BÀI TẬP CHỌN LỌC MÔN TOÁN ÔN THI VÀO LỚP 10

BÀI TẬP CHỌN LỌC MÔN TOÁN ÔN THI VÀO LỚP 10 GỒM CÁC BÀI TẬP CHON LỌC ĐỂ ÔN THI VÀO LỚP 10 ĐƯỢC SẮP XẾP THEO CÁC CHUYÊN ĐỀ, ĐẦY ĐỦ CÁC DẠNG, TỪ CƠ BẢN ĐẾN NĂNG CAO. NỘI DUNG RẤT TỐT CHO CÁC EM HỌC SINH THỬ SỨC TRONG SUỐT CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9 VÀ GIAI ĐOẠN GẤP RÚT ÔN THI VÀO LỚP 10. CHÚC THÀNH CÔNG, HẠNH PHÚC

CHUYÊN ĐỀ I: CĂN THỨC BẬC HAI

b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x = 1

2

H íng dÉn :

x x

a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1 Biểu thức rút gọn : A = 2 1



 x x

3 x 1 x

x 2 3

x 2 x

19 x 26 x x P

b Tính giá trị của P khi x7 4 3

c Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó

Hướng dẫn :

a ) ĐKXĐ : x  0, x 1 Biểu thức rút gọn :

3 x

16 x P





 b) Ta thấy x7 4 3  ĐKXĐ Suy ra

22

3 3 103

P  c) Pmin=4 khi x=4

3 3 3 3

2

x

x x

x x

x x

x P

3 P

 )

 )

CHUYấN ĐỀ II: HÀM SỐ BẬC NHẤTB

ài 1 :

1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4)

2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành

H ớng dẫn :

4 2

1) Tỡm điều kiện của m để hàm số luụn nghịch biến

2) Tỡm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ bằng 3

3) Tỡm m để đồ thị của hàm số trờn và cỏc đồ thị của cỏc hàm số y = -x + 2 ; y = 2x– 1 đồng quy

H ớng dẫn :

2) Tỡm giỏ trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).

3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m

H ớng dẫn :

1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2  m = -1

Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3 Ta được : m = -3

Vậy với m = -3 thỡ đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luụn đi qua là M(x0 ;y0) Ta cú

y0 = (m – 1)x0 + m + 3  (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0  



 2 1

0 0

y x

Vậy với mọi m thỡ đồ thị luụn đi qua điểm cố định (1;2)

B

ài 4 : Cho hai điĨm A(1 ; 1), B(2 ; -1).

1) Viết phơng trình đờng thẳng AB

2) Tìm các giá trị cđa m đĨ đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song songvới đờng thẳng AB đồng thời đi qua điĨm C(0 ; 2)

2 1 1

2 3

2 2

m m

m m

1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)

2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m Tìm

điểm cố định ấy

3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1

H ớng dẫn :

0 0

y x

Vậy với mọi m thỡ đồ thị luụn đi qua điểm cố định ( ; 25

ài 7 : Giả sử đường thẳng (d) cú phương trỡnh y = ax + b Xỏc định a, b để (d) đi

qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1)

ài 8 : Cho hàm số : y = x + m (D).

Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) :

1) Đi qua điểm A(1; 2003)

2) Song song với đường thẳng x – y + 3 = 0

+ Nếu a ≠ 0 phương trình có nghiệm duy nhất : x = ba

+ Nếu a = 0 và b ≠ 0  phương trình vô nghiệm

+ Nếu a = 0 và b = 0  phương trình có vô số nghiệm

x a'

c

by

1

x x

1 - 2x

3

3



 = 2  2x = - 3  x = 23

Với  x = 23 thay vào (* ) ta có (23)3 + 23 + 1 ≠ 0

Vậy x = 23 là nghiệm

Ví dụ 2 : Giải và biện luận phương trình theo m :

(m – 2)x + m2 – 4 = 0 (1)

+ Nếu m 2 thì (1)  x = - (m + 2)

+ Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm

Ví dụ 3 : Tìm m  Z để phương trình sau đây có nghiệm nguyên

ài 1 : Giải hệ phương trình:

2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y) Tìm các giá trị của m để x + y = -1.3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

B

µi 3 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh:

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.

2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.B

ài 4 : Cho hệ phương trỡnh:

 cú nghiệm duy nhất là (x; y)

1) Tỡm đẳng thức liờn hệ giữa x và y khụng phụ thuộc vào a

2) Tỡm cỏc giỏ trị của a thoả món 6x2 – 17y = 5

3) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của a để biểu thức 2x 5y

2) Với giỏ trị nào của a thỡ hệ cú nghiệm duy nhất

0 3)y (m

-x

(m là tham số).a) Giải hệ khi m = -1

b) Giải và biện luận pt theo m

mx

0

y m -

ài 10 (trang 23): Một ụtụ và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường

sau 3 giờ thỡ gặp nhau Nếu đi cựng chiều và xuất phỏt tại một điểm thỡ sau 1 giờ hai

xe cỏch nhau 28 km Tớnh vận tốc của mỗi xe

HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h Vận tốc ụtụ : 40 km/h.

B

ài 11 : (trang 24): Một ụtụ đi từ A dự định đến B lỳc 12 giờ trưa Nếu xe chạy

với vận tốc 35 km/h thỡ sẽ đến B lỳc 2 giờ chiều Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/hthỡ sẽ đến B lỳc 11 giờ trưa Tớnh độ quảng đường AB và thời diểm xuất phỏt tại A

Đỏp số : AB = 350 km, xuất phỏt tại A lỳc 4giờ sỏng.

ài 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau 454 giờthì đầy bể Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau 56 giờnữa mới nay bể Nếu một mình vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể

Đáp số : 8 giờ.

B

ài 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t0C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt(kcal) Hỏi phải dùng bao nhiêu lít 1000C và bao nhiêu lít 200C để được hỗn hợp 10lít 400C

y 2,5

x

Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 200C

B

ài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít thì dung dịch mới có nồng độ 50%.

Lại thêm 300g nước vào dung dịch mới được dung dịch axít có nồng độ 40% Tínhnồng độ axít trong dung dịch ban đầu

Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dịch ban đầu

% 100 500

y 200) (

% 50

% 100 200

y 200) (

y 400

x

Vậy nồng độ phần trăm của dung dịch axít ban đầu là 40%

CHUYÊN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

ĐỊNH LÝ VIET VÀ ỨNG DỤNG

A.Kiến thức cần ghi nhớ

1 Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) trong

đó a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp

a)Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đóvào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Cómột nghiệm duy nhất

- hoặc vô nghiệm

- hoặc vô số nghiệm

b)Nếu a 0

Lập biệt số = b2 – 4ac hoặc / = b/2 – ac

*  < 0 (/ < 0 ) thì phương trình (1) vô nghiệm

p = x1x2 = a c

Đảo lại: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó lànghiệm (nếu có ) của phương trình bậc 2:

x2 – S x + p = 0

3 Dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai.

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) Gọi x1 ,x2 là các nghiệm củaphương trình Ta có các kết quả sau:

S

4 Vài bài toán ứng dụng định lý Viét

a)Tính nhẩm nghiệm.

Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0)

 Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 = a c

 Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - a c

 Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và   0 thì phương trình có nghiệm

c)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có nghệm x 1 , x 2 thoả mãn

điều kiện cho trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp và cách biến đổi):

*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p

2 1 2 1

1 1

x x

x x x x

2 2

2 1

x x x

x x

2 1 2

1

2 )

)(

(

2 1

1

a aS p

a S a

x a x

a x x a x a

 Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:

x = x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số

- Sau đó thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và

giải phương trình

Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà phương

trình bậc hai này có  < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phươngtrình có nghiệm x1 cho trước

 Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm

+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương

trình (như cách 2 trình bầy ở trên)

+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ

tìm được nghiệm thứ 2

+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai nghiệm ,từ

đó tìm được nghiệm thứ 2

- Với m =3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = 4

- Với m = -3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = -2 + Nếu /

 < 0  -3 < m < 3 thì phương trình vô nghiệm

Kết kuận:

 Với m = 3 thì phương trình có nghiệm x = 4

 Với m = - 3 thì phương trình có nghiệm x = -2

 Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

 Với -3< m < 3 thì phương trình vô nghiệm

Bài 2: Giải và biện luận phương trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0

Hướng dẫn

 Nếu m – 3 = 0  m = 3 thì phương trình đã cho có dạng

- 6x – 3 = 0  x = -

2 1

* Nếu m – 3 0  m  3 Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt

- Nếu /

 < 0  m < 2 Phương trình vô nghiệm

Kết luận:

Với m = 3 phương trình có nghiệm x = - 21

Với m = 2 phương trình có nghiệm x1 = x2 = -2

Với m > 2 và m  3 phương trình có nghiệm x1,2 =

3

2 3

Với m < 2 phương trình vô nghiệm

Bài 3: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có :

7 2 - 3 x x

2 1 2 1

Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 3 , x2 = - 2 7

Bài 4 : Giải các phương trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)

2 1

m

m x

2 1

S x

x

x x

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2

2 Tìm những giá trị của k để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

3 Gọi x1 , x2 là nghệm của phương trình (1) Tìm k để : x13 + x23 > 0

 -(k - 12 )2 - 47 < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi k

Cho phương trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

1 Giải phương trình (1) với m = -5

2 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m

3 Tìm m để x 1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phương trình(1) nói trong phần 2.)

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2

3 Vì phương trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:

 = 19 khi m + 12 = 0  m = - 21Vậy x 1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = - 12

Bài 8 : Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)

1) Giải phương trình khi m = - 29

2) Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm với mọi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia.

Giải:

1) Thay m = - 92 vào phương trình đã cho và thu gọn ta được

5x2 - 20 x + 15 = 0

phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3

2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phương trình đã cho trở thành;

4 2

m m

m

Tóm lại phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

3)Theo câu 2 ta có m  - 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trường hợp

Kiểm tra lại: Thay m =

2

11

vào phương trình đã cho ta được phương trình : 15x2 – 20x + 5 = 0 phương trình này có hai nghiệm

x1 = 1 , x2 = 155 = 31 (thoả mãn đầu bài)

Bài 9: Cho phương trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số

1 Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình (1)

2 Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm thứ hai

2 4 2

b

/

 > 0  - m + 4 > 0  m < 4: (1) có 2 nghiệm phân biệt

m = 0 : Phương trình (1) có nghiệm đơn x = 43

2 (1) có nghiệm trái dấu 

m m

m m

Trường hợp 





 0 3

m m

không thoả mãnTrường hợp 





 0 3

m m

- Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -49 thoả mãn

*) Cách 2: Không cần lập điều kiện /

  0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm được

m = -49 Sau đó thay m = -49 vào phương trình (1) :

2

1

x x

Vậy với m = -49 thì phương trình (1) có một nghiệm x= 3

) 2 4

9 ( 2 ) 2 ( 2

 x2 = 349 - x1 = 349 - 3 = 97

x1x2 = 219

4 9

3 4

9 3

(Có a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = - 72

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lượt k1 , k2 vào /

 = k2 + 5k – 2 + k1 = 1 => /

 = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; thoả mãn + k2 = - 27 =>  /= 2 49 470 8 298

2

35 4

Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

BÀI TẬP VỀ PT BẬC HAI

trình Không giải phương trình, hãy tính:

Tính x 1 x 2  x 2 x 1 (với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình)

Bài 3 : Cho phương trình bậc hai:

x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0

1) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của

phương trình)

Bài 4 : Cho phương trình:

x2 – 2mx + 2m – 5 = 0

1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

3) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:

x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8

Bài 5 : Cho phương trình:

x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0

1) Giải phương trình với m = 0

2) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1

+ x2 = 4

Bài 6 : Cho phương trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1)

1) Giải phương trình (1)

2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tính B = x13 + x23

a) Xác định m để phương trình có một nghiệm là bằng 2 Tìm nghiệm còn lại

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23  0

Bài 8 : Cho phương trình:

(m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*)

1) Giải phương trình khi m = 1

2) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)

 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1

 Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có

,

 = m2-2m+1= (m-1)20 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m

ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)

0 1 1 2

0 1 2

2

m m

m

=>m<0 Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0

CHUYÊN ĐỀ VI: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PT

Bài1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km Ô tô thứ

nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ Tính vận tốc mỗi xe ô tô

quãng đường với vận tốc đó, vì đường khó đi nên người lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đường còn lại Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đường AB

Bài 2 : Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy Nðu chảy cùng

một thời gian như nhau thì lượng nước của vòi II bằng 2/3 lương nước của vòi I chảy được Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể

Bài 3 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy

với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu

Bài 4 : Quãng đờng AB dài 180 km Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B.

Do vận tốc của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhấtđến sớm hơn ôtô thứ hai 2h Tính vận tốc của mỗi ôtô?

Bài 5 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ)

đã trồng được tất cả 80 cây Biết rằng số cây các bạn nam trồng được và số cây cácbạn nữ trồng được là bằng nhau ; mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 3cây Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của tổ

Bài 6 : Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km Một ô tô đi từ A đến B,

nghỉ 90 phút ở B rồi trở lại từ B về A Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ.Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h Tính vận tốc lúc đi của ô tô

dài thêm 5m thì ta được hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhậtban đầu Tính chu vi của hình chữ nhật ban đầu

Bài 8 : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng

lúc đó cũng từ A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước 4 km/h Khi đến B ca nôquay lại ngay và gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 8 km Tính vận tốcthực của ca nô