De cuong on tap ki II toan 8 14 15

Nội dung trong đề cương tổng hợp kiến thức môn Toán lớp 8 học kỳ 2 ( đại số và hình học), mỗi nội dung có ví dụ minh họa cụ thể và phần bài tập để học sinh tự rèn luyện. Tổng hợp thêm một số đề thi qua các năm học.

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN 8 HỌC KÌ II

A PHẦN ĐẠI SỐ

I Phương trình bậc nhất một ẩn

1 Phương trình bậc nhất một ẩn

1.1 Định nghĩa: Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng:

ax + b = 0 (với a và b là hai số đã cho và a 0)

Phương trình có nghiệm duy nhất: x b

a



- Nếu a = 0, b ≠ 0 : pt vô nghiệm

- Nếu a = 0, b = 0 : pt vô số nghiệm

1.2 Cách giải

Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế trái, hạng tử tự do (không chứa ẩn) sang vế phải Sau

đó thu gọn rồi tìm x

*Chú ý: Khi chuyển vế hạng tử nào thì phải đổi dấu số hạng đó.

1.3 Ví dụ: Giải các pt sau

 

2 – 4 0 4

) 2 4 2 2 2

a x x x x S





 

2 – 4 5 5

3 3

x x S

 

2 Phương trình đưa về phương trình bậc nhất

2.1 Phương trình có chứa dấu ngoặc

a Cách giải: thực hiện phá ngoặc bằng cách nhân các thừa số trong cùng hạng tử hoặc

nếu đằng trước dấu ngoặc là “dấu trừ” thì phải đổi dấu các hạng tử trong ngoặc đó

b Ví dụ: Giải pt:

 

10 – (5 3) 4 3

10 – 5 + 3 4 12

9 9

x S















2.2 Phương trình có mẫu là số

a Cách giải

 Bước 1: Quy đồng, khử mẫu hai vế.

 Bước 2: Giải phương trình vừa tìm được.

b Ví dụ: Giải phương trình

( : 6)

3( 2) (2 1) 5.2

MSC

6 6 2 1 10

5 4 5 4

x x S

 

 

 

3 Phương trình tích

3.1 Định nghĩa: phương trình tích là phương trình có dạng:

A(x) B(x) = 0

Cách giải: A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

* Mở rộng:      

( ) 0 (

( ) 0

A x B

A x B x

x

C

C













* Nếu phương trình có bậc từ bậc hai trở lên và chưa có dạng tích thì phải đưa phương trình về dạng phương trình tích bằng cách phân tích thành nhân tử

3.2 Ví dụ: Giải phương trình

a) (2 1)(3 2) 0

1 2 2 3

1 2

;

2 3

x x x x S

 











 



  

b) 2 ( 1) 3( 1) 0 ( 1)(2 3) 0

1 0

1 3 2 3 1;

2

x x x x S

 













 



  

3 2

( 2)(x 2) 0 0

2 0

2 0 0 2 2 0; 2; 2

x x

x x x x x x x x S









  











 



4 Phương trình chứa ẩn ở mẫu

4.1 Cách giải

Phân tích các mẫu thức thành nhân tử (nếu được)

 Bước 1: Tìm ĐKXĐ: điều kiện của biến để tất cả mẫu thức khác không.

 Bước 2: Quy đồng, khử mẫu hai vế.

 Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

 Bước 4: Kết luận: các giá trị nào của ẩn thỏa mãn ĐKXĐ chính là nghiệm của

phương trình Nghiệm không thỏa (nghiệm ngoại lai) thì loại bỏ đi.

4.2 Ví dụ: Giải phương trình:

a)

1

3 1

1 1

2

2









x



) 1 )(

1 (

3 1

1 1

2











ĐKXĐ: 





















1 0

1

1 0

1

x x

x x

MTC: (x 1 )(x 1 )

2

)

b

x  x x 

ĐKXĐ:





















2 0

2

2 0

2

x x

x x

MTC: (x 2 )(x 2 )

(2)  x(x 2 )  2x(x 2 )  5

(1) 2( 1) 1( 1) 3

x

 x 8 (tmđk)

 8

 

2 2 2

( 1) 5( 1) 0 ( 1)( 5) 0

1;5

S



 





5 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Kiến thức cần nhớ:  



0 0

a neáu a a

a neáu a

Ví dụ: Giải các phương trình sau

a) 3x x 4

● 3x 3x 3x 0 x0

Ta có: 3x = x + 4

 3x – x = 4  2x = 4  x = 2 (nhận)

● 3x 3x3x0 x0

Ta có: -3x = x + 4  -3x – x = 4  - 4x = 4  x = -1 (nhận) Vậy S  1;2

b) x 3 9 2  x

● x 3  x 3 x 3 0  x3

Ta có: x - 3 = 9 – 2x

 x + 2x = 9 + 3  3x = 12  x = 4 (nhận)

● x 3 (x 3) x 3 0  x3

Ta có: - (x – 3) = 9 – 2x

 - x + 3 = 9 – 2x

 - x + 2x = 9 - 3  x = 6 (loại)

Vậy S 4

6 Giải bài toán bằng cách lập phương trình

6 1 Cách giải chung

* Bước 1: Lập phương trình (gồm các công việc sau):

 Chọn ẩn số (ghi rõ đơn vị) và đặt điều kiện cho ẩn;

 Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

 Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

* Bước 2: Giải pt: Tuỳ từng phương trình mà chọn cách giải ngắn gọn và phù hợp.

* Bước 3: Trả lời : Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào

thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận

- Các dạng bài thường gặp: toán về số, phần trăm; toán chuyển động; toán năng xuất Trong từng dạng toán thường có 3 đại lượng tham gia là: đại lượng đã biết; đại lượng cần phải đi tìm và đại lượng trung gian và ta cũng luôn lập phương trình qua đại

lượng trung gian đó Do đo, khi giải ta có thể lập bảng như sau:

Các sự vật, sự việc trong đề bài

ĐL đã biết (1)

ĐL đi tìm (2) ĐL trung gian

Số thứ nhất Xe máy Kế hoạch … …. Mối quan hệ của 1 và 2

Số thứ hai Ô tô Thực tế … … Mối quan hệ của 1 và 2

6.2 Ví dụ:

Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35 km/h Sau đó 24 phút, trên cùng tuyến đường đó, một ô tô xuất phát từ Nam Định đi Hà Nội với vận tốc 45 km/h Biết quãng đường Nam Định - Hà Nội dài 90 km Hỏi sau bao lâu kể từ khi xe máy khởi hành, hai xe gặp nhau?

Giải: 24 phút = 52 giờ

Gọi x (h) là thời gian hai xe gặp nhau kể từ khi xe máy khởi hành ( x > 52 )

ĐL đã biết

Vận tốc (km/h)

ĐL đi tìm

Thời gian đi (h)

ĐL trung gian

Quãng đường đi (km)

Hai xe đi ngược chiều gặp nhau nghĩa là đến lúc đó tổng quãng đường hai xe đi được đúng bằng quãng đường Nam Định - Hà Nội Ta có phương trình : 35x + 45(x -

5

2

) = 90 Giải phương trình tìm được: x = 1 7 1 21'

20h h

II Bất phương trình bậc nhất một ẩn

1 Định nghĩa: Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b  0, ax + b 0) với a và b là hai số đã cho và a 0 , được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn

2 Cách giải: Tương tự như cách giải phương trình đưa về bậc nhất rồi biểu diễn nghiệm

trên trục số

* Chú ý :

- Khi chuyển vế hạng tử thì phải đổi dấu số hạng đó.

- Khi chia cả hai về của bất phương trình cho số âm phải đổi chiều bất phương trình.

3 Ví dụ: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số

a) 2x – 3 > 0

2 – 4  0

2

x x x



Biễu diễn tập nghiệm trên trục số

b) -3x – 15 0

3 – 15 0

3 15 15 3 5

x x x x



Biễu diễn tập nghiệm trên trục số

5 0

B PHẦN HÌNH HỌC

I Định lí Ta - lét

1 Định lí Ta-let trong tam giác : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và

song song với cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

B

A

C B'

2 Định lí đảo của ĐL Ta-let: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định

ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại

C'

B

A

C B'

3 Hệ quả của định lí Ta-let : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song

song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho

C'

B

A

C B'

II Tính chất đường phân giác trong tam giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc

chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề hai đoạn ấy

D B

A

C

III Tam giác đồng dạng

1 Các trường hợp tam giác đồng dạng

a) Định lí về hai tam giác đồng dạng: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một

tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho

GT ABC: B’C’ //BC

KL AB' AC'

AB AC ;

B B C C ;

B B C C

AB  AC

GT

ABC ; B’  AB;C’  AC

B B C C

KL B’C’ //BC

GT ABC : B’C’ // BC;

(B’  AB ; C’  AC)

KL AB' AC' B C' '

AB  AC  BC

GT ABC: AD là phân giác của BAC

AC

DB

DC 

  

*Lưu ý: Định lí cũng đúng đối với trường hợp đường

thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song

song với cạnh còn lại

b) Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: 3 trường hợp

*Trường hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia

thì hai tam giác đó đồng dạng

B'

A'

C' B

A

C

*Trường hợp 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia

và hai góc tạo bởi các cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng

B'

A'

C' B

A

C

* Trường hợp 3: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác

kia thì hai tam giác đồng dạng

B'

A'

C' B

A

C

2 Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

* Trường hợp 1: Nếu hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau thì chúng đồng

dạng

B

B'

a N

M

C B

A

GT ABC vµ A'B'C' cã:AB  AC  BC

A 'B ' A 'C ' B 'C '

KL ABCA ' B 'C'( c.c.c )

GT

 





ABC vµ A'B'C' cã:

BC AB

A 'B ' B 'C '

B B '

KL ABCA ' B 'C '( c.g.c)

 





ABC vµ A'B'C' cã:

A A '

B B '

KL ABC A ' B 'C '(g.g )

 





0

ABC vµ A'B'C' cã:

A A ' 90

C C '

KL ABC A ' B 'C '(g g)

*Trường hợp 2: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc

vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng

B

B'

* Trường hợp 3: Nếu cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này tỉ lệ với

cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai giác đó đồng dạng

Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã:

BC

A 'B ' B 'C '

IV Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng

- Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng

- Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng

A 'B 'C 'ABC theo tØ sè k   A 'B 'C'  2

ABC

S

V Công thức tính thể tích, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình lăng trụ đứng

quanh Diện tích toàn phần Thể tích

- Lăng trụ đứng: Hình có các

mặt bên là hìn chữ nhật, đáy là

một đa giác

- Lăng trụ đều: là hình lăng trụ

có đáy là đa giác đều

Sxq = 2p.h

P: nửa chu vi đáy

h: chiều cao

Stp = Sxq + 2Sđ

V = S.h

S: diện tích đáy

h : chiều cao

GT Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã:AB  AC

A 'B ' A 'C '

KL ABCA ' B 'C '

Hình Diện tích xung

quanh Diện tích toàn phần Thể tích

- Hình hộp chữ nhật: hình có

6 mặt là hình chữ nhật

Sxq = 2(a+b).h

a, b : hai đáy h: chiều cao

- Hình lập phương: là hình có

6 mặt là hình vuông (3 kích

thước bằng nhau)

Sxq = 4a2

a: cạnh hình lập

- Hình chóp đều: là hình chóp

có mặt đáy là đa giác đều, các

mặt bên là các tam giác cân

bằng nhau có chung đỉnh Sxq = p.d

p : nửa chu vi đáy d: chiều cao của mặt

bên Stp = Sxq + Sđ

V = 13S.h

S: diện tích đáy

h : chiều cao

VI Hệ thức lượng trong tam giác vuông (học ở lớp 9)

 2

b ab '

c ac '

a b c (Pi_ta_go)

 bc = ah

h b ' c '

 12 12 12

VII Diện tích các hình (nhắc lại)

2

2



1

2

2



S a h

1 2

1

2

C PHẦN BÀI TẬP

I Phương trình và bất phương trình

Bài 1 Giải các phương trình bậc nhất sau

a H

h

b'

b c'

c

C B

A

a

h a

h

a

F E

b

h

a

h

d

2

a

a

a) 3x - 2 = 2x – 3 b) 2x + 3 = 5x + 9 c) 5 - 2x = 7

d) 10x + 3 - 5x = 4x +12 e) 11x + 42 - 2x = 100 - 9x - 22

Bài 2 Giải các phương trình sau

a) 2x –(3 - 5x) = 4(x +

3)

b) x(x + 2) = x(x + 3)

c) 2(x - 3) + 5x(x - 1) = 5x2

Bài 3 Giải các phương trình sau

3

5 6

1 3 2

2 3











c/ x 4 3x x22

5

4











3

4 x 7

2 x 5

3 x













5

2 x 4 3

1 x 6

2 x













Bài 4 Giải các phương trình sau

a) (2x + 1)(x - 1) = 0 b) (x + 2

3)(x -

1

2) = 0 c) (3x - 1)(2x - 3)(x + 5) = 0

d) 3x - 15 = 2x(x - 5) e) x2 – x = 0 f) x2 – 2x + 1 – 4 = 0

g) x3 – 9x = 0 h) x2 – x = 4x - 6 i) (x + 1)(x + 4) =(2 - x)(x + 2)

Bài 5 Giải các phương trình sau

a)7 3 2

x

x





x x





x



 

x



 

Bài 6 Giải các phương trình sau

   b)

1 1

2 1

1

2









x x

x

2( 3) 2( 1) ( 1)( 3)

x  x  x x d)

x

x x

x















4

1 3 4

1 2 16

76

Bài 7 Giải các phương trình sau

a) |5 − 2x| = 1 –

x;

b) |8 − x| = x2 + x; c) |−2x| = 4x – 3;

d) |5x – 2| = |1 –

x|;

e) |x – 1| + |1 – x| = 10; f) |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| =

2006x

Bài 8 Giải và biểu diễn tập nghiệm trên trục số các bất phương trình sau

a) 2x + 2 > 4 b) 3 2 5x    c) 10 - 2x > 2 d) 1 2 3  x 

Bài 9 Giải các bất phương trình sau

a) 10x + 3 – 5x 14x + 12 b) (3x - 1) < 2x + 4 c) 4x – 8  3(2x - 1) – 2x + 1 d) x2 – x(x + 2) > 3x – 1 e) 352x  23x f) x6 2  x3 12x

II Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bài 1 Hai thư viện có cả tất cả 20.000 cuốn sách Nếu chuyển từ thư viện thứ nhất sang thư viện thứ hai 2.000 cuốn sách thì số sách của hai thư viện bằng nhau Tính số sách lúc đầu ở mỗi thư viện

Giải: Gọi x (cuốn) là số sách ban đầu của thư viện I (2000 < x <20000)

x – 2000 = 20000 – x + 2000

Thư viện II 20000 - x 20000 – x + 2000

ĐS: Số sách lúc đầu ở thư viện thứ nhất 12000; thứ hai là 8000.

Bài 2 Số lúa ở kho thứ nhất gấp đôi số lúa ở kho thứ hai Nếu bớt ở kho thứ nhất đi 750 tấn và

thêm vào kho thứ hai 350 tấn thì số lúa ở trong hai kho sẽ bằng nhau Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn lúa

Giải: Gọi x

Kho I

Kho II

ĐS: Lúc đầu kho I có 2200 tấn, kho II có 1100 tấn

Bài 3 Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 5 Nếu tăng cả tử mà mẫu của nó thêm 5

đơn vị thì được phân số mới bằng phân số 2

3.Tìm phân số ban đầu.

Giải: Gọi x

Tử số

Mẫu số

ĐS: Phân số là 5/10.

Bài 4 Năm nay, tuổi bố gấp 4 lần tuổi Hoàng Nếu 5 năm nữa thì tuổi bố gấp 3 lần tuổi Hoàng

Hỏi năm nay Hoàng bao nhiêu tuổi ?

Giải: Gọi x

Tuổi Hoàng

Tuổi Bố

ĐS: Năm nay Hoàng 10 tuổi.

Bài 5 Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km/h Lúc về người đó đi với vận tốc

12km/h nên thời gian về lâu hơn thời gian đi là 45 phút Tính quãng đường AB?

Giải: Đổi thời gian: 45' 3

4h



Gọi x

Vì thời gian về lâu hơn thời gian đi là 3

4h nên ta có phương trình:

ĐS: Quãng đường AB dài 45 km.

Bài 6 Lúc 6 giờ sáng, một xe máy khởi hành từ A để đến B Sau đó 1 giờ, một ôtô cũng xuất phát

từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hớn vận tốc trung bình của xe máy 20km/h Cả hai xe đến

B đồng thời vào lúc 9h30’sáng cùng ngày Tính độ dài quãng đường AB và vận tốc trung bình của xe máy?

Giải:Gọi x .

ĐS: Vận tốc của xe máy là 50 km/h, của ôtô là 50 + 20 = 70 km/h.

Bài 7 Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 6 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất

7 giờ Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dòng nước là 2km/h

Giải:Gọi x .

ĐS: Phương trình: 6(x + 2) = 7(x - 2)

Bài 8 Tìm một số tự nhiên có hai chữ số Chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục Nếu

thêm chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn số ban đầu là 370

ĐS: Số ban đầu là 48.

Bài 9 Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải sản suất 50 sản phẩm Khi thực hiện, mỗi

ngày tổ đã sản xuất được 57 sản phẩm Do đó, tổ đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch, tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm ?

Giải:Gọi x .

Đáp số: Theo kế hoạch, tổ phải sản xuất ………… sản phẩm.

Bài 10 Một bác thợ theo kế hoạch mỗi ngày làm 10 sản phẩm Do cải tiến kỹ thuật mỗi ngày bác

đã làm được 14 sản phẩm Vì thế, bác đã hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày và còn vượt mức dự định 12 sản phẩm Tính số sản phẩm bác thợ phải làm theo kế hoạch?

Giải:Gọi x .

III Hình học

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm Vẽ đường cao AH của ADB a) Tính DB b) Chứng minh ADH ~ADB

c) Chứng minh AD2= DH.DB d) Chứng minh AHB ~BCD

e) Tính độ dài đoạn thẳng DH , AH

Bài 2 : Cho ABC vuông ở A, có AB = 6cm, AC = 8cm Vẽ đường cao AH

c) Chứng minh AB2 = BH.BC Tính BH , HC

d) Vẽ phân giác AD của góc A ( D BC) Tính DB

Bài 3 : Cho hình thanh cân ABCD có AB // DC và AB < DC, đường chéo BD vuông góc với

cạnh bên BC Vẽ đường cao BH, AK

a) Chứng minh BDC ~HBC b) Chứng minh BC2 = HC DC

c) Chứng minh AKD ~BHC d) Cho BC = 15cm , DC = 25 cm Tính HC ,

HD e) Tính diện tích hình thang

ABCD

Bài 4 Cho ABC, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau ở K Gọi M là trung điểm của BC

a) Chứng minh ADB ~AEC

b) Chứng minh HE.HC = HD.HB

c) Chứng minh H, K, M thẳng hàng

d) ABC phải có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là hình thoi ? Hình chữ nhật ?

Bài 5 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Vẽ các đường cao BH , CK , AI

a) Chứng minh BK = CH

b) Chứng minh HC.AC = IC.BC

c) Chứng minh KH //BC

d) Cho biết BC = a , AB = AC = b Tính độ dài đoạn thẳng HK theo a và b

MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO

Đề 1: Đề thi năm học 2013 – 2014

Câu 1: (1điểm)

Phương trình bậc nhất một ẩn là gì?

Áp dụng: Giải phương trình : 7 + 2x = 22 – 3x

Câu 2: (1điểm)

Viết công thức tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng

Áp dụng: Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng, đáy là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 3cm và 4cm, chiều cao là 9cm

Câu 3: (1điểm)

Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: 3 + 7x > 4

Câu 4: (1,5điểm)

Giải phương trình sau: 32 25 ( 2)(4  2)



