BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MTCT PHẦN II SỐ DƯ, SỐ NGUYÊN TỐ

- Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại tối đa đủ 9 chữ số rồi tìm số dư lần hai.. Số nguyên tố: -Kiểm tra một số là nguyên tố hay hợp số?. Cơ sở là nội dung Định lí sau: “a là một số ng

PHẦN II: TÌM THƯƠNG VÀ SỐ DƯ, SỐ NGUYÊN TỐ 1) Khi đề cho số bé hơn 10 chữ số:

Số bị chia = số chia thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b)

Suy ra r = a – b q

Ví dụ 1 : Tìm số dư trong các phép chia sau:

1) 9124565217 cho 123456

2) 987896854 cho 698521

Giải.

MODE 1

9124565217 ÷ 123456 = ×123456 - 73909 ×123456 =

Kết quả:55713

MODE 1

Kết quả: 188160

Từ kết quả trên ta có thể tìm số dư trong phêp chia a cho b như sau:

Bước 1: Thực hiện phép chia a cho b( lấy phần nguyên)

Bước 2: ta thực hiện a-b× (phần nguyên) =r

2) Khi đề cho số lớn hơn 10 chữ số:

Phương pháp:

Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 10 chữ số)

- Cắt ra thành 2 nhóm , ba nhóm,… nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái) Tìm số dư phần đầu khi chia cho B.

- Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số dư lần hai Nếu còn nữa tính liên tiếp như vậy.

Ví dụ2: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567.

2345678901234=234567890

4

10

×

+1234

Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567: Được kết quả số dư là : 2203 Tìm tiếp số dư của phép chia 22031234 cho 4567.

Kết quả số dư cuối cùng là 26.

Qua bài toán trên muốn tìm số dư hơn 10 chữ số ta làm như sau:

Bước 1: Tìm số dư 234567890 cho 4567( có số dư 2302)

Bước 2: Tìm số dư 22031234 cho 4567( có số dư 26)

Bước 3: kết luận dư trong phép chia 2345678901234 cho 4567 là 26 Viết quy trình như ví dụ 1

Bài tập: Tìm số dư của các phép chia:

a) 983637955 cho 9604325

b) 903566896235 cho 37869.

c) 1234567890987654321 : 123456

3) Dùng kiến thức về đồng dư để tìm số dư.

* Phép đồng dư:

+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói

a đồng dư với b theo modul c ký hiệu a b≡ (mod )c

+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+

a a≡ (mod )m

a b≡ (mod )m ⇔ ≡b a(mod )m

a b≡ (mod );m b c≡ (mod )m ⇒ ≡a c(mod )m

a b≡ (mod );m c d≡ (mod )m ⇒ ± ≡ ±a c b d(mod )m

a b≡ (mod );m c d≡ (mod )m ⇒⇒ac bd≡ (mod )m

(mod ) (mod )

n n

a b≡ m ⇔a ≡b m

Ví dụ 3: Tìm số dư trong phép dư

6

12 cho 19

Giải:

( )

2

3

12 144 11(mod19)

12 12 11 1(mod1)

= ≡

Vậy số dư của phép chia

6

12 cho 19

là 1

Ví dụ 4 : Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975

Giải :

Biết 376 = 62 6 + 4

Ta có:

2

2004 841(mod1975)

2004 841 231(mod1975)

2004 231 416(mod1975)

2004 416 536(mod1975)

≡

Vậy

62

62.6 4

2004 416.536 1776(mod1975)

2004 1776.841 516(mod1975)

2004 513 1171(mod1975)

2004 1171 591(mod1975)

2004 + 591.231 246(mod1975)

Kết quả: Số dư của phép chia 2004376 cho 1975 là 246

4) Tìm chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm của một lũy thừa.

Ví dụ 5: Tìm chữ số hàng đơn vị của số 172002

Giải:

( )

2

1000

2

1000

2000

17 9(mod10)

17 17 9 (mod10)

9 1(mod10)

9 1(mod10)

17 1(mod10)

≡

≡

≡

≡

Vậy

2000 2

17 17 ≡ 1.9(mod10)

Chữ số tận cùng của 172002 là 9

Ví dụ 6: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005

Giải.

+ Tìm chữ số hàng chục của số 23 2005

1

2

3

4

23 23(mod100)

23 29(mod100)

23 67(mod100)

23 41(mod100)

≡

≡

≡

≡

Do đó:

( )5

23 23 23 23 23.41.01 43(mod100)

Vậy chữ số hàng chục của số 232005 là 4 (hai chữ số tận cùng của số 232005 là 43)

+ Tìm chữ số hàng trăm của số 23 2005

4

5

20 4

2000 100

23 023(mod1000)

23 841(mod1000)

23 343(mod1000)

23 343 201(mod1000)

23 201 (mod1000)

≡

≡

≡

≡

5

100

2000

2005 1 4 2000

201 001(mod1000)

201 001(mod1000)

23 001(mod1000)

23 23 23 23 023.841.001 343(mod1000)

≡

≡

≡

Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 232005 là số 343)

5) Số nguyên tố, hợp số, ước nguyên tố

1 Số nguyên tố:

-Kiểm tra một số là nguyên tố hay hợp số?

Cơ sở là nội dung Định lí sau: “a là một số nguyên tố nếu nó không chia

Xuất phát từ cơ sở đó, ta lập 1 quy trình bấm phím liên tiếp để kiểm tra xem

số a có chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn a hay không!

Nhận xét: Mọi số nguyên tố đều là lẻ (trừ số 2), thế nên ta dùng phép chia a cho

các số lẻ không vượt quá a

Cách làm:

Bước 1: Tính a

Bước 2: Lấy phần nguyên b của kết quả

Bước 3: Lấy số lẻ lớn nhất c không vượt quá b

Bước 4: Lập quy trình

c → A

A =A – 2 : B = a ÷

A

Gán số lẻ c vào ô nhớ A làm biến chạy.

Dòng lệnh 1 A là một biến chạy.

Dòng lệnh 2 B là biểu thức

= = =

ấn dấu

=

và quan sát đến khi A = 1 thì dừng.

1. Trong quá trình ấn

=

:

- Nếu tồn tại kết quả nguyên thì khẳng định a là hợp số

- Nếu không tồn tại kết quả nguyên nào thì khẳng định a là số nguyên tố

Ví dụ 7: Xét xem 8191 là số nguyên tố hay hợp số?

1. Tính 8191 được 90,50414355

2. Lấy phần nguyên được 90.

3. Lấy số lẻ lớn nhất không vượt quá nó là 89.

4. Lập quy trình:

89 → A

A = A-2:B=8191 ÷

A

= = = =

5. Quan sát các kết quả ta thấy đều không nguyên, cho nên khẳng định

8191 là số nguyên tố.

Ví dụ 8: Xét xem 99 873 là số nguyên tố hay hợp số?

1 Tính 99873 được 316,0268976.

2 Lấy phần nguyên được 316.

3 Lấy số lẻ lớn nhất không vượt quá nó là 315.

4 Lập quy trình:

315 → A

A =A-2 :B= 99 873 ÷

A

= = = =

5 Quan sát màn hình thấy có kết quả nguyên là 441, cho nên khẳng định

99 873 là hợp số.

Nhận xét: Nếu một số n là hợp số thì nó phải có ước số nguyên tố nhỏ hơn n

để kiểm tra xem 1493 có là hợp số hay không ta chỉ cần kiểm tra xem 1493 có chia hết cho số nguyên tố nào nhỏ hơn 1493 40< hay không.

- Thực hiện trên máy ta có kết quả 1493 không chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn 40 ⇒ 1493 là số nguyên tố.

2 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Nhận xét: Các số nguyên tố đều là số lẻ (trừ số 2)

Cách làm:

Trường1: Nếu số a có ước nguyên tố là 2, 3 (Dựa vào dấu hiệu chia hết để nhận

biết)

Ta thực hiện theo quy trình:

a → C

2 → A (hoặc 3 → A)

C : A =B: C =B : A

=

=

Máy báo kq nguyên → ta nghi 2 (hoặc 3)là một SNT.

Các kq vẫn là số nguyên thì mỗi lần như thế ta nhận được 1 TSNT là 2 (hoặc 3).

Tìm hết các TSNT là 2 hoặc 3 thì ta phân tích thương còn lại dựa vào trường hợp dưới đây

Ví dụ 9: Phân tích 64 ra thừa số nguyên tố?

Mô tả quy trình bấm phím Ý nghĩa hoặc kết quả

64 → C

2 → A

C : A = B: C=B : A

=

=

=

=

Gán Gán

Kq là số nguyên 32 Ghi TSNT 2

Kq là số nguyên 16 Ghi TSNT 2

Kq là số nguyên 8 Ghi TSNT 2

Kq là số nguyên 4 Ghi TSNT 2

Kq là số nguyên 2 Ghi TSNT 2

Kq là số nguyên 1 Ghi TSNT 2

Vậy 64 = 2 6

3 Tìm số nguyên tố nhỏ nhất, lớn nhất, tìm có bao nhiêu ước:

Định lí 1 (Định lí cơ bản về số nguyên tố):

Mọi số nguyên dương n, n > 1, đều có thể được viết một cách duy nhất (không tính đến việc sắp xếp các nhân tử) dưới dạng:

1 2

1e 2e e k,

k

n= p p p

với k, e i là số tự nhiên và p i là các số nguyên tố thoả mãn:

1 < p 1 < p 2 < < p k

Khi đó, dạng phân tích trên được gọi là dạng phân tích chính tắc của số n.

Ví dụ 10: Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số:

A = 215 2 + 314 2

Giải.

- Tính trên máy, ta có: A = 144821

- Đưa giá trị của số A vào ô nhớ A : 144821 SHIFT STO A

- Lấy giá trị của ô nhớ A lần lượt chia cho các số nguyên tố từ số 2:

ANPHA A ÷

2 = (72410,5)

3 = (48273,66667)

tiếp tục chia cho các số nguyên tố: 5, 7, 11, 13, ,91: ta đều nhận được A không chia hết cho các số đó Lấy A chia cho 97, ta được:

ANPHA A ÷

97 = (1493) Vậy: 144821 = 97 x 1493

Vậy A = 215 2 + 314 2 có ước số nguyên tố nhỏ nhất là 97, lớn nhất là 1493.

Ví dụ11: Số N = 2 7 3 5 5 3 có bao nhiêu ước số ?

Giải:

- Số các ước số của N chỉ chứa thừa số: 2 là 7, 3 là 5, 5 là 3

- Số các ước số của N chứa hai thừa số nguyên tố:

2 và 3 là: 7x5 = 35; 2 và 5 là: 7x3 = 21; 3 và 5 là: 5x3 = 15

- Số các ước số của N chứa ba thừa số nguyên tố 2, 3, 5 là 7x5x3 = 105 Như vậy số các ước số của N là: 7 + 5 + 3 + 35 + 21 + 15 + 105 + 1 = 192.

Định lí 2 (Xác định số ước số của một số tự nhiên n):

Cho số tự nhiên n, n > 1, giả sử khi phân tích n ra thừa số nguyên tố ta được:

1 2

1e 2e e k,

k

n= p p p

với k, e i là số tự nhiên và p i là các số nguyên tố thoả mãn:

1 < p 1 < p 2 < < p k

Khi đó số ước số của n được tính theo công thức:

τ(n) = (e 1 + 1) (e 2 + 1) (e k + 1)

Ví dụ 12: Hãy tìm số các ước dương của số A = 6227020800.

Giải:

- Phân tích A ra thừa số nguyên tố, ta được:

A = 2 10 3 5 5 2 7.11.13

áp dụng định lí trên ta có số các ước dương của A là:

τ(A) = 11.6.3.2.2.2 = 1584

Ví dụ 13: Có bao nhiêu số tự nhiên là ước của:

N = 1890 x 1930 x 1945 x 1954 x 1969 x 1975 x 2004

Giải:

- Phân tích N ra thừa số nguyên tố, ta được:

N = 2 5 x 3 4 x 5 5 x 7 x 11 x 79 x 167 x 179 x 193 x 389 x 977

áp dụng định lí 2, ta có số các ước dương của N là:

τ(N) = 6 x 5 x 6 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 46080

Ví dụ 14: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất mà n 2 bắt đầu bởi số 19 và kết thúc bằng số 89

Giải:

a) Trước hết ta tìm số n2 có tận cùng là 89:

- Vì n2 có tận cùng là 9 nên n chỉ có thể có tận cùng là 3 hoặc 7

- Thử trên máy các số: 13, 23, , 93 ; 17, 27, , 97 ta tìm được:

để n2 có tận cùng là 89 thì n phải có 2 số tận cùng là một trong các số sau:

17, 33, 67, 83 (*)

* Bây giờ ta tìm số n2 bắt đầu bởi số 19:

- Để n2 bắt đầu bởi số 19 thì nó phải có dạng:

19 x 10k≤ n2 < 20 x 10k ⇔ 19.10 20.10

k ≤ <n k

(1) + Nếu k = 2m thì ta có (1), trở thành:

19.10 20.10

m≤ <n m

⇔ 4,3588989.10m ≤ n < 4,472135955.10m (2)

Trong (2) ta cho m = 0, 1, 2, (tính trên máy):

ta được n có thể là: 44, 436, 437, 438, 439, , 447

+ Nếu k = 2m +1 thì ta có (1), trở thành:

190.10 200.10

m≤ <n m

⇔ 13,78404875.10m ≤ n < 14,14213562.10m (3)

Trong (3) ta cho m = 0, 1, 2, (tính trên máy):

ta được n có thể là: 14, 138, 139, , 141

1379, 1380, 1381, , 1414

Tóm lại để n bắt đầu bởi số 19 thì n có thể là:

14, 44, 138, 139, , 141, 436, 437, , 447, 1379, 1380, , 1414 (**)

Từ (*) và (**) ta nhận thấy trong các số trên chỉ có số 1383 thoả mãn bài toán.

b) Ta có: 2525 x 108 ≤ x2 < 2526 x 108

⇔ 50,24937811 x 104≤ x < 50,25932749 x 104

Vậy : 502493 < x < 502593

Số x tận cùng phải là: 17, 33, 67, 83 (theo câu a), do đó các số thoả mãn là:

502517, 502533, 502567, 502583.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) Tìm số dư.

Bài 1.Tìm số dư khi chia 2006

10

cho 2000 Bài 2.Tìm số dư trong phép chia A = 3 8 + 3 6 + 3 2004 cho 91.

Bài 3 Tìm số dư khi chia 2945 5 - 3 cho 9

Bài 4 Tìm số dư khi chia (1997 1998 +1998 1999 + 1999 2000 ) 10 cho 111

Bài 5 Tìm số dư khi chia 1532 5 - 1 cho 9

Bài 6 Tìm số dư khi chia 10! cho 11

Bài 6 Tìm số dư khi chia 1776 2003 cho 4000

Bài 7 a) Tìm số dư khi chia 13! cho 11

b) Tìm số dư trong phép chia: 7 15 : 2001

Bài 8: Tìm số dư khi chia 5 70 + 7 50 cho 12

Bài 9: a) Viết quy trình tìm số dư khi chia (5 15 + 1) cho (2 12 +1)

b) Hãy tìm số dư r

Bài10: Tính phần dư của các số 7 0 ; 7 1 ; 7 2 ; 7 3 ; 7 4 ; 7 5 ; 7 6 ; 7 7 ; 7 8 ; 7 9 ; 7 10 ; 7 11 khi chia cho 13 và điền vào bảng sau:

7 0 7 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 8 7 9 7 10 7 11

Số

dư

Bài11:

a) Tìm số dư khi chia 1997 2008 cho 2003

b/ Tìm số dư khi chia 1997 2001 cho 2003

c/ Tìm số dư khi chia 2 100 cho 100

d/ Tìm số dư khi chia 9 100 cho 100

e/ Tìm số dư khi chia 11 201 cho 100

Bài 12: Tìm số dư khi chia 102007 200708 cho 111007

Bài 13:Tìm số dư của phép chia :

a) 13 8 cho 27

b) 25 14 cho 65

c) 1978 38 cho 3878.

d) 2005 9 cho 2007

e) 7 15 cho 2001

Bài 12:Viết quy trình bấm phím tìm số dư của phép chia 19052002 cho 20969 Bài 13: Tìm số dư của phép chia: 26031931 cho 280202

Bài 14: Tìm số dư của phép chia: 21021961 cho 1781989

Bài 15: Tìm số dư của phép chia:18901969 cho 2382001

Bài 16: Tìm số dư của phép chia: 3523127 cho 2047

Bài 17: Tìm số dư của phép chia: 143946 cho 23147

Bài 18: Viết quy trình bấm phím và tìm số dư khi chia 2002200220 cho 2001 Bài 19: Tìm số dư của phép chia

a) 1234567890987654321 : 123456 b) 7 15 : 2001

Bài 20: Chia 6032002 cho 1950 được số dư là r 1 Chia r 1 cho 209 có số dư là r 2

Tìm r 2

Bài 21: Chia 19082002 cho 2707 được số dư là r 1 Chia r 1 cho 209 có số dư là r 2 Tìm r 2

Bài 22: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn: Chia 2 dư 1, chia 3 dư 2,chia 4

dư 3, chia 5 dư 4, chia 6 dư 5, chia 7 dư 6, chia 8 dư 7

Bài 23: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn: Chia 2 dư 1, chia 3 dư 2,chia 4

dư 3, chia 5 dư 4, chia 6 dư 5, chia 7 dư 6, chia 8 dư 7, chia 9 dư dư 8, chia 10 dư 9.

Bài 24: Tìm số dư khi chia 1234567890987654321 cho 2007

Bài 25: Tìm a,b để số 247675ab969 chia hết cho 2007

Bài 26: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất biết số đó chia hết cho 45 và chia 41 dư 2

Bài 27 : Tìm số dư của các phép chia :

a) 2 1 + 3 5 + 4 9 + … + 2003 8005 cho 5

b) 2 3 + 3 7 + 4 11 + … + 2003 8007 cho 5

2 Số nguyên tố.

Bài 1: Tìm các ước nguyên tố của

A = 1751 3 + 1957 3 + 2369 3

Bài 2 Tìm các ước nguyên tố của

M = 1897 5 + 2981 5 + 3523 5

Bài 3 Số 2 11 – 1 là số nguyên tố hay hợp số.

Bài 4: Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số:

a) A = 10001

b) A = 215 2 + 314 2

Bài 5: Số N = 2 7 3 5 5 3 có bao nhiêu ước số ?

Bài 6: T×m 2 ch÷ sè tËn cïng cña A, biÕt:

A = 22005 + 22006 + 22007

3.Tìm chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm.

1.Tìm chữ số cuối của: 72010; 354; 2713; 4931.

2.Tìm chữ số hàng chục của: 252009; 372002; 192001.

3.Tìm hai chữ số cuối của:

4 Tìm chữ số tận cùng của X, Y :

X = 22 + 36 + 410 + … + 20048010

Y = 28 + 312 + 416 + … + 20048016

5 Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau :

U = 21 + 35 + 49 + … + 20058013

V = 23 + 37 + 411 + … + 20058015