Bài giảng Phân tích và Thiết kế giải thuật nâng cao: Chương 3 PGS.TS. Trần Cao Đệ

Cây tìm kiếm nhị phân binary search tree  Cây tìm kiếm nhị phân TKNP là cây nhị phân mà khoá tại mỗi nút lớn hơn khoá của tất cả các nút thuộc cây con bên trái và nhỏ hơn khoá của tất

Phần 2: Các giải thuật nâng cao

Chương 3: Cây cân bằng Balanced trees

PGS TS TRẦN CAO ĐỆ Đại Học Cần Thơ

2013

Cây tìm kiếm nhị phân

binary search tree

 Cây tìm kiếm nhị phân

(TKNP) là cây nhị phân mà khoá tại mỗi nút lớn hơn khoá của tất cả các nút thuộc cây con bên trái và nhỏ hơn khoá của tất cả các nút thuộc cây con bên phải.

typedef <kiểu dữ liệu của khoá> KeyType;

typedef struct Node{

15

35

37

thêm một khoá vào cây TKNP

void InsertNode(KeyType x,Tree& Root ){

/* thêm nút mới chứa khoá x */

15

35

37

15

Xóa một nút trên cây TKNP

KeyType DeleteMin (Tree& Root ){

else if (x > Root->Key) DeleteNode(x,Root->Right);

else if ((Root->Left==NULL) && (Root->Right==NULL)) Root=NULL; else

if (Root->Left == NULL) Root = Root->Right;

else if (Root->Right==NULL) Root = Root->Left;

else Root->Key = DeleteMin(Root->Right);

}

Phân tích BST

 Tìm kiếm một nút trên cây TKNP

– Mất O(1) duyệt trên mỗi nút

– Mỗi lần duyệt đi sâu xuống một mức

– Vậy thời gian tìm kiếm là O(h) với h là chiều cao của cây

 Thời gian tìm kiếm 1 nút, thêm một nút, xóa một nút trên cây TKNP là O(h), với h là chiều cao của cây TKNP

 Chiều cao của cây TKNP có n nút: Logn ≤ h ≤ n

Cây AVL

 Trong trường hợp xấu nhất

thời gian thực hiện các phép toán trên BST là O(n)

 Cân bằng AVL

– Do Adelson Velski và Landis

– AVL: Cây TKNP mà chiều cao của hai cây con của mọi nút chênh lệch nhiều nhất là 1

 Trên cây AVL các phép tìm

kiếm, thêm, xoa một nút là

2 h/2+1 – 1 < n h/2 +1 < log 2 (n + 1)

h < 2 log 2 (n + 1)

 Phân tích sâu sắc theo số Fibonacci, giới

hạn trên là 1.44 log(n + 2)

Thêm một nút vào cây AVL

 Đầu tiên thêm một nút vào cây TKNP Cây có thể mất cân bằng.

 Cân bằng lại

– Xét cây AVL: tree T=(r,Tl,Tr) trong đó Tl có chiều cao hl và

Tr có chiều cao hr

– Giả sử nút thêm vào trên Tr.

 Nếu hl=hr+1: sau khi thêm vẫn cân bằng

 Nếu hl=hr : sau khi thêm vẫn cân bằng

 Nếu hl=hr-1 thì sau khi thêm sẽ mất cân bằngcân bằng lại

– Tương tự nếu thêm nút vào Tl

Single Rotation-RR

RR rotation

Single rotation

LL

LL

Double rotation-LR

LR

Double rotation-RL

RL

Các định lý

 4 phép quay LL, RR, LR, và RL phủ toàn bộ các trường hợp cần phải cân bằng lại

 Trường hợp cây AVL trở nên mất cân bằng khi thêm một nút chỉ cần một phép quay để làm cho cây cân bằng lại.

 Trường hợp cây AVL trở nên mất cân bằng

khi Xóa một nút có thể cần tới O(log n) phép

quay để làm cho cây cân bằng lại (từ nút mất cân bằng đến gốc).

Xóa nút 4

4

AVL Trees Implementation in java

 See 3.6.1 chapter 3, Algorithm design, Goodrich

d-cây

 Cây đa phân: là cây mỗi nút có

từ hai con trở lên

 Cây có thứ tự: các nút có tt

 Nút v là d-nút: V có d≥2 nút con

 Cây tìm kiếm đa phân

(multi-way search tree) là cây có thứ

tự với các tính chất sau:

– Mỗi nút trong là một d-nút có ít nhất 2 nút con.

– Mỗi nút lưu trữ một tập hợp các phần tử dạng (k,x),

 k là khóa

 x là giá trị kết hợp với khóa

 Mỗi d-nút (có các nút con

v1, ,vd) sẽ lưu d-1 phần tử dạng (k1,x1), …, (kd-1,xd-1) và mỗi phần tử (k,x) lưu trong cây con gốc vi phải thỏa mãn: ki-1 ≤ k < ki

( k0= -∞ còn kd = +∞)

 Định lý: cây tìm kiếm đa phân chứa n phần tử

có (n+1) nút ngoài

B-Cây trong giáo trình GT của Nguyễn Văn Linh

Cây 2-3-4 hoặc cây (2,4)

 Cây (2,4) là 4-cây cân

bằng:

– Mỗi nút có tối đa 4 nút con

– Các nút lá cùng một độ sâu

3, 4

5, 12

156,10

 Ta luôn có thể giả sử phần tử bị xóa nằm tại nút v là lá

 Nếu phần tử bị xóa là pt thứ i của nút z, tức là (ki,xi), là nút trong, ta đổi (ki,xi) với một phần tử thích hợp:

– Tìm nút cực phải trên cây con thứ i của z, gọi đó là nút v

– Đổi chổ (ki,xi) với phần tử cuối cùng của v

 Việc xóa như trên:

– bảo toàn độ sâu

– Không bảo toàn điều kiện về số phần tử

 chuyển phần tử từ anh em (3-nút, 4-nút) sang, hoặc

 Kết hợp 2 nút

Hiệu quả của cây (2,4)

 Thêm, xóa, tìm một phần tử với thời gian O(logn)

Cây đỏ-đen

red – black trees

 Cây đỏ đen là cây TKNP với các nút được tô màu

số nút đen tiền bối)

 Định lý: Cây đỏ-đen chứa n nút sẽ có độ cao O(Logn)

Tương đương giữa cây đỏ đen và cây (2,4)

Thêm một phần tử vào cây đỏ đen

 Thêm phần tử có khóa x vào cây đỏ đen

– Tìm kiếm và thêm vào cây TKNP

– Tô màu: Đen nếu là ROOT, Đỏ ngược lại

– Như vậy:

Tính chất cân bằng “đen” bảo toàn

Tính chất nút đỏ có thể bị vi phạm : Cha nút mới có thể

là nút đỏ (double red)

– Gọi z là nút mới thêm, v là cha của z: Nếu v là nút

đỏ thì cha của v là u phải là nút đen Gọi w là sibling của v.

double red: Tô màu lại

Trường hợp 1: w là nút đen

10z

a,b,c là 3 nút theo thứ tự duyệt trung tự

double red: Tô màu lại

Trường hợp 1: w là nút đỏ

10z

u

3020

Ví dụ: đưa các nút 4,7,12, 15, 3, 5, 14, 18, 16,

17 vào cây đỏ đen

74

17

17

RB-INSERT(T, x){

BST-TREE-INSERT(T, x)

color[x] ← RED //only RB property 3 can be violated

while (x ≠ root[T] and color[p[x]] = RED) do {

Case 1

Là một cây đỏ đen hợp lệ (Gốc đen, các nhánh đều có cùng số nút đen)

Case 2, 3

Định lý

 Thêm một phần tử vào cây đỏ đen chứa n nút cần O(logn) phép recoloring và O(1) phép quay để cấu trúc lại cây.

Xóa một nút trên cây đỏ đen

 Tìm kiếm và xóa phần tử trên cây TKNP

– Ta luôn xóa nút lá hoặc nút chỉ có 1 nút con

– Gọi v là nút bị xóa, w là nút con ngoài của v, r là nút anh em của w, x là nút cha của v

 Xóa v và w, cho r là con của x

 Nếu v đen và r cũng đen:

– Sau khi xóa thì r được đặt màu “giả” double-black)

– Cấu trúc lại bộ 3 nút ( 3-nodes restructuring)

Trường hợp 1: nút y anh em của r là đen, nút y có một con màu đỏ (z) Gọi a,b,c là ba nút x,y,z theo thứ tự duyệt trung tự

Trường hợp 2: nút y anh em của r là đen, nút y có hai

Nếu x đen, tô màu lại thì x trở thành double

Trường hợp 3: nút y anh em của r màu đỏ

Adjustment: IF (y == right(x)) THEN z=right(y)

Then, apply case 1 or case 2 without reappearing double black

14

54

714

54

7

recoloring

Red Black Trees Implementation in java

 See 3.6.1 chapter 3, Algorithm design,

Goodrich