SKKN Ứng dụng phép biến hình trong mặt phẳng giải các bài toán tìm tập hợp điểm

Lý do chọn đề tài Trong chương trình hình học ở bậc THPT chúng ta đã biết các phép biến hình trongmặt phẳng như phép đối xứng qua một đường thẳng, phép đối xứng qua một điểm,phéptịnh tiế

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

“ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM”

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình hình học ở bậc THPT chúng ta đã biết các phép biến hình trongmặt phẳng như phép đối xứng qua một đường thẳng, phép đối xứng qua một điểm,phéptịnh tiến,phép vị tự ,phép đồng dạng ,việc làm quen ,sử dụng và lại ứng dụng được nó làmột điều hết sức khó khăn và học sinh rất ngại học phần này

Trong khi dạy học sinh ôn tập tôi đã chú trọng phân dạng và dạy cho học sinh nhữngdạng toán cơ bản về phép biến hình,với những đối tượng học sinh học giỏi tôi mạnh dạnđưa và dạng toán ứng dụng phép biến hình trong mặt phẳng giải các bài toán tìm tập hợpđiểm

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề tài “ứng dụng phép biến hình trong mặt phẳng giải các bài toán tìmtập hợp điểm " nhằm giúp học sinh có thêm cách giải các bài toán về tập hợp điểm tronghình học.Có nhiều bài toán về tập hợp điểm khó khăn ( thậm chí cảm giác không tìm racách giải) dặc biệt là lời giải một cách tự nhiên nhất ,thì lại giải quyết một cách đơn giảnbằng cách áp dụng phép biến hình Phát huy kĩ năng giải toán ,phát triển tư duy lôgic chohọc sinh đồng thời nâng cao chất lượng học tập của học sinh ,tạo được hứng thú học tậpmôn toán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Phép biến hình trong mặt phẳng là khái niệm mới và khó nên học sinh ngạinghiên cứu tuy ứng dụng của nó rất lớn nhưng học sinh học trong thời gian ngắn nênviệc áp dụng thành thạo các bài tập cơ bản đối với nhiều học sinh chưa được tốt

- Vì học sinh học phép biến hình chỉ nghĩ đơn thuần là nắm được định nghĩa và tínhchất nên khi áp dụng phép biến hình trong mặt phẳng vào giải các bài toán tập hợp điểm,học sinh gặp nhiều khó khăn

Vậy áp dụng như thế nào và có phổ biến trong mọi dạng toán hay không? Để giảiquyết hết mọi vấn đề thì khó nhưng trong những dạng tôi đã dạy các em đã phần nào trảlời được các câu hỏi đó

4 Đối tượng nghiên cứu

Ứng phép biến hình trong mặt phẳng để giải các bài toán tìm tập hợp điểm trongchương trình toán học THPT

5 Phạm vi nghiên cứu

Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức của bộ môn toán trung họcphổ thông, các tài liệu về phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng học sinh luyệnthi đại học ,cao đẳng và học sinh giỏi.

6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khao, sách tham khảo, cáctài liệu liên quan khác,

- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường PTTH Tiên Lữ

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN, THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

I.1 Cơ sở lý luận của vấn đề

Việc đưa các phép biến hình trong mặt phẳng vào giải các bài toán tìm tập hợpđiểm không chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những công cụ mới để giải toán à cong tậpcho học sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sựviệc và các hiện tượng xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi củachúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá,tạo cơ sở cho sự ra đời của những phát minh vàsáng tạo trong tương lai Ngoài ra có thể dựa vào một bài toán hình học cụ thể về tìm tậphợp điểm bằng phép biến hình ta còn có thể sáng tạo ra các bài toán khác nhau và đây làmột việc làm mang lại nhiều hứng thú trong việc tìm tòi, nghiên cứu hình học Hơn nữaviệc lựa chọn các công cụ thích hợp cho mỗi loại toán hình học khác nhau là một việclàm cần thiết giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian và công sức để giải các bài toán đómột cách có hiệu quả nhất

I.2 Thực trạng của vấn đề.

Phép biến hình là khái niệm mới và khó nên học sinh lười nghiên cứu, tuy ứngdụng của nó rất lớn nhưng học sinh học trong thời gian ngắn nên việc áp dụng thành thạocác bài tập cơ bản đối với nhiều học sinh chưa được tốt Trong quá trình ôn tập cho họcsinh tôi luôn quan tâm đến vấn đề này dạy cho học sinh hiểu bài không chỉ dạy lý thuyết

mà phải có áp dụng đi cùng Khi chọn đề tài này đã phần nào giúp học sinh tháo gỡ việcnhận thức học phần phép biến hình và có công cụ giải quyết được dạng bài tập về tập hợpđiểm

CHƯƠNG II DÙNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM

TẬP HỢP ĐIỂM

I Phép biến hình - Phép tịnh tiến và phép dời hình:

1 Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M trên mặt phẳng có thể xác địnhđược một điểm duy nhất M' thuộc mặt phẳng

2 Phép tịnh tiến theo vectơ u là phép biến hình biến điểm M thành điểm M' saocho MM                            ' u

3 Tính chất cơ bản của phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảngcách giữa hai chất điểm bất kì

4 Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểmbất kì Phép tịnh tiến là một phép dời hình

5 Phép dời hình có tính chất: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạnthẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tia thành tia, biến tam giác thành tam giác bằng nó,biến góc thành góc bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

6 Cho hai phép dời hình F và G, giả sử M là điểm phép biến hình F biến điểm Mthành điểm M' và phép biến hình G biến M' thành M" Khi đó phép biến hình biến điểm

M thành điểm M" được gọi là hợp thành của phép F và phép G

II Phép đối xứng trục:

1 Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểmM' đối xứng với M qua đường thẳng a Phép đối xứng qua đường thẳng a còn gọi là phépđối xứng trục Đường thẳng a gọi là trục của phép đối xứng

2 Phép đối xứng trục là một phép dời hình

3 Trục đối xứng của hình H là đường thẳng mà phép đối xứng qua đường thẳng đóbiến hình H thành hình H

III Phép quay và phép đối xứng tâm:

1 Trong mặt phẳng, cho điểm O và góc lượng giác  Phép quay Q0; tâm O góc quay

 là phép dời hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành điểmM' sao cho OM=OM' và (OM, OM')=

2 Phép quay là một phép dời hình

3 Khi = thì phép quay Q(O,) gọi là phép đối xứng qua điểm O, kí hiệu Đ0.Phép đối xứng qua điểm O còn gọi là phép đối xứng tâm

Phép đối xứng qua điểm O biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM OM                                           ' 0 

IV Hai hình bằng nhau:

1 Nếu ABC và A'B'C' là hai tam giác bằng nhau thì có phép dời hình biến tam giácnày thành tam giác kia

2 Hai hình H và H' gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hìnhkia

3 Phép vị tự biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|R

4 Tâm vị tự của hai đường tròn: đó là tâm của phép vị tự V biến đường tròn nàythành đường tròn kia Tâm vị tự đó gọi là tâm vị tự ngoài hay tâm vị tự trong tùy theo tỉ

số của phép vị tự là dương hay âm

Hai đường tròn có bán kính khác nhau thì có một tâm vị từ ngoài và một tâm vị tựtrong Hai đường tròn có bán kính bằng nhau ( tâm khác nhau) thì chỉ có tâm vị tự trong,

đó chính là trung điểm đoạn thẳng nối tâm hai đường tròn

5 Phép đồng dạng tỉ số k ( k>0) là phép biến hình biến hai điểm tùy ý M, N thànhhai điểm M’, N’ sao cho M’N’=kMN

6 Mọi phép đồng dạng F tỉ số k là hợp thành của một phép vị tự V tỉ số k và mộtphép dời hình D

7 Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình nàythành hình kia

Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B Một điểm M thay đổi

trên đường tròn (O) Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho:

'

MM MA MB

  

Giải: Ta có           MM                 '                MB MA AB               

Phép tịnh tiến T theo vecto AB biến M thành M’

Gọi O’ là ảnh của O qua phép tịnh tiến T, tức là OO ' AB

 

thìquỹ tích M' là đường tròn O' có bán kính bằng bán kính đường

tròn (O)

Bài toán 2:

Cho đường tròn (O) với đường kính AB cố định, một đường kính MN thay đổi Cácđường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q Tìm quỹ tích trực tâmcác tam giác MPQ và NPQ?

Vậy phép tịnh tiến T theo BA biến M thành H (

M không trùng A; M không trùng B) Quỹ tích

H là ảnh của đường tròn (O)

( không kể hai điểm A và B) qua phép tịnh tiến đó

Làm tương tự đối với trực tâm H' của NPQ

Bài toán 3:

Cho ABC, với mỗi điểm M ta dựng điểm N thỏa mãn: MN MA 2MB 3MC

   

Tìmtập hợp điểm N, khi M thay đổi trên một đường thẳng d

Bài toán 4:

Cho ABC cố định có trực tâm H Vẽ hình thoi BCDE, từ D và E vẽ các đườngthẳng vuông góc với AB và AC Các đường thẳng này cắt nhau tại điểm M Tìm quỹ tíchcủa điểm M

Giải

Tứ giác BCDE là hình thoi nên BC=CD, BC// ED H làtrực tâm ABC nên BH AC, ME  AC

BH

 // ME Suy ra HBC MED  

Tương tự: HC//DM và BC//ED HCB MDE 

Suy ra: HBCMDE CH                            DM

 Phép tịnh tiến T CH  D M

Ta có BC=CD nên điểm D chạy trên đường tròn (C) tâm C, bán kính R=BC

 điểm M thuộc đường tròn tâm H, bán kính R=BC là ảnh của đường tròn (C) qua phéptịnh tiến T CH

Giải

Dựng hình chữ nhật ABSQ

Ta có PRAB, PQAC và RAAQ

 ARPQ là hình chữ nhật Suy ra RBSP là hình chữnhật.

Gọi N là trung điểm cạnh BP thì MN//SQ và MN=12SQ

 MN//BA và MN=1

2BAĐặt u            12             BA               NM u

Phép tịnh tiến T u : N  MKhi PC thì ND là trung điểm cạnh BC

Khi P thay đổi trên cạnh huyền BC thì N cũng thay đổi trên đoạn thẳng BD thuộc cạnhhuyền BC

hay phép đối xứng tâm ĐI biến điểm M thành M' Vậy khi M chạy trên đường tròn (O;R)thì quỹ tích điểm M' là ảnh của đường tròn qua ĐI Nếu ta gọi O' là điểm đối xứng của Oqua điểm I thì quỹ tích của M' là đường tròn (O';R).

Bài toán 7:

Cho đường tròn (O) và ABC Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O) Gọi M1 làđiểm đối xứng của M qua A M2 là điểm đối xứng của M1 qua B, M3 là điểm đối xứngcủa M2 qua C Tìm quỹ tích điểm M3

Giải

Gọi D là trung điểm của MM3 thì ABCD là hình bình hành  điểm D cố định Vì phépđối xứng qua điểm D biến M thành M3 nên quỹ tích M3 là ảnh của đường tòn (O) quaphép đối xứng đó

Từ (1), (2) ta có AD//BC, AD=BC nên ABCD là hình bình hành

Ta có A, B, C cố định nên D cố định Xét phép đối xứng tâm D là ĐD

ĐD: M  M3 điểm M chạy trên đường tròn (O)

nên điểm M3 chạy trên đường tròn (O')

Với (O') là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D Vậy quỹ tích các điểm M3

Gọi H là giao điểm của d với AA’, ta có BH AA'

Gọi C là điểm đối xứng với A qua B, khi đó A C' //d, C cố định và A C' A A'  A’ nằmtrên đường tròn đường kính AC Đảo lại nếu A’ là điểm nằm trên đường tròn đường kính

AC thì đường thẳng d đi qua B và trung điểm của AA’ là trục đối xứng của hai điểm A vàA’

Bài toán 12:

Cho elip có hai tiêu điểm F1 và F2 Xét đường thẳng d có một điểm chung duy nhất

M với elip và F’ là điểm đối xứng với F2 qua d Tìm tập hợp F khi d thay đổi

Giải

Kí hiệu 2a là độ dài trục lớn của (E), theo định nghĩa MF1+MF2=2a Vì F’ đối xứng với

F2 qua d khi đó MF1+MF’= MF1+MF2=2a Điều đó chứng tỏ M nằm trên đường thẳng

F1F’ và tập hợp điểm F là một đường tròn tâm F1, bán kính bằng 2a

Bài toàn 13:

Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A, B

thuộc đường tròn Đường tròn (I,r) tiếp xúc ngoài vớiđường tròn (O;R) tại A Một điểm M di động trên

đường tròn (O;R), tia MA cắt đường tròn (I,r) tại điểmthứ hai C Qua C vẽ đường thẳng song song với ABcắt đường thẳng MB tại D Tìm quỹ tích của điểm D

Giải

Gọi E là giao điểm của CD với (I;r)

Vẽ tiếp tuyến chung của (O;R) và (I;r) là xt

Ta có ABM xAM ; CEA=tAC   và xAM tAC

ABM EDB do (CD//AB)

 CEA EDB   nên tứ giác ABDE là hình thang cân

Gọi d là đường trung trực đoạn thẳng AB thi d cũng là đường trung trực của đoạn EDPhép đối xứng Đd: E  D

Khi M di động trên đường tròn (O;R) thì E di động trên đường tròn (I;r) nên quỹ tíchđiểm D là đường tròn (I';r) ảnh của đường tròn (I;r) qua phép đối xứng Đd Do đường tròn(I;r) tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại A nên đường tròn (I';r) tiếp xúc với đường tròn(O;R) tại B

Khi A chạy trên đường tròn (O) thì K cũng chạy trên đường tròn (O)

Quỹ tích điểm H là đường tròn (O), ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng trục BC

C Tìm tập hợp điểm bằng phương pháp quay Q O  ; :

Phương pháp:

1 Xác định phép quay biến điểm M thành M'

2 Xác định quỹ tích của điểm M

3 Dựa vào tính chất phép quay để tìm quỹ tích của điểm M'

Phép quay Q tâm I góc quay 900 biến A thành B( hoặc thành D), phép quay Q' tâm

I góc quay - 900 biến A thành D ( hoặc thành B) Vậy quỹ tích B và D là ảnh của (O) quahai phép quay đó

Phép quay tâm G góc quay 1200 biến A thành B ( hoặc C)

Phép quay tâm G góc quay 2400 biến A thành C ( hoặc B)

Vậy quỹ tích B và C là ảnh của đường thẳng a qua hai phép quay nói trên

Bài toán 17

Cho đường thẳng d, điểm A cố định không nằm trên d Với mỗi điểm Bd ta dựngtam giác đều ABC Tìm tập hợp điểm C khi B thay đổi trên đường thẳng d

Giải

Từ điều kiện bài toán ta suy ra C là ảnh của B qua phép quay tâm A với góc quay

600 Tập hợp điểm C là ảnh của d qua phép quay đó

Bài toán 18

Cho điểm I cố định Mọi M, M' là hai điểm sao cho IMM' vuông cân tại I

a) Cho điểm M chạy trên đường tròn (O) Tìm quỹ tích các điểm M'

b) Cho điểm M chạy trên đường thẳng d Tìm quỹ tích các điểm M' Gọi H là hìnhchiếu của I xuống MM' Tìm quỹ tích các điểm H

Giải

IMM' vuông cân tại I nên IM=IM' và IM IM , ' 900

Suy ra M' là ảnh của M qua phép quay tâm I, góc quay 900 Tức là Q(I,900): M  M'

Kẻ IH MM'  MIH  45 0( Do IMM' vuông cân tại I )

Suy ra tứ giác IJMH nội tiếp đường tròn đường kính MI

D Tìm tập hợp điểm bằng phép vị tự:

Phương pháp:

1 Xác định phép vị tự biến điểm M thành điểm M'

2 Tìm quỹ tích của điểm M

3 Dựa vào tính chất của phép vị tự để tìm quỹ tích của điểm M'

Gọi I là trung điểm của BC thì I cố định

Điểm G là trọng tâm ABC khi và chỉ khi IG              13              IA

Phép vị tự tâm I tỉ số 1

Khi A chạy trên (O;R) thì quỹ tích g là ảnh của đườngtròn đó qua phép vị tự V, tức là đường tròn (O',R')

Gọi V là phép vị tự tâm I tỉ số k d

d R



 thì V biến điểm M thành điểm N Khi M ở vị trí

M0 trên đường tròn (O;R) sao cho  0

0 0

IOM  thì tia phân giác của góc 

0

IOM cắt IM Điểm

N không tồn tại Vậy khi M chạy trên (O;R) (M không trùng M0) thì quỹ tích điểm N làảnh của (O;R) qua phép vị tự V bỏ đi ảnh của điểm M0

Bài toán 21

Cho đường tròn (O) có đường kính AB Gọi C là điểm đối xứng với A qua B và PQ

là đường kính thay đổi của (O) khác đường kính AB Đường thẳng CQ cắt PA và PB lầnlượt tại M và N

a) CMR: Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ

b) Tìm quỹ tích các điểm M và N khi đường kính PQ thay đổi

 Quỹ tích N là ảnh của đường tròn (O) qua phép vị tự V tâm

C, tỉ số 1

2( trừ ảnh của A, B)

Bài toán 22

Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định Một dây cung BC thay đổi của (O;R) có

độ dài không đổi, BC=m Tìm quỹ tích các điểm G sao cho GA GB GC   0

   

Giải

Gọi I là trung điểm của BC

2 0

vuông OIB: OI= 2 2 2 2

' 4

a) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng PP'

b) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MM'

Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn (C') ảnh của (C) qua phép vị tự V Nếu O' là điểmsao cho PO' 2  PO

 N là ảnh của M qua phép vị tự tâm I, tỉ số k=-5

Vậy tập hợp N là đường thẳng d’ nhận được từ d qua phép vị tự đó

Gọi E, F lần lượt là giao điểm của MQ, MP với AA1, BB1

G là trọng tâm ABC Khi đó: