SKKN Kinh nghiệm giải bài toán tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMĐỀ TÀI: "KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÌM ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG THÔNG QUA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI"... Tiếp đến các lớp trên khi học sinh được tiếp cậnngày càng nhiều các khái

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÌM ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG

THÔNG QUA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI"

A ĐẶT VẤN ĐỀ.

Đối với phân môn hình học, việc tính độ dài đoạn thẳng là một trong những yêu cầuthường xuyên và căn bản Ngay từ đầu cấp THCS, học sinh đã phải tìm độ dài đoạn thẳngmột cách trực tiếp thông qua đo đạc Tiếp đến các lớp trên khi học sinh được tiếp cậnngày càng nhiều các khái niệm hình học, nắm được ngày càng vững chắc tính chất và mốiquan hệ giữa các hình thì việc tìm độ dài đoạn thẳng thông qua các thao tác vật chất giảmdần Thay vào đó việc tìm độ dài đoạn thẳng một cách gián tiếp ngày càng tăng Đặc biệtkhi các em học đến lớp 9, thời điểm tích luỹ vốn kiến thức về phân môn hình học tươngđối phong phú thì việc tìm độ dài đoạn thẳng, hơn bao giờ hết phải đòi hỏi sự tổng hợpkiến thức tương đối cao Ở đó việc tìm độ dài đoạn thẳng không chỉ thuần tuý hình học

mà còn sử dụng tương đối nhiều kiến thức từ đại số chẳng hạn như ; tỉ lệ thức, tính chấtđẳng thức, bất đẳng thức…, qua đó ta có thể thấy rằng bài tập về tìm độ dài đoạn thẳng làtương đối đa dạng

Để các em đỡ lúng túng và linh hoạt hơn tromg tư duy khi gặp loại toán tìm độ dàiđoạn thẳng, có lẽ ta nên giúp các em nắm được một số dạng của loại toán này Chính vì lí

do đó mà tôi đã tập hợp và phân loại dưới dạng toán Sau đây tôi giới thiệu đề tài "Kinh

nghiệm giải bài toán tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai" cho

học sinh lớp 8,9 Qua sáng kiến này tôi hy vọng nhận được sự trao đổi quý báu từ các bạnđồng nghiệp

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I - ĐIỀU TRA THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI NGHIÊN CỨU.

Năm học 2006 – 2007 trở về trước khi chưa phân loại và dang toán: tìm độ dàiđoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai thì các em học sinh lớp 9 giải bài tập loại nàythường đạt hiệu quả không cao Biểu hiện cụ thể ; học sinh thường mất nhiều thời giancho việc tìm lời giải và việc trình bầy thì chưa thật hợp lý

II – KIẾN THỨC ĐƯỢC SỬ DỤNG

Phân môn đại số : tính chất của đẳng thức, tính chất của tỉ lệ thức, biến đổi phương

trình bậc hai , Đặc biệt trong sáng kiến này quan tâm nhiều đến các cách giải phươngtrình bậc hai

+ Phương pháp : đưa hai vế của phương trình về hai luỹ thừa cùng bậc.

+ Phương pháp : vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử để biền đổi phương

trình bậc hai về phương trình tích

+ Phương pháp : nhẩm nghiệm, tìm nghiệm theo công thức.

Phân môn hình học : Mỗi bài toán sử dụng một cách riêng lẻ hoặc sự tổng hợp

nhiều kiến thức từ lớp 6 đến lớp 9 Đặc biệt trong sáng kiến này quan tâm nhiều đếnquan hệ đồng dạng của tam giác, đến đường tròn, đến diện tích của một số hình mà họcsinh đã học

III – NHỮNG CÔNG VIỆC ĐÃ LÀM.

Học sinh THCS tiếp cận tam giác đồng dạng từ lớp 8 và kiến thức đó được bổ sung và

sử dụng tương đối nhiều trong quá trình học tập sau này của các em Từ sự đồng dạngcủa tam giác ta suy ra quan hệ về độ dài giữa các đoạn thẳng hay nói khác đi ta có thểthiết lập được phương trình về độ dài đoạn thẳng

* Chú ý : Tính chất đường phân giác trong tam giác, một số hệ thức trong

tam giác vuông được xây dựng nhờ sự đồng dạng của tam giác

x

B

A

Cho tam giác ABC , đường phân giác trong và ngoài của góc A cắt BC

theo thứ tự ở D và E Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A kẻ tia Dx sao cho và gócADx bằng góc ADB Từ A kẻ AH vuông góc với Dx( H thuộc Dx) Biết DH = 27 cm,AD = 45 cm ,BC = 40 cm Tính độ dài DB,DC

Bài giải :

Đặt DB = x , DC = y ( 0 < x ,y < 40)

Vì AD là phân giác trong của tam giác ABC và AE là phân giác ngoài của tam giácABC nên góc DAE bằng 900 (góc hợp bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là gócvuông )

Xét ∆ADE và ∆ADH có :

A

2) ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Đến lớp 9 học sinh được tìm hiểu về đường tròn một cách hệ thống hơn Trong đótính chất tiếp tuyến , quan hệ giữa đường kính và dây cung , quan hệ giữa góc và đường

…, được đề cập một cách thường xuyên hơn Chính từ những vấn đề đó làm nảy sinh sựđồng dạng , sự vuông góc và như vậy quan hệ bậc hai về độ dài xuất hiện ngày càngnhiều hơn

• Bài tập 1

Cho nửa đường tròn tâm 0 đường kính AD Các điểm B,C,thuộc nửa đường tròn saocho AB = BC = 2 5 cm , CD = 6 cm Tính bán kính của đường tròn

Bài giải

* Gọi giao điểm của AC và OB là H

* Do AB = BC , OA = OC nên OB là đường trung trực của AC suyra OB ⊥AC

và AH = HC mặt khác ta có OH là đường trung bình của tam giác ACD Do đó OH = 12

CD = 3 ( cm ) và HC =12 AC

* Gọi bán kính của đường tròn có độ dài là x (cm) ( x> 3 )

* Tam giác ADC vuông ở C nên ta có :

AC 2 = AD 2 – DC 2 ( Định lý Pitago )

Cho đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB, hình thang ABCD

nội tiếp trong đường tròn đó và ngoại tiếp được một đường tròn khác Tính độ dài đoạnthẳng CD ?

Bài giải

* Tam giác ABC vuông ở C đường cao CF nên :

* Vậy CD = 2R( 5 - 2) ( đơn vị độ dài)

• Bài tập 3 (Bộ đề ôn thi TNTHCS và thi vào THPT năm 2001 – 2002 )

Cho đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB, M là một điểm thuộc đường tròn saocho MA < MB Qua B vẽ đường thẳng d vuông góc với AB Tiếp tuyến tai M cắt d ở N

và cắt AB tại K Đường thẳng d cắt đường thẳng MO tại H Đường thẳng AM cắt HK ở

C Biết MNOC là bình hành Tính OH theo R

Bài giải

3) DIỆN TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Riêng về các công thức tính diện tích , xét về phương diện đại số: chúng là các hàm

số bậc hai về độ dài Do đó nếu cho quan hệ diện tích giữa các hình thì có thể làm xuấthiện phương trình bậc hai

Bài tập 1 ( Phát triển từ bài tập 83 – 84 hình học SGK toán 9)

Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C Vễ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng

AB hai nửa đường tròn có đường kính lần lượt là AB, AC còn trên nửa mặt phẳng đối vẽnửa đường tròn đường kính BC AB = 8 cm

đặt S là diện tích của hình được giới hạn bởi ba đường tròn nói trên và AC = x Tìm x để

S bằng diện tích của nửa dường tròn đường kính AC

∆’ = 64 + 128 = 192

x1 = - 8 - 8 3 < 0 ( loại )

x2 = - 8 + 8 3 > 0 ( thoả mãn )

* Khi x = 8 3 - 8 cm thì S bằng diện tích của nửa hình tròn đường kính AC

* Bài tập 2 ( Phát triển từ bài tập hình học trong SGK – SBT toán 8 )

Cho hình vuông ABCD có cạnh 4cm Gọi M, N, E, F lần lượt là các điểm di động trêncác cạnh AB, BC, CD, DA sao cho AM = BN = CE = DF Tính độ dài đoạn thẳng MF để

diện tích của tứ giác MNEF bằng 5

8 diện tích hình vuông ABCD

Bài giải

* Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA

90 90

S∆AMF = S∆BNM = S ∆CEN = S ∆DFE = 12y(4 – y)

S MNEF = S ABCD - 4S ∆AMF = 42 – 2y(4 – y)

(2)

* Theo giả thiết diện tích của tứ giác MNEF bằng 5

8 diện tích hình vuông ABCDnên :

* Bài tập 3 ( Phát triển từ bài tập trong SGK toàn 8).

Cho các điểm A, B thuộc cạnh MP, các điểm C, D lần lượt thuộc các cạnh NP, MNcủa tam giác NMP sao cho ABCD là hình chữ nhật Biết MP = 30cm, chiều cao NH =10cm (H thuộc MP), hình chữ nhật có diện tích 63cm2 Tính các kích thước của hình chữnhật

Bài giải

p h

i n

m

b a

* Đặt BC = x ( 0 < x < 10 ), CD = y ( 0 < y < 30 ) Gọi I là giao điểm NH và DC

* Do tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên DC // MP suy ra tam giác NDC đồng

Vậy hình chữ nhật có kính thước là 3cm ,21 cm hoặc 7 cm ,9cm

Tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao diểm của đường phân giác

Biết AB = 5cm, IC = 6cm Tính độ dài đoạn thẳng BC ?

Bài tập 5

Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác

Biết IA = 2 5cm, IB = 3cm Tính độ dài đoạn thẳng AB ?

Bài tập 6

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, H là trực tâm Tính độ dài đoạn thẳng

AD ? Biết AH = 14cm, BH = HC = 30cm

Bài tập 7

Cho nửa đường tròn tâm O, bán kính 5cm, đường kính AB, M là điểm thuộc cung

AB, H là một điểm chính giữa cung AM, tia BH cắt tiếp tuyến Ax tại K Tìm vị trí của M

Cho đường tròn tâm O bán kính R, điểm A cố định trên đường tròn Kẻ tiếp tuyến

Ax, điểm M tuỳ ý trên Ax, kẻ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn (B là tiếp điểm ) I làtrung điểm của MA, BI cắt đường tròn tâm O ở K, tia MK cắt đường tròn (O) ở C

a) Chứng minh tam giác MIK đồng dạng tam giác BIM và BC // MA

b) Tìm vị trí của M trên tia Ax để tứ giác AMBC là hình bình hành ?

TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG THÔNG QUA PHƠNG TRÌNH BẬC 2

A MỤC TIÊU.

- Hs biết tính độ dài đoạn thẳng thông qua p ,trình bậc 2 một cách thành thạo

- Vận dụng linh hoạt vào giải bài tập

- Rèn kỹ năng vẽ hình, trình bầy tính toán

B CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS.

- Hs học kỹ cách tính độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc 2 ,

- Gv soạn bài, đọc bài, phấn màu

C HOẠT ĐỘNG CỦA THÀY VÀ TRÒ.

1- Kiểm tra bài cũ.

- Cho ∆ABC vuông tại A, đờng cao

h

c B

A

2- Bài giảng.

* Bài tập 1; Điểm M nằm trên cạnh huyền của một tam giác vuông Diện tích 100cm2 và

có khoảng cách đến 2cạnh góc vuông bằng 4cm và 8cm Tính độ dài các cạnh góc vuông

- GV cho Hs chép bài, ghi giả thiết,

vẽ hình, kết luận của bài toán

- Gv : Vì hình thang ABCD cân,

y y

⇒ y = 25 −x2 (2) Từ (1) v (2) ta có :à

x 25−x2 = 12 ⇔ x4 – 25x2 + 144 = 0Đặt x2 = t (t 0)

⇔ t2 – 25t + 144 = 0 ⇔ (t – 16)(t – 9) = 0

16

t =



K y

x

D

B A

- Tìm quan hệ BH với AB, DC.

- Đường cao của hình thang bằng 4cm hoặc 3cm

* Bài tập 3; Cho 2 đường tròn (O1), (O2) có cùng bán kính R cắt nhau tại M, N

Và OD1 = R, Hình vuông ABCD có A, D nằm trên cung nhỏ MN của (O2) và B, C nằmtrên cung nhỏ MN của (O1) Tình cạnh hình vuông theo R

Bài giải

- Gv cho Hs đọc đề, phân tích đề,

vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận của bài toán

- Gv : Em nào có cách làm bài tập này

- Gọi Hs lên bảng trình bày Cách giải của

bài toán này

- Về nhà tự làm lại các bài đã chữa.

- Làm các bài tập bổ xung trong sáng kiến này, (Gv photocopy đa Hs bài tập)

IV ) KẾT QUẢ

Sau một thời gian áp dụng những biện pháp trên vào thực tế giảng dạy tôi thấy

Hứng thú học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt ở các đối tượng học sinh Trướcđây một bộ phận không nhỏ học sinh sợ ,ngại học môn toán Nhưng sau khi áp dụng cácbiện pháp trên các em trở lên tin tưởng hơn ,vững vàng hơn ,say mê hăng hái học môntoán Điều đó chứng tỏ nếu có cách giải phù hợp cho một bài toán ,với từng đối tượnghọc sinh thì chắc chắn kết quả thu được của giáo viên rất tốt hiệu quả giáo dục được nâng

lên Đối với học sinh khá , giỏi “Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc

hai” còn áp dụng với nhiều loại toán khác Phát huy được trí tuệ thông minh của học

Khi chưa áp dụng sáng

kiến

10 23,8 12 28,6 13 30,9 7 16,

7Khi áp dụng sáng kiến 17 40,5 16 38,1 8 19 1 2,4

* Kết quả học sinh thi vào cấp 3 của trường đỗ tỉ lệ cao so với các trường kháctrong huyện

* Kết quả khảo sát qua các đội tuyển

Nhiều năm kết quả học sinh giỏi của trường đã đạt kết quả cao Kết quả đội tuyểnhọc sinh giỏi lớp 9 năm học 2007- 2008 do tôi phụ trách xếp thứ 3 trên 26 trường tronghuyện có 1 em được gọi vào bồi dưỡng đội tuyển để thi học sinh giỏi cấp tỉnh

V) ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Sáng kiến “Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai” được áp

dụng cho học sinh lớp 9 sau khi các em học hết chương trình hình học phẳng Tuy nhiênkhi học xong mỗi chương trình hình học 9 thì học sinh có thể làm được một số bài tậpcủa chuyên đề

Sáng kiến “Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai” thích hợp

nhất cho đối tượng học sinh có lực học khá, giỏi Mặc dù vậy học sinh có học lực trungbình có thể làm đượng một số bài đơn giản trong chuyên đề

VI ) NHỮNG ĐỀ XUẤT VÀ KIẾN NGHỊ

Trong thời gian tới rất mong các cấp lãnh đạo các tổ chuyên môn quan tâm tổ chứccác chuyên đề , ngoại khóa để các đồng nghiệp cố thể cố thể trao đổi học hởi kinh nghiện

lẫn nhau nhiều hơn Học sinh hứng thú hăng say học tập góp phần ngày càng nâng caohiệu quả dạy học

C KẾT LUẬN.

Dạy học giải các bài toán thông qua các phương pháp là một nghệ thuật để giúp các

em nắm được bài ,hiểu bài và có hứng thú ,kỹ năng Nhất là bài tập khó trong giờ luyệntập ,bồi dưỡng học sinh giỏi

Dạy học các phương pháp tìm lời giải các bài toán có ý nghĩa rất quan trọng đòi hỏingười giáo viên phải có sự say mê lương tâm nghề nghiệp sẽ đạt được kết quả mongmuốn

Tuy nhiên không phải đối với tất cả học sinh chúng ta đều phải truyền tải nội dungtrên .Mà cần xác định đúng đối tượng để cung cấp những bài phù hợp với học sinh Cung cấp cho học sinh hệ thống từ bài dễ đến bài khó để tạo tiền đề cho học sinh có tưduy sáng tạo trong việc giải các bài toán nâng cao

Khi được tiếp cận dạng toán này, học sinh giải loại toán tìm độ dài đoạn thẳng đạthiệu quả cao hơn như ; thời gian giải toán được giảm bớt, số lượng bài tập làm được ngàycàng nhiều, kỹ năng trình bày được nâng lên, ngoài ra học sinh thêm phần tự tin tronggiải toán Tất cả những điều đó góp phần làm cho ngày càng nhiều học sinh say mê môntoán

Qua sáng kiến này, tôi hy vọng được đồng nghiệp ủng hộ và rất mong được sự trao

đổi quý báu các bạn đồng nghiệp để sáng kiến “Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua

phương trình bậc hai” ngày một hoàn thiên hơn.

CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Toán 8 NXB Giáo dục

2 Sách bài tập Toán 8 NXB Giáo dục.

3 Sách giáo khoa Toàn 9 NXB Giáo dục

4 Sách bài tập Toán 9 NXB Giáo dục

5.Một số vấn đề phát triển Toán 8 Vũ Hữu Bình

6.Một số vấn đề phát triển Toán 9 Vũ Hữu Bình

7 Bộ đề ôn thi TNTHCS và thi vào THPT năm 2001 – 2002

(Sở GD-ĐT Hải Dương)