Bộ đề và hướng dẫn chấm học sinh giỏi môn toán lớp 8 năm 2015 tham khảo

a Chứng minh AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi.. Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG và FK song song và bằng nhau nên là hình bình hành.. Hình bình hành EGFK có hai đờng chéo GK và EF vuô

Phòng giáo dục & đào tạo

Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi:

b) Tìm giá trị lớn nhất của A

Câu 2 ( 4 điểm): Cho đa thức P x( )x4 x36x2  40x m  1979

a) Tìm m sao cho P x( ) chia hết cho x  2

b) Với mtìm đợc, hãy giải phơng trình P x( )= 0

Câu 3 (4 điểm):

Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đi đến nhà Bình với vận tốc 4 km/h Lúc 8 giờ 20phút, Bình cũng rời nhà mình để đi đến nhà An với vận tốc 3 km/h An gặp Bình trên đ -ờng rồi cả hai cùng đi về nhà Bình, sau đó An trở về nhà mình Khi về đến nhà mình Antính ra quãng đờng mình đi dài gấp bốn lần quãng đờng Bình đã đi Hãy tính khoảngcách từ nhà An đến nhà Bình

Câu 4 (6 điểm):

Cho hình vuông ABCD Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và C) Qua

A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F Trung tuyến AI của tam giác AEF

cắt CD ở K Đờng thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G

a) Chứng minh AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi

b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF và AF2 = FK FC

c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi

Câu 5 (2 điểm):

Cho các số a b, lần lợt thoả mãn các hệ thức sau:

a  a  a  , b3  3b25b2005 0 Hãy tính a b

-Hết -Họ và tên thí sinh:……… ……Số báo danh:………

Phòng giáo dục và đào tạo

x x

1.0

Câu

3

4đ Gọi khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình là x (x>0, x đo bằng

km) Theo bài ra ta có quãng đờng An đã đi đã là 2x, suy

1.0

2

raquãng đờng Bình đã đi là 2

x

1.0

1.00.5

Xét hai tam giác vuông ABE và ADF có AB = AD, BAE CAF

( Cùng phụ với DAE ) Vậy ABE ADF  AE AF

Vì AE AF và AI là trung tuyến của tam giác AEF  AI 

EF Hai tam giác vuông IEG và IFK có IE=IF, IEG IFK ( So letrong) nên IEG= IFK

 EG=FK Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG và FK song song

và bằng nhau nên là hình bình hành

Hình bình hành EGFK có hai đờng chéo GK và EF vuông góc nên

là hình thoi

0.50.50.5

Suy ra tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF

Vì tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF nên ta có:

2.0 đ Tứ giác EGFK là hình thoi nên EK=KF

Do đó, chu vi tam giác EKC bằng EK+KC+CE=CF+CE=CD+DF+CE=2CD ( không đổi)

-0.51.0Câu5

2đ Từ điều kiện đã cho ta có:

a 13 2a 1  2008 0 (1), b 132b 12008 0 (2)Cộng theo vế của (1) và (2) ta có

Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE =

AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.

1 Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.

2 Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng:

-Hết -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là:

x z a

0.75

=> DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM

Lại có AE // DM ( vì AB // DC )

0.5

8

N M

H F

E

B A

Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành

= 4 AE

Lưu ý khi chấm bài:

- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp

logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.

- Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT I

Năm học: 2014-2015 Môn thi: Toán 8

Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (1,5điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a/ x2 – x – 6 b/ ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6 c/ x4 – 14x3 + 71x2 – 154x +120

Câu 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức : A =

x

x x

x x x

x x

).

1

1 4 1

1 1

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định.

Cho hình vuông ABCD Gọi E là 1 điểm trên cạnh BC Qua E kẻ tia Ax vuông góc

với AE Ax cắt CD tại F Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K Đường thẳngqua E song song với AB cắt AI ở G Chứng minh :

a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi

Họ và tên thí sinh……….Số báo danh………

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán 8

x x

x x x

1

1 4 )

1 ( ) 1 (

2 2 2

x

x x



Do x =  1 không thoã mãn đk Vậy A nguyên khi x =  2006

0,5 0,5

b

12

Tứ giác EGFK có 2 đường chéo cắt

nhau tại trung điểm mỗi đường và

vuông góc nên hình EGFK là hình thoi

0,5 0,25

c

Tứ giác EGFK là hình thoi  KE = KF = KD+ DF = KD + BE

Chu vi tam giác EKC bằng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC

( Không đổi)

0,25 0,25 0,5

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT I Năm học: 2014-2015

Môn thi: Toán 8

Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

b/ Tìm các giá trị của x để A<1

c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên

Câu 3: (2,0 điểm )

14

a) Giải phương trình sau: 5 15 2006 1996 4

b) Cho x, y, z là các số dương Chứng minh rằng : x3 + y3 + xyz ≥ xy(x + y + z)

Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC).Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BEtheo m AB

2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BECđồng dạng Tính số đo của góc AHM

3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD

Câu 5:(0,5 điểm) Tìm x,y,z biết :

5

zyx4

z3

y2

Họ và tên thí sinh……….Số báo danh………

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán 8

1 : ) 1 (

1

1

2

x

x x x

x x

) 1 )(

1 (

) 1 (

x x

x

x x

0,5b

Tacó:1-A= 11





x >0 khi x-1<0 suy ra x<1Kết hợp với điều kiện xác định ta có:A<1 khi:x<1 và x≠0;-1

A= 1+ 11



x

0,250,250,25

0,25

16

Ta có: x3 + y3 + xyz - xy(x + y + z) = x3 + y3 – x2y – xy2

= (x + y)(x2 – xy + y2) – xy(x + y)

= (x + y)(x - y)2  0 (Vì x,y >0; (x –y)2 0 và x + y > 0)

Vậy x3 + y3 + xyz  xy(x + y + z)

0,25 0,25 0,25 0,25

BC  BC  AC (doBEC~ADC)

y2

z5

y3

y5

x2

z15

y210

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

b a

c b a

Bài 4: (3,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho

AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai

điểm M, N

1 Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật

18

2 Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF.

Họ và tên thí sinh: ; Số báo

danh

UBND HUYỆN

Môn thi: TOÁN - Lớp 8 Bài 1: (2 điểm)

0.25

19

Thay vào A và kết luận Với x  1;1 thì A Z 0.5

y x c z x b z

1 2 2

z z

y x

z z

x y

x x

y z

y x y

z x x

z

A ( 2 2 2 ) 2

E

B A

2 ΔADM=ΔBAFCBH

= 4 AE

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức :

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0

Bài 3: (1,5 điểm)

22

b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.

c Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất

Bài 5: (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN - Lớp 8

 x 3 0  ( vì 4x2 > 0 với mọi x thuộc ĐKXĐ) 0.25

23

1 1 1 1 1 1 1 12.2 3.3 4.4 100.100 1.2 2.3 3.4 99.100

E

B A

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a 1  0  a 1 0.25

Học sinh làm đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa.

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 2

Năm học : 2014 - 2015 Môn thi: Toán – Lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a3 5a chia hết cho 6

b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy 2012x 2013y 2014 0 

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì

A = 4a2b2 – (a2 + b2 - c2)2 luôn luôn dương

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC

(M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho

-Họ và tên thí sinh:………SBD:…………

UBND HUYỆN

Môn thi : TOÁN – Lớp 8

P

x x x

P

x x x

1

P

x x

x P

Ta có: (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 bội

của 2 suy ra chia hết cho 2

0,25đ

(a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của 3

suy ra chia hết cho 3

28

Vì (2;3) = 1 nên (a-1)a(a+1) chia hết cho 6

Mà 6a chia hết cho 6

x y x y

3 2 1 E

N H

M O

D

C B A

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 2

Năm học : 2014 - 2015 Môn thi: Toán – Lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)

Cho hình thang ABCD cóA D  = 900, CD = 2AD = 2AB Gọi H là hình chiếu của D

lên AC; M, N, P lần lượt là trung điểm của CD, HC và HD

a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BCD là tam giác vuông

cân

b) Chứng minh tứ giác DMPQ là hình bình hành

c) Chứng minh AQ vuông góc với DP

d) Chứng minh S ABCD  6S ABC

- HẾT ( Đề thi gồm có 1 trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

-Họ và tên thí sinh:………SBD:…………

UBND HUYỆN

Môn thi : TOÁN – Lớp 8

x  = -1 4x2 = -x+3  4x2 + x – 3 = 0 0,25  x2 + x + 3x2 -3 = 0

 (x+1)(4x-3) = 0  x = -1 ; x =

Bài 5: (3,5 điểm)

Vẽ hình đúng và ghi đầy đủ GT-KL 0,5đ

+/ Chứng minh cho tứ giác ABMD có 4 cạnh bằng nhau

lại có A=900 nên ABMD là hình vuông 0,5+/ BMD có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh DC và

BM = 1

2DC BMD vuông tại B 0,25lại có BDM = 450  BMD vuông cân tại B 0,25

ABCD

ABCD ABC ABC

AD S

35

Chú ý:Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho đủ điểm

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 2 Năm học 2014 - 2015

Môn thi : Toán- Lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

D sao cho HD=HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

a) Chúng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng.Tính độ dài đoạn BE

theo m biết m=AB

b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM

c) Tia AM cắt BC tại G Chứng minh GB BC AH HC HD

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh

37

x  = -1 4x2 = -x+3  4x2 + x – 3 = 0  x2 + x + 3x2 -3 = 0  (x+1)(4x-3) = 0  x = -1 ; x = 3

x

x  < 0  x - 3 < 0 (do x  0 nên 4x2 > 0 ) Kết luận: Vậy x < 3 ; x  0 ; x   2 thì A < 0

(0,25điểm)(0,25điểm)

=x4  x  2015x2 2015x 2015 

(0,25điểm)

=x x 1 x    2 x 1  2015 x 2 x 1  (0,25điểm) =x2 x 1 x   2  x 2015  (0,25điểm)

Bài 3: (2.5 điểm)

38

(0,25điểm)(0,25điểm)

Bài 4: (3 điểm)

39

Hai tam giác ADC và BEC có:

Góc C chung

CD CA

CE CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)

Do đó tam giác ADC và BEC đồng dạng (c.g.c) (0,5điểm)

Suy ra: BECADC 135 0(vì tam giác AHD vuông cân tạiH( theo giả thiết)

Nên AEB 45 0 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra:

BC  BC  AC (do BEC∽ ADC) (0,25điểm)

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 2

Năm học 2014 - 2015 Môn thi : Toán- Lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

b) Với giá trị của x thì A < 0

c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

Bài 2: (2,0 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1 20

9

1 12

7

1 6

5

1

2 2

Bài 4: (3,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho

AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai

điểm M, N

a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật

b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh

1 x

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh

42

UBND HUYỆN

Môn thi: Toán- Lớp 8 Bài 1: (2điểm)

1 3 6

6 4

2 3

2

x

x x

x x x

x x

2

1 2 3

6 2

2

2 2

2

x

x x

x x

x x x x

=     : 62

2 2

2 3 2 6

x x

x x x

x x

1 2

1

(0,25điểm)b) Với mọi x  0 ; x   2 để A < 0 thì 0 2 0 2

(0,5điểm)

c) Để A có giá trị nguyên thì (2 - x) phải là ước của 1 Mà Ư (1) =

 1 ; 1 suy ra x = 1; x = 3( thoã mãn ĐK) Vậy x = 1; x =3

(0,25điểm)(0,25điểm)

Bài 2: (1,5 điểm):

a)

) 1 )(

1 (

) 1 )(

1 ( ) 1 (

) 1 ( 1

3 2

2 2

3

3 3 4 5

4 5

x x x x

x x

x x x x

x x

(0,25điểm)

(0,25điểm)(0,25điểm)43

b) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0,25điểm)

= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25điểm)c) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = x y z  3  x3  y3 z3

1 20

9

1 12

7

1 6

5

1

2 2

(0,25điểm)

(0,25điểm)phương trình trở thành:

44

0 30 5

0 30 6

2 2 3

2 3

x x x

; 5

0 3 2 5

0 6 5 5

0 30 5

2

2 2

x

x x x

x x x

x

x x x

x

(0,5 điểm)(0,25điểm)

Bài 4: (3 điểm)

a)

N M

H F

E

B A

Ta có DAM = ABF  (cùng phụ  BAH )

AB = AD ( gt)  BAF = ADM = 90  0 (ABCD là hình vuông)

=> DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM

Lại có AE // DM ( vì AB // DC ) Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành Mặt khác  DAE = 90 0 (gt)

Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật

(0,25điểm)

(0,25điểm)

45

Lại có  HAB = HBC  (cùng phụ  ABH )

ΔADM=ΔBAFCBH ΔADM=ΔBAFEAH

2 ΔADM=ΔBAFCBH

1 y

1 x

Do đó x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ;

z2+2xy=(z–x)(z–y) Từ đó:

) y z )(

x z (

xy )

z y )(

x y (

xz )

z x )(

y x (

yz A

Tính đúng A=1

(0,5điểm)

UBND HUYỆN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014-2015.

6 4

3 2

x x x

2

x

x x

a) Rút gọn M

b)Tính giá trị của M khi x = 12

c) Tìm x nguyên để M(-4x+7) nhận giá trị nguyên

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

47

c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.

(Đề thi gồm có 01 trang)

-HẾT -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán – Lớp 8

= [(a+b)3+ c3] – 3ab(a+b+c) = (a+b+c)[(a+b)2 - c(a+b) +c2 ] – 3ab(a+b+c) 0,25

= (a+b+c)[a2 + b2 + c2 – ac – bc + 2ab – 3ab) = (a+b+c)( a2 + b2 + c2 – ac –

6 4

3 2

x x x

2

x

x x

6 )

2 )(

2 (

2

x x

x x x

2 (

0,5

0,5

b b)Tính giá trị của M khi x =

2 1

x = 12  x = 21 hoặc x = -21

Với x = 12 ta có : M =

2

1 2

1

2 3

1

=32

0,25

48

Với x = - 21 ta có : M =

2

1 2

1

2 5

UBND HUYỆN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014-2015.

-HẾT -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

51

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán – Lớp 8

0.250.250.250.25

b x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = x4  x  2010x2 2010x 2010 

= x x 1 x    2  x 1 2010 x 2  x 1 = x2 x 1 x   2  x 2010 

0.50.5

b

2 52 7 0 25

5

2x   x 

0.250.25

c Chứng minh: BC+CA<MB+MA

Gọi d là phân giác của góc ngoài tại đỉnh Ccủa tam giác ABC

Trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho CE=CA

Tam giác ACE cân tại C, có d là phân giác củaGóc ACE

=> d là trung trực của AE

0.250.25

0.2552

Tam giác MBE có BE< MB+ME

 => BC+CE<MB+ME hay BC+ CA< MB+MA 0.25

0.250.25

Mà a2 a 1 a2 a 1 2a

  = 3+2 = 5 Suy ra P = 3 5 = 15



  Dấu “=” xảy ra  a – 2008 = 0 a = 2008

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2007

2008 khi a = 2008

0.250.250.25

0.25

53