Luận Văn Nghiên cứu sự ảnh hưởng của các quá trình suy giảm kết hợp lên rối lượng tử của hệ hai qubit – cavit

Trong những thành công đóphải kể đến Serge Haroche và David J.Wineland với giải Nobel vật lý năm 2012, những người đã phát minh ra các phương pháp để thực hiện các thaotác cần thiết trên

Mục lục

Chương 1: Mở đầu 2

Chương 2 Hệ mở - Phương trình Master cho hệ mở 9

2.1 Ma trận mật độ 9

2.2 Phương trình Master cho hệ mở 14

2.3 Giải hệ phương trình hai qubit 20

Chương 3: Hệ phương trình tốc độ của hệ Qubit - Cavity độc lập 24

3.1 Các phương trình tốc độ 24

3.1.1 Toán tử Hamitonian và toán tử Liouvillion của hệ 24

3.1.2 Các phương trình tốc độ trong cùng một không gian con bất biến 28

3.1.3 Các phương trình tốc độ trong hai không gian con bất biến 29

3.2 Giải các phương trình tốc độ 30

3.2.1 Giải các phương trình tốc độ trong cùng một không gian con bất biến 30

3.2.2 Giải các phương trình tốc độ trong hai không gian con bất biến 44

Chương 4: Rối lượng tử của hệ Qubit- cavity độc lập 49

4.1 Rối lượng tử 49

4.2.Độ rối lượng tử 54

4.3 Động lực học rối lượng tử của hệ 2 qubit-cavity độc lập 56

4.3.1 Động lực học các quá trình suy giảm kết hợp của qubit 56

4.3.2 Động lực học rối lượng tử của hệ hai qubit- cavity độc lập 61

4.4 Ứng dụng của rối lượng tử vào việc đo độ tin cậy của viễn tải lượng tử qua kênh suy kết hợp……… ……

………70

Kết luận 76

Phụ lục 78

Tài liệu tham khảo 95

1

Chương 1: Mở đầu

Vào cuối thế kỷ thứ 19, Vật lý cổ điển vẫn được xem như là một hệthống lí thuyết hoàn chỉnh và chặt chẽ Nó cho kết quả phù hợp với thựcnghiệm đối với các hiện tượng vật lý mà người ta đã biết đến Đến năm 1900,Max Planck đề xuất giả thuyết về tính gián đoạn của bức xạ điện từ phát ra từcác vật để giải thích những kết quả thực nghiệm về bức xạ nhiệt của các vậtđen Chỉ một vài năm sau, Albert Einstein đã diễn tả chính xác hiện tượng nàytrong thuyết lượng tử ánh sáng Sự không thể hòa hợp lý thuyết Maxwell vớigiả thuyết này đã buộc các nhà nghiên cứu phải đi đến kết luận rằng, các hiệntượng bức xạ chỉ có thể hiểu được bằng việc dứt khoát từ bỏ sự trực quan hóa

về chúng

Được tìm ra bởi Planck, được nối tiếp bởi Einstein và Debye, lýthuyết lượng tử tiến thêm một bước nữa khi được diễn tả một cách hệ thốngtrong các định đề cơ bản của Bohr, đối lập một cách không khoan nhượng với

cơ học cổ điển, tuy nhiên theo các kết quả định lượng, chúng lại vô cùng cầnthiết cho việc tìm hiểu các tính chất của nguyên tử Vật lý cổ điển như làtrường hợp giới hạn được trực quan hóa đối với một lĩnh vực vật lý vi mô về

cơ bản là không thể trực quan hóa được Cơ học lượng tử (CHLT) ra đời nhưmột lời giải đáp cho hàng loạt những mâu thuẫn nổi lên trong Vật lý của thế

kỷ 19 Các tính toán của nó đã tiên đoán về tính chất của các hạt cơ bản phùhợp với thực nghiệm với độ chính xác cao đến kinh ngạc Dù vậy, ngay từđầu CHLT cũng chưa được công nhận đối với tất cả các nhà vật lý, ngay cảcác nhà khoa học lỗi lạc như Schrodinger hay Richard Feynman từng nói

“không một ai có thể hiểu được cơ học lượng tử” CHLT đã mang lại nhữngcuộc tranh luận gay gắt trong lịch sử phát triển của nó Chính vì sự khó hiểu

đó mà Einstein đã cho rằng cơ học lượng tử là không hoàn toàn chính xác, vật

lý học phải mô tả thiên nhiên đúng như sự thật của nó Trong cuộc trò chuyệngiữa Einstein với Abraham Pais, Einstein đưa ra câu hỏi thách thức “mặt trăng

có còn đó hay không nếu chẳng ai nhìn nó” Sự chống đối lên đến đỉnh caokhi Einstein cùng với Podolsky và Rosen đưa ra cái gọi là nghịch lý EPR [6].Theo EPR, CHLT có thể chế tạo một cặp hạt liên đới lượng tử, nghĩa là mộtcặp hạt mà hàm sóng của chúng không thể viết thành tích trực tiếp hàm sóngcủa từng hạt, nói khác đi là các tính chất của các hạt không độc lập với nhau

mà liên quan với nhau Khi hai hạt liên đới ở xa nhau, nếu đo tọa độ của hạtthứ nhất sẽ biết được tọa độ của hạt thứ hai, song bây giờ đo xung lượng củahạt thứ hai ta lại biết được xung lượng của hạt thứ nhất Như thế ta có thểđồng thời đo được tọa độ lẫn xung lượng của mỗi hạt, điều này trái vớinguyên lý bất định Heisenberg của CHLT

Cũng giống như Einstein, Niles Bohr cũng hoàn toàn tin vào lý thuyết

cổ điển Ông nói rằng: “Mọi cách giải thích phải được phát biểu nhờ nhữngthuật ngữ của lý thuyết vật lý cổ điển’’ Tuy nhiên sau những bàn luận vềCHLT, đến năm 1930, khi những điều kỳ quặc của CHLT được phát triểnthành một lý thuyết nhất quán thì tất cả mọi nghi ngờ của con người về CHLT

đã được giải quyết CHLT đã thực sự bùng nổ, nó đã trở thành một phần cơbản và cốt yếu của Vật lý học

Những nghiên cứu mới về CHLT trong thời gian gần đây đã hướngđến một lĩnh vực mới - Khoa học thông tin lượng tử, nó kết hợp và dựa trêncác quy luật toán học, vật lý, khoa học máy tính và kỹ thuật Mục đích của nó

là làm thế nào mà có thể khai thác được một cách tối ưu những nguyên lý đãđược phát hiện trước đó trong việc truyền tải và xử lý thông tin Nhữngnguyên tắc cơ bản của lý thuyết lượng tử được áp dụng vào đó cho phépthông tin được mã hóa trong các trạng thái lượng tử có tính chất kì lạ và phảngiác quan Những nghiên cứu về lý thuyết gần đây đã mang đến những kếtquả rất ngạc nhiên Sự phát triển bùng nổ của khoa học thông tin gần đây có

3

thể được cho là sự hội tụ của hai yếu tố: thứ nhất, lý thuyết thông tin cổ điển

do Shannon phát minh ra năm 1948 tuy đã đạt được những thành công khôngthể phủ nhận song nó vẫn còn rất nhiều hạn chế và chính những hạn chế đó đãđặt nền móng cho sự ra đời của lý thuyết thông tin lượng tử Thứ hai, sự pháttriển của khoa học công nghệ kèm theo đó là sự ra đời của nhiều phòng thínghiệm hiện đại với những thiết bị tinh vi có khả năng thực hiện các thao tác

và kiểm chứng các hiệu ứng lượng tử đã thực sự lôi cuốn mạnh mẽ các nhàkhoa học tham gia nghiên cứu trên lĩnh vực này Trong những thành công đóphải kể đến Serge Haroche và David J.Wineland với giải Nobel vật lý năm

2012, những người đã phát minh ra các phương pháp để thực hiện các thaotác cần thiết trên các hạt hoặc các hệ lượng tử riêng lẻ mà vẫn bảo toàn đượcbản chất lượng tử của chúng , mở ra một kỷ nguyên mới cho các nghiên cứusâu rộng về thông tin lượng tử

Trong lý thuyết thông tin cổ điển, đơn vị cơ bản của thông tin là bit,còn trong lý thuyết thông tin lượng tử đơn vị cơ bản đó lại là bit lượng tử, còngọi là qubit Thuật ngữ này được Ben Schuhmacher đưa ra năm 1995 Nóichung quá trình truyền thông tin lượng tử có thể được xem như là sự tổngquát hóa hay sự mở rộng của quá trình truyền thông tin cổ điển Bất kỳ một hệlượng tử nào cũng được xem như là một qubit nếu nó được xác định bởi 2trạng thái độc lập tuyến tính với nhau Các photon phân cực, các hạt có spin

½, các nguyên tử hai mức, các cấu trúc chấm lượng tử kép,… đều có thể sửdụng như các qubit Năm 1985 David Deutsch đã giới thiệu về máy tínhlượng tử và cho thấy rằng lý thuyết lượng tử có thể giúp các máy tính thựchiện công việc nhanh hơn rất nhiều [7] Trong khi các máy tính số ngày nay

xử lý thông tin cổ điển được mã hóa theo các bit thì máy tính lượng tử lại xử

lý thông tin theo các qubit Máy tính lượng tử có thể sử dụng để thực thinhững nhiệm vụ rất khó thực hiện đối với các máy tính số thông thường Ví

dụ, các siêu máy tính số ngày nay phải mất một thời gian dài hơn cả tuổi thọ

của vũ trụ để có thể tìm ra được các thừa số nguyên tố của một số nguyên cókhoảng vài trăm chữ số, trong khi đó máy tính lượng tử có thể thực hiệnnhiệm vụ này trong khoảng chưa đầy một giây Lý thuyết lượng tử còn chophép tồn tại một trạng thái đặc biệt của các qubit đó là trạng thái rối lượng tử,một tính chất lạ lùng, một mối tương quan phi định xứ vô cùng tinh tế giữacác phần của một hệ lượng tử - điều mà trong lý thuyết cổ điển không cóđược Nhờ vào tính chất kỳ lạ này mà các hạt lượng tử trở nên liên quan mậtthiết với nhau đến nỗi mà chúng chia sẻ cùng một sự tồn tại Các hạt được rốivới nhau có những tính chất rất đặc biệt: một phép đo trên hạt này ngay lậptức ảnh hưởng đến trạng thái của hạt kia cho dù chúng có ở rất xa nhau Đángkinh ngạc hơn, các hạt lượng tử lại có thể rối với nhau cho dù trước đó chúngkhông hề có sự tương tác thông qua hiện tượng tráo rối lượng tử [8-11] Cáchđây vài thập niên rối lượng tử đã trở thành một trong những chủ đề nghiêncứu chuyên sâu của các nhà khoa học quan tâm đến lý thuyết lượng tử Nómang một vai trò đặc biệt để có thể hoàn thành những nhiệm vụ mang tínhchất không tưởng như: Mật mã lượng tử [12], tính toán lượng tử [13] hay viễnchuyển trạng thái lượng tử [14-16]…Đây là những ngành công nghệ mớimang lại rất nhiều hứa hẹn về khả năng ứng dụng rộng rãi trong tương lai.Những nhà phát minh ra cơ học lượng tử cũng không thể tin được rằng cáctrạng thái rối lượng tử lại có thể có những công dụng lớn đến như vậy Mụcđích quan trọng trong lý thuyết thông tin lượng tử là làm thế nào để sử dụngrối lượng tử, một nguồn tài nguyên rất hữu dụng cho việc xử lý thông tinlượng tử Những công nghệ thông tin lượng tử được mong đợi là có thể khắcphục được những hạn chế còn tồn tại của công nghệ thông tin cổ điển Những

ý tưởng tính toán lượng tử xuất phát từ ý tưởng cho rằng các máy tính thựcchất là các hệ vật lý và các quá trình tính toán thực chất là các quá trình vật

lý Việc tăng gấp đôi lượng Tranzito trên một mạch tổ hợp cứ sau mỗi 18tháng trong suốt 30 năm qua đã khẳng định dự đoán của Moore [17] Đến mộtthời điểm nào đó thì việc áp dụng các qui luật cơ học lượng tử để xử lý thông

5

tin trong tính toán là không thể tránh khỏi Năm 1980, lần đầu tiên Feynmannhận thấy rằng các hiệu ứng cơ học lượng tử bất kỳ không thể nào được môphỏng một cách có hiệu quả bởi một máy tính cổ điển Năm 1990 người tanhận thấy rằng sự song song lượng tử dựa trên đặc trưng của quá trình tiếnhóa Unita có thể làm tăng tốc độ tính toán một cách đáng kể trong các bàitoán như phân tích một số nguyên lớn ra thừa số nguyên tố hay dò tìm dữliệu các công nghệ thông tin liên lạc và mật mã cũng đã được khám phá dựatrên cơ học lượng tử Sự phân bố khóa lượng tử cho phép sự liên lạc an toàntuyệt đối mà điều này không bao giờ có thể thực hiện được theo cách cổ điển.Tính chất không định xứ của cơ học lượng tử dẫn đến một hiện tương vô cùng

kỳ lạ đó là viễn tải lượng tử Bằng viễn tải lượng tử, một trạng thái lượng tửchưa biết bất kỳ bị phá hủy ở một nơi và bản sao hoàn hảo của nó lại xuấthiện ở một nơi rất xa khác Dù đã có rất nhiều thành công đáng kinh ngạc vềlĩnh vực này trong thời gian qua nhưng vẫn còn quá xa trước khi hiện thựchóa việc xử lí thông tin lượng tử trong các ứng dụng thực tiễn, cho dù đến naycũng đã có nhiều nghiên cứu khác nhau về sự thực thi của một máy tính lượng

tử như cộng hưởng từ hạt nhân (NMR), bẫy ion, hệ các trạng thái rắn vàquang Những minh họa gần đây nhất về tính toán lượng tử chỉ mới giới hạn 7qubit, có nghĩa là chúng vẫn đang ở một mức độ cơ bản Năm 1998, Chuang

đã báo cáo về sự hiện thực hóa 2 qubit của một thuật toán lượng tử cơ bản,ông đã thu được bằng cách sử dụng công nghệ khối NMR Trong cùng năm

đó và năm tiếp theo cũng có một số minh họa thực nghiệm tương tự, ví dụnhư, Jones và Mosca đã tạo ra được một thiết bị 2 qubit dựa trên chất lỏng,trong đó có 2 qubit được tích trữ trong các spin hạt nhân của nguyên tử hidro;Vandersypen cùng các cộng sự đã phát triển một thiết bị 7 qubit bằng cách sửdụng NMR để minh họa thuật toán thừa số hóa Shor trong năm 2001 Năm

2003, đã có một số nhà nghiên cứu lạc quan như Stoneham tin rằng ông cóthể tạo ra một chiếc máy tính lượng tử dựa trên nghiên cứu vật liệu silic đếnnăm 2010 Trong 20 năm qua, nhiều thí nghiệm quang học cũng đã chứng tỏ

các hiệu ứng không định xứ trong phòng thí nghiệm [18,19] và gần đây nhất

là trong các sợi quang dài 10km Gần đây nhất, Aspenmayer cũng các cộng

sự đã chứng minh rằng rối của sự phân cực photon có thể thu được trongkhông gian tự do trên khoảng cách 600m

Rối lượng tử là một trong những đối tượng thú vị nhất của cơ họclượng tử Cái tên rối lượng tử lần đầu tiên được giới thiệu bởi Schrodingerbằng tiếng đức là: “Veschrankung” ( tiếng anh là Entanglement) [20] Cáctrạng thái rối có thể sinh ra do tương tác giữa các hệ lượng tử, ví dụ như khihai hạt được tạo ra một cách đồng thời với một số yêu cầu là spin hay xunglượng phải được bảo toàn Tuy nhiên, một trạng thái rối có thể mất rối dotương tác với môi trường Rối đóng một vai trò không thể thay thế như lànguồn tài nguyên trong các quá trình xử lý thông tin lượng tử bao gồm viễntải lượng tử, mật mã lượng tử, và tính toán lượng tử Trong khuôn khổ củaluận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu động lực học rối lượng tử của hệ qubit -cavity độc lập Chúng tôi nghiên cứu sự ảnh hưởng của các quá trình suygiảm kết hợp lên rối lượng tử của hệ hai qubit – cavity độc lập, và tác độngcủa rối lượng tử lên viễn tải lượng tử

Luận văn được chia làm 4 chương:

Chương 1: Tổng quan về thông tin lượng tử, rối lượng tử và nêu nhiệm

vụ, nội dung chính và bố cục của luận văn

Chương 2: Trình bày phương trình Master cho hệ mở là cơ sở toán học

để áp dụng vào hệ qubit - cavity độc lập

Chương 3: Trình bày các phương trình tốc độ và cách giải các phương

trình tốc độ, trong đó xét đến quá trình suy giảm kết hợp của hệ khi chịu ảnhhưởng của yếu tố đó là sự lật pha của các electron

7

Chương 4: Nghiên cứu sự rối lượng tử của hệ 2 qubit -cavity phụ thuộc

vào cơ chế suy giảm kết hợp ở trên và các kết quả thu được

Chương 2: Phương trình Master cho hệ mở

2.1 Ma trận mật độ

Nếu hệ lượng tử là cô lập hay hệ ở trong trường ngoài mà tương tácgiữa hệ và trường ngoài đã được biết chính xác thì trạng thái của hệ lượng tửđược mô tả bởi hàm sóng và gọi là trạng thái sạch

Chúng ta khảo sát hệ lượng tử mà trạng thái của hệ được mô tả bằnghàm sóng Ψ ( x) , trong đó x là kí hiệu một tập hợp biến số động lực xác định

trạng thái của hệ Giả sử ^A(x) là toán tử biểu diễn đại lượng vật lý A trong

trạng thái Ψ ( x) được xác định bằng công thức

tả trạng thái hệ kín là hàm của x và q

Ψ ( x)=Ψ (q, x)

(2.2)

9

Ta chọn hàm sóng sao cho giá trị trung bình của đại lượng A(x) của hệ

Đại lượng ρ( x ,x,) là yếu tố của ma trận mật độ ρ trong tọa độ biểu

diễn Dùng quy tắc nhân ma trận ta viết được

¯

A= ∫ [ Aρ ]xxdx=Tr( Aρ)

(2.7)

biết được ma trận mật độ ρ ta xác định được A ¯ đặc trưng cho hệ con.

Trạng thái của hệ con được mô tả bằng ma trận mật độ gọi là trạng thái hỗnhợp

Giả sử Ψn( x) là hàm riêng của toán tử nào đó đặc trưng cho hệ

con Khai triển hàm sóng Ψ (q, x) theo hệ hàm trực giao và chuẩn hóa

trong đó hệ số khai triển C n (q)= C n (F n ) là hàm sóng trong F_biểu diễn

ứng với giá trị q đã cho Đặt (2.3) vào (2.6) ta được

Sử dụng các kí hiệu Dirac, ma trận mật độ được viết lại

11

ρ( x ,x,)=⟨ x|ρ|x,⟩= ∑ ⟨ x|n⟩ ρnm⟨ m|x,⟩

(2.12)toán tử ma trận mật độ có dạng

là xác suất tìm thấy trạng thái sạch của hệ con được mô tả bởi hàm sóng

| m⟩ trong khi đó hệ lớn có thể ở trạng thái với q bất kì

i

(2.27)13

(2.29) Toán tử mật độ biến đổi phụ thuộc thời gian, tại thời điểm t toán tử mật

độ mô tả trạng thái của hệ lượng tử được cho bởi

i

pi| Ψ (t )i⟩ ⟨ Ψ (t )i|

(2.30) Đạo hàm hai vế của phương trình (2.30), và thay các phương trình(2.28) và (2.29) vào ta được

Trong thực tế, hệ mà chúng ta khảo sát luôn là hệ con hoặc là một phầncủa hệ lớn, do đó luôn có sự tương tác giữa hệ con với hệ lớn Vì vậy để mô

tả trạng thái động lực của hệ con trong hệ lớn chúng ta dùng ma trận mật độ

rút gọn.

2.2 Phương trình Master cho hệ mở

Xét một hệ lượng tử mở S tương tác với môi trường E Ma trận mật độcủa hệ được cho bởi phương trình Von Neumann

H int là Hamitonian tương tác của S và E

Trạng thái động lực của hệ S được mô tả bởi toán tử mật độ rút gọn ρ

thu được từ ρtot bằng cách lấy vết trên cơ sở của không gian Hilbert của

véc tơ trạng thái của môi trường Các phương trình chuyển động của toán tửmật độ rút gọn của hệ S được gọi là các phương trình Master

Từ phương trình Von Neumann (2.34) cho ρtot , chúng tôi đưa về

phương trình vi tích phân của toán tử mật độ rút gọn ρ của hệ mở

dρ

dt =− i [ H , ρ ] + Lρρ (2.36)

15

trong đó L là toán tử Liouvillian đặc trưng cho sự tương tác của hệ vớimôi trường Toán tử này gồm 2 thành phần

L ρ=Lρ( 1) ρ+Lρ(2 )ρ (2.37)

Lρ( 1 )ρ đặc trưng cho hiệu ứng tái chuẩn hóa các mức năng lượng dẫn

đến sự thay đổi tần số (thay đổi Lamb) của hệ S Hiệu ứng này được gây bởicác tác động thông thường của môi trường làm nhiễu loạn Hamilton H của hệ

S Lρ(2 )ρ mô tả các quá trình suy giảm kết hợp do môi trường Lρ( 1)ρ

được xác định qua biến phân của Hamitonian của hệ S

với ΓA là các vi tử trong không gian hilbert của các véc tơ trạng thái

của hệ S và Lρ( 2)ρ được xác định bởi công thức của Gorin, Kossakowski và

ở đây, các hệ số không phụ thuộc thời gian ξAB là các yếu tố của một

ma trận phức và biểu diễn toàn bộ thông tin về các thông số vật lý của quátrình tán xạ và quá trình suy giảm kết hợp ξAB được xác định duy nhất theo

cách chọn các vi tử ΓA Một trường hợp đặc biệt của công thức trên được

trình bày bởi Linblad [22]:

trong đó các toán tử Kμν trong không gian Hilbert của các véc tơ trạng

thái của môi trường được biểu thị trong số hạng của toán tử năng lượng củamôi trường trong bức tranh Schrodinger Chúng tôi chọn Kμν sao cho trung

bình thống kê của tất cả các trạng thái của môi trường bị triệt tiêu tại nhiệt độ

T đã cho

17

H|μ ⟩=Eμ| μ⟩

⟨ K μν ⟩ β =0

(2.44)

trong đó β=( kT )−1 , k là hằng số Boltzmann, trong gần đúng bậc hai

của lý thuyết nhiễu loạn Hamiltonian tương tác – gần đúng Born- Markov, tácdụng của toán tử Liouvillian lên ma trận mật độ rút gọn ρ của hệ S có thể

được thiết lập dưới dạng hình thức luận của Bloch-Redfield Trong các trạngthái riêng của H, Lρρ có dạng

μν

(2.45)trong đó ( Lρρ)μν được cho bởi công thức Redfield

Với fABC là các kí hiệu tương ứng của các cấu trúc hằng số của nhóm

SU(4) Các ma trận ΓA ρ ,Lρρ , Lρ(i)ρ được biểu diễn theo Γ A :

λAB là những hằng số thực Các công thức (2.66)- (2.68) của

Bloch-Redfield phải phù hợp với các phương trình (2.60)- (2.62) mà không sử dụng

lý thuyết nhiễu loạn Do đó, ta có các mối liên hệ sau

khi đó chúng tôi thu được hệ gồm 15 phương trình khác nhau của 15thành phần ρA

2.3 Giải hệ phương trình master cho hệ hai qubit

Trong phần 2.2, chúng ta đã thành lập được hệ phương trình Master của hệ mở Đây là một hệ gồm 15 phương trình khác nhau với các hệ số là hằng số, có thể được viết gọn lại dưới dạng sau

Đạo hàm hai vế của phương trình trên theo t và kết hợp với phương trình

dưới chúng tôi thu được

Đạo hàm hai vế của phương trình trên theo t ta được

Sau đó thay vào (2.79) ta thu được biểu thức tường

minh của F i (t) Các nghiệm f i (t) thu được từ F i (t) bằng các điêu kiện (2.74),

(2.75) Với i= 1,2 chúng tôi giải hệ phương trình sau

{ − iω~F 1 ( ω)=f 1 ( 0)+a 11 ~F 1 ( ω)+a 12 ~F 2 ( ω) ¿¿¿¿

25

[ (ω−ia 11)(ω−ia 22)+a12a21) ]~F1(ω )=i(ω−ia 22)f1(0 )−a12f2(0)

E1−E2{ω−E1 1[i(ω−ia 22)f1(0)−a12f2(0)]− 1

ω−E2[i(ω−ia 22)f1(0)−a12f2(0)] }

thay (2.89) vào (2.84) ta tìm được ~F i(ω)

, từ đó thu được biểu thức của

Chương 3

Hệ phương trình tốc độ của hệ qubit - cavity độc lập

3.1 Các phương trình tốc độ

Xét một hệ nguyên tử hai mức không suy biến tương tác với cácphoton trong microcavity (MC) đơn mode thông qua sự cho phép dịch chuyển

của lưỡng cực điện [23, 24, 25, 26, 27] Chúng ta đưa vào các toán tử c g, c g +

và c e , c e + là các toán tử hủy và sinh electron ở trạng thái cơ bản có năng lượng

E g = 0 và trạng thái kích thích có năng lượng Ee =E >0, tương ứng Các toán

Các trạng thái Fock này sẽ được sử dụng như các véc tơ cơ sở trongkhông gian Hilbert của tất cả các véc tơ trạng thái của hệ electron- photon vớiHamiltonian toàn phần (3.1) không gian Hilbert này tách ra thành các khônggian con tuyến tính và bất biến dưới tác dụng của Hamiltonian toàn phần(3.1):

- Không gian con một chiều với véc tơ cơ sở | g,0⟩

- Các không gian con hai chiều Vn,n≥1 với các véc tơ cơ sở

| g,0⟩ và | e,n−1⟩

Tương tác của electron với môi trường cũng như sự mất mát các photontrong MC là nguyên nhân suy giảm kết hợp của hệ Chúng tôi xét hai cơ chếvật lý của sự giảm kết hợp của hệ đó là: Sự hồi phục của các electron ở trạngthái kích thích (nghĩa là có sự trao đổi năng lượng giữa electron và môitrường ) và sự mất mát photon do cavity không lý tưởng Trong gần đúngMarkov ma trận mật độ rút gọn của hệ electron- photon thỏa mãn phươngtrình von Neumann

dρ

dt =− i [ H , ρ ] + Lρρ

(3.3)với các toán tử tuyến tính hoàn toàn xác định L gọi là toán tử Liouvillian.Toán tử này xác định bởi công thức Lindblad có dạng

   

1 2

 là ma trận Pauli biểu diễn cho toán tử tác dụng lên

các vec tơ trạng thái của electron như sau: dlà toán tử mà các trạng thái kíchthích cũng như các trạng thái cơ bản của electron là trạng thái riêng của nóvới các trị riêng tương ứng là +1 và -1 Ma trận mật độ rút gọn ρ và ma trận

L     2 ,

(3.11)

d ge ge

L   2α  ,

(3.15)

 (n,0) (n ,0)

d ge ge

L   2α  ,

(3.19)

d ge ge

L   2α  , (3.23)

 (n,m) (n,m)

d ge ge

L   2α  , (3.24)

Lρρ chúng ta thu được các phương trình tốc độ của hệ Vì không gian

Hilbert của tất cả các vec tơ trạng thái của hệ là tổng của vô hạn các không

gian con bất biến V n , n>=0, nên để cho thuận tiện chúng ta xét tách biệt một

hệ con đóng gồm bốn phương trình vi phân cho bốn phần tử ma trận

(t ),ρ(eg n ,n+1)

(t ),ρ(ge n+1 ,n)

(t ), ρ ee(n,n)

(t ) giữa hai véc tơ trạng thái

trong không gian con bất biến liền kề V n+1 Tập hợp các phương trình vi phân

(3.24)-(3.27) cùng với tất cả các số nguyên dương n >= 1 tạo thành một

hệ vô hạn các phương trình vi phân tuyến tính đối với vô hạn các hàm

3.1.3 Các phương trình tốc độ trong hai không gian con bất biến

Các phương trình vi phân tuyến tính đối với các phần tử ρ(gg n ,m)

(t ),

ρ eg(n−1,m)

(t), ρ(ge n,m−1)

của ma trận mật độ rút gọn giữa hai

véc tơ trạng thái thuộc về hai không gian con bất biến khác nhau V n và V m , n

¿ m, cũng tạo nên một hệ vô hạn các phương trình vi phân khác Để cho

đơn giản chúng tôi xét hai không gian con liền kề, m = n - 1

Các phương trình vi phân tuyến tính đối với các phần tử

giữa các véc tơ trạng thái của V n,

n = 1, của V0, cũng tạo nên một hệ vô hạn khác

Để xác định sự tiến triển theo thời gian của các phần tử ma trận mật độ rútgọn, chúng ta phải nghiên cứu tất cả các hiện tượng vật lý và các quá trình,

mà liên kết mạnh của hệ qubit- photon trong MC phải đóng vai trò chủ đạo.Chúng tôi sẽ giải chính xác các phương trình (3.28) đến (3.33) để tìm các biểuthức của các phần tử ma trận mật độ rút gọn

(t ), ρ(ge N , N−1)

(t ), ρ ee(N−1, N−1)

(t ),

với N là sốnguyên dương là các hàm khác không còn tất cả các phần tử ma trận khác với

n > N đều triệt tiêu Khi đó hệ phương trình (3.24)-(3.27) trở thành hệ đóngcủa các phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất Nghiệm của hệ này đượcviết tường minh qua các số hạng là các giá trị ban đầu ứng với t = 0 Chúngtôi đưa vào các kí hiệu mới:

Lời giải chính xác hệ phương trình (3.37)-(3.40) được trình bày trong phụ lục

B Nghiệm của hệ này có thể viết dưới dạng tổng quát

thỏa mãn các phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất sau

39

thu được từ các biểu thức của C (t) bằng cách thay thếklij

       1  1 ,   01  , và 01 F F  ij (t) là đóng góp của các số hạng không thuần nhất ở vế phải của hệ phương trình vi phân (3.69)-(3.72) có dạng:

Vì hằng số suy giảm kết hợp  là rất nhỏ so với khoảng cách giữa hai mức d

năng lượng kế tiếp, nên trong gần đúng bậc nhất theo các hằng số này chúng tôi thu được các biểu thức tường minh của  ij (t) có dạng sau: