ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN(20142015)

HÌNH HỌC 1 Quan hệ vuông góc, khoảng cách, góc 2 Tính diện tích, thể tích khối đa diện, hình nón, hình trụ, hình cầu... a Tính diện tích toàn phần của lăng trụ b Tính thể tích khối lăng

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TỐT NGHIỆP

4) Các công thức lũy thừa và công thức lôgarít

5) Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarít

6) Phương trình mũ và lôgarít

7) Nguyên hàm tích phân.

8) Số phức

B HÌNH HỌC

1) Quan hệ vuông góc, khoảng cách, góc

2) Tính diện tích, thể tích khối đa diện, hình nón, hình trụ, hình cầu.

3) phương pháp tọa độ trong không gian

Chương I :Ứng dụng của đạo hàm và khảo sát hàm số :

1) Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a) Định lý: (Mở rộng)

Cho hs có đạo hàm trên K

 f’(x)0, xK  Hs f(x) đồng biến trên K

 f’(x) 0, xK  Hs f(x) nghịch biến trên K

( Dấu “=”chỉ xãy ra tại một số hữu hạn điểm )

b) Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y=f(x)

(

'

0 )

0

0

0

0 )

(

'

0 )

là điểm cực đại của hàm số

c) Qui tắc II ( Tìm điểm cực trị của hàm số y=f(x))

+ Tìm TXD D= ?

+ y’(x) = ? giải pt y’(x)=0  x1, x2,…

+ y’’(x) = ? và tính y’’(x1); y’’(x2),…( Xem dấu của y’’ dương hay âm )

+ Kết luận điểm cực trị của hàm số

f D x

M x f D x x

f M

) ( : )

( max

m x f D x x

f m

) ( : )

( min

0 0

b) Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)

+ Xét hàm số trên khoảng (a;b)

+ y’ = ? tìm các điểm xi (i=1,2,…n) mà tại đó y’(x)=0 hoặc y’(x) không xác định + Lập BBT

+ Kết luận.

c) Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) trên đoạn [a;b]

+ Xét hàm số trên đoạn [a;b]

+ y’ = ? tìm các điểm xi (i=1,2,…n) mà tại đó y’(x)=0 hoặc y’(x) không xác định + Tính y(a)=?, y(x1)=?,….,y(b)=?

1) Khảo sát hàm số khi m= -1, kí hiệu đồ thị (C )

2) Viết PTTTT tại các giao điểm của (C ) với trục hoành

3) Biện luận theo k số nghiệm của PT : x3 + x2 – x –k = 0

2) Tìm những điểm trên (C ) sao cho tiếp tuyến tại đó có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 3 : Cho hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 +2m – 1 ,(Cm)

1) Khảo sát hàm số khi m = 1, kí hiệu đồ thị (C )

2) Viết PTTT của (C ) biết tiếp tuyến đó song song với trục hoành

3) Biện luận theo a số nghiệm PT : -x4 +4x2 +a +1 = 0

4) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x= 1

5) Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trị

6) Tìm m để hàm số có 3 cực trị

2) Viết PTTT của (C ) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = 9x +2012 3) Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định

4) CMR đồ thị (C) luôn cắt đường thẳng y = x +a tại 2 điểm phân biệt M và N

a)Lũy thừa với số mũ nguyên : d) Tính chất lũy thừa với số mũ thực :

Với a,b >0 và x,y R ta có :

* a0 = 1 ; n n

a

a  1 ; 00 và 0-n vô nghĩa

n

n n n

n

n n

n

a a

a a

b

a b

a

ab b

x x x

xy y x

y x y x

y x y x

b

a b

a

b a b a

a a

a a a

a a a

a a a

*

1

*

$2.Hàm số lũy thừa, hs mũ Hs lôgarít

a)Các phép toán đạo hàm cơ bản:

*(C)’=0 ( C là hằng số )

*(uv)’=u’v’

*(k.u)’ = k.(u)’

u v v u v

u

u u

u u u

2

'

*

' 1

*

'

*

' 2 '

1 '

u u

u u

ln '.

*

'.

)' (

u u

u

u u

a

ln

' log

*

' ln

*

' '





0 log 1 1 0 1 0 1

a

a) Định nghĩa :

) 1 , 0 , (

a

b a a

*

0 1 log

n

a 1log log 

f.Đổi cơ số : Định lí 4 :

b a

b a

a b

a a

b a

log 1 log

log

1 log

(

) 0 ) ( : (

, 0 ) (

) ( log )

( log

x g x

f

x g hay x

f

x g x

c)Mũ hóa : VD4 : Giải pt

Log2(5-2x) = 2-x (1) (SGK)

a)Lấy lô ga rít cơ số 3 hai vế ta được :

log 1

0 0

) 2 log

1

(

0 2 log 3

log

1 log )

3

3 3

3 3

2 2

x

x x

x

x x

log 4 log

1

58

log

1

8 3

3) Cho y=exlnx CMR : '' ' 2

x

e xe y y

x x

Bài 9 : 1) Tìm tập xác định của hàm số a) 3

1)62( 

4

3 2 log7

7 2

, 0

) 25 , 0 ( 16

3 2 3 1 3 4

a a a

a a a

2 ) 2 ( 2

2 5 4 3 5

1 3 1 3

1

a

a D

Bài 11 : a) Cho m = log52 và n = log53 Hãy phân tích log 5 432theo m và n

b) Cho a= log712 và log1224 = b Hãy phân tích log5168 theo a và b.

5 , 1 )(

8) log ( 2 8) log2 log26

1 log

1

2 2

3

)(log

04log4log

log

)

01)2(log6)2(

log

5

)

03log

4

log

)

2 2

2

7

5

2 5

d

x x

x

c

x x

b

x x



2) Tính chất :

 Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng

hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.

 Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.

 Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểuthức nằm trong dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trênmỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấuGTTĐ

MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM KHẢO :

TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:

Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái Hàm số dưới dấu tích phân có dạng

tích của f      x   (hàm số theo biến là    x ) với đạo hàm của hàm    x Áp dụng công thứctrên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau:

a) TH1:  f  sin cos x  xdx



 Đặt t  sin x

 hoặc t p  sin x q   p q , 

 hoặc t n p sin x q  nếu như biểu thức p sin x q  nằm trong n

 hoặc t n pcotgx q  nếu như biểu thức pcotgx q  nằm trong n

MỘT SỐ BÀI TỐN THAM KHẢO : Bài 1:Tính các tích phân sau:



 i) e

1

1 ln xdxx



 k)

1

5 3 6 0

x (1 x ) dx



Bài 2: Tính các tích phân sau đây:

xdx x

2

cos sin cos

 Bước 3: Tính   uv b avà suy nghĩ tìm cách tính tiếp

Trong đĩ p x  là hàm số đa thức, cịn q x   là hàm sin ( )  x hoặc cos ( )  x

 Trong trường hợp này ta đặt:  

Trong đĩ p x  là hàm số đa thức, cịn q x   là hàm logarit.

 Trong trường hợp này ta đặt:  

MỘT SỐ BÀI TỐN THAM KHẢO :

Bái 1: Tính các tích phân sau:

e sin xdx



ln(1 x)dxx



1

2 2x 0

14)  

1

0

2) 1 ln( x dx

x 15) 

e dx x



 e  

1

2 20

1

2 0

1 ln

x x  dx

CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN:

Tính các tích phân sau đây:

x xdx x





1 2 0

ln

x x  dx



 Bước 3: Rút gọn biểu thức f x    g x  , sau đó xét dấu của hiệu này.

 Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ

c) Chú ý: Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để

khử dấu GTTĐ sẽ dễ dàng hơn Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ,

  C1 nằm trên  C2thì hiệu f x    g x    0, và   C1 nằm dưới  C2 thì hiệu f x    g x    0

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1:

 Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát)

 Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tíchbằng công thức (2)

 Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất cả các hình nhỏ

3) Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox:

  C y f x Ox x a x b :    ; ;  ; 

(trong đó hai đường thẳng x a x b  ;  có thể thiếu một hoặc cả hai).

b a

MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM KHẢO :

Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong  

Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong   C y x x :    3 2 và trục Ox

Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong   C y x :  4  x2 và trục Ox

Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong   C y x :  3  3 x  1 và đườngthẳng d y  : 3.

Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:  

Bài 6: Cho đường cong   C y x :  3 3 x2  4 x Viết phương trình tiếp tuyến d của   C tạigốc tọa độ O Từ đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi   C và d

Bài 7: Cho parabol   P y x :  2  6 x  5

a Viết phương trình các tiếp tuyến của   P tại các giao điểm của   P với trục Ox

b Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi   P và các tiếp tuyến nói ở câu a

Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:   C y :  x ; d y :   2 x và trục Ox

Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol   P y : 2  4 x và đường thẳng

:

Bài 10: Cho parabol   P y : 2  4 x

a Viết phương trình tiếp tuyến của   P tại điểm tung độ bằng 4

b Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:   P , trục Ox và tiếptuyến nói ở câu a

 Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:

  C Ox Oy ; ; Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox

Bài 12: Cho đường cong   C y x :  4  x2 Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi  C và trục

Ox Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox

Công thức 2 (Công thức De - Moivre):

cosx i sinxn  cosnx i sinnx

MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM KHẢO : Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:

a/

i

i

2 1

2 3



+

32

a/ 2z2  4z 3  0 b/ z2  2z 12  0 c/.z2  z 6  0 d/ z6  2z3  2  0e/ iz2  4z 5i 0 f/ z3  8  0

Bài 5; Giải phương trình:(nc)

B1) Lý thuyết :

1) Thể tích khối đa diện

a)Thể tích khồi lập phương :

A

.

' ' '

.



2)Mặt tròn xoay : a) Diện tích xung quanh của hình nón :

S xq   r.l

(r bán kính, l đường sinh ) b) Diện tích toàn phần của hình nón:

(r bán kính, h chiều cao ) d) Diện tích xung quanh của hình trụ :

(r bán kính đáy, h chiều cao) g) Diện tích của mặt cầu : 2

.

4 r

h) Thể tích khối cầu : 3

3

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a Góc giữa SC và mặt đáy

bằng 300 , SA vuông góc với ( ABCD)

1) CM mặt bên SBC là tam giác vuông

2)Tính thể tích của khối chóp S ABCD

Bài 2 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh 2a Hình chiếu

của A’ lên (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600

a) Tính diện tích toàn phần của lăng trụ

b) Tính thể tích khối lăng trụ

c) Tính tỉ số thể tích hình chóp A’.ABC và lăng trụ ABC.A’B’C’

Bài 3: Cho một hình trụ có chiều cao bằng 2 lần đường kính đáy , diện tích xung quanh

của hình trụ là 904 cm2

1) Tính bán kính đáy

2) Tính thể tích của khối trụ

Bài 4 : Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua trục là tam giác vuông cân có cạnh 2a 3

Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón

Bài 5 : Cho hình chop tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a.

1) Tính thể tích hình nón ngoại tiếp hình chóp

2) Tính diện tích toàn phần của hình nón

3) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và thể tích khối cầu đó

Bài 6 : Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB=a, AC=AD=BC=BD=CD=a 3.

1 TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ

A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I/ Tọa độ điểm : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

4) A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện  AB, AC, AD   không đồng phẳng.

5) Cho hai vectơ không cùng phương a và b vectơ c đồng phẳng với a và b  k,l Rsao cho c ka lb  

6) G là trọng tâm của tam giác ABC

c) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

d) Cho S(0;0;5).Chứng tỏ rằng S.OABC là hình chóp.Tính thể tích hình chóp

Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)

a) Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD

c) Tính các góc của tam giác ABC

d) Tính diện tích tam giác BCD

e) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.

c) Chứng tỏ rằng AC’ đi qua trọng tâm của hai tam giác A’BD và B’CD’

d) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của D lên đoạn A’C

Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(2;3;4) Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếucủa A lên ba trục tọa độ Ox;Oy,Oz và N1, N2, N3 là hình chiếu của A lên ba mặt phẳng tọa độOxy, Oyz, Ozx

II/ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

1) Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0

m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (trong đó m2 + n2 ≠ 0)

Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức :

IV/ Góc gữa hai mặt phẳng

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z+ D’= 0

 hai mặt phẳng vuông góc nhau

 Trong phương trình mặt phẳng không có biến x thì mặt phẳng song song Ox, không có biến ythì song song Oy, không có biến z thì song song Oz

B/ BÀI TẬP:

Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), và D( -1;1;2).

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC

c) Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB và song song với CD

d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC)

Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 4 = 0, (Q): x – 2y – 2z + 4 = 0.

a) Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc nhau

b) Viết phương trình tham số đường thẳng () là giao tuyến của hai mặt phẳng đó

c) Chứng minh rằng đường thẳng () cắt trục Oz Tìm tọa độ giao điểm

Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho một mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0.

a) Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ và song song với mp (P)

b) Viết phương trình tham số ,chính tắc ,tổng quát đường thẳng đi qua gốc tọa độ O vàvuông góc với mặt mp(P)

c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P)

Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z + 5 = 0 và (Q): 2x – z = 0

a) Chứng tỏ hai mặt phẳng cắt nhau,tính góc giữa chúng

b) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) đi qua A(-1;2;3).c) Lập phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và song song với Oy.d) Lập phương trình mặt phẳng () đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q)

Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + 2 = 0 và điểm M(2;1;-1)

a) Tính độ dài đoạn vuông góc kẽ từ M đến mặt phẳng (P)

b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc với mặt phẳng (P)

c) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M song song Ox và hợp với mặt phẳng (P) một góc

450

Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – 5 = 0 và (Q): mx – 6y – 6 z + 2 = 0.

a) Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau,lúc đó hãy tínhkhoảng cách giữa hai mặt phẳng.

b) Trong trường hợp k = m = 0 gọi (d) là giao tuyến của (P) và (Q) hãy tính khoảng cách

từ A(1;1;1) đến đường thẳng (d)

A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I/ Phương trình đường thẳng :

1) Phương trình tổng quát của đường thẳng : Ax By Cz D 0

Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và a (a ;a ;a )   1 2 3 là vectơ chỉ phương của đường thẳng

3) Phương trình chính tắc của đuờng thẳng : 0 0 0

II/ Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:

1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

Cho hai đ.thẳng () đi qua M có VTCP a và (’) đi qua M’ có VTCP a ' 

2) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng () đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP a (a ;a ;a )   1 2 3 và mặt phẳng (α): Ax + By+ Cz + D = 0 có VTPT n (A;B;C)

c.đáy a

2) Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau :

() đi qua M(x0;y0;z0) cĩ VTCP a , (’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) cĩ VTCP a ' 

S [a,a']

b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2;-1;1) vuơng gĩc với mặt phẳng (P) : 2x –

z + 1=0 Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

c) Viết phương trình tham số chính tắc của đuờng thẳng cĩ phương trình

b) Viết phương trình tham số chính tắc tổng quát đường thẳng BC.Tính d(BC,)

Bài 3: Trong khơng gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật cĩ các đỉnh A(3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;5),

O(0;0;0) và D là đỉnh đối diện với O

a) Xác định tọa độ đỉnh D.Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (A,B,D)

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (A,B,D).

c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (A,B,D)

Bài 4: Cho hai đường thẳng:

x 2 t

x 2z 2 0( ) : ( ') : y 1 t

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua () và vuông góc với (’)

d) Viết phương trình đường vuông góc chung của ()và (’)

Bài 5: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3).

a) Lập phương trình tổng quát đường thẳng AB

b) Lập phương trình mp (P) đi qua điểm C và vuông góc với đường thẳng AB

c) Lập phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng CD xuống mặt phẳng (P).d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6).

a) Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vuông góc với mặt phẳng (ABC)

d) Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC)

e) Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB

b) Tìm tọa độ giao điểm của () và (P)

c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của () trên mp(P)

Bài 8: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng () và (’) lần lượt có phương trình:

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng đó cắt nhau tìm tọa độ giao điểm

b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) đi qua hai đường thẳng () và (’)

Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3) và đường thẳng

I/ Phương trình mặt cầu: