Khóa luận đại học An Giang 2015: Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố

Đã có một số tài liệu nhắc tới chủ đề này tuy nhiên nó chưa trình bày một cách rõ ràng và hệ thống các kiến thức về Lí thuyết Galois của mở rộng bậc nguyên tố.. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đề t

CHƯƠNG MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Lí thuyết Galois là một trong những lí thuyết nổi tiếng trong lịch sử toán học

Nó đã được đưa vào giảng dạy trong các chương trình đào tạo của Khoa Toán cáctrường Đại học và Cao đẳng, đặc biệt là Khoa Toán các Trường Sư Phạm

Đã có một số tài liệu nhắc tới chủ đề này tuy nhiên nó chưa trình bày một cách

rõ ràng và hệ thống các kiến thức về Lí thuyết Galois của mở rộng bậc nguyên tố

Với mong muốn cung cấp cho các bạn sinh viên ngành sư phạm Toán có cáinhìn tổng quát, cũng như hiểu sâu hơn các kiến thức về Nhóm Galois của mở rộng bậcnguyên tố Tôi đã chọn đề tài “Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố”

Cấu trúc đề tài gồm có 3 chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Mở rộng bậc nguyên tố

Chương 3 Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố

II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Đề tài nghiên cứu các vấn đề sau

- Mở rộng bậc nguyên tố

- Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố

III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Làm rõ một số vấn đề liên quan đến mở rộng bậc nguyên tố và nhóm Galois của

mở rộng bậc nguyên tố

- Tìm hiểu một số ví dụ

IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Hệ thống các kiến thức về rộng bậc nguyên tố và nhóm Galois của mở rộng bậcnguyên tố

V PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Đề tài nghiên cứu xoay quanh vấn đề nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố

VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng một số phương pháp sau

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp phân tích và tổng hợp

- Phương pháp nghiên cứu sách và tài liệu

Đọc sách và tài liệu là một trong những phương pháp không thể thiếu trong việcnghiên cứu, nó được chọn ngay từ khâu chọn đề tài, xây dựng đề cương nghiên cứu vàtrong suốt quá trình nghiên cứu Phương pháp đọc sách và tài liệu giúp tôi tìm hiểu,nắm bắt những gì có liên quan đến đề tài nghiên cứu, xác định được cái mới của đề tàinghiên cứu

- Phương pháp trò chuyện và lấy ý kiến chuyên gia

Để có được bài nghiên cứu này tôi đã nhận được sự giúp đỡ từ thầy hướng dẫn, đối vớingười nghiên cứu lần đầu tiên như tôi thì việc nhận được sự chỉ bảo từ người có kinhnghiệm là rất quan trọng trong quá trình nghiên cứu đề tài

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian véctơ

1.1.1 Định nghĩa Một tập hợp khác rỗng V cùng với hai phép toán cộng và nhânvới vô hướng

( ) ( )

.,

(i) u v+ = +v u

(ii) (u v+ ) + = +w u (v w+ )

(iii) Tồn tại phần tử 0 VÎ sao cho u+ =0 u

(iv) Với mọi v VÎ , tồn tại - Îv V sao cho v+( )v =0

(v) a(u v+ ) =a u+a v

(vi) ( )ab v=a b( )v

(vii) (a+b)v=a v+b v

(viii) 1v=v

Các điều kiện từ (i) đến (viii) được gọi là hệ tiên đề của không gian véctơ

1.1.2 Định nghĩa Cho S ={v v1, , ,2 v n} là tập con của không gian véctơ V trên

trường K

(i) Biểu thức a v1 1+a v2 2+L +a v n n với a i Î K, được gọi là một tổ hợp tuyếntính của S

(ii) S được gọi là tập sinh nếu mọi v VÎ đều là một tổ hợp tuyến tính của ,S

nghĩa là tồn tại a a1, , ,2 a n Î K sao cho v=a v1 1+a v2 2+L +a v n n

(iii) S được gọi là tập độc lập tuyến tính nếu

a v +a v +L +a v = Þ a =a =L =a =

1.1.3 Định lý Cho V là không gian véctơ trên K Tập con S ={v v1, , ,2 v n}

của V được gọi là một cơ sở của V nếu S là tập sinh và S là tập độc lập tuyếntính Số phần tử của một cơ sở của V được gọi là số chiều của V và được kí hiệu

là dimK V

1.2 Nhóm và nhóm con

1.2.1 Định nghĩa Một tập hợp khác rỗng G cùng với phép toán hai ngôi

G G´ ®G cho bởi ( )a b, a ab được gọi là nhóm nếu các điều kiện sau đượcthỏa mãn

(i) ( )ab c=a bc( ) với mọi , ,a b c GÎ

(ii) Có phần tử e GÎ sao cho ae= =a ea với mọi a GÎ

(iii) Với mọi a GÎ , tồn tại a- 1Î G sao cho aa- 1= =e a a- 1

Phần tử e được gọi là đơn vị của ,G phần tử a- 1 được gọi là phần tử nghịch đảocủa a Phần tử đơn vị e và phần tử nghịch đảo a- 1 của a là duy nhất Số phần tửcủa G được gọi là cấp của G và kí hiệu là G

1.2.2 Định nghĩa Tập con H của G được gọi là nhóm con của nhóm G nếu H

là một nhóm đối với phép toán của G

1.2.3 Định lý Cho G là nhóm và H là tập con của G Khi đó H là nhóm concủa G nếu các điều kiện sau được thỏa mãn

(i) e HÎ

(ii) ab HÎ với mọi ,a b HÎ

(iii) a- 1Î H với mọi a HÎ

1.2.4 Định lý Cho G là nhóm và a GÎ Khi đó a ={a n n| Î ¢ là một}nhóm con của G

Nhóm con a được gọi là nhóm con cyclic của G

1.2.5 Định nghĩa Nhóm G được gọi là nhóm cyclic nếu tồn tại phần tử a GÎ

sao cho a =G

1.2.6 Định lý Mọi nhóm cấp nguyên tố p đều là nhóm cyclic và đẳng cấu với

nhóm ¢p

1.2.7 Định nghĩa Cho G là nhóm và a GÎ Số nguyên dương n nhỏ nhất saocho a n = được gọi là cấp của phần tử e a và kí hiệu là a =n.

1.3 Vành và trường

1.3.1 Định nghĩa Một tập khác rỗng A cùng với phép toán cộng và phép toánnhân được gọi là vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn

(i) (a b+ + = + + với mọi , ,) c a (b c) a b c AÎ

(ii) Có phần tử 0 AÎ sao cho a+ = = +0 a 0 a

(iii) Với mọi a AÎ , có phần tử - Îa A sao cho a+ -( )a = = -0 ( )a +a.(iv) ( )ab c=a bc( ) với mọi , ,a b c AÎ

(v) a b c( + ) =ab ac a b c+ ;( + ) =ac bc+ với mọi , ,a b c AÎ

Nếu vành A có tính chất ab ba= thì A được gọi là vành giao hoán Nếu vành A

có phần tử 1 sao cho 1a= =a a1 với mọi a AÎ thì A được gọi là vành có đơn

vị 1 Vành A vừa giao hoán vừa có đơn vị 1 thì A được gọi là vành giao hoán cóđơn vị 1

1.3.2 Định nghĩa Vành F giao hoán có đơn vị được gọi là trường nếu mọi phần

tử khác 0 của F đều khả nghịch, nghĩa là với mọi u FÎ \ 0{ } đều tồn tại

(i) a b K- Î với mọi ,a b KÎ

(ii) ab KÎ với mọi ,a b KÎ

(iii) với mọi a khác 0 thuộc ,K a- 1Î K

1.3.5 Định nghĩa Cho K và E là các trường (vành) Một ánh xạ s : K ®E

được gọi là một đồng cấu trường (vành) nếu

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Đồng cấu s : K ®E được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu s là đơn ánh(toàn ánh, song ánh) Nếu K =E thì đồng cấu s được gọi là một tự đồng cấu

của K Nếu s : K ®K là đẳng cấu thì s được gọi là một tự đẳng cấu của K.

1.3.6 Định nghĩa Cho K là trường Số nguyên dương n được gọi là đặc số của

trường K nếu n là cấp của phần tử đơn vị 1 trong ,K nghĩa là n là số nguyên

dương nhỏ nhất sao cho n =.1 0 Nếu trường K không có số nguyên dương n

nào thỏa mãn n =.1 0 thì ta nói rằng trường K có đặc số bằng 0

Ví dụ 1.3.1 Trường , ,¤ ¡ £ là các trường có đặc số bằng 0 Với p là số nguyên

hệ số tự do, a gọi là hệ số cao nhất của ( ) n f x Nếu hệ số a khác 0 thì n n được

gọi là bậc của đa thức ( )f x và được kí hiệu là deg ( ) f x

1.4.3 Định lý Cho K là trường và ( ), ( )f x g x Î K x g xé ùê ú, ( )¹ 0 Khi đó tồn tạiduy nhất các đa thức ( ), ( )q x r x Î K xé ùê úë û sao cho ( )f x =g x q x( ) ( )+r x( ) với( ) 0

r x = hoặc deg ( ) deg ( ) r x < g x

1.4.4 Định nghĩa Cho K là trường và ( ), ( )f x g x Î K xé ùê úë û với ( )f x khác 0 Ta

nói rằng ( )f x là ước của ( ) g x hay ( ) g x chia hết cho ( ) f x nếu tồn tại

( )

h x Î K xé ùê úë û sao cho ( )g x =f x h x( ) ( ) và kí hiệu là ( ) | ( )f x g x hay ( ) ( ) g x f xM

1.4.5 Định nghĩa Cho K là trường và ( ), ( )f x g x Î K xé ùê úë û Đa thức ( ) d x với hệ

số cao nhất bằng 1 được gọi là ước chung lớn nhất của ( )f x và ( ) g x nếu các điều

kiện sau được thỏa mãn

(i) ( ) | ( )d x f x và ( ) | ( ) d x g x

(ii) Nếu ( ) | ( )m x f x và ( ) | ( ) m x g x thì ( ) | ( ) m x d x

Ước chung lớn nhất của ( )f x và ( ) g x được kí hiệu là (f x g x Nếu( ), ( ) ) (f x g x = thì ( )( ), ( )) 1 f x và ( ) g x được gọi là nguyên tố cùng nhau

1.4.6 Định lý Hai đa thức ( )f x và ( ) g x thuộc ( ) K x nguyên tố cùng nhau khi và

chỉ khi tồn tại hai đa thức ( )r x và ( ) s x sao cho ( ) ( ) f x r x +g x s x( ) ( )=1

1.4.7 Định nghĩa Cho K là trường và ( )f x Î K xé ùê úë û Một phần tử u KÎ đượcgọi là nghiệm của đa thức ( )f x nếu ( ) f u = Khi đó ta nói rằng đa thức ( )0 f x

1.4.10 Định nghĩa Cho K là trường và ( )f x Î K xé ùê úë û Ta nói rằng đa thức ( ) f x

chẽ ra trên K nếu nó có thể biểu diễn thành một tích của các nhân tử tuyến tính,nghĩa là f x( )k x u x u  1   2  x u n, trong đó k u u, , , ,1 2 u n Î K

1.4.11 Định nghĩa Một đa thức bất khả quy ( )f x trên trường K được gọi làtách được trên trường K nếu nó không có nghiệm bội, nghĩa là

f x k x u x u   x utrong đó k KÎ và u u1, , ,2 u là các nghiệm phân biệt của ( ) n f x

Một đa thức bậc dương tùy ý trên trường K được gọi là tách được trên K nếutất cả các nhân tử bất khả quy của nó là đa thức tách được trên K

1.5 Đa thức bất khả quy

1.5.1 Định nghĩa Cho ( )p x là đa thức bậc dương trên K. Ta nói rằng ( )p x là đa

thức bất khả quy trên K nếu ( )r x và ( ) s x là hai đa thức trên K sao cho( ) ( ) ( )

p x =r x s x thì ( )r x hoặc ( ) s x là đa thức hằng.

1.5.2 Định lý Cho K là trường Khi đó mọi đa thức bậc dương ( )f x Î K xé ùê ú

được phân tích thành tích các đa thức bất khả quy trên ,K nghĩa là

p x bất khả quy trên K thì ( )p x không có nghiệm trong K

1.5.4 Định lý Cho K là trường và ( )p x Î K xé ùê úë û là đa thức bậc 2 hoặc 3 Khi đó

( )

p x bất khả quy trên K nếu và chỉ nếu ( )p x không có nghiệm trong K

1.5.5 Định lý (Tiêu chuẩn Eisenstein)

n

p x =a +a x a x+ +L +a x Î ¢é ùê úx bậc dương Khi đó nếu tồn tại

một số nguyên tố p sao cho p là ước của các hệ số

0, , ,1 n 1,

a a a- p không là ướccủa a và n p không là ước của 2 a thì ( )0 p x bất khả quy trên ¤

Chương 2 MỞ RỘNG BẬC NGUYÊN TỐ 2.1 Mở rộng bậc hữu hạn

2.1.1 Định nghĩa Cho K và F là các trường Ta nói rằng F là một mở rộng

trường của K nếu K là một trường con của F

2.1.2 Định lý Cho F là một mở rộng trường của K Khi đó F là một không gian

véctơ trên K với các phép toán được xác định bởi

Chứng minh

Dễ dàng kiểm tra được hai phép toán trên thỏa mãn các tiên đề của không gianvéctơ Do đó F là không gian véctơ trên K

2.1.3 Định nghĩa Cho F là một mở rộng của K Số chiều của không gian véctơ

F trên K được gọi bậc mở rộng của F trên K và kí hiệu là

ë û Trường F được gọi là mở rộng bậc hữu hạn (vô hạn) của

K nếu bậc của F trên K là hữu hạn (vô hạn)

  Với mọi v F , ta có v au với a K Vậy

v K và do đó F K Nếu F K thì dễ dàng kiểm tra được  1 là cơ sởcủa F trên K và do đó F K:   1

2.1.5 Định nghĩa Cho các trường K K1, , ,2 K sao cho n K i K i1 với mọi

2.1.6 Định lý Cho một tháp các trường K Ì E Ì F Khi đó F là một rộng bậc

hữu hạn của K nếu và chỉ nếu F là một mở rộng bậc hữu hạn của E và E làmột mở rộng bậc hữu hạn của K Hơn nữa éêëF K: ù éú êû ë= F E E K: ùéúêûë : ùúû

Chứng minh

Giả sử éêëF K: ù=úû s hữu hạn Khi đó tồn tại một cơ sở {w w1, , ,2 w của s} F

trên K Với mọi w FÎ , ta có w=a w1 1+a w2 2+L +a w s s trong đó

1, , ,2 s

a a a Î K Vì K Ì E nên {w w1, , ,2 w là một hệ sinh của s} F trên

E và do đó éêëF E: ù£úû s. Do E Ì F nên ta có thể xem E là một không giancon của F trên K và tất nhiên éêëE K: ù éú êû ë£ F K: ùúû=s.

Đảo lại, giả sử éêëF E: ù=úû n và éêëE K: ù=úû m. Khi đó tồn tại một cơ sở

{u u1, , ,2 u của n} F trên E và một cơ sở {v v1, , ,2 v của m} E trên K Domọi u và i v khác i 0 nên uv cũng khác i i 0 Rõ ràng tập hợp

S = uv £ £i n £ £j m có đúng nm phần tử Bây giờ, ta sẽ chứngminh S là một cơ sở của một không gian véc tơ F trên K Nếu w FÎ thì

1

n

i i i

a v

=

=

å với mọi i Mặt

khác, vì v v1, , ,2 v là độc lập tuyến tính trên m K nên a = với mọi ij 0 i j,

Vậy S là một hệ độc lập tuyến tính của F trên K Điều này dẫn đến

2.1.7 Hệ quả Cho một tháp các trường K =K0Ì K1Ì K2Ì L Ì K n =F Khi

đó nếu F là một mở rộng bậc hữu hạn của K thì

Ta sẽ chứng minh quy nạp theo n Rõ ràng hệ quả đúng với n =1 và

2.2.1 Định nghĩa Cho K là trường và X là một tập con khác rỗng của K Khi đó

trường con của K sinh bởi X là giao của tất cả các trường con của K chứa

X Trường con này là trường con nhỏ nhất của K chứa X và kí hiệu là X

Ví dụ 2.2.1 Tìm trường con của £ sinh bởi tập con X ={ }1, i

Giải

Theo định nghĩa X là một trường con của £ nên X chứa trường

con nguyên tố ¤ của £. Do X là trường con nhỏ nhất của £ chứa

¤ và X nên nó chứa tất cả các phần tử có dạng a bi+ , trong đó,

a b Î ¤ và do đó X chứa ¤( ) {i = a bi a b+ | , Î ¤ Rõ ràng } ¤( )i

là một trường con của £ chứa X nên nó cũng chứa X Vậy ¤( )i làtrường con của £ sinh bởi X ={ }1, i

2.2.2 Định nghĩa Cho F là một mở rộng của K và X là một tập con của F

Trường con sinh bởi K ÈX được gọi là trường con sinh bởi X trên K vàđược kí hiệu là K X( ) = K ÈX Nếu X ={u u1, , ,2 u n} thì ta viết

{ 2 | , }

F = a b+ a bÎ ¤ thì rõ ràng ¤( )2 chứa F. Ta có thể chứngminh được F là một trường con của ¡ chứa ¤ và 2 nên F chứa

2.3.1 Định nghĩa Một mở rộng trường F của K được gọi là mở rộng đơn nếu tồn

tại một phần tử u FÎ sao cho F =K u( ), còn u được gọi là phần tử nguyênthủy của F

Ví dụ 2.3.1 Chứng minh rằng trường ¤( 2, 3) là mở rộng đơn của ¤

Vậy 2, 3Î ¤( 2+ 3) và do đó ¤( 2, 3) Ì ¤( 2+ 3 ) Điềunày dẫn đến ¤( 2, 3) =¤( 2+ 3) là một mở rộng đơn của ¤ với

u = + là phần tử nguyên thủy của ¤( 2, 3 )

Ví dụ 2.3.2 Chứng minh rằng trường ¤(32,w) là mở rộng đơn của ,¤ trong đó

wÎ £ là một căn nguyên thủy bậc ba của đơn vị

2.3.2 Định nghĩa Giả sử F là một mở rộng của trường K Một phần tử u FÎ

được gọi là phần tử đại số trên K nếu tồn tại một đa thức bậc dương

f x Î K x nhận u là nghiệm Trong trường hợp u không là nghiệm của bất

kỳ một đa thức bậc dương nào trên ,K thì u được gọi là phần tử siêu việt trên

K

2.3.3 Định lý Cho F là một mở rộng của trường K Khi đó nếu u FÎ là phần tử

đại số trên K thì tồn tại duy nhất một đa thức bất khả quy ( )p x Î K x[ ] với hệ

tử cao nhất bằng 1 nhận u làm nghiệm Hơn nữa, nếu ( )f x Î K x[ ] nhận u

làm nghiệm thì ( )f x chia hết cho ( ) p x

Trước hết ta sẽ chứng minh sự tồn tại của đa thức ( ).p x Muốn vậy ta đặt

p x và nhận u làm nghiệm Vì vậy ta có thể chọn ( )p x là đa thức có bậc n

bé nhất với hệ tử cao nhất bằng 1 nhận u làm nghiệm.

Ta sẽ chứng minh ( )p x bất khả quy trên K Thật vậy, giả sử ( )p x =g x h x( ) ( )với ( ), ( )g x h x Î K x[ ] và deg ( ),deg ( )g x h x <deg ( ).p x Khi đó

Giả sử ( )f x Î K x[ ] nhận u làm nghiệm Lấy ( )f x chia cho đa thức ( ) p x ta

nhận được ( )f x =p x q x( ) ( )+r x( ) và ( )r x = hoặc deg ( ) deg ( ).0 r x < p x Vì

u là nghiệm của ( )f x và ( ) p x nên u cũng là nghiệm của ( ).r x Nếu

( ) 0

r x ¹ thì ( )r x Î S và điều này không thể xảy ra Vậy ( )r x = và do đó0( )

f x chia hết cho ( ) p x

Bây giờ, ta chứng minh tính duy nhất của ( ).p x Nếu ( ) q x là đa thức bất khả

quy cao nhất với hệ tử bằng 1 nhận u làm nghiệm Theo chứng minh trên,( )

q x chia hết cho ( ) p x Do ( ) q x và ( ) p x là các đa thức bất khả quy nên tồn tại

một phần tử khác không c KÎ sao cho ( )q x =cp x( ).Ta có ngay c =1 và do

trong [ ]K x với hệ số bằng 1 nhận u làm nghiệm Đa thức vừa tìm được chính

là đa thức cực tiểu của u trên K.

Ví dụ 2.3.3 Tìm đa thức cực tiểu của 2 Î ¡ trên ¤

Giải

Đặt u = 2, ta có u = hay 2 2 u -2 2= Vậy 0 u là nghiệm của đathức x2- 2Î ¤ é ùê úx Chú ý rằng đa thức x -2 2 bất khả quy trên .¤Vậy x -2 2 là đa thức cực tiểu của 2 trên ¤

Ví dụ 2.3.4 Tìm đa thức cực tiểu của i Î £ trên ¡

Giải

Đặt u=i, ta có u = - hay 2 1 u + = Vậy 2 1 0 u là nghiệm của đathức x2+ Î1 ¡ é ùê úx. Chú ý rằng đa thức x + bất khả quy trên 2 1 ¡

Vậy x + là đa thức cực tiểu của 2 1 i trên ¡

Ví dụ 2.3.5 Tìm đa thức cực tiểu của 2+ 3Î ¡ trên ¤

Giải

Nếu u = 2+ 3Î ¡ thì u = +2 5 2 6 hay u -2 5=2 6 Bìnhphương hai vế ta được ( )2

u - = tương đương u4- 10u2+ =1 0

Do đó u = 2+ 3 là một nghiệm của đa thức x4- 10x2+ Î1 ¤ é ùê úx.

Ta cũng dễ dàng chứng minh được đa thức x4- 10x2+ bất khả quy1trên ¤ Vậy x4- 10x2+ là đa thức cực tiểu của 21 + 3 trên ¤

2.3.5 Định lý Cho F là một mở rộng của trường K và u FÎ là một phần tử đại số

trên K.Giả sử ( )p x là đa thức cực tiểu bậc n của u trên K. Khi đó

(ii) Mọi phần tử của [ ]K u =K u( ) đều có dạng ( )f u với ( ) f x Î K x[ ]. Lấy ( )f x

chia cho ( )p x ta được ( ) f x =p x q x( ) ( )+r x( ) với ( ), ( )q x r x Î K x[ ] vàdeg ( )r x <deg ( ).p x Khi đó

m

f u =p u q u +r u = q u +r u =r u =b +bu+L +b u

trong đó m n< =deg ( ).p x Vậy {1, , , ,u u2 u n- 1}

là một hệ sinh của khônggian vectơ ( )K u trên K. Ta còn phải chứng minh {1, , , ,u u2 u n- 1}

-= + +L + Î Do đó ( )g x chia hết cho ( ) p x Điều

này chỉ xảy ra khi ( )g x là đa thức 0 và do đó a = với mọi i 0 i Vậy{1, , , ,u u2 u n- 1}

độc lập tuyến tính và nó là một cơ sở của không gian vectơ( )

là cơ sở của ¤( 2+ 3) trên ¤Cho K và E là các trường và s : K ®E là đẳng cấu Khi đó

2.3.6 Định lý Cho K và E là các trường và s : K ®E là đẳng cấu Giả sử K u( )

và E v lần lượt là các mở rộng đơn của ( ) K và E Gọi ( )p x là đa thức cực

tiểu của u trên K và s p x( ) là đa thức cực tiểu của v trên E. Khi đó tồn tại

một đẳng cấu s : K u( ) ®E v( ) sao cho s( )k =s( )k với mọi k KÎ và

Rõ ràng s( )k =s( )k với mọi k KÎ và s( )u = Ta chứng minh v s là một

( ) ( )

1

1 1

1 1

1 1

i

i n

i

i n

= -

= -

t ® sao cho ( )t u = và ( )v t c = với mọi c c KÎ

2.4 Mở rộng đại số

2.4.1 Định nghĩa Cho F là một mở rộng của K Ta nói rằng F là mở rộng đại số

của K nếu mọi phần tử u FÎ đều là phần tử đại số trên K

Ví dụ 2.4.1 Chứng minh rằng ¤( )2 là một mở rộng đại số của ¤

Giải

Giả sử u= +a b 2Î ¤( )2 với ,a b Î ¤ Rõ ràng u= +a b 2 làmột nghiệm của đa thức x2- 2ax a+ 2- 2b2Î ¤ é ùê úx. Vậy

2

u= +a b là phần tử đại số trên ¤ và do đó ¤( )2 là một mở rộngđại số của ¤

Ví dụ 2.4.2 Chứng minh rằng £ là một mở rộng đại số của ¡

Giải

Giả sử u= + Î £a bi với ,a b Î ¡ Khi đó u= +a bi là một nghiệmcủa đa thức x2- 2ax a+ 2+b2Î ¡ é ùê úx và do đó nó là phần tử đại sốtrên ¡ Vậy £ là một mở rộng đại số của ¡

2.4.2 Định lý Nếu F là mở rộng bậc hữu hạn của K thì F mở rộng đại số của K

Chứng minh

Giả sử éêëF K: ù=úû n hữu hạn Nếu u FÎ và u i =u j với 0 i£ <j thì u là

nghiệm của đa thức x i - x j Î K x[ ] Với mọi u FÎ khác, ta có {1, , , ,u u2 u n}gồm có n +1 phần tử nên nó phụ thuộc tuyến tính Khi đó tồn tại các phần tử

2.4.3 Định lý Nếu F là mở rộng bậc hữu hạn của K thì F mở rộng hữu hạn sinh

2.4.4 Định lý Cho F là một mở rộng của K Khi đó F là mở rộng bậc hữu hạn

của K khi và chỉ khi F là mở rộng đại số của K và tồn tại các phần tử

1, , ,2 n

u u u sao cho F =K u u( 1, , ,2 u n)

Chứng minh

Giả sử F là một mở rộng bậc hữu hạn của K Gọi {u u1, , ,2 u là một cơ sở n}

của F trên K.Khi đó tất cả các tổ hợp tuyến tính của các u với hệ số trong i K

đều thuộc K u u( 1, , ,2 u và do đó n) F =K u u( 1, , ,2 u n) Do mọi mở rộng bậchữu hạn đều là mở rộng đại số nên các phần tử u u1, , ,2 u là các phần tử đại số n

trên K Đảo lại, giả sử F =K u u( 1, , ,2 u n) là mở rộng đại số của K Xét mộttháp các trường

Vì các phần tử 2, 3 là đại số trên ¤ nên ¤( 2, 3) là một mở rộng

đại số bậc hữu hạn của .¤ Ta có thể tính bậc mở rộng của ¤( 2, 3)

trên ¤ như sau Xét tháp các trường

2.5.1 Định nghĩa Cho p là số nguyên tố và F là một mở rộng của K. Ta nói rằng

F là một mở rộng bậc nguyên tố p của K nếu éêëF K: ù=úû p.

Ví dụ 2.5.1 Chứng minh rằng ¤( )2 là mở rộng bậc nguyên tố 2 của ¤

Giải

Ta có ¤( )2 là một mở rộng đại số của ¤ Ta có p x( ) =x2- 2 là đathức cực tiểu của 2 trên .¤ Do đó éê ( )2 : ù=ú deg(x2- 2) =2

Vậy ¤( )2 là mở rộng bậc nguyên tố 2 của ¤

Ví dụ 2.5.2 Chứng minh rằng ¤( )32 là mở rộng bậc nguyên tố 3 của ¤

Giải

Ta có ¤( )32 là một mở rộng của ¤ Ta có p x( ) =x3- 2 là đa thứccực tiểu của 32 trên .¤ Do đó éê ( )32 : ù=ú deg(x3- 2) =3

Giả sử F là một mở rộng bậc nguyên tố p của K. Ta có éêëF K: ù=úû p hữu hạn.

Do mọi mở rộng hữu hạn đều là mở rộng đại số nên F là mở rộng đại số của

K

2.5.3 Định lý Mọi mở rộng bậc nguyên tố p đều là mở rộng đơn.

Chứng minh