SKKN Một số kinh nghiệm dạy khoảng cách trong Hình học không gian bậc THPT

- Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao và cơ bản đều viết bài "KHOẢNG CÁCH" rất đơn giản nhưng bài tập yêu cầu với học sinh thì lại không đơn giản đối với học sinh.Nếu người dạy chỉ đưa r

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

“MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẬC THPT”

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I - Lí do chọn đ ề tài:

- Hình học không gian là môn học khó đối với nhiều học sinh phổ thông Nhiều học

sinh thấy khó và trở nên chán nản khi học môn học này Các em đó hầu như phát biểurằng: "Trong giờ lí thuyết em hiểu bài nhưng lại không áp dụng lí thuyết vào để tự làmđược bài tập" Vì vậy, khi dạy học sinh phần hình học không gian, người giáo viên đặcbiệt phải quan tâm, kiên nhẫn hướng dẫn các em từng bước cách tìm ra hướng giải chotừng loại bài toán và để các em tự làm được chứ không áp đặt kết quả hoặc cách làm chohọc sinh

- Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao và cơ bản đều viết bài "KHOẢNG CÁCH"

rất đơn giản nhưng bài tập yêu cầu với học sinh thì lại không đơn giản đối với học sinh.Nếu người dạy chỉ đưa ra định nghĩa như sách giáo khoa và cho học sinh làm bài tập ví

dụ thì chắc chắn không nhiều học sinh có thể làm được Nếu dạy hết các định nghĩatrong các mục 1, 2, 3 sau đó cho học sinh làm bài tập áp dụng trong mục 4 thì học sinh sẽrất lúng túng Học sinh lúng túng khi tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P):

nó sẽ nằm trên đường thẳng nào? tại sao? ( Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)

(hoặc đến đường thẳng V) là khoảng cách giữa hai điểm M và H , trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P) (hoặc trên đường thẳng V - Định nghĩa 1- SGK Hình

học nâng cao 11 - trang 113)

- Trong cấu trúc đề thi Đại học- cao đẳng cũng như tốt nghiệp hiện nay luôn có 1câu hình học không gian và “khoảng cách” là vấn đề rất hay được hỏi đến trong các đề thinày Điều này cũng làm cho không ít học sinh và giáo viên lo lắng

- Toán học là môn khoa học rèn luyện tư duy cho học sinh và hình học không gian làmột chương rất tốt để thực hiện nhiệm vụ này

Xuất phát từ những lí do trên, tôi đã chọn đề tài: MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “ KHOẢNG CÁCH ” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

II - Nhiệm vụ và phạm vi đ ề tài:

- Nêu hướng giải quyết các bài toán tìm khoảng cách trong không gian:

+ Khoảng từ 1 điểm đến 1 đường thẳng+ Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song + Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

- Mở rộng bài toán khoảng cách

Từ các bước cụ thể , học sinh có thể tiến hành bước đầu làm được các bài tập trong SGK,sau đó sẽ làm được những bài toán trong các đề thi Đại học có liên quan đến vấn đềkhoảng cách

III- Kế hoạch nghiên cứu

Năm 2006, dạy lớp 11 thí điểm phân ban Dạy tới bài khoảng cách tôi đã soạn bàirất kĩ theo SGK và hướng dẫn của SGV Học sinh của tôi trong giờ lí thuyết rất tập trung

và tôi cảm thấy các em hiểu bài Nhưng đến giờ bài tập rất ít học sinh làm được các bàitập trong SGK Các em đều kêu khó Tôi rất băn khoăn suy nghĩ: khi giảng cách làm chocác em thì các em hiểu, nhưng cho tự làm bài các em lại thấy khó Vậy phải làm thế nàocho học sinh có hướng suy nghĩ cách giải quyết cho toán? Từ đó tôi suy nghĩ và hìnhthành chuyên đề này

IV- Ph ươ ng pháp nghiên cứu

 Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập ở một số trường trong tỉnh

 Nghiên cứu tài liệu

V- Thời gian hoàn thành

Sau năm học thí điểm, tôi vừa làm vừa rút kinh nghiệm thực tế khi giảng dạy chonhững lớp khác nhau Một năm học sau tôi đã hoàn thiện được đề tài

PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ PHÁP LÍ CỦA ĐỀ TÀI

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng V) là khoảngcách giữa hai điểm M và H , trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P) ( hoặctrên đường thẳng V - Định nghĩa 1- SGK Hình học nâng cao 11 - trang 113)

2- Khoảng cách giữa một đường thẳng và 1 mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song:

K B

P)

H A

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách

từ 1 điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P) ( Định nghĩa 2 SGK Hình học nâng cao 11 trang 113)

-Q)

K B

P)

H A

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm bất kì củamặt phẳng này đến mặt phẳng kia ( Định nghĩa 3- SGK Hình học nâng cao 11 - trang114)

3- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

J

I

c

b a

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là độ dài đoạnvuông góc chung của hai đường đó ( Định nghĩa 4 - SGK Hình học nâng cao 11 - trang115)

-khoảng cách giữa hai đường chéo nhau a và b bằng kc giữa a và mp (P) chứa b vàsong song với a

II- Cơ sở pháp lí

Vì phương pháp này hoàn toàn dùng các định lí, các tính chất, đã được học, đượcchứng minh trong SGK nên học sinh được sử dụng trong các kì thi

CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

Như đã trình bày ở trên, HÌNH HỌC KHÔNG GIAN là bài toán khó, đặc biệt làbài toán khoảng cách Nhiều học sinh không biết bắt đầu từ đâu, dùng phương pháp nào,tại sao lại nghĩ đến kẻ đường này, vẽ đường kia Một số học sinh khá hơn thì mày mòtìm ra được cách giải bài toán theo kiểu thử sai, có khi được khi không Một số học sinhkhác gần như không có “ lối đi” cho loại bài toán này Đề tài này mong muốn giúp các

em từng bước giải quyết vấn đề trên

CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ

TÀI

I - Biện pháp thực hiện

- Bổ sung, hệ thống các kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt: quan hệ song song,vuông góc trong không gian

- Xây dựng các bước tính từng loại khoảng cách

- Hướng dẫn một số bài toán khoảng cách trong SGK theo các bước trên

-Sau mỗi bài toán đều có nhận xét, củng cố, chỉ ra những sai lầm dễ gặp của học sinh vàphát triển mở rộng (nếu có thể) giúp học sinh ghi nhớ và phát triển tư duy năng lực sángtạo

-Sử dụng phương pháp phù hợp với hoàn cảnh thực tế, tạo hứng thú đam mê phươngpháp mới cho các em

-Kiểm tra đánh giá để rút kinh nghiệm có phương pháp phù hợp hơn

II- Nghiên cứu thực tế

1- Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng và đến một đường thẳng.

1.1- Khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng

Phần này chỉ lưu ý học sinh: muốn tính được độ dài của đoạn MH, người ta thườngxem nó là chiều cao của tam giác MAB (với A, B thuộc đường ) Nếu tam giác MABvuông tại M thì tính độ dài MH như thế nào? có thể nhớ lại hệ thức trong tam giác vuông:

A

MM

Tiếp đó, giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại 3 tính chất của 2 mặt phẳng vuônggóc Hỏi học sinh: tính chất nào có thể sử dụng trong việc kẻ đường vuông góc xuốngmặt phẳng Học sinh sẽ phát hiện ra tính chất 2 ( hai mặt phẳng vuông góc với nhau theogiao tuyến d, trong mặt này kẻ đường thẳng a vuông góc với d thì a sẽ vuông góc với mặtphẳng kia).

Từ đó giáo viên cho học sinh ghi nhớ " Các bước xác định khoảng cách từ 1 điểm

M đến 1 mặt phẳng (P)" như sau:

+ Tìm mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (P)

+ Tìm giao tuyến a của (P) và (Q)

+ Trong (Q), kẻ MH vuông góc với a Khi đó d(M;(P)) = MH

Ví dụ 2 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB =a, AD = b, AA' = c Tính

khoảng cách từ B đến (ACC'A')

H

D'

C' B'

GV yêu cầu mỗi học sinh làm 1 bước (theo các bước đã hướng dẫn)

+ Tìm mặt phẳng qua B và vuông góc với (ACC'A'): đó là mặt phẳng (ABCD) vì

mp (ABCD) vuông góc với AA' nên vuông góc với (ACC'A'))

+ Giao tuyến của (ABCD) và (ACC'A'): là AC.

+ Trong mặt (ABCD), kẻ BH vuông góc với AC (H thuộc AC), thế thì BH vuông

góc với (ACC'A') Vậy d(B; (ACC'A')) = BH

+ BH là đường cao của tam giác nào? HB là đường cao của tam giác vuông ABC

BH

BH BA BC   a b

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a Gọi

M là trung điểm của AB Tính khoảng cách từ M đến (SCD)

Yêu cầu mỗi học sinh làm 1 bước

+ Mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (SCD): Lưu ý học sinh chọn mp (Q) chỉcần vuông góc với 1 đường của (SCD) Trong các đường của (SCD) hiện nay thấy DC cóliên quan nhiều đến quan hệ vuông góc hơn Yêu cầu hs đọc những đường vuông góc với

CD Từ đó hs phát hiện ra mp (SNM) vuông góc với CD (N là trung điểm của CD), hay(SNM) vuông góc với (SCD)

+ Giao tuyến của (SCD) và (SMN) là: SN

+ Trong (SMN): kẻ MH vuông góc với SN (H thuộc SN) thì MH vuông góc với

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài tập 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và có độ dài lần lượt là

a, 2a, 3a Tính khoảng cách từ O đến mp (ABC)

Bài tập 2: Hai tia chéo nhau Ax, By hợp với nhau góc 600 nhận AB làm đoạn vuông gócchung Trên By lấy C sao cho BC =a

b) Chứng minh rằng AB vuông góc với (ACC’A’) và tính k/c từ A’ đến (ABC’)

Bài tập 4: Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a SA vuông góc với

(ABCD) SA=2a (P) qua BC và cắt SA, SD theo thứ tự tại E, F.Biết AD cách (P) một

2

a Tính khoảng cách từ S đến (P) và tính diện tích của tứ giác BCFE

Bài tập 5: Hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy

bằng 600 M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB Tính k/c giữa AB và (CMN)

2- Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.

2.1- Khoảng cách giữa 1 đường thẳng và một mặt phẳng song song

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a Tính

khoảng cách giữa AB và mp(SCD)

Hầu như học sinh đều đổi khoảng cách giữa AB và mp(SCD) thành khoảng cách từ

A (hoặc B) đến (SCD) Sau đó tiến hành theo các bước tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1mặt phẳng Nhưng việc dựng mặt phẳng qua A và vuông góc với (SCD) là hơi phức tạpđối với một số học sinh, một số khác dựng được mặt phẳng này nhưng hình vẽ rất rối

Giáo viên gợi ý cho học sinh: đã có sẵn 1 mặt phẳng vuông góc với (SCD) (theo ví

dụ 3), đó là mặt nào? từ đó gợi ý cho em đổi khoảng cách phải tìm thành khoảng cách từđiểm nào tới (SCD)?

Qua ví dụ cụ thể trên học sinh có thể dần hình thành " các bước làm để tính khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song" như sau:

+ Tìm mặt phẳng (Q) vuông góc với (P)

+ Tìm điểm chung M của (Q) và a (nếu a song song với (Q) thì đổi (Q) thành (Q')chứa a và song song với (Q))

+ Tìm giao tuyến () của (P) và (Q)

+ Trong (Q): kẻ MH   (H ) Khi đó MH (P) và d(a; (P)) = d(M;(P)) = MHNếu là theo các bước đó thì ta dễ dàng biết được khoảng cách trong ví dụ 4 nên đổithành khoảng cách từ M ( trung điểm của AB) đến (SCD) chứ không nên đổi thành kc từ

Yêu cầu mỗi hs l àm 1 bước:

+ t ìm mp vu ông g óc v ới (A’DC’): Ta tìm mp vuông góc với A’C’ Đó là mp(BDD’B’) Hai mp (A’DC’) và (BDD’B’) có giao tuyến DO ( O là tâm A’B’C’D’) Trong

mp (DBB’) kẻ B’H vuông góc với DO thi B’H vuông góc với (DA’C’) khoảng cáchphải tìm là B’H

Để tính độ dài B’H :2.dt tam giác DB’O = B’H.OD = DD’.B’O

2.2 - Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Các bước làm được tiến hành tương tự khoảng cách giữa đường thẳng và mặtphẳng song song

Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Tính khoảng cách giữa hai mặt

+ Giao tuyến của (A'C'D) và (BDD'B'): là DO

+ Điểm chung của (BDD'B') và (ACB') thuộc đường B'I

+ Trong (BDD'B'), kẻ B'H DO thì khoảng cách phải tìm là B'H

+ B'H là đường cao của tam giác B'OD Từ đó có hướng tính:

' ' '

B H OD DD B O

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài tập 1: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, cạnh bên 2a M, N lầ lượt là

trung điểm của AB, AC Tính khoảng cách giữa BC và (NMC’)

Bài tập 2: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều AB =2a; BC= CD=DA

=a SA vuông góc với mp (ABCD) SA =2a Tính khoảng cách giữa

a) CD và (SAB)

b) giữa AB và (SCD)

c) giữa BC và (SDO) với O là trung điểm của AB

d) Gọi (P) là mp song song và cách (SAB) một khoảng là 3

4

a Tính diện tích củathiết diện tạo thành do cắt hình chóp bởi mp(P)

Bài tập 3: Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD) Tứ giác ABCD là hình

vuông cạnh a SA =2a M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD Chứng minh rằng MN //(SBD) và tính k/c giữa MN và (DBS)

3- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Sau khi đưa ra định nghĩa khoảng cách giữa hai đường chéo nhau (độ dài đoạn vuông gócchung)

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA(ABCD), SA

=a Xác định đoạn vuông góc chung của SA và BC; SA và DB; SA và d (trong đó d làđường thẳng nằm trong mp (ABC) và không đi qua A

Học sinh có thể dễ dàng tìm được đoạn vuông góc chung của SA và BC, đó là AB Của

SA và BD đó là AO Vậy muốn dựng được đoạn vuông góc chung của SA và d thì làmthế nào? Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với d, nó cắt d tại H Khi đó đoạn AH là đoạnvuông góc chung của SA và d

Một cách tổng quát, muốn dựng được đoạn vuông góc chung của hai đường chéo nhau và vuông góc với nhau thì làm thế nào?

3.1- Nếu hai đường chéo nhau a và b mà vuông góc với nhau:

N M

b a

P)

Yêu cầu hs nói cách dựng đường vuông góc chung của a và b vông góc và chéo nhau?

+ Tồn tại mp (P) chứa b và vuông góc với a

+ (P) cắt a tại M

+ Kẻ MN b (N thuộc b), MN chính là đường vuông góc chung của a và b

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA(ABCD), SA

=a Tính khoảng cách giữa SB và AD; giữa DB và SC

*) Khoảng cách giữa SB và AD

- Hai đường này có vuông góc không? tại sao?

- Khi học sinh trả lời đúng câu hỏi trên thì có thể tiến hành tìm được đoạn vuông gócchung của hai đường

+ AD vuông góc với SB (vì AD vuông góc với (SAB) ) Từ đó suy ra có mặt phẳngchứa SB và vuông góc với SD, đó là (SAB)

N

H M

O

D

C B

A

S

+ AD cắt (SAB) tai A

+ Kẻ AM vuông góc với SB.Khi đó AM là đoạn vuông góc chung của AD và SB.+ Hs dễ dàng tính được AM vì nó là đường cao của tam giác vuông SAB

*) Khoảng cách giữa DB và SC

+ Có mp chứa SC và vuông góc với BD, đó là (SAC)

+ (SAC) cắt BD tại O là trung điểm của BD

+ Kẻ OK vuông góc với SC Khi đó OK là đoạn vuông góc chung của SC và BD.+ OK là đường cao của tam giác SOC nên: OK SC = SA OC

3.2- Nếu hai đường chéo nhau a và b mà không vuông góc với nhau:

Việc xác định đường vuông góc chung không cần thiết cho bài toán tính khoảngcách này Ta đổi khoảng cách phải tìm thành khoảng cách giữa a và mp(P) ( trong đó (P)chứa b và vuông góc với a).(sgk trang 115 -hình học 11 nâng cao)

Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a Tính

Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính k/c giữa AA’ và DB; giữa

AC’ và BD; giữa AI và D’C’ ( với I là tâm mặt DCC’D’)

- kiểm tra xem hai đường có vuông góc không Dễ thấy AA’ và BD vuông góc vìAA’ vg với (ABCD) Yêu cầu hs thực hiện theo đúng các bước Kết quả k/c thứ

+ Mp (BCC’) vuông góc với BA nên (BCC’) vuông góc với (BAPM)

+giao tuyến của (BCC’) và (BAPM) là BM

+Trong mp (BCC’) kẻ đường C’H vuông góc với BM thì nó vuông góc với(BAPM) Khoảng cách phải tìm là C’H.

+Muốn tính độ dài của C’H, ta tính nhờ diện tích của tam giác BMC’:

BM C’H= BC MC’ Từ đó suy ra k/c phải tìm là:

2

55

C

B A

Do lăng trụ đều nên các cạnh bên vuông góc với đáy AB’ có hình chiếu trên đáy là

AB nên góc giữa AB’ và đáy là B’AB = 600

K/c giữa AA’ và BC’ bằng k/c giữa AA’ và mp(BCC’B’) Mp( ABC) vuông gócvới (BCB’) theo giao tuyến BC nên từ A kẻ AH vuông góc với BC thì AH vuônggóc với (BCC’) K/c phải tìm là AH bằng 3

3



Ví dụ 12: (Áp dụng cho các lớp khá và giỏi) Hình chóp SABC có SA vuôg góc với

(ABC) Tam giác ABC vuông tại B SA =AB =BC =a Tính k/c giữa các cạnh đốidiện của tứ diện