SKKN Rèn luyện kĩ năng giải toán ứng dụng định lí Vi-ét

Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán để vận dụng kiến thức đã học vào giải toán thực tế cuộc sống.. Nội dung kiến thức toán học được trang bị cho học sinh t

1 Phần mở đầu

1.1 Lí do chọn sáng kiến kinh nghiệm:

Toán học là môn học có vị trí quan trọng trong chương trình trung học cơ sở,

là nền tảng cho các môn học khoa học tự nhiên cũng như các môn khoa học xã hội Toán học không chỉ cung cấp cho con người những kĩ năng tính toán cần thiết, mà còn rèn luyện cho con người một khả năng tư duy lôgíc, một phương pháp luận khoa học

Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán để vận dụng kiến thức đã học vào giải toán thực tế cuộc sống Nội dung kiến thức toán học được trang bị cho học sinh trung học cơ sở ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải một số bài toán, nhưng để nắm vững cách giải một dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo và kinh nghiệm

đã tích luỹ được để giải quyết các bài tập có liên quan Thông qua việc giải bài tập các em được rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập, kĩ năng trình bày, kĩ năng sử dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng dạy học Do đó nâng cao năng lực tư duy, óc tưởng tượng, sáng tạo, rèn khả năng phán đoán, suy luận của học sinh

Các bài toán ứng dụng hệ thức Vi – ét có một vị trí quan trọng trong chương trình dạy học toán trung học cơ sở Chính vì vậy bài toán này thường xuyên có mặt trong các kì thi học sinh giỏi lớp 9, cũng như trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10

Qua nhiều năm dạy toán lớp 9, tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức Viét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức Viét vào giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Viét có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán Tôi rất quan tâm vấn đề này chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên cứu và hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này Với thời gian hạn chế và mong muốn nghiên cứu sâu hơn nên sáng kiến kinh nghiệm này chỉ tập trung vào vấn đề:

“Rèn luyện kĩ năng giải toán ứng dụng định lí Vi-ét”

1.2 Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Có rất nhiều nguyên nhân đưa lại sự thành công của một tiết dạy, nhưng nguyên nhân chủ yếu là cách truyền thụ kiến thức của giáo viên Mỗi giáo viên lại

có một phương pháp truyền thụ kiến thức khác nhau Sau nhiều năm giảng dạy môn toán nói chung và môn toán 9 nói riêng, bản thân tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm trong giảng dạy, như giảng dạy một số chuyên đề, đặc biệt là chuyên

đề sử dụng định lí vi-ét để giải một số bài tập đại số lớp 9 khá thành công Điểm mới ở đây là hướng dẫn cho học sinh có được kĩ năng giải một số dạng toán ứng dụng định lí Vi-ét, giúp các em giải toán nhanh hơn và học tập tốt hơn

1.3 Phạm vi áp dụng sáng kiến

- Học sinh khối 9 Trường THCS

- Giáo viên trường THCS

2 Phần nội dung

2.1 Thực trạng của nội dung cần nghiên cứu.

Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán bản thân tôi nhận thấy rằng còn nhiều học sinh học yếu môn này Một số em còn coi nhẹ việc giải toán ,trong giờ học ít chịu suy nghĩ, tìm tòi lời giải Các bài toán về những ứng dụng hệ thức Vi - et rất phương phú đa dạng, nó đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức, cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư duy

Học sinh vận dụng những ứng dụng của hệ thức Vi - ét như: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai trong các trường hợp a + b + c = 0;a - b + c = 0, hoặc các trường hợp mà tổng và tích của hai nghiệm là những số nguyên với giá trị tuyệt đối không quá lớn Tìm được hai số biết tổng và tích của chúng Biết cách biểu diễn tổng các bình phương, các lập phương của hai nghiệm qua các hệ số của phương trình còn lúng túng, khó khăn trong quá trình vận dụng vào giải các bài toán có liên quan

Những ứng dụng của hệ thức Vi – ét đối với học sinh THCS là khó và mới các em thường gặp khó khăn trong việc đi tìm lời giải của bài toán này; có những bài toán các em không biết bắt đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì trong chương

trình đã học? Làm thế nào để tìm được giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện của bài toán ấy?

Với những thực trạng như vậy tôi đã đi sâu tìm hiểu và nhận thấy rằng có thể là do những nguyên nhân sau:

+ Học toán thực chất là giải toán, nếu giáo viên không khéo léo khi giảng dạy sẽ làm cho học sinh nhàm chán, thụ động và máy móc khi vận dụng

+ Một số giáo viên chưa chủ động về kiến thức, khả năng phân tích, khai thác bài toán còn hạn chế

+ Giáo viên thiếu những điều kiện thuận lợi thiếu thời gian để phân tích, tìm tòi lời giải, hệ thống bài toán giáo viên đưa ra còn dàn trãi không mang tính đặc trưng +Trình độ nhận thức của các em còn chậm và không đồng đều cùng với điều kiện học tập chưa tốt cũng ảnh hưởng nhiều đến hoạt động dạy-học

2.2 Các giải pháp

Trước khi giải bài tập cần yêu cầu học sinh học kỹ lí thuyết, nắm chắc định lí Vi-ét và các hệ quả của định lí Vi-ét

Muốn học sinh làm được các bài tập ứng dụng định lí Vi-ét thì giáo viên cần phải hệ thống, chia nhỏ thành các dạng bài tập ứng dụng riêng, mỗi dạng học sinh được học theo chuyên đề nhằm khắc sâu kiến thức , phương pháp và kĩ năng làm bài

Các dạng bài tập ứng dụng định lí Vi-ét đưa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp với trình độ học sinh Qua mỗi dạng cần cho học sinh tự nêu ra được kiến thức kiến thức cơ bản, kỹ năng cần rèn luyện của dạng đó nhằm giúp các

em hiểu bài và thành thạo kỹ năng làm bài

Minh họa về thiết kế và điều hành tổ chức các hoạt động dạy học

I Một số vấn đề lý thuyết

1 Hệ thức Vi – ét:

- Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai : ax + bx + c = 0 a 0 2   

thì

1 2

b

x x

a c

x x

a



 







Hệ quả 1: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 a 0 2    có a + b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm x 1 1 còn nghiệm kia là 2

c x a



Hệ quả 2: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 a 0 2    có a - b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm x 1 1 còn nghiệm kia là 2

c x a



2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x2  Sx P  0

Thật vậy: Các số u; v nếu tồn tại là các nghiệm của phương trình:

x - u x - v = 0    x - u+v x + u.v = 02    x - Sx + P = 0 2

Như vậy khi biết tổng và tích hai số thì ta sẽ tìm được hai số đó thông qua việc giải phương trình bậc hai Điều kiện để có hai số là: S - 4P 0 2 

II Ứng dụng của hệ thức Vi-ét vào giải các bài tập

Dạng I: Ứng dụng hệ thức Vi-ét vào việc nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

2

ax + bx + c = 0 a 0  khi biết các hệ số a; b; c.

Hệ quả 1: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 a 02    có a + b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm x 1 1còn nghiệm kia là x2 = c

a

Hệ quả 2: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 a 0 2    có a - b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm x1 = - 1 còn nghiệm kia là x2 = - c

a

Chú ý: Nếu phương trình 2  

ax + bx + c = 0 a 0  có 1 2

b

x x

a

  và 1 2

c

x x a

 thì x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình

Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm của phương trình ( Bài 31 - SGK Toán 9 - Trang

54)

a) 2

- 5x + 3x + 2 = 0 b) 2

2008x + 2009 x + 1 = 0 c) 3x - 1 - 3 x - 1 = 0 2   d) m - 1 x - 2m + 3 x + m + 4 = 0 2  

Hướng dẫn cách giải:

- Muốn giải phương trình trên ta làm như thế nào ?

- Học sinh nêu cách làm là dùng công thức nghiệm để giải các phương trình này

- Có em đã phát hiện cách làm là vận dụng hệ thức Vi – ét vào tính nhẩm các nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 a 0 2    có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 1 còn nghiệm kia là 2

c x a

 hoặc a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 1còn nghiệm kia là 2

c x a



- Khi đó các em đều nhận thấy cách vận dụng hệ thức Vi– ét vào nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai các em đã trình bày lời giải như sau:

Giải:

a) - 5x2 + 3x + 2 = 0 (a = - 5; b = 3; c = 2)

Vì a + b + c =  5+ 3 + 2 = 0  phương trình có hai nghiệm là x1 = 1; x2 = 2

5

 b) 2008x + 2009 x + 1 = 0 2 (a = 2008; b = 2009; c = 1)

Vì a - b + c = 2008 - 2009 + 1 = 0  phương trình có hai nghiệm là: x 1 1;

2

1

2008

3x - 1 - 3 x - 1 = 0 a  3; b = - 1 - 3 ; c = - 1  

Vì a b c   3- - 1 - 3 + - 1      0

 phương trình có hai nghiệm là: x 1 1; 2

x   

d) m - 1 x - 2m + 3 x + m + 4 = 0 2   a m - 1 ;b = - 2m + 3 ; c = m + 4   

Với m 1 ta có a + b + c = m - 1  - 2m + 3 + m + 4 = 0   

 phương trình có hai nghiệm là: x 1 1; 2

x

Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm các phương trình sau:

a, x2 + 7x + 12 = 0 b, x2 - 7x + 12 = 0 c, x2 -11x + 28 = 0

d, x2 – 12x + 35 = 0 e, x2 + 10x + 21 = 0

Giải

a, Ta có (-3) + (-4) = -7 và (-3)(-4) = 12 nên phương trình có hai nghiệm là x1 = -3; x2 = -4

b, Ta có 3 + 4 = 7 và 3.4 = 12 nên phương trình có hai nghiệm là x1 = 3; x2 = 4 Các phần c,d,e tương tự học sinh có thể nhẩm

Sau khi tính được nghiệm của phương trình xong tôi đã yêu cầu các em sử dụng máy tính bỏ túi Casio giải phương trình để kiểm tra các nghiệm vừa tìm được

ở phần a và b

Lưu ý:

- Khi giải một phương trình bậc hai ta cần chú ý vận dụng hệ thức Vi-ét để tính

nhẩm nghiệm của phương trình nếu có thể Nếu không tính nhẩm được nghiệm của phương trình thì ta mới dùng công thức nghiệm để giải

- Việc vận dụng hệ quả của hệ thức Vi-ét và tính toán cho phép tính nhanh chóng nghiệm của phương trình

Dạng II: Ứng dụng của hệ thức Vi-ét vào việc tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x - Sx + P = 0 2 Điều kiện để có hai số là:

2

S - 4P 0 

Ví dụ 1: a) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.

b) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng bằng 5

Hướng dẫn cách giải:

Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180

Tức là ta cần tìm 2 số x1 và x2 biết 1 2

1 2

27 180

x x

x x

 







 Nếu áp dụng hệ thức Vi-ét đảo thì

1

x và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc hai x - 27x + 180 = 0 2 ta có lời giải như sau:

Giải:

a) Vì 2 số cần tìm có tổng bằng 27 và tích bằng 180

Nên 2 số là nghiệm của phương trình: x - 27x + 180 = 0 2

Ta có:  = 27 - 4.1.180 = 729 - 720 = 9 > 0 2    9 3 

 phương trình có 2 nghiệm 1

27 3

15 2

x    ; 2

27 3

12 2

x   

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12

b) Vì 2 số cần tìm có tổng bằng 1 và tích bằng 5, Nên 2 số là nghiệm của phương trình:

x - x + 5 = 0 2

Ta có:  = -1 - 4.1.5 = 1- 20 = - 19 < 0 2  phương trình trên vô nghiệm Vậy không có hai số nào thoả mãn điều kiện đề bài

* Khai thác ví dụ 1 tôi nêu ra ví dụ sau:

Ví dụ 2:

a) Tìm các cạnh của hình chữ nhật biết chu vi là 100 m và diện tích bằng 621 m2 b) Tìm các cạnh của hình chữ nhật có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32cm2 Hướng dẫn cách giải:

- Bài toán cho biết gì ? cần tìm gì?

- Nếu gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có điều gì? 2.  100

621

a b

a b

   

- Vậy a b a b. 62150



 thì a và b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai nào? (

2

x - 50x + 621 = 0)

Với gợi ý trên tôi cho các em thảo luận 5 phút và đại diện 1 em trình bày lời giải Giải:

a) Gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có hệ phương trình: 2.  100

621

a b

a b

 











50

621

a b

a b

 









Nên a và b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: 2

x - 50x + 621 = 0  phương trình có 2 nghiệm x 1 27; x 2 23

Vậy độ dài các cạnh của hình chữ nhật là 27 (m ) và 23 (m).

b) Gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có hệ phương trình 2.  20

32

a b

a b

 











10

32

a b

a b

 









Nên a và b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: x - 10x + 32 = 0 2

Ta có:    '  5 2 1.32  7 0   phương trình vô nghiệm

Vậy không tồn tại hình chữ nhật nào có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32 cm2

Lưu ý: Muốn tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng, ta áp dụng hệ thức Vi – et

để đưa về dạng phương trình bậc hai một ẩn rồi giải

Dạng III: ứng dụng hệ thức Vi – ét vào việc lập phương trình bậc hai có chứa hai biểu thức là 2 nghiệm của phương trình.

Ví dụ Lập phương trình bậc 2 có các nghiệm là:

a, 1 và 1

2 b, 1  5 và 1  5

Hướng dẫn cách giải:- Muốn tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng ta làm ntn?

(Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai nghiệm của phương trình bậc hai:x - Sx + P = 0 2 ; Đ/K S2  4P )

Giải:

a, Ta có S = 1 1 3

2 2

  và P = 1 1 1

2 2

 

Do đó phương trình cần lập là 2 3 1

0

x  x  hay 2x2  3x  1 0

Vậy phương trình cần tìm là 2x2  3x  1 0

b, Ta có S = 1  5  1  5  2 và P = 1  5 1   5  1 5  4

Do đó ta có phương trình là x2  2x 4 0 

Vậy phương trình cần tìm là x2  2x 4 0 

Nhận xét: Để lập được phương trình bậc hai có 2 nghiệm nhận 2 số cho trước là nghiệm thì ta vận dụng hệ thức Vi-ét đảo (tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng) ta làm như sau:

- Bước 1: Tính tổng và tích của hai số đó.

- Bước 2: áp dụng hệ thức Vi-ét đảo để tìm phương trình cần lập

Dạng I V : Dạng toán về biểu thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

* Cách biến đổi một số biểu thức thường gặp:

1 1

x x x x x x x x x x x x x x

x x

x x x x



Và tương tự học sinh có thể biến đổi được nhiều biểu thức theoS x1 x P x x2 ;  1 2

Ví dụ 1: Cho phương trình 2x2  7x  4 0 x1; x2 là hai nghiệm của phương trình 1) Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

a) x1 x2; x x1 2 b) 3 3

x x 2) Xác định phương trình bậc hai nhận 2

x  x và 2

x  x là nghiệm

Giải:

1) Xét phương trình 2x2  7x  4 0

Ta có:    72 4.2.4 49 32 17 0      Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1;

2

x

áp dụng đinh lí Vi – ét ta có: 1 2

1 2

7 2 2

x x

x x



 





 b) Ta có: 3 3

x  x x  x x x  x x  x x =

x1 x23 3 x x x1 2 1 x2

=

3

3.2.



    = 343 42 343 168 175



Vậy 3 3

x x = 175

8 2) Đặt u = 2

x  x và v = 2

x  x

Ta có: u + v =  2 

x  x +  2 

x  x = 2 2

x x - x1 x2 =x1 x22 2x x1 2 - x1 x2 =

2

2.2

 

 

  = 49 4 7 49 16 14 47

 

     u + v 47

4



Mà: u v =  2 

x  x  2 

x  x = 2 2

1 2

x x -  3 3

x x -x x1 2 = x x1 22-  3 3

x x -x x1 2

= 22 - 175

8 - 2 = 2 175 16 175 159

    u v 159

8



Vì 2 số u và v có tổng u + v 47

4

 và tích u 159

8



 Nên u ; v là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: 2 47 159

0

Vậy phương trình cần tìm là: 2 47 159

0

Nhận xét: Khi lập phương trình bậc hai khi biết trước một nghiệm và các hệ số

là số nguyên Ta cần thay nghiệm của phương trình vào phương trình ban đầu và xét các hệ số nguyên đó

Phương pháp chung:

+) Muốn lập phương trình bậc hai có nghiệm là hai số cho trước ta làm như sau:

- Bước 1: Tính tổng và tích của hai số đó

- Bước 2: áp dụng hệ thức Vi-ét đảo để tìm phương trình cần lập ta tính tổng và tích

của chúng rồi áp dụng hệ thức Vi-ét đảo để xác định phương trình cần lập +) Trong trường hợp phương trình bậc hai cần lập biết trước một nghiệm và các hệ

số là các số nguyên thì ta thay nghiệm đó vào phương trình ban đầu rồi tìm các hệ

số đó

Qua ví dụ này chúng ta đã vận dụng điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt rồi áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình thứ nhất thay thế vào phương trình thứ hai thì ta được điều cần tìm

Ví dụ 2: Cho phương trình x2

– (m+1)x + m – 5 = 0

Xác định tham số m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 13 23

4 32

x x

x x

 





 

