 arccos 8

10

1 arccos 8

2 5

1 arccos 4

2

2 5

1 arccos 4

2 5

1 ) 4 2 cos(



















* Lời giải đúng :

Z k k

x

k x

k x

k x

x





























































, 5

1 arccos 2

1 8

5

1 arccos 2

1 8

2 5

1 arccos 4

2

2 5

1 arccos 4

2 5

1 ) 4 2 cos(



















Vậy nghiệm của phương trình :

x  k và x  k ,kZ

5

1 arccos 2

1 8 5

1 arccos 2

1







Ví dụ 3: giải phương trình sau

tan( 5x 1 ) 21

* Sai lầm thường gặp

5 10

1 arctan 5

1

, 2

1 arctan 1

5 2

1 ) 1 5 tan(





k x

Z k k x

x

























* Lời giải đúng

5 2

1 arctan 5

1 5 1

, 2

1 arctan 1

5 2

1 ) 1 5 tan(





k x

Z k k x

x

























Vậy nghiệm của phương trình là : x  k ,kZ

5 2

1 arctan 5

1 5

Ví dụ 4: Giải phương trình

) 31

4 3 cot( x  

* Sai lầm thường gặp

Z k k arc

x

Z k k arc

x x



























, 3 9

1 cot 12

, 3

1 cot 4

3 3

1 ) 4 3 cot(











* Lời giải đúng

Z k k arc

x

Z k k arc

x x



























, 3 3

1 cot 3

1 12

, 3

1 cot 4

3 3

1 ) 4 3 cot(











Vậy nghiệm của phương trình là : x  arc k , kZ

3 3

1 cot 3

1 12





2.3 Sai lầm 3: học sinh nhiều khi trong một công thức nghiệm lại có tới 2 đơn vị

đo độ và rađian

Ví dụ 1: Giải phương trình sau

2

3 ) 15 2 sin( 0





x

* Sai lầm thường gặp

Z k k x

k x

Z k k x

k x

x















































































3 2

152 6 15

, 2 3

2 15 2

2 3 15 2 2

3 ) 15 2 sin(

0 0 0

0 0

* Lời giải đúng

Z k k

x

k x

Z k k

x

k x

x



















































0 0

0 0

0 0

0 0

180 2

115

180 2

45

, 360 120

15 2

360 60

15 2 2

3 ) 15 2 sin(

Vậy nghiệm của phương trình là x k và x k180 , kZ

2

115 180

2

0 0

Ví dụ 2: Giải phương trình sau

cos(x 45 0 )  cos 15 0

*Sai lầm thường gặp

Z k k x

k x

Z k k x

k x

x



























































2 60

2 30

, 2 15 45

2 15 45 15

cos ) 45 cos(

0 0

0 0

0 0 0

0

* Lời giải đúng :

Z k k x

k x

Z k k

x

k x

x



















































0 0

0 0

0 0

0

0 0

0 0

0

360 60

360 30

, 360 15

45

360 15

45 15

cos ) 45 cos(

Vậy nghiệm của phương trình là x  30 0 k360 0 và x  60 0 k360 0 ,kZ

Ví dụ 3: Giải phương trình

tan( 5 20 0 ) 13





x

* Sai lầm thường gặp











k x

k x

x x





























30 5

20 6 20 5

6 tan ) 20 5 tan(

3

1 ) 20 5 tan(

0 0

0 0

* Lời giải đúng :

0 0

0 0

0

0 0

0

180 2

180 30

20 5

30 tan ) 20 5 tan(

3

1 ) 20 5 tan(

k x

k x

x x

























Vậy phương trình có nghiệm là x 2 0 k180 0 ,k Z

* Hướng khắc phục : học sinh cần nắm rõ trong một công thức nghiệm bao giờ cũng chỉ có một đơn vị đo radian hoặc độ , nếu trong đề bài có đơn vị đo độ thì bắt buộc công thức nghiệm phải dùng đơn vị đo là độ

IV.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

1 kết quả từ thực tiễn

Ban đầu học sinh có học lực trung bình gặp nhiều lỗi sai trong giải phương trình lượng giác cơ bản Tuy nhiên giáo viên hướng dẫn học sinh tỉ mỉ phương pháp giải của từng phương trình lượng giác cơ bản và trên cơ sở nhấn mạnh đưa ra những sai lầm mà các em thường hay mắc phải để từ đó học sinh có thể đưa ra lời giải đúng

Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và hướng dẫn học sinh giải một số bài toán trong sách giáo khoa giải tích 11 thì hầu hết các em cẩn thận hơn trong cách trình bày và tránh được những sai lầm cần lưu ý và từ đó các em có lời giải đúng

2 kết quả thực nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng trong năm học 2011-2012,bài kiểm tra trên

2 lớp có học lực trung bình đó là lớp 11C6 (47 hs) và lớp 11C7 (47hs) trong đó lớp 11C6 được áp dụng sáng kiến kinh nghiệm còn lớp 11C7 không được áp dụng ,kết quả cho ta như sau

Xếp loại Đối tượng

Giỏi khá Trung bình Yếu

Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập tích cực và hứng thú khi giải các phương trình lượng giác cơ bản, là cơ sở nền tảng để các em đi vào giải các dạng của phương trình lượng Từ đây các em hiểu rõ về bản chất chứ không máy móc như trước nữa, đó là việc thể hiện, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh

C.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

I Kết luận

Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi giải các phương trình lượng giác cơ bản có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy vì khi áp dụng sáng kiến này giúp học sinh nhìn thấy được những điểm yếu điểm và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực chủ động, củng cố trau dồi thêm kiến thức về giải phương trình lượng giác cơ bản từ đó chủ động kiến thức trong quá trình học tập và các kỳ thi

II Kiến nghị

Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có một sách tham khảo nào viết về những sai lầm của học sinh khi giải toán Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về loại này để học sinh được tìm tòi về những sai lầm thường mắc khi giải toán để các em có những sai lầm đó trong khi làm bài tập

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 22 tháng 4 năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Kí tên Trịnh Thị Lệ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bài tập giải tích 11 ( Trần văn Hạo-Vũ Tuấn-Đào Ngọc Nam)

2 Chuyên đề luyện thi vào đại học phần lượng giác (Trần văn Hạo chủ biên –

Nguyễn Cam )

3 Cẩm nang ôn luyện thi đại học,cao đẳng môn toán tập 3 : lượng giác (Huy

Toan –Đào Thùy Linh )

4 Phương pháp giải toán lượng giác 11(Lê Quang Anh-Lê Qúy Mậu)