Các dạng toán tìm GTLN- GTNN luôn được đề cập đến, nhưng do quỹ thời gian không cho phép nên các nhà viết sách không đưa ra được các phương pháp giải hoặc các ví dụ minh họa.. Các phương
Trang 1A- ĐẶT VẤN ĐỀ
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.Cơ sở lý luận:
Trong chương trình toán THCS, đặc biệt là Đại số 8- Đại số 9 Các dạng toán tìm GTLN- GTNN luôn được đề cập đến, nhưng do quỹ thời gian không cho phép nên các nhà viết sách không đưa ra được các phương pháp giải hoặc các ví dụ minh họa Chính vì thế học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong làm bài, thậm chí nhiều em còn không hiểu rõ thế nào là GTLN- GTNN chứ chưa nói đến việc tìm ra giá trị đó Toán học nâng cao sẽ giúp các em có hiểu biết sâu hơn, rộng hơn về toán Các phương pháp giải toán cực trị là một trong các chuyên đề đó
Sử dụng các phương pháp “Tìm cực trị toán học” có tác dụng góp phần phát triển
năng lực, trí tuệ: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa Rèn luyện đức tính : cẩn thận, chính xác, khoa học, tính kỉ luật, tự giác cao trong học tập Bồi dưỡng tính sáng tạo cho các em
2.Cơ sở thực tiễn
Trong quá trình dạy Toán 8- Toán 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy sách giáo khoa hầu như chưa đề cập đến dạng toán “ Tìm cực trị” Song khi thi tuyển vào THPT hay thi chọn đội tuyển HSG cấp huyện- tỉnh các thầy cô ra đề thường chọn đây là mảng kiến thức hay và khó nhằm chọn được học sinh có trí tuệ, có tư duy, có kỹ năng
Sử dụng “ Một số phương pháp tìm cực trị ở bậc THCS” sẽ giúp cho nhiều học sinh hiểu và nắm vững cực trị toán học Giúp các em có kiến thức vững vàng khi tham gia các kỳ thi lớn Chính vì thế tôi xin được hệ thống các dạng toán và các phương pháp
giải thích hợp nhằm cùng thầy cô có cái tổng quan hơn về dạng toán “ tìm cực trị” Đồng
thời tạo điều kiện cho các em học sinh có bộ tài liệu tham khảo về mảng kiến thức khó này
II MỤC TIÊU – PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1 Mục tiêu
- Giúp học sinh làm quen và có hướng giải quyết các bài toán liên quân đến “ Tìm giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất” gọi chung “ tìm cực trị” trong toán học phổ
thông cơ sở Củng cố được kiến thức toán học còn hổng cho học sinh
-Rèn tính sáng tạo, tư duy linh hoạt, khả năng giải quyết các vấn đề mới, các vấn
đề khó trong cuộc sống
2 Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu SGK, tài liệu tham khảo sau đó vận dụng và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề
- Trao đổi nhóm chuyên môn, xây dựng và đúng kết kinh nghiệm từ đồng nghiệp
- Sử dụng các tài liệu:
Toán nâng cao và phát triển Toán 8-9 Toán học và tuổi trẻ
Các diễn đàn toán học trên Internet
Trang 2B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
PHẦN I : CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I.Các định nghĩa.
1 Định nghĩa giá trị lớn nhất( GTLN) Cho biểu thức f(x,y ) xác định trên D Ta nói M
là GTLN của f(x,y ) trên D, kí hiệu M= maxf(x,y ), nếu hai điều kiện sau xảy ra
- Với mọi x, y thuộc D thì f(x,y )≤M , với M là hằng số
- Tồn tại x0, y0 thuộc D sao cho f(x0,y0 ) =M
2 Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) Cho biểu thức f(x,y )xác định trên D.Ta nói m là
GTNN của f(x,y ) trên D, kí hiệu m= minf(x,y ), nếu hai điều kiện sau xảy ra
- Với mọi x, y thuộc D thì f(x,y )≥m , với m là hằng số
- Tồn tại x0, y0 thuộc D sao cho f(x0,y0 ) =m
II Các kiến thức thường dùng.
1 Lũy thừa: Ta có (xk)2=x2k≥0 với mọi x∈R và k∈Z
=> - x2k ≤0 với mọi x∈R và k∈Z
Tổng quát : [ ]2
( ) k 0
f x ≥ với mọi x∈R và k∈Z
-[ ]2
( ) k 0
f x ≤ với mọi x∈R và k∈Z
Áp dụng : [ ]2
( ) k
f x ± ≥ ±m m với mọi x∈R và k∈Z
-[ ]2
( ) k
f x ± ≤ ±m mvới mọi x∈R và k∈Z
2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
( ) 0
f x ≥ với mọi x∈R
x y+ ≤ +x y dấu “=” xảy ra khi x.y≥0
x y− ≥ −x y dấu “=” xảy ra khi x.y≥0 và x ≥ y
3 Bất đẳng thức Cosi:
Với hai số a, b không âm thì a+b ≥ 2 a b
Dấu “=” xảy ra khi a=b
Tổng quát: Với mọi ai ≥0 và n∈N* ta có 1 2
1 2
n
a a a n
Dấu “=” xảy ra khi a1=a2=….=an
4 Bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Với hai cặp số (a,b) và (c,d) ta có ( a.b+c.d)2 ≤(a2+c2)(b2+d2)
Dấu “=” xảy ra khi a c
b = d Tổng quát: Với n cặp số a1;a2;….;an và b1; b2;…bn
1 1 2 2 n n 1 n 1 n
a b +a b + +a b ≤ a + +a b + +b
Dấu “=” xảy ra khi 1 2
1 2
n n
a
b = b = = b
Trang 35 Bất đẳng thức Bernoully:
Với mọi số a ≥0 thì (1+a)n ≥1+n.a với n∈N
Dấu ‘=’ xảy ra khi a=0
6 Một số bất đẳng thức khác.
a, x2+y2 ≥2xy
b, (x+y)2 ≥4xy
c, 2(x2+y2) ≥ (x+y)2
d, x y 2
y+ ≥x với x.y>0
e, 1 1 4
x+ ≥y x y
+
*) Chú ý: Sau khi tìm được GTLN- GTNN của biểu thức đại số f(x,y…) cần thử lại xem
f(x,y…) có đạt GTLN- GTNN tại đúng giá trị đó không và giá trị của biến cso thỏa mãn các điều kiện của bài toán không ?
PHẦN II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI TOÁN CỰC TRỊ
I PHƯƠNG PHÁP 1: Sử dụng phép biến đổi đồng nhất.
Bằng cách nhóm , thêm, bớt, tách các hạng tử một cách thích hợp, ta có biểu thức về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dương) và một hằng số Từ đó tìm GTLN- GTNN của biểu thức ban đầu
1 Ví dụ minh họa:
1.1 Tam thức bậc hai:
Ví dụ 1: a, Tìm GTNN của biểu thức A =2x2-8x+1
b, Tìm GTLN của biểu thức B= -5x2-4x+1
Giải
a, A =2x2-8x+1 =2 (x2-4x) +1
= 2(x2-4x+4-4)+1 = 2(x-2)2 -7 ≥-7 với mọi x Vậy minA=-7 khi và chỉ khi x=2
b,B=-5x2-4x+1 =-5(x2+4
5x)+1 = -5(x2-2x.2 4 4
5 25 25+ − ) +1
=-5
2
x
− +
9 5
Vậy maxB=9
5 khi và chỉ khi 2
5
x=
Tổng quát: Học sinh có thể giải bài toán tổng quát
Cho biểu thức : P=ax2+bx+c
- Tìm GTNN của P khi a>0
- Tìm GTLN của P khi a<0
Chú ý: Một tam thức bậc hai P=ax2+bx+c có GTNN khi a>0 và GTLN khi a<0
Trang 41.2: Đa thức bậc cao hơn hai:
Ví dụ 2.1: Tìm GTNN của biểu thức A =x(x-3)(x-4)(x-7)
Giải
Ta có A= x(x-7)(x-3)(x-4) = (x2-7x)(x2-7x+12)
Đặt y=x2-7x thì A= y(y+12) =y2+12y
= y2+12y+36-36
=(y+6)2-36 ≥-36 Vậy minA=-36 khi và chỉ khi y=-6 thì x∈{ }1;6
Ví dụ 2.2: Tìm GT LNcủa biểu thức B=- (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+1976
Giải
Ta có B= -(x2-9x+8)(x2-9x+20)+1976
Đặt y= x2-9x+14 thì B = -(y-6)(y+6)+1976
B= -(y2-36) +1976 B= -y2+2012 ≤2012 Vậy maxB =2012 khi và chỉ khi y= 0 thì x∈{ }2;7
1.3: Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức.
Ví dụ 3.1: Tìm GTLN của biểu thức
A= 2 22 10 1
2 1
− + Giải
Ta có A =2 22 10 1
2 1
− + =
2
2
2( 2 1) 6( 1) 9
( 1)
x
−
2
2
3
1 3 3 1
x
− + ÷ + ≤
−
Vậy maxA=3 khi và chỉ khi x=-2
Ví dụ 3.2: Tìm GTNN của biểu thức B = 3 22 8 6
2 1
− +
− + Giải
Ta có B=
2
2( 2 1) ( 4 4)
( 1)
x
− B= 2+
2
2 1
x x
−
− ÷
≥2 Vậy minB=2 khi và chỉ khi x=2
Chú ý: Lời giải tuy ngắn gọn, song cách viết biểu thức A dưới dạng trên có phần thiếu tự
nhiên, tính chặt chẽ chưa cao Trong trường hợp này ta có một phương pháp nghiên cứu khác là dùng “Miền giá trị để giải” Ta có thể xét sau
Trang 51.4: Biểu thức có chứa từ hai biến trở lên.
Ví dụ 4:(chuyên Hà Nội Amsterdam 2001-2002)
Tìm GTLN của biểu thức A=-x2-y2+xy+2x+2y
Giải
Ta có A=-x2-y2+xy+2x+2y
-2A= 2x2+2y2-2xy-4x-4y
= (x2-2xy+y2)+(x2-4x+4)+(y2-4y+4) -8
= (x-y)2+(x-2)2 +(y-2)2-8 ≥ − 8
A ≤-4
Vậy GTLN của A =-4 khi và chỉ khi (x; y)=(2; 2)
2 Các bài toán áp dụng.
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức A= x2-4x -6 x− −2 1
Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức B= x2+2 4−x2
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức C= x2+5y2+2x-20y+2002
Bài 4: Tìm GTLN cảu biểu thức D= 2-5x2-y2-4xy+2x
Bài 5: Tìm GTLN của biểu thức M= 722 74 196
10 25
II PHƯƠNG PHÁP 2:Vận dụng các bất đẳng thức đã biết.
Trong quá trình giải các bài toán cực trị ta có thể dùng các bất đẳng thức đã biết hoặc đã được chứng minh trong các sách bài tập toán 8, toán 9 Như bất đẳng thức Cosi, bất đẳng thức Bunhiacopxki…hoặc các bất đẳng thức đề cập trong phần kiến thức thường dùng Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ minh họa đơn giản
1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức A = x− +1 y−2 biết x+y =4
Giải
Ta có hai vế của biểu thức A không âm nên
A2= (x− + − +1) (y 2) 2 (x−1)(y−2)
= 1+2 (x−1)(y−2)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số(x-1) và (y-2) không âm ta có
2 (x−1)(y−2) ≤x-1+y-2=1 (do x+y=4)
A2 ≤ 2 mà A >0 theo nhận xét trên
A ≤ 2
Vậy maxA = 2 khi (x; y) =(1,5 ; 2,5)
Ví dụ 2: Tìm GTLN của B x 1 y 2
−
−
Giải:
Trang 6Bất đẳng thức Cosi cho phép ta có công thức tích trội
2
a b
a b≤ +
Ta xét biểu thức 1 1.( 1) 1 1
x− = x− ≤ + − =
=> 1 1 1 1
− ≤ + − =
Tương tự 2 2 2 2
4
2 2
− ≤ + − =
Vậy B 1 2 2 2
+
Khi đó maxB=2 2
4
+ khi và chỉ khi (x ;y) =(2: 4)
Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức f(x) =3-2x + 5− +x2 4x
Giải
Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki được
f(x) = -1 +(-2)(x-2) + 1(5− +x2 4 )x ≤ -1 + 4 1.+ (x2−4x+4 5) ( − +x2 4x)
= -1+ 45 3 5 1= − Đẳng thức xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi ( )−2 5− +x2 4x = −x 2
2
6 5
5
6 5
5
x
≤
= +
= −
2 6 5
5
x= −
Vậy maxf(x) =3 5 1− khi và chỉ khi 2 6 5
5
x= −
Ví dụ 4: Tìm GTNN của biểu thức A= 2x− +4 2 2x− +5 2x+ +4 6 2x−5
Giải
Ta có A= ( ) (2 )2
2x− +5 1 + 2x− −5 3
A= 2x− + + −5 1 3 2x− ≥5 2x− + + −5 1 3 2x−5 =4
Áp dụng BĐT trị tuyệt đối
Vậy min A= 4 khi và chỉ khi ( )( ) 5
2
x− + − x− ≥ ⇔ ≤ ≤x
Trang 7Nhận xét: Rõ ràng khi vận dụng các BĐT cơ bản vào việc giải toán cực trị có phần nhanh
hơn Song việc vận dụng BĐT nào thuận lợi thì còn tùy thuộc vào giả thiết của bài toán và
sự vận dụng linh hoạt các BĐT đó Hai phương pháp nêu trên chưa thể giải quyết vấn đề
về toán cực trị ở THCS Chính vì lẽ đó yêu cầu ta phải có các phương pháp tối ưu khác Trước khi nghiên cứu phương pháp thứ 3 ta cần xét một số bài tập minh họa cho phương pháp 2
2 Các bài toán áp dụng:
Bài 1:Cho a,b,c >0 và a+b+c =1 Tìm GTNN của A 1 1 1 1 1 1
= + ÷ + ÷ + ÷
Bài 2: Cho a b c, , ≥0 và a+b+c=1 Tìm GTLN của B= a b+ + a c+ + b c+
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức A=
2 2
2 1
a a
+ +
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức B= 2 2
x − + +x x + +x Bài 5: Cho x,y>0 và x+y ≤ 1 Tìm GTNN của biểu thức 2 2
4
x y xy
+
III PHƯƠNG PHÁP 3: Giải toán cực trị dựa vào phương trình bậc hai.
( Phương pháp miền giá trị)
Trong phương pháp này tôi xin được đề cập đến bài toán tìm cực trị dựa vào dấu hiệu có nghiệm của phương trình bậc hai Phương pháp này được thầy Hoàng Hải Dương (THCS Chu Mạnh Trinh – Hưng Yên) đề cập trong tạp trí toán học và tuổi trẻ
1 Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức phân A=
2 2
1
x
+ Giải
Biểu thức nhận giá tri a phương trình ẩn a=2 2 24 5
1
x
+ + + (1) có nghiệm
Do x2+1>0 với mọi x nên phương trình(1) x2(a-2)-4x+a-5=0 (2) có nghiệm Nếu a=2 thì (2) có nghiệm x= 3
4
−
Nếu a≠ 2Phương trình (2) có nghiệm khi ∆ = − −' 4 (a 2)(a− ≥5) 0
a2-7a+6 ≤ 0
1≤ ≤a 6(a≠2)
Với a= 1 thì x=-2 Với a=6 thì x= 1
2
Vậy maxA= 6 khi và chỉ khi x= 1
2
minA =1 khi và chỉ khi x=-2
Trang 8Ví dụ 2: Tìm GTLN- GTNN của biểu thức B = 2x2+4xy+5y2 biết rằng x2+y2 =5
Giải
Vì 5>1 nên ta có
2 2
x y
+
*) Nếu y=0 => 2 10
5
b
b
= => =
*) Nếu y≠0 đặt t x
y
= thì 2 2 2 4 5
t
+ +
=
+ Theo Ví dụ 1 điều kiện để PT ẩn t có nghiệm khi 1 6 5 30
5
b
b
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
Từ đó có :
maxb=30 khi x y= 12 => y=2x hay (x:y) nhận các giá trị(1; 2)và(-1;-2)
minb= 5 khi x 2
y = − => x=-2y hay (x:y) nhận các giá trị (2; -1)và(-2;1)
Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN cuả biểu thức c= 2 3 1 7
x+ − +x
Giải
Điều kiện để c tồn tại 0≤ ≤x 1 Đặt z= x , y= 1−x thì y2+z2=1 (1)
Như vậy ta cần tìm GTLN- GTNN cuả biểu thức d= 4z+3y >0 với 2c =d+7
Điều kiện 0 ≤ ≤z 10≤ ≤y 10 < <d 7
Thay 9y2=(d-4z)2 vào (1) ta có 25z2 -8dz+d2-9 =0
Để phương trình có nghiệm z thì ∆ ≥ ⇒0 d2 ≤25⇒ ≤d 5 (do d>0)
*)GTLN của d là 5 maxc=6 khi 4 4 2 16
( )
d
z= = ⇒ =x z = tm
*) Từ d=4z+3y ≥2 12yz ( bất đẳng thức Cosi) Dấu “=” xảy ra khi 4z=3y Thay vào (1) ta cso 3 , 1; 9
z= y= x= Lúc đó GTNN của d là 2 9 6
25 =5
Vậy min c= 41
10 khi 9
400
x= Với cách sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai, các bạn làm tiếp một số bài toán dưới đây
2 Các bài toán áp dụng.
Bài 1: Tìm GTLN- GTNN của biểu thức 1 2 2 3
A
=
Bài 2: Tìm GTLN- GTNN của biểu thức 2
2
1
x
= + + với x>0
Trang 9Bài 3: Tìm GTLN- GTNN của biểu thức f(x)=
2 2
4 6
2 3
+ +
Bài 4: Tìm GTLN- GTNN của biểu thức g(x) =
2
2 2
8x 6xy
x y
+ +
IV.PHƯƠNG PHÁP 4: Đổi biến và tìm cực trị theo biến mới (đặt ẩn phụ)
Bằng cách đặt biến phụ và sử dụng các phép biến đổi tương đương Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ta có thể chuyển biểu thức đã cho về các biểu thức đơn giản trong việc tìm cực trị Dưới đây tôi xin đưa ra một số ví dụ minh họa
1 Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức
2 2
A
− − với a>1 ;b>1 Giải
Đặt x=a-1 >0 , y=b-1> 0 khi đó ta có 2 ( )2
1 (x 1) y A
+ +
=>
2 2 1 2 2 1 1 1
4
Áp dụng BĐT Cosi ta có
Vậy min A =8 khi và chỉ khi x=y=1 hay a=b=2
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức B=
2 2
2 2
2 x y 5 x y 6
+ − + +
với x, y>0 Giải
Đặt a x y
y x
= + theo Cosi thì a≥2 => 2 2 2
2 2 2
a
y + x = − Khi đó B =2(a2-2) -5a+6 = 2a2-5a+2 Ta thấy a≥2 => B ≥0
Vậy minB=2 khi và chỉ khi a=2 hay x=y>0
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức C= x y 3 x 3 y 2012
y+ −x y − x + với x.y>0 Giải
Đặt a x y
= + theo Cosi thì a≥2 thì x y a2 2
y+ =x − Khi đó C=(a2-2) -3a+2012 =(a-1)(a-2)+2010
Do a≥2 => a-1>0 và a− ≥2 0=> (a-1)(a-2) ≥0
C ≥ 2010
Vậy minC= 2010 khi và chỉ khi a=2 hay x=y và x y>0
Trang 10Ví dụ 4: Cho x,y,z >0 Tìm GTNN của biểu thức D= x y z
y z + x z + y x
Giải
Đặt a= y+ z , b= x+ z ,c= y+ x
=>
2
a b c
x+ y+ z = + +
=>
2
a b c
x= − + +
;
2
a b c
y = − +
;
2
a b c
z = + − Khi đó ta có D=
a b c a b c a b c
− + + + − + + + −
+ + + + + − ≥
Theo BĐT Cosi ta cóa b 2;a c 2;c b 2
b a+ ≥ c + ≥a b c+ ≥ Vậy minD=3
2khi a=b=c hay x=y=z
2 Các bài toán áp dụng
Bài 1: Tìm GTNN của 2
2
1 4
1
x x
= + − +
− +
Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức B= 2a+ +1 2a− +3 50 3− a với 3 50;
2 3
∈
a≥ − b≥ − c≥ − a b c+ + =
Tìm GTLN của biểu thức C= 2a+ +1 2b+ +1 2c+1
Bài 4: Cho x, y>0 Tìm GTNN của biểu thức D=
2 2
+ − + +
Bài 5: Cho a,b,c>0 và a+b+c=12 Tìm GTLN của
E= 3a+2 a+ +1 3b+2 b+ +1 3c+2 c+1
Bài 6: Tìm GTNN và GTLN của F= x x y y+ biết y+ x =1
V PHƯƠNG PHÁP 5: Sử dụng biểu thức phụ.
Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó, đôi khi người ta xét cực trị của một biểu thức khác có thể so sánh được với nó, nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị hơn Sau đây tôi đưa ra một số ví dụ minh họa
1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm GTLN cảu biểu thức A= 4 22
1
x
x + +x
Giải
Trang 11a, Xét x=0 => A =0 giá trị này không phải GTLN của A vì với x≠0thì A>0
b, Xét x≠0 Đặt P 1
A
= Khi đó maxA =minP Với cách đặt trên ta có P=x4 x22 1
x
+ + = 2
2
1
1 2 1 3
x x
+ + ≥ + = (Áp dụng BĐT Cosi thì 2
2
1 2
x x
+ ≥ ) Vậy minP= 3 => maxA=1
3 khi và chỉ khi x=±1
Nhận xét: Như vậy để tìm GTLN của biểu thức A ta sử dụng biểu thức phụ P 1
A
= Việc tìm GTNN của P 1
A
= đơn giản hơn nhiều so với tìm GTLN của A
Ví dụ 2: Cho ba số dương a,b,c và a+b+c=3
Tìm GTLN của B= 5a+4b+ 5b+4c+ 5c+4a
Giải
Do a,b,c>0 => B>0 Đặt P= B2 khi đó max C =max P
5a+4b+ 5b+4c+ 5c+4a áp dụng BĐT bunhiacppxki
P ≤(12+ +12 12) (5a+4b+ +5b 4c+ +5c 4a)
P≤3.9 a b c( + + )=81
maxP=81 khi và chỉ khi a=b=c=1
maxB2=81 khi và chỉ khi a=b=c=1(Do B>0)
maxB= 9 khi và chỉ khi a=b=c=1
Ví dụ 3: Cho x, y, t là các số dương
Tìm GTNN của C= y t x + y t x+ +x t y +x t y+ + y x t + y x+t
Giải
Đặt P =2C ta có P= 2x 2(y t) 2y 2(x t) 2t 2(y x)
+ + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
Áp dụng Cosi đôi một ta có 2 2 2 3.6 15
2
P≥ + + + =
minP=15 khi và chỉ khi x=y=t >0
Trang 12Vậy minC =15
2 khi và chỉ khi x=y=t >0
Ví dụ 4: Cho x2+y2=52 Tìm GTLN của biểu thức F=2x+3y
Giải
Đặt P = F = 2x+3y
P1=P2 =(2x+3y)2 ≤(22+32) (x2+y2) =13 42 ( theo BĐT bunhiacopxki)
maxP1=132.4
maxP= 13.2=26 do F ≤ F =P
maxF=26 khi và chỉ khi (x;y) =(4;6)
Ví dụ 5: Cho x, y>0 Tìm GTNN của biểu thức G=
4 4 2 2
4 4 2 2
y + x − y − x + +y x
Giải
Đặt P= G-2 ta có P=
4 4 2 2
y + x − y − x + + −y x
P=
4 2 2 1 4 2 2 1 2 2 2 2
− + + − + + − + + + −
−
− + − + − + ≥
=> minP= 0 khi và chỉ khi x=y=0
Vậy minG =2 khi x=y=0
2 Các bài toán áp dụng.
Bài 1: Cho x,y,z >0 và x2+y2+z2=1 Tìm GTNN của biểu thức A=xy z + yz x + zx y
Bài 2: Cho x≠0 Tìm GTNN của biểu thức B=x8 x44 1
x
+ +
Bài 3: Cho x≠0 Tìm GTLN của biểu thức C= 16 88
1
x
x + +x Bài 4: Cho a2+b2+c2=1 Tìm GTLN của biểu thức D=a+2b+3c
Bài 5: Cho a, b>0 và a+b=2 Tìm GTNN của E= 2 2
− −
Bài 6: Cho a, b,c,d là các số dương
Tìm GTNN của F= a b b c c d a d
b c d c d a d b a b c a
Bài 7: Cho a, b thuộc số thực.
Tìm GTNN của biểu thức G= 2 ( )2 2 ( )2
a + −b + b + −a