tài liệu ôn tập trọng tâm kiến thức môn toán

Dạng : ax + b>0 1 hoặc ≥ , , < ≤ Nhắc lại: Các phép biến đổi tương đương bất phương trình thường sử dụng: 1 Chuyển vế một biểu thức của bpt từ vế này sang vế kia nhớ đổi dấu biểu thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO ðỒNG THÁP PHÒNG GIÁO DỤC TRUNG HỌC HỘI ðỒNG BỘ MÔN TOÁN THPT

TÀI LIỆU ÔN TẬP TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

MÔN TOÁN

(LƯU HÀNH NỘI BỘ)

ðỒNG THÁP THÁNG 08 NĂM 2010

Chuyên đề 1: ƠN TẬP ðẠI SỐ 10

CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

1) Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng

a) Chuyển vế một biểu thức từ vế này sang vế kia (nhớ đổi dấu của biểu thức)

b) Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với một hằng số (khác 0) hoặc với một biểu thức

(khác khơng)

c) Thay thế một biểu thức bởi một biểu thức khác bằng với biểu thức đĩ

Lưu ý:

+ Chia hai vế của phương trình cho biểu thức chứa ẩn đề phịng mất nghiệm

+ Bình phương hai vế của phương trình đề phịng dư nghiệm

2) Các bước giải một phương trình

Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải

Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)

Bước 4: Kết luận

sốẩn : x

2 Giải và biện luận:

• Nếu a = 0 thì (2) trở thành 0.x = -b

* Nếu b ≠ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm

* Nếu b = 0 thì phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x

• a = 0 và b ≠ 0 : phương trình (1) vô nghiệm

• a = 0 và b = 0 : phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x

Áp dụng:

Ví du 1ï: Giải phương trình ( ) ( )

2 2

3 Điều kiện về nghiệm số của phương trình:

Định lý: Xét phương trình ax + b = 0 (1) ta có:

• (1) có nghiệm duy nhất ⇔ a ≠ 0

0

b a

• (1) nghiệm đúng với mọi x ⇔

0

b a

Áp dụng:

Ví dụ :

1) Với giá trị nào của a, b thì phương trình sau nghiệm đúng với mọi x

a4 −(x+1)a2 +x−b=02) Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm

II.Giải và biện luận phương trình ax 2 +bx+c=0 :

sốẩn : x

2 Giải và biện luận phương trình :

Xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Nếu a 0= thì (1) là phương trình bậc nhất : bx + c = 0

• b ≠ 0 : phương trình (1) có nghiệm duy nhất

b

c

x=−

• b = 0 và c ≠ 0 : phương trình (1) vô nghiệm

• b = 0 và c = 0 : phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x

Trường hợp 2: Nếu a ≠ 0 thì (1) là phương trình bậc hai có

Biệt số ∆ =b2−4ac ( hoặc ' '2 với b'

Nếu ∆ < thì pt (1) vô nghiệm 0

Nếu ∆ = thì pt (1) có nghiệm số kép 0 1 2

4

3 Điều kiện về nghiệm số của phương trình bậc hai:

Định lý : Xét phương trình : ax2+bx+ = (1) c 0

c b

c b

4 Định lý VIÉT đối với phương trình bậc hai:

Định lý thuận: Nếu phương trình bậc hai : ax2+bx+ = ( c 0 a≠ ) có hai nghiệm x0 1, x2 thì

=

a

c x x P

a

b x x S

2 1

2 1

Định lý đảo : Nếu có hai số ,α β mà + = Sα β và α β=P (S ≥2 4P) thì ,α β là nghiệm của phương trình

x2 - Sx + P = 0

Ý nghĩa của định lý VIÉT:

Cho phép tính giá trị các biểu thức đối xứng của các nghiệm ( tức là biểu thức chứa x1, x2 và không thay đổi giá trị khi ta thay đổi vai trò x1,x2 cho nhau Ví dụ: 2

2 2 1 2 1

2 2 2

x x x x

x x

Ví dụ 1 : Cho phương trình: x2 −2x+m−1=0 (1)

Với giá trị nào của m thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 2 4

2 2

1 + x =

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 −2mx+3m−2=0 (1)

Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 5x1+ x3 2 =4

Ví dụ 3: Cho phương trình: (3m 1)x− 2+2(m 1)x m 2 0+ − + = (1)

Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x x1− 2 = 2

Ví dụ 4: Cho phương trình: x2+(2m 3 x 3 2m 0 (1) − ) + − =

Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x x1− 2 =1

5 Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai:

Dựa vào định lý Viét ta có thể suy ra định lý sau:

Định lý: Xét phương trình bậc hai : ax2+bx+ = (1) ( c 0 a≠ ) 0

Pt (1) có hai nghiệm dương phân biệt

2 Cách giải: Áp dụng khi biết được một nghiệm của phương trình (1)

Bước 1: Nhẩm một nghiệm của phương trình (1) Giả sử nghiệm là x = x0

Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC hoặc sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế trái thành nhân

tử và đưa pt (1) về dạng tích số :

x −mx + 2m 1 x+ − − =m 2 0 d) 3 2 3 2

Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì phương trình 3 2 ( )

x −2x + −1 m x+m= có ba nghiệm phân biệt 0

x , x , x thỏa mãn điều kiện 1 2 3 x12+x22+x23 < 4

8

B BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

I Bất phương trình bậc nhất:

1 Dạng : ax + b>0 (1) (hoặc ≥ , , < ≤)

Nhắc lại: Các phép biến đổi tương đương bất phương trình thường sử dụng:

1) Chuyển vế một biểu thức của bpt từ vế này sang vế kia (nhớ đổi dấu biểu thức)

2) Nhân hoặc chia hai vế của bpt với một hằng số hoặc một biểu thức khác 0

Ghi nhớ quan trọng:

+ Âm thì đổi chiều

+ Dươngthì khơng đổi chiều

3) Thay một biểu thức trong bpt bởi một biểu thức khác bằng với biểu thức đó

2 Giải và biện luận:

• Nếu a=0 thì (2) trở thành : 0.x>−b

≥

−

≥+

013

04

092

x x x

Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm: 2x 1 x 4

Áp dụng:

Ví dụ : Xét dấu các biểu thức sau: A=(x−3)(x+1)(2−3x)

)12)(

2(

x B

III Dấu của tam thức bậc hai:

1 Dạng: f(x)=ax2+bx+c (a≠0)

2 Bảng xét dấu của tam thức bậc hai:

3 Điều kiện không đổi dấu của tam thức:

Định lý: Cho tam thức bậc hai: f(x)=ax2 +bx+c (a≠0)

0 Rx 0)

0 Rx 0)

0 Rx 0)

0 Rx 0)

>

−

011011

0113

2

x x

02732 2

x x

x x

c)

2 2 2

BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Bài 1: Cho phương trình: mx m

x

x x

222

42

2

−+

=

−

+

− (1) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt (m>1)

Bài 2: Cho phương trình: x2 −(m+1)x+3m−5=0 (1)

Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt (5 m 3 m 7

x

m x

Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt ( 1 m 0

2

− < < )

Bài 4: Cho phương trình: x4 −mx2+m−1=0 (1)

Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt (m 1 m 2)> ∧ ≠

Bài 5: Cho phương trình: (x−1)(x2 +mx+m)=0 (1)

Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt (m 0 m 4 m 1)

2

< ∨ > ∧ ≠ −

Bài 6: Cho phương trình : mx2 +(m−1)x+3(m−1)=0 (1)

Với giá trị nào của m thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa

9

7112 2 2 1

=+

=++

Chuyên ñề 3: ÔN TẬP GIẢI TÍCH 11

0

x x

f (x)limg(x)

→+

−+

a)

x 2

2x 1lim

2 xlim

Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau

a)

2 2 x

• ðịnh nghĩa 1: Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng ( )a; b và x0∈( )a; b

Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu

0

0

xlim f (x)x f (x )

• ðịnh nghĩa 2: Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng ( )a; b

Hàm số f được gọi là liên tục trên khoảng ( )a; b nếu nĩ liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ( )a; b

• ðịnh nghĩa 3: Giả sử hàm số f(x) xác định trên đoạn [ ]a; b

Hàm số f được gọi là liên tục trên đoạn [ ]a; b nếu nĩ liên tục trên khoảng ( )a; b và x a

x b

lim f (x) f (a)lim f (x) f (b)

1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đĩ

2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng

(tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng)

3) Các hàm lượng giác y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x liên tục trên tập xác định của chúng

C ðạo hàm

1) Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0∈(a; b)

Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0, ký hiệu là f'(x0) hay y'(x0) là giới hạn hữu hạn (nếu có) của

2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

• Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 là f'(x0) (C) là đồ thị của hàm số

M (x ;f(x )) (C)0 0 0 ∈ và ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M

a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

• Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 là hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M (x ;f(x )) 0 0 0

0

k f '(x )= (k tan= α với α =(ox;∆ ) )

b) Phương trình tiếp tuyến:

• Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm

3 Các quy tắc tính đạo hàm:

Đạo hàm của tổng hiệu tích thương các hàm số

a Đạo hàm của tổng ( hiệu ): (u±v)′ =u′±v′

b Đạo hàm của tích:

( )u.v′ =u′.v+u.v′ Đặc biệt (C.u)′ =C.u′ Với C là hằng số

c Đạo hàm của thương:

2

v

v.uv.uv

d Đạo hàm của hàm số hợp:

Cho hai hàm số y =f( )u và u =g( )x khi đó y =f[g( )x ] được gọi là hàm hợp của hai

hàm số trên, khi đó: y ′x = y ′u u ′x

3 Đạo hàm của các hàm số cơ bản:

( )C′ =0 ( C là hằng số ) ( )x ' 1= (C.x ') =C

y

0

( )

x

x2

b.cd.adcx

bax

+

1 1

1 1 1

2 1 1

1

b x a

c a b b x b a x a a b

x a

c bx ax

+

−++

12

Ví dụ 4: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

1) y=x 4−x 2)

12

3+

2 2

Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số

1) y=x3−3x+ tại điểm trên (C) cĩ hồnh độ bằng 2 22) y=x4−2x2 tại điểm trên (C) cĩ tung độ bằng 8

2x 1

+

=

− tại giao điểm của (C) với trục tung

Ví dụ 8 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số

Nếu hàm số f có ñạo hàm f' thì tích f '(x) x∆ gọi là vi phân của hàm số y f (x)= , ký hiệu là

df (x)=f '(x) x∆ (1) ðặc biệt với hàm số y x= ta có dx=( )x ' x∆ = ∆ nên (1) có thể viết thành: x

df (x)=f '(x).dx

-Hết -

Chuyên đề 2: ƠN TẬP HÌNH HỌC 11

ƠN TẬP 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10

1 Hệ thức lượng trong tam giác vuơng: Cho ABC ∆ vuơng ở A ta cĩ :

S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao

e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao

f/ Diện tích hình trịn : S = π .R2

4 Các hệ thức quan trọng trong tam giác ñều:

ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11

A.QUAN HỆ SONG SONG

§1.ðƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

I ðịnh nghĩa:

ðường thẳng và mặt

phẳng gọi là song song

với nhau nếu chúng

không có ñiểm nào

(P)

ðL3: Nếu hai mặt phẳng

cắt nhau cùng song song

với một ñường thẳng thì

giao tuyến của chúng

song song với ñường

Q P

- 3-

§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

I ðịnh nghĩa:

Hai mặt phẳng ñược gọi

là song song với nhau nếu

chúng không có ñiểm nào

chung

(P)/ /(Q) (P) (Q) ⇔ ∩ =∅

Q P

Q P

Q P

ðL2: (Ba ñường vuông

vuông góc với hình chiếu

a’ của a trên (P)

ðL2: Nếu hai mặt phẳng

(P) và (Q) vuông góc

với nhau thì bất cứ

ñường thẳng a nào nằm

trong (P), vuông góc với

giao tuyến của (P) và

(Q) ñều vuông góc với

mặt phẳng (Q)

(P) (Q) (P) (Q) d a (Q)

khoảng cách giữa hai ñiểm M và H,

trong ñó H là hình chiếu của ñiểm M

trên ñường thẳng a ( hoặc trên mp(P))

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH

O

H O

P

2 Khoảng cách giữa ñường thẳng và

mặt phẳng song song:

Khoảng cách giữa ñường thẳng a và

mp(P) song song với a là khoảng cách

từ một ñiểm nào ñó của a ñến mp(P)

d(a;(P)) = OH

a

H O

Q P

4.Khoảng cách giữa hai ñường thẳng

chéo nhau:

là ñộ dài ñoạn vuông góc chung của hai

ñường thẳng ñó

d(a;b) = AB a) Khoảng cách giữa hai ñường thẳng

chéo nhau bằng khoảng cách giữa một

trong hai ñường thẳng ñó và mặt phẳng

song song với nó, chứa ñường thẳng

còn lại

b) Khoảng cách giữa hai ñường thẳng

chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai

mặt phẳng song song lần lượt chứa hai

ñường thẳng ñó

B

A

b a

§4.GÓC

1 Góc giữa hai ñường thẳng a và b

là góc giữa hai ñường thẳng a’ và b’

cùng ñi qua một ñiểm và lần lượt cùng

phương với a và b

b' b

a' a

2 Góc giữa ñường thẳng a không

vuông góc với mặt phẳng (P)

là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó

trên mp(P)

ðặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt

phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa ñường

thẳng a và mp(P) là 900

a

3 Góc giữa hai mặt phẳng

là góc giữa hai ñường thẳng lần lượt

vuông góc với hai mặt phẳng ñó

Hoặc là góc giữa 2 ñường thẳng nằm

trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với

giao tuyến tại 1 ñiểm

b a

Q P

4 Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện

tích của ña giác (H) trong mp(P) và S’ là

diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên

S

C CÁC HÌNH ðA DIỆN

§1 Hình chóp

1 Hình chóp:

Cho ña giác A1A2 An và một ñiểm S

nằm ngoài mặt phẳng chứa ña giác

ñó Nối S với các ñỉnh A1, A2, ,An ñề

ñược n tam giác: SA1A2,

SA2A3, ,SAnA1

Hình gồm n tam giác ñó và ña giác

A1A2 An gọi là hình chóp và ñược

ký hiệu là S.A1A2 An

- 7-

2 Hình chóp ñều:

• Một hình chóp ñược gọi là hình

chóp ñều nếu ñáy của nó là ña

giác ñều và các cạnh bên bằng

nhau

• Một hình chóp ñược gọi là hình

chóp ñều nếu ñáy của nó là ña

giác ñều và có chân ñường cao

trùng với tâm của ña giác ñáy

Hình chóp tam giác ñều

Hình chóp tứ giác ñều + Trong một hình chóp ñều thì

- Các cạnh bên tạo với ñáy các góc bằng nhau

- Các mặt bên tạo với ñáy các góc bằng nhau

§2 Hình lăng trụ

1 Hình lăng trụ:

Hình hợp bởi các hình bình hành

A1A2A'2A'1, A2A3A'3A'2, ,AnA1A'1A'2

và hai ña giác A1A2 An, A'1A'2 A'n gọi

là hình lăng trụ hoặc lăng trụ, và ký hiệu

là A1A2 An.A'1A'2 A'n

- Các ñường chéo của hình hộp cắt nhau

tại trung ñiểm mỗi ñường

4 Hình lăng trụ ñều: là hình lăng trụ

ñứng có ñáy là ña giác ñều

+ Trong hình lăng trụ ñều thì

- ðộ dài cạnh bên là chiều cao;

Cho hình chóp SABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại A có AB=a 3,AC=a.Mặt

bên SBC là tam giác ñều và vuông góc mặt phẳng (ABC) Tính d(S; (ABC))

Bài 3:

Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=a 3, mặt bên SBC là tam giác ñều và vuông góc với mặt phẳng ñáy Tính khoảng cách từ S ñến mặt phẳng (ABC)

Bài 10:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với ñáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng ñáy, AB=a, AC=2a, cạnh bên SD hợp với mặt phẳng ñáy một góc 300 Tính SA

Bài 11:

Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác vuông cân tại B với AC = a, SA vuông góc với mặt phẳng ñáy và SB hợp với ñáy một góc 600 Tính SA

Bài 12:

Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng ñáy, SA=SB, góc giữa ñường thẳng SC và mặt phẳng ñáy bằng 450 Tính khoảng cách từ S ñến mặt phẳng (ABCD)