SKKN Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số

Lí do chọn đề tài Đối với học sinh học toán ở trường trung học phổ thông, nhất là các học sinh chuẩn bị thi đại học thường gặp bài toán không mấy dễ dàng liên quan đến nghiệm của phương

Mục lục

A ĐẶT VẤN ĐỀ……… 2

I Lí do chọn đề tài ……… 2

II Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm………2

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu………2

IV Phương pháp nghiên cứu……… 2

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ……… ……3

I Cơ sở lý luận……… 3

II Thực trạng và giải pháp……….4

1 Phương trình chứa tham số……… 4

2 Bất phương trình chứa tham số……… 13

III Hiệu quả của đề tài……….19

C KẾT LUẬN………19

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lí do chọn đề tài

Đối với học sinh học toán ở trường trung học phổ thông, nhất là các học sinh chuẩn bị thi đại học thường gặp bài toán không mấy dễ dàng liên quan đến nghiệm của phương trình, bất phương trình chứa tham số Khi giảm tải chương trình thì các dạng toán phải sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng được nên học sinh phải vận dụng chủ yếu định lý Viét và một số cách giải khác như hàm số hoặc “điều kiện cần - đủ” để giải quyết các bài toán chứa tham số dẫn đến cách giải phức tạp do đó học sinh rất khó rèn luyện tốt phần này Với việc ứng dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì phần lớn các bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tham số sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên, ngắn gọn và dễ hiểu Đó là lí do để tôi chọn đề tài :

“ Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải

phương trình và bất phương trình có tham số”.

II Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm

Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ cho các em học sinh trung học phổ thông có cái nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải bài toán phương trình, bất phương trình có tham số

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, bất phương trình chứa tham số

Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số và giải tích của trung học phổ thông đặc biệt phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ và logarit chứa tham số Tuy nhiên không phải mọi bài toán chứa tham số mà phạm vi của nó là các bài toán

có thể cô lập được tham số về một vế trong phương trình hoặc bất phương trình

IV Phương pháp nghiên cứu

Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về lý thuyết về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Thông qua những ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh của việc

sử dụng phương pháp trên Các ví dụ minh họa trong đề tài này được lọc từ các tài liệu tham khảo và các đề thi đại học các năm gần đây và sắp xếp từ dễ đến khó Trong các tiết học trên lớp tôi ra cho học sinh giải các vi dụ này dưới nhiều phương pháp để từ đó đánh giá được tính ưu việt của phương phấp trên

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lý luận.

Trong đề tài này sử dụng kết quả sau đây: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền D, và tồn tại MmaxxD(x),

D

x (x) min m



 Khi đó ta có

1 Hệ phương trình 



 D x

α f(x)

có nghiệm khi và chỉ khi mαM

2 Hệ bất phương trình 



 D x

α f(x)

có nghiệm khi và chỉ khi M α

3 Bất phương trình ( x )   đúng với mọi x  D khi và chỉ khi m  .

4 Hệ bất phương trình 



 D x

α f(x)

có nghiệm khi và chỉ khi m  α

5 Bất phương trình f ( x )   đúng với mọi x  D khi và chỉ khi M .

Chứng minh

1 Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm, tức tồn tại x 0  D sao cho





)

x

( 0 Theo định nghĩa ta có minx D(x) f(x0) maxx D(x)



minxD(x)maxxD(x).

Đảo lại, giả sử minxD(x)maxxD(x) Vì f(x) là hàm số liên tục nên nó

nhận giá trị từ minxfD(x) đến maxxD(x) Do đó khi f(x) nhận giá trị , tức là tồn tại x0 Dsao cho f(x 0) =  Điều đó có nghĩa là phương trình đã cho có

nghiệm trên D  đpcm

2 Giả sử hệ đã cho có nghiệm, tức là tồn tại x 0  Dsao cho ( x0)  

Rõ ràng là  

 (x) (x )

D

Đảo lại, giả sử 

D

x (x)

Ta giả thiết phản chứng rằng hệ đã cho vô nghiệm, tức là ( x )  ,  x  D từ

đó suy ra 

D

x (x)

Từ (1) và (2) ta thấy vô lí, do đó giả thiết phản chứng không xảy ra, tức là hệ đã cho có nghiệm  đpcm

3 Giả sử m   Ta lấy x 0tùy ý thuộc D    

(x) m min

) x (

D x





)

x

( đúng với x  D

Đảo lại, giả sử f(x)   x  D, khi đó do mminxfD(x) nên theo định nghĩa tồn tại x0 D mà m =f ( x0) Từ ( x0)    m   Như vậy ta có đpcm

(4 và 5 ta chứng minh tương tự như 2, 3).

II Thực trạng và giải pháp.

1 Phương trình chứa tham số.

Ví dụ 1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

 4 x x 2

4 m ) 2 x )(

x 4 ( 2 x

Hướng dẫn giải

Điều kiện 1 x 4

0 2 x 0 x 4



















Đặt t  4  x  x  2

Ta tìm miềm xác định của t, xét hàm số ( x )  4  x  x  2 với 1  x  4.

Ta có

2 x x 4 2

2 x x 4 2 )

x

(

'

f











3 x 1 x x 16 4 x 1 2 x x 4

2

0

)

x

(

'



























Từ đó ta có bảng biến thiên

x 1 3 4

f’(x) + 0

-f(x) 3 3 6 3 ) x ( min 4 x 1    và max1 xf(4x)3   từ đó suy ra khi 1  x  4, thì 3  t  3 Từ t  4  x  x  2  t 2  x  2  2 ( 4  x )( x  2 ) vì thế bài toán trở thành: Tìm m để hệ sau         ) 2 ( 3 t 3 ) 1 ( m 4 t 4 t ) t ( g 2 có nghiệm Ta có g’(t) = 2 t  4, và ta có bẳng biến thiên sau t 3 2 1

g’(t) - 0 +

g(t) 7  4 3 1

0

Từ đó min3gt(3t)g(2)0 và max3gt(3t)1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm  min3gt(3t)m max3gt(3t)  0  m  1.

Ví dụ 2 Cho phương trình 4 x  x  2 4 6  x  2 6  x  m

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải

Đặt f(x) 2 x  2 6  x; g ( x )  4 2 x  2 4 6  x Lúc này phương trình đã cho có dạng h ( x )  ( x )  g ( x )  m (1)

Phương trình (1) xác định trong miền 0  x  6 Ta có f ' ( x ) 6 xx(6 x)x







Nên ta có bảng biến thiên sau:

x 0 2 6

f’(x) + 0

-f(x)

tương tự ta có 4 3 4 3

3

) x 6 ( ) x 2 ( 2

) x 2 ( ) x 6 ( ) x ( ' g







x 0 2 6

g’(x) + 0

-g(x)

Vì thế ta có bảng biến thiên đối với hàm số h(x), 0  x  6 như sau

x 0 2 6

h’(x) + 0

-h(x)

Ta có min h ( x ) minh ( 0 ); h ( 6 ) h ( 6 ) 4 12 2 3

6

x



2 3 6 ) 2 (

h

)

x

(

h

max

6

x



Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt  2 ( 4 6  6 )  m  3 2  6

Chú ý:

1 Nếu bài toán hỏi tìm m để phương trình có nghiệm thì đáp số của bài toán sẽ

là 4 12  2 3 )  m  3 2  6

2 Trong bài này cần lưu ý khi m0maxx6h(x) khi đó phương trình đã cho chỉ có

một nghiệm duy nhất Vì thế khi làm bài học sinh cần phải kết hợp với cả bảng biến thiên để suy ra kết quả

Ví dụ 3 Tìm m để phương trình 3 x  1  m x  1  4 4 x 2  1 có nghiệm

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x  1 pt(1) 4

1 x

1 x 2 m 1 x

1 x 3















Đặt t = 4

1 x

1 x



1 x

2 1 1 x

1











nên  0  t  1

Bài toán đã cho trở thành: Tìm m để hệ 













 1 t 0

m t 2 t 3 ) t (

có nghiệm

Ta có f ' ( t )   6 t  2 nên có bảng biến thiên sau:

t

0 31 1 f’(t) + 0

3 1

3

1 ) 3

1 ( )

t

(

max

1

t



 ; còn limf(t) 1

1

t 



 (chú ý rằng ở đây không tồn tại min0tf1(t)) Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi  1  m 13

Chú ý:

1 Ở đây vì xét khi 0  t  1, nên không tồn tại min0tf1(t) nhưng tồn tại

1

)

t

(

f

lim

1

t 



 Do đó điều kiện theo lý thuyết  1  m 31 phải thay bằng

3

1

m

1  

 (tức là đã thay điều kiệnmmin0tf1(t)thành







1

tlim (t)

2 Ta có thể giải bài toán trên bằng định lý Viét

Tìm m để hệ 

















) 2 ( 1

t 0

) 1 ( 0 m t 2 t 3 ) t (

có nghiệm Trước tiên ta tìm điều kiện m để hệ trên vô nghiệm

TH1) Phương trình (1) vô nghiệm   ' 0

3

1 m 0 m 3



TH2) PT (1) có nghiệm nhưng không thỏa mãn (2)  t 1  0  1  t 2

 













2 1

2 1

t 1 t

t 0 t

0 '



















0 ) 1 t ).(

1 t (

0 t t 3 m

2 1

2

















0 1 3 3 m 0 m 3 m

 m1

Do đó hệ vô nghiệm khi 









 1 m 3

1 m

Vậy phương trình có nghiệm   1  m 13

Ví dụ 4 Tìm m để phương trình x 2  mx  2  x  1 có hai nghiệm thực phân biệt

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho 















) 1 x ( 2 mx x 0 1 x

















) 2 ( 2

x

) 1 ( mx 1 x 4 x

3 2

Do x = 0 không là nghiệm của (1) với mọi m, nên hệ trên





















) 4 ( 2

1

x

) 3 ( m x

1 x 4 x 3 )

x

(

f

2

Ta có f’(x) = 22

x

1 x

3  và bảng biến thiên

x

2

1

 0

9









Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt 

2

9

m 

Nhận xét: Bài này có thể hướng dẫn học giải bằng cách sử dụng lý Viét.

Tìm m để hệ 















) 2 ( 2

x

) 1 ( 0 1 x ) m 4 ( x

có hai nghiệm phân biệt

Yêu cầu trên tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 sao cho

2

1

x

x 2  1 

























1 x

x

0 ) 2 1 x

)(

2 1 x

( 0

2 1

2 1





















1 x x

0 4

1 ) x x ( 2

1 x x 2 1

2 1 2

1

Áp dụng định lý Viét ta có





















1 3

4 m

0 4 1 6 1 3

4 m

2

9 m 1 m 2

9 m















Như vậy cách giải thứ nhất vẫn gọn hơn cách hai

Ví dụ 5 Cho phương trình log x log 2 x 1 2 m 1 0

3 2

3      Tìm m để phương trình

có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1 ; 3 3

Hướng dẫn giải

Đặt t log 2 x 1

3 

 Khi 1  x  3 3  1  t  2

Bài toán trở thành: Tìm m để hệ phương trình 















) 2 ( 2

t 1

) 1 ( m 2 2 t t ) t (

có nghiệm

Ta có f ' ( t )  2 t  1 và có bảng biến thiên sau:

1

 1 2

f(t)

4 ) 2 (

)

t

(

max

2

t



 ; min1 tf2(t) (1)0



Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là 0  2 m  4  0  m  2

Ví dụ 6 Tìm m để phương trình có nghiệm

91 1 2  ( m  2 ) 31 1 2  2 m  1  0

Hướng dẫn giải

Đặt 31 1 2 t





  3  t  9 Ta có phương trình t 2  2 t  1  m ( t  2 ) (1)

Do 3  t  9  t  2  0 Nên phương trình (1) m

2 t

1 t 2

t 2









 Vì thế bài toán trở

thành: Tìm m để hệ 















) 3 ( 9

t 3

) 2 ( m 2

t

1 t 2 t ) t ( f

2

có nghiệm

2

) 2 t (

3 t 4 t )

t

(

'

f







 và có bảng biến thiên sau đây:

f(t)

7

64 ) 9 (

)

t

(

max

9

t



 ; min3 tf9(t)f(3)4





Vậy các giá trị m cần tìm là: 4  m 647

Ví dụ 7 Cho phương trình 2 (sin 4 x  cos 4 x )  cos x  2 sin 2 x  m  0 (1)

Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0; 2 

Hướng dẫn giải

Phương trình (1)  sin x ) 1 2 sin 2 x 2 sin 2 x m 0

2

1 1 (

 3 sin 2 2 x  2 sin 2 x  3  m (2)

Đặt t = sin2x khi x     2 ; 0  0  t  1 Bài toán trở thành: Tìm m để hệ         ) 4 ( 1 t 0 ) 3 ( m 3 t 2 t 3 ) t ( f 2 Ta có f ' ( t )  6 t  2 và có bảng biến thiên sau: t 0 31 1

f’(t) - 0 +

f(t)

0

3

10 )

3

1 (

)

t

(

f

min

1

t



 ; maxf(t) max (0);f(1) 2

1 t





Vậy giá trị m cần tìm là m 2

3

10   

Ví dụ 8 Tìm m để hệ sau có nghiệm 













 m 3 y x

m 2 y 1 x

Hướng dẫn giải

Đặt u  x  1; v  y  2  u  0 ; v  0 Bài toán trở thành tìm m để hệ sau có nghiệm: 

















0 v

; 0 u

3 m 3 v

u

m v

u

2

2 Nếu m  0 hệ vô nghiệm

Hệ đã cho 



















m u 0

0 ) 3 m 3 m ( mu 2 u 2 ) u

Do đó ta cần tìm m để cho  



 (u) 0

min

m u

0 max0 u m(u)





m 2

u

4

)

u

(

'

f   Ta có bảng biến thiên sau

u

0 m2 m f’(u) - 0 +

f(u)

 (0); (m) m 3m 3 max

)

u

(

m

u



2

6 m 6 m ) 2

m ( ) u ( min

2

m u 0















f(u) 0

min

m

u

0 max0 u m(u)



     0 

2

6 m 6

m 2

3 m 3

m 2  

15 3 m

2

21



Vây các giá trị cần tìm của m là: m 3 15

2

21

Bài tập

1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2 2

4 2

2 1 x 2 ) 2 1 x 1 x 1 x x

1 (

m          

(ĐS: 2  1  m  1)

2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm trên đoạn  2; 2 

2

) x cos 1 ( m x sin 2

( ĐS: 0  m  2)

3 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

x sin x

cos x

3 m 3

(ĐS: 1  m  4)

4 Tìm m để phương trình sau có nghiệm trong khoảng 32 ;  

) 3 x (log m 3 x log 2 x

(ĐS: 1  m  3)

5 Tìm m để hệ sau có nghiệm 













m 1 y y x x

1 y x

(ĐS: 0  m 41 )

2 Bất phương trình chứa tham số

Ví dụ 1 Cho bất phương trình ( x  4 )( 6  x )  x 2  x  m

Tìm m để bất phương trình đúng với  x  4 ; 6

Hướng dẫn giải Cách 1.(Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ)

Điều kiện cần : Giả sử bất phương trình đã cho đúng  x  4 ; 6 thì điều đó cũng đúng khi x   4 ; x  1 ; x  6, tức là m 6

5 1 m

0 24 m

0 24 m





















Điều kiện đủ : Giả sử m  6

Ta có x 2  2 x  m  ( x  1 ) 2  m  1  5 ,  x  4 ; 6

Theo bất đẳng thức Côsi

với  x  4 ; 6 thì 5

2

) x 6 )(

4 x ( ) x 6 )(

4 x (      

Từ đó suy ra khi m  6 thì ( x  4 )( 6  x )  x 2  2 x  m đúng với  x  4 ; 6

Vậy m  6

Cách 2.(Sử dụng định lý Viét)

Đặt t = ( x  4 )( 6  x )   x 2  x  24

Xét g(x) =  x 2  x  24 với  4  x  6  g ' ( t )   2 x  2

Ta có bảng biến thiên sau:

x - 4 1 6

g’(x) + 0

25 ) 1 ( g

)

x

(

g

max

6

x





 , ming(x) ming( 4);g(6) 0

6 x





Bài toán đã cho có dạng: Tìm m để bất phương trình ( t )  t 2  t  24  m  0 đúng với mọi 0  t  5.

TH1) Nếu

2

1 t , 0 ) t (



  ( không thỏa mãn với mọi 0  t  5) TH2) Nếu   0 f(t) = 0 có hai nghiệm phân biệt t 1 t 2 Lúc này yêu cầu bài toán tương đương với 















2 1

2 1

2

t 0 t t

5 0 t













 (tt 50)(t 5) 0

2

1

2

1

6 m 0

m 6

0 m 24





















Vậy bất phương trình có nghiệm khi m  6

Cách 3.(Phương pháp đồ thị).

Đặt y  ( x  4 )( 6  x ), thì y 0 và ta có





























25 y ) 1 ( 0 y

24

x

x

0

2 2 2

Vì thế đồ thị củay  ( x  4 )( 6  x ) là nửa đường tròn (nằm phía trên trục Ox) tâm I(1; 0), bán kính R = 5

Còn y  x 2  x  m có đồ thị là Parabol có trục đối xứng x = 1 và (P)luôn nằm trên nửa đường tròn

Do đó bài toán có dạng: Tìm m để Parabol y  x 2  2 x  m luôn nằm trên nửa đường tròn y  ( x  4 )( 6  x )

Xét (P) tiếp xúc với (C) tại M(1; 5)  m  1  5  m  6

Vậy bất phương trình có nghiêm khi m  6.

y

-4

1

6 5

Cách 4 Viết lại bất phương trình dưới dạng

m x x 24 x x ) x (   2    2  

24 x 2 x

) 24 x x 2 1 )(

x 1 ( )

x

(

'

f

2

2

























Từ đó có bảng biến thiên sau:

x - 4 1 6

f’(x) + 0

-f(x)

6 ) 1 ( )

x

(

max

6

x





Vậy bất phương trình có nghiệm  x  4 ; 6  max (x) m m 6

6 x







Nhận xét: qua các cách giải của bài toán trên ta nhận thấy cách 4 gọn và dễ làm

nhất!

Ví dụ 2 Tìm m để bất phương trình  4 ( 4  x )( 2  x )  x 2  x  m  18

đúng với mọi x   2 ; 4

Hướng dẫn giải

Bất phương trình đã cho  ( x 2  x  8 )  4  x 2  x  8  10   m (1)

Đặt t   x 2  x  8 Ta có t 2   x 2  x  8   ( x  1 ) 2  9  90  t  3 Bài toán trở thành: Tìm m để bất phương trình ( t )  t 2  4 t  10  m đúng với mọi t  0 ; 3 Điều đó xảy ra khi và chỉ khi max0 t 3(t)m   Ta có f ' ( t )  2 t  4  0 t2 Bảng biến thiên sau: t 0 2 3

f’(t) - 0 +

f(t)

f(0); (3) 10 max ) t ( f max 3 t 0     Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là: m  10 Nhận xét: khác với bài 1, bài này thì cách giải này là hợp lí nhât! Ví dụ 3.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x  R m x 9 x m 2    Hướng dẫn giải Vì x 2  9  1  0,  x  R nên bất phương trình đã cho  m 1 9 x x 2     f ( x )  mminRf(x) Ta có f’(x)                  6 x 6 x 9 9 x 0 ) 1 ) 9 x 2 ( 9 x 2 9 x 2 9 2 2 2 2 2 Bảng biến thiên x   - 6 6 

 f’(x) 0 + 0