Ta thường gặp các bài toán về tiếp tuyến sau: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại tiếp điểm Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước Bài to
Trang 11 Mục lục
Trang
1 Thực trạng vấn đề
2.Giải pháp thực hiện
3 Phạm vi thực hiện
Trang 2A Đặt vấn đề
Trong chương trình giải tích 12 chuyên đề hàm số là một phần quan trọng đối với Học sinh Việc giải các câu hỏi phụ về hàm số thường là vấn đề khó đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp, đặc biệt phải biết phân loại từng dạng một Trong các dạng toán về câu hỏi phụ về hàm số bài toán về “ tiếp tuyến” là một bài toán cơ bản đối với học sinh Để có được cách nhìn tổng quan về phần này đòi hỏi học sinh phải nắm được các kiến thức cơ bản và các bài toán tổng quát cho từng dạng
Đây cũng là một phần quan trọng trong các đề thi học kỳ ,thi tốt nghiệp và đại học phần lý thuyết đơn giản nhưng bài tập thì rất đa dạng đòi hỏi học sinh phải có tính tư duy lôgic Chính vì vậy tôi nghiên cứu đề tài “ Một số phương pháp giải bài tập về tiếp tuyến” nhằm mục đích giúp HS phân loại một số dạng toán để đưa ra cách giải nhanh hơn
B Nội dung
1 Thực trạng của vấn đề
Trong SGK đại số và giải tích lớp 11 đã đưa ra bài toán về tiếp tuyến khi biết tiếp điểm Nếu chưa biết tiếp điểm thì có phương pháp nào để viết được phương trình tiếp tuyến không? Đây là vấn đề mà học sinh hay lúng túng khi
đi tìm cách giải, nếu ta không nắm vững kiến thức cơ bản thì rất khó có thể làm được
2 Giải pháp thực hiện
Đối với giáo viên: Xây dựng hệ thống bài tập với các phương pháp cụ thể phù hợp cho từng loại, tổ chức cho học sinh hoạt động trong các tiết luyện tập trên lớp và các tiết dạy bồi dưỡng
Đối với học sinh: Nắm vững kiến thức cơ bản, các công thức hay sử dụng và
ôn luyện theo từng dạng
3 Phạm vi thực hiện:
Tổ chức học sinh thực hiện chuyên đề này sau khi học xong chương trình hàm số
4 Nội dung:
Cho đồ thị (C): y= f(x) Gọi M0, M là hai điểm phân biệt và cùng thuộc đồ thị (C) Nếu cố định M0 và cho M di chuyển trên (C) đến gần M0 thì vị trí giới hạn của cát tuyến (M0M) là tiếp tuyến (M0T) tại điểm M0 Tức là: lim (0 0 )
M M MM
→
= Tiếp tuyến M0T
Ta thường gặp các bài toán về tiếp tuyến sau:
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua một điểm
cho trước
Trang 3Bài toán 4; Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại hai điểm
phân biệt Từ đó viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại một điểm
và cắt đồ thị tại hai điểm khác.
Đối với hai bài toán 1 và 2 ta cần chú ý tới việc viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm và bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm (có thể thuộc đồ thị hoặc không thuộc) Đối với bài toán 4 thì chỉ xuất hiện ở đồ thị hàm số bậc 4
Phương pháp giải bài toán 1:
Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại M0(x0;y0)∈(C):
y= f(x) có hệ số góc là f ‘(x) Nên phương trình tiếp tuyến tại M0(x0;y0) của (C) là:
y= f , (x 0 )(x- x 0 ) + f(x 0 )
Phương pháp giải bài toán 2:
Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm có hoành
độ xi suy ra f,(xi) = k suy ra x=xi là nghiệm của f,(x) = k Giải phương trình
f,(x) = k ta tìm được các xi và viết được phương trình tiếp tuyến
Phương pháp giải bài toán 3:
Bài toán: Cho đồ thị (C): y= f(x) và điểm A(a;b) cho trước Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(a; b) đến đồ thị (C)
Để giải loại này có 2 phương pháp:
1.Phương pháp tìm tiếp điểm
Phương pháp này có 2 cách
Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a;b) tiếp xúc (C) tại tiếp điểm có hoành
độ xi suy ra phương trình tiếp tuyến có dạng: y= f , (x i )(x- x i ) + f(x i ) (t)
Do A(a;b)∈(t) nên b= f ,(xi)(a- xi) + f(xi) suy ra x= xi là nghiệm của phương trình b= f ‘(x)(a- x) + f(x) ⇔ f ‘(x)(x-a) +b- f(x)=0(*)
Giải phương trình (*) suy ra nghiệm x ∈{ x0,x1, xi, xn}
Phương trình tiếp tuyến tại x= xi là: y= f ,(xi)(x- xi) + f(xi)
Cách 2: Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình:
y= k(x-a) +b tiếp xúc với đồ thị (C): ⇔Hệ phương trình:
=
+
−
=
k
x
f
b a x k
x
f
)
(
,
) ( )
(
Giải hệ phương trình trên ta tìm được các nghiêm x=xi và viết được
phương trình tiếp tuyến: y= f , (x i )(x- x i ) + f(x i )
2.Phương pháp tìm điều kiện nghiệm kép.
Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình:
y= k(x-a) +b tiếp xúc với đồ thị (C): ⇔ k(x-a) +b=f(x) có nghiệm bội
giải và biện luận ta tìm ra các giá trị của k từ đó viết được phương trình tiếp tuyến đi qua A
Phương pháp giải bài toán 4
Trang 4Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C)y=ax4+bx3+cx2+d (a≠0) tiếp xúc với đồ thị tại hai điểm phân biệt
Phương pháp: Giả sử đường thẳng (a): y=kx+m tiếp xúc với (C) y=f(x)tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x1, x2 khi đó f(x)= kx+m (*)có hai nghiệm kép phân biệt x1, x2 Giải phương trình (*) bằng cách cho đồng nhất các hệ số ta tìm được x1,x2 và phương trình tiếp tuyến
Sau đây là các dạng toán cụ thể:
DẠNG 1: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 3 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=f(x)=x3-3x+5 khi biết: 1) Hoành độ của tiếp điểm là x1=-1; x2=2; x3= 3
2) Tung độ của tiếp điểm là y1=5; y2=3; y3=7
Giải:
Đạo hàm y’(x)=3x2 – 3
1) x1=-1 ⇒ y1= x13− 3x1+ 5; y’(-1)=0 Phương trình tiếp tuyến tại M(-1,7) là:
(t1): y=y’(-1)[x−( )− 1]+ y(-1) ⇔y = 7
2) y1=5 ⇔ x13− 3x1 + 5
= 5 ⇔x1( 2 )
1 3
x − =0 ⇔x
1 ∈{0 , ± 3}
Tiếp tuyến tại x1=0 là (t1): y=y’(0)(x - 0) + 5 ⇔y = -3x + 5
Tiếp tuyến tại x1 = - 3 là (t2): y = y’(- 3)(x + 3) + 5
⇔ y = 6x + 6 3 + 5
Tiếp tuyến tại x1 = 3 là (t3): y = y’( 3)(x - 3) + 5 ⇔y = 6x - 6 3 + 5
Bài 2: Cho (C): y = f(x) = 2x3 – 3x2 + 9x – 4 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị sau:
1 Đường thẳng (d): y = 7x + 4
2 Parabol (p): y = -x2 + 8x – 3
3 Đường cong (C): y = x3 – 4x2 + 6x – 7
Giải:
1 Hoành độ giao điểm của (C) với (d) là nghiệm của phương trình:
2x3 – 3x2 + 9x – 4 = 7x + 4 ⇔ (x - 2)( 2x2 + x + 4)
⇔ (x -2) 0
4
3 3 2
1 2 2
=
+ +
Tiếp tuyến tại x = 2 có phương trình y = y’(2)(x - 2) + y(2)
= 21(x - 2) + 18 = 21x - 24
Làm tương tự ta cũng giải được các ý 2 và 3
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x3-3x2 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=
3 1
x
Trang 5Giải: Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=
3
1
x nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng -3 Gọi tiếp điểm có hoành độ x0 ⇒y’(x0)=3 2
0
x -6x0=-3
⇔3(x0-1)2=0⇔x0=1 ⇒phương trình tiếp tuyến tại x0=1 là:
y= -3(x-1)+y(1) ⇔y= -3x+1
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x3-3x2+1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x+2012
Giải: Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x+2012 nên tiếp tuyến
có hệ số góc bằng 9 gọi tiếp điểm có hoành độ x0 ⇒y’(x0)=3 2
0
x -6x0=9
⇔ 2
0
x -2x0-3=0⇔x0=-1 hoặc x0=3
Tiếp tuyến tại x0=-1 là y=9(x+1)-3 ⇒y= 9x+6
Tiếp tuyến tại x0=3 là y=9(x-3)+1 ⇒y= 9x-26
Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước đến đồ thị Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(19; 4
12 ) đến đồ thị (C) có phương trình: y=f(x)=2x3–3x2+5
Giải:
Đường thẳng đi qua A(19; 4
12 ) với hệ số góc k có phương trình
y = k(x - 4
12
19 + ) tiếp xúc với (C): y = f(x) ⇔Hệ
=
+
−
=
k x f
x k x f
) ( '
4 12
19 )
(
có
−
=
12
19 )
( ' ) (x f x x
12
19
) + 4
0 ) 1 2
17 4
)(
1 ( ) 12
19 )(
1 ( 6 ) 1 2
)(
1
=
=
⇒
=
⇔
8
1
2
1
3
2
1
x
x
x
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;-1) đến C có phương trình:
y= 2x3+ 3(m-1)x2+ 6(m-2)x-1
Giải: Đường thẳng đi qua A với hệ số góc k có phương trình: y=kx-1 tiếp xúc với (C) y=f(x) ⇔Hệ
=
−
=
k x f
kx x f
) ( '
1 )
(
có nghiệm
Tiếp tuyến (t 1 ): y =
y’(1)(x-12 19
) + 4 ⇔ y= 4
Trang 6−
=
⇒ f(x) f' (x)x 1 f' (x)x− 1 − f(x) = 0 ⇔x2[4x+3(m-1)]=0
−
=
=
⇔
4
) 1 ( 3 0
2
1
m
x x
Từ f ,(x)=6x2 +6(m-1)x+ 6(m-2) suy ra
Với x1= 0⇒f’(0)=6(m-2) ⇒Tiếp tuyến (t1): y= 6(m-2)x-1
Với x2=
4
) 1
(
−
4
) 1 ( 3
8
3
−
(3m2-22m+35)
⇒y=
8
3
−
(3m2 -22m+35)x-1
Bài 3: Cho hàm số (C) y=f(x) =x3-3x2+2
a Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A( ; 2
9
23 − ) đến (C).
b Tìm trên đường thẳng y=-2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
Giải: a Đường thẳng đi qua A( ; 2
9
23 − ) với hệ số góc k có phương trình:
y=
k(x-9
23
)-2 tiếp xúc với (C) y= f(x)⇔Hệ phương trình:
=
−
−
=
k
x
f
x
k
x
f
)
(
2 ) 9
23 (
)
(
,
9
23 )(
( )
⇒ f x f x x ⇔
0 ) ( 2 )
9
23
)(
(
, x x− − − f x =
Giải phương trình (1) ta được x=2; x=3 và x=
3 1
Với x=2 suy ra tiếp tuyến (t1): y=y’
(2)(x-9
23
)-2⇔y=-2
Với x=3 suy ra tiếp tuyến (t2): y=y’
(3)(x-9
23
)-2⇔y=9x-25
Với x=
3
1
suy ra tiếp tuyến (t3): y=y’(
3
1
)(x-9
23
)-2⇔y=
27
61 3
5 +
−
x
b Lấy bất kì M(m;-2) thuộc đường thẳng y=-2 đường thẳng đi qua M(m;-2) với hệ số góc k có phương trình: y=k(x-m)-2 tiếp xúc với (C): y= f(x)⇔Hệ phương trình:
=
−
−
=
k x f
m x k x f
) ( '
2 ) ( ) (
có nghiệm
2 ) )(
(
)
⇒ f x f x x m ⇔ f, (x)(x−m) − 2 − f(x) = 0
⇔(x-2)[2x2-(3m-1)x+2]=0
= +
−
−
=
=
⇔
0 2 ) 1 3 ( 2 ) (
2
x x g x
Trang 7Do không thể có tiếp tuyến nào vuông góc với tiếp tuyến y=-2 song song với
Ox
Nên để từ M(m; -2) kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với (C) thì g(x)=0 phải có
2 nghiệm phân biệt x1;x2 và các tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ x1;x2
vuông góc với nhau
Ta có:-1= y’(x1).y’(x2) = (3x 2
1 - 6x1)( 3x 2
2 - 6x2) = 9x1x2[x1x2 – 2(x1+x2) + 4]
= 9[1 – (3m - 1) + 4] = 9[6 – 3m] = 54 -27m ⇒m =
27 55
Với m =
27
55
thì ∆g = (3m - 1)2 – 16 > (3.2 - 1)2 – 16 = 9 > 0 Vậy điểm M( ; 2
27
55 − )
Bài 4: Cho hàm số y = -x3 + 3x + 2 (C) Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Giải:
Lấy bất kỳ A(a;0) ∈Ox Đường thẳng đi qua A(a;0) với hệ số góc k có phương trình y = k(x - a) tiếp xúc với (C): y = f(x) ⇔Hệ phương trình:
=
−
=
k
x
f
a x
k
x
f
)
(
'
) (
)
(
có nghiệm ⇒f(x) = f’(x)(x - a)
⇔f(x) – f’(x)(x- a) = 0 ⇔ 2x3 – 3ax2 + 3a + 2 = 0
⇔(x + 1)[2x2 – (3a + 2)x + 3a + 2] = 0 ⇔(x + 1).g(x) = 0
Từ điểm A(a;0) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) ⇔g(x) = 0 có 2 nghiệm phân
−
<
≠
−
>
⇔
≠ +
=
−
>
− +
=
∆
3
2 1
2 0
) 1 ( 6 ) 1 (
0 ) 6 3 )(
2 3 (
a
a a
g
a a
Bài 5: Cho (C): y = x3 -12x + 12 Tìm trên đường thẳng y = -4 các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Giải:
Lấy bất kì M(m;-4) ∈ đường y = -4 Đường thẳng đi qua M(m;-4) với hệ số
góc k có phương trình y = k(x - m) – 4 tiếp xúc với đồ thị (C) ⇔Hệ phương
trình
=
−
−
=
k
x
f
m x
k
x
f
)
(
'
4 ) (
)
(
có nghiệm
⇒f(x)= f’(x)(x-m) – 4 ⇔f(x)(x - m) – f(x) – 4 = 0
⇔(x - 2)[2x2 – (3m - 4)x – (6m - 8)] = 0 ⇔(x - 2)g(x) = 0
Trang 8Từ M(m; -4) kẻ được 3 tiếp tuyến đi qua (C) ⇔g(x) = 0 có 2 nghiệm phân
≠
<
−
<
⇔
≠
−
=
>
+
−
=
∆
2 3
4
4 0
12 24 ) 2 (
0 ) 12 3 )(
4 3 (
m
m m
g
m m
Bài 6: Cho (C): y = x3 – 6x2 + 9x -1
Từ 1 điểm bất kỳ trên đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C)
Giải:
Lấy bất kỳ M(2; m) ∈đường thẳng x = 2 Đường thẳng đi qua M(2;m) với hệ
số góc k có phương trình y = k(x - 2) + m tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x)
⇔Hệ
=
+
−
=
k x
f
m x
k x
f
) (
'
) 2 ( )
(
có nghiệm ⇒f(x) = f’(x)(x - 2) + m
⇔f(x) – f’(x)(x - 2) = m ⇔g(x) = -2x3 + 12x2 – 24x + 17 = m
Ta có g’(x) = -6(x - 2)2 ≤ 0 ⇒Bảng biến thiên
x -∞ 2 +∞
g, (x) 0
g(x) +∞
-∞
Nghiệm của phương trình tìm tiếp điểm cũng là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị y = g(x) Nhìn bảng biến thiên suy ra g(x) = m chỉ có đúng 1 nghiệm Vậy từ M(2;m) bất kỳ ∈ đường thẳng x = 2 chỉ kẻ
được duy nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = f(x)
Bài 7: Tìm trên đồ thị (C): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠0)
Các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Giải:
Lấy bất kỳ điểm M(m;f(m)) ∈ (C): y = f(x) Đường thẳng đi qua M(m;f(m)) với hệ số góc k có phương trình: y = k(x-m) + f(m) tiếp xúc với (C)
⇔Hệ
=
+
−
=
k x
f
m f m x k x
f
) (
'
) ( ) ( )
(
có nghiệm ⇒ f(x) = f’(x)(x-m) + f(m)
⇔f’(x)(x-m) – [f(x) – f(m)] = 0
⇔(3ax2 + 2bx + c)(x-m) – [a(x3 – m3)] + b(x2 – m2) + c(x - m)] = 0
⇔(x - m)[2ax2 – (am – b)x – m(am + b)] = 0
⇔(x - m)2[2ax + (am + b)] = 0
+
=
=
⇔
a
b am x
m x
2
2 1
Từ điểm M(m,f(m)) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)
Trang 9⇔x1 = x2 ⇔
a
b m b am a
b am m
3
3 2
) ( + ⇔ =− ⇔ = −
−
=
3 ( ,
b f a
b −
−
) ∈(C) là điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)
Nhận xét : f’(x) = 6ax + 2b = 0 ⇒Điểm uốn ; ( )
b b
a a
Vậy trên đồ thị hàm bậc 3 điểm uốn là điểm duy nhất kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số: y x= − + 3 3x 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1
9
y=− x+
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 3 2
y x= − x + biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 5y-3x+4=0
Bài 3: Cho hám số: y= − +x3 3x+ 1(C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=-9x+1
DẠNG 2: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 4 Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị.
Bài 1: Cho 2 đồ thị
+
=
=
− +
=
=
m x x g y P
x x
x f y C
2
2 2
2 ) ( : ) (
) 1 ( ) 1 ( ) ( :
) (
a Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc nhau
b Viết phương trình tiếp tuyến chung tại các điểm chung của (C) với (P) Giải:
a (C) và (P) tiếp xúc nhau ⇔
=
=
) ( ' ) ( '
) ( ) (
x g x f
x g x f
có nghiệm
−
=
=
=
=
⇔
=
−
+
−
=
⇔
=
−
+
= +
−
3 ,
2
1 , 0 0
) 2 ( 4
1 4 4
4 4
2 1 2
2 2
2 4 3
2 2
4
m x
m x x
x
x x m x
x x
m x x
x
Vậy với m = -3 hoặc m = 0 thì (C) và (P) tiếp xúc nhau
b Xét m = 1, x0 = 0 ⇒ (P): y = g(x) = 2x2 + 1
Phương trình tiếp tuyến chung tại x0 = 0: y = g’(0)(x - 0) + g(0) ⇔y = 1
+ Xét m = -3, x0 = 2 ⇒(P): y = g(x) = 2x2 – 3
Phương trình tiếp tuyến chung tại x0 = 2:
y = g’( 2)(x- 2)+g( 2)= 4 2x - 7
+ Xét m = -3, x0 = - 2 ⇒(P) = y = g(x) = 2x2 – 3
Phương trình tiếp tuyến chung tại x0 =- 2:
y = g’(- 2)(x+ 2)+g( 2)=4 2x-7
Bài 2: Cho đồ thị (C): y = -x4 + 2mx2 – 2m + 1 Tìm m để các tiếp tuyên với
đồ thị tại A(1;0), B(-1;0) ⊥ với nhau
Giải:
Trang 10Do A(1;0) ∈(C); B(-1;0) ∈(C) nên các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với
nhau ⇔y’(1).y’(-1) = (4m - 4)(-4m + 4) = -1
⇔-16m2 + 32m – 15 = 0 ⇔m =
4
5
hoặc m =
4
3
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = 5
2
1 3
1 4
1x4 − x3 + x2 +x− biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x – 1
Giải:
Đạo hàm y’(x) = x3 – x2 + x + 1
Giả sử tiếp tuyến (t) song song y = 2x – 1 tiếp xúc với (C) tại x0
⇒y’(x0) = 2 ⇔x03 – x02 + x0 + 1 = 2 ⇔(x0 - 1)(x02 + 1) = 0
⇔x0 = 1 ⇒ Phương trình (t): y = 2(x – 1) + y(1) ⇔y = 2x -
12 67
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x4 – 2x2 + 4x – 1 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - 3
4
1x+
Giải:
Đạo hàn y’(x) = 4x3 – 4x + 4
Do tiếp tuyến (t) vuông góc với y = - 3
4
1
+
x nên (t) có hệ số góc k = 4
Giả sử (t) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x0 ⇒y’(x0) = 4
⇒4x03 – 4x0 + 4 = 4 ⇔4x0(x02 - 1) = 0 ⇔x0 = 0; x0 = ± 1
Tại x0 = 0 ⇒ Tiếp tuyến (t1): y = 4x + y(0) = 4x – 1
Tại x0 = -1 ⇒ Tiếp tuyến (t2): y = 4(x + 1) + y(-1) = 4x – 2
Tại x0 = 1 ⇒ Tiếp tuyến (t3): y = 4(x - 1) + y(1) = 4x – 2
Do (t2) = (t3) nên chỉ có 2 tiếp tuyến là y = 4x – 1 và y = 4x – 2
Bài 3: Cho (Cm): y = x3 + mx2 – m – 1
Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng y = 2x với A
là điểm cố định có hoành độ dương của (Cm)
Giải:
Xét phương y0 = x03 + mx02 – m – 1 ∀m ⇔m(x02 - 1) + (x04 – 1 – y0) = 0 ∀m