Sáng kiến kinh nghiệm Xây dựng chùm bài tập từ một số đẳng thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi Toán trung học cơ sở

Trong những năm gần đây, bản thân được nhà trường phân công giảngdạy môn Toán 8, Toán 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, tôi nhận thấyhầu hết học sinh thường khai thác dữ kiện bài toá

Sự đam mê và luôn tìm cách khai thác bài toán, đó chính là con đường tốtnhất để đi lên trong học Toán Điều này cũng đã được Albert Einstein khẳngđịnh “Học kiến thức phải giỏi suy nghĩ, suy nghĩ, lại suy nghĩ Chính nhờcách ấy tôi đã trở thành nhà khoa học”

Quý thầy cô giáo đồng nghiệp kính mến!

Các em học sinh lớp 8, lớp 9 thân mến !

Trước sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế tri thức, sự phát triển mạnh

mẽ của công nghệ thông tin như hiện nay đã đặt nền giáo dục và đào tạo trướcnhững thời cơ và thách thức mới Để hòa nhập với tiến độ phát triển đó thìgiáo dục và đào tạo phải đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đàotạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng và Nhà nước ta

đã đề ra theo Nghị quyết số 40/2000/QH của Quốc hội về việc đổi mới giáodục phổ thông Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, conđường duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ khi cònngồi trên ghế nhà trường phổ thông Nhưng để nâng cao chất lượng học tậpcủa học sinh thì cần rèn luyện kĩ năng tư duy, kích thích sự phát triển tư duysáng tạo Đó là một yêu cầu không thể thiếu trong việc dạy học nói chung,cũng như dạy học môn toán nói riêng Vấn đề này lại càng được đặc biệt chú

ý đối với đối tượng học sinh khá, giỏi; với công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

Trong những năm gần đây, bản thân được nhà trường phân công giảngdạy môn Toán 8, Toán 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, tôi nhận thấyhầu hết học sinh thường khai thác dữ kiện bài toán một cách phiến diện chưatriệt để, thiếu tính sáng tạo, còn phụ thuộc vào sách giáo khoa; sự hướng dẫncủa một số giáo viên còn rập khuôn, máy móc; trong quá trình dạy toán giáoviên thường hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải của bài toán mà không hướngdẫn các em khai thác bài toán Vì vậy, khi gặp các bài toán cùng dạng nhưngthay đổi cách hỏi,…các em thường lúng túng và không biết cách giải Làm thế nào để xoá được cách nhìn xơ cứng của học sinh trước một bàitoán? Đó là vấn đề luôn luôn đặt ra trong suy nghĩ của tôi Thực hiện đượcđiều đó là việc làm hết sức khó khăn, không phải chỉ trong ngày một, ngày hai

mà đòi hỏi người thầy phải có kiến thức vững vàng, có khả năng thâu tóm vấn

đề tốt, phải luôn chịu khó tích luỹ kiến thức, có lòng đam mê khoa học vàtruyền được lòng đam mê đó tới học sinh Giúp học sinh phát hiện được cáimới từ những cái đã biết là đã tạo cho các em sự nhạy bén trong tư duy, kíchthích học sinh tìm tòi, linh hoạt, sáng tạo, từ đó tạo được hứng thú trong họctoán Tuy nhiên, hiện nay có rất ít tài liệu, sách báo viết về đề tài này nên họcsinh ít có tài liệu để nghiên cứu, tham khảo

Xuất phát từ những vấn đề trên nên tôi đã đầu tư nghiên cứu “Xây dựng chùm bài tập từ một số đẳng thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi Toán trung học cơ sở”.

2 PHẠM VI ÁP DỤNG

Sáng kiến kinh nghiệm này đã được áp dụng ở các lớp 8A, 9A (năm học2012-2013); các lớp 8A, 8B, 8C, 9A (năm học 2013-2014) của trường THCSthị trấn Ba Tơ; áp dụng trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp

và đang được các bạn đồng môn áp dụng thử nghiệm tại trường THCS Ba Vì

và trường THCS Ba Động (năm học 2013-2014)

Phần II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN:

Nếu "Toán học là một môn thể thao của trí tuệ" thì công việc của ngườithầy dạy toán là tổ chức hoạt động trí tuệ ấy Có lẽ không có môn học nàothuận lợi hơn môn Toán trong công việc đầy khó khăn này

Quá trình giải Toán chính là quá trình rèn luyện phương pháp suy luậnkhoa học, là quá trình tự nghiên cứu và sáng tạo Không dừng lại ở mỗi bàitoán đã giải mà hãy tìm thêm các kết quả thu được sau mỗi bài toán tưởngchừng như đơn giản Đó là tinh thần tiến công trong học toán và đó cũng làđiều kiện để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Trong các yêu cầu của việc giải bài tập toán thì việc tìm hiểu sự liên hệcủa bài toán này đối với bài toán khác, của đẳng thức này đến đẳng thức khác,

… là một trong những yêu cầu cần đặt ra đối với học sinh Trong quá trìnhgiảng dạy môn Toán ở trường trung học cơ sở tôi nhận thấy các bài tập vềđẳng thức đều mang đậm một nội dung phong phú và đa dạng; ở những bàitập đó tiềm ẩn các giả thiết và kết luận mới, đòi hỏi sự khai thác sáng tạo;phát hiện ra điều mới ấy sẽ mang lại cho người học những kết quả đầy lý thú,kiến thức mở rộng và sâu sắc hơn Tuy nhiên, thông qua việc giao lưu trao đổikinh nghiệm với đồng nghiệp giảng dạy cùng môn trên địa bàn huyện Ba Tơ,cũng như thông qua việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, bản thân tôinhận thấy hầu hết các giáo viên khi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toánchỉ tập trung giảng dạy theo từng chuyên đề riêng lẻ Điều này cũng rất đángquý Nhưng có quá nhiều chuyên đề cần phải giảng dạy cho học sinh mà thờigian dạy bồi dưỡng thì quá ít dẫn đến dạy nhồi nhét kiến thức, tạo áp lực họctập cho học sinh mà hiệu quả không cao Chính vì thế qua các lần thi học sinhgiỏi cấp huyện đạt kết đạt được là rất thấp

2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:

2.1 Thuận lợi: Được sự quan tâm của phòng Giáo dục và Đào tạo huyện

Ba Tơ, của ban giám hiệu nhà trường, tổ chuyên môn, của bạn đồng nghiệp.Đặc biệt với sự nỗ lực của các em học sinh đã giúp tôi hoàn thành sáng kiếnkinh nghiệm này Cụ thể:

- Về phía học sinh (đặc biệt là học sinh khá giỏi) đã tích cực thực hiệntheo các yêu cầu của giáo viên

- Về phía bạn bè đồng nghiệp đã góp ý bổ sung và áp dụng thử nghiệmsáng kiến này tại trường THCS Ba Vì và trường THCS Ba Động

- Về phía tổ chuyên môn trong nhà trường đã góp ý bổ sung giúp tôihoàn thành sáng kiến kinh nghiệm

- Về phía nhà trường đã phân công cho tôi giảng dạy môn toán 8, toán 9

và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán 8, toán 9, bồi dưỡng học sinh giỏi giảitoán bằng máy tính cầm tay nên tôi đã nghiên cứu và áp dụng thử nghiệm(năm học 2012 – 2013) từ đó mới thấy được kết quả khả quan của sáng kiến

- Về phía phòng Giáo dục và Đào tạo đã phân công cho tôi dạy bồidưỡng học sinh giỏi cấp huyện dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán, giảitoán trên máy tính cầm tay Do đó tôi càng có điều kiện nghiên cứu thêm và

áp dụng sáng kiến này

2.2 Khó khăn:

* Về phía Học sinh: Mặc dù học sinh đã có ý thức về tầm quan trọng của

môn Toán Tuy nhiên chất lượng học tập môn Toán chưa thật sự cao, chưađồng đều, các em người dân tộc thiểu số còn học kém nhiều Cụ thể:

- Chất lượng đầu vào của học sinh chưa cao Chẳng hạn một số em đãđược lên lớp 8, lớp 9 nhưng một số kiến thức cơ bản ở các lớp dưới chưa nắmchắc Do đó, trong quá trình học tập môn toán, học sinh thường mắc phảinhững sai lầm rất cơ bản trong phép biến đổi toán học đơn giản; khả năng tiếp

thu của học sinh còn hạn chế và chưa linh động trong việc xử lý các tìnhhuống Toán học đơn giản Có quá nhiều lổ hổng kiến thức vì vậy học sinh dễchán nản và không ham thích học Toán Đây là hệ quả tất yếu của quá trìnhcho học sinh lên lớp, học sinh xếp loại môn học từ trung bình trở lên theo chỉtiêu đề ra ở đầu năm học

- Đa phần học sinh chưa xác định đúng được động cơ và mục đích họctập, không thể hiện được ý thức phấn đấu, vươn lên trong học tập

- Chưa có sự quan tâm đúng đắn từ phía phụ huynh Nhiều phụ huynhhầu như khoán trắng việc học của con em mình cho nhà trường, chưa có biệnpháp đề nghị nhà trường giúp đỡ con em mình học tốt hơn

* Về phía Giáo viên:

Trong những năm gần đây chúng ta đã chú trọng đổi mới phương phápdạy học nhưng chưa đi vào thực chất và chưa có chiều sâu, chưa triệt để; chỉmới dừng lại ở việc cải tiến phương pháp dạy học truyền thống bằng cách sửdụng các câu hỏi tái hiện, các câu hỏi nêu vấn đề nhưng chưa thực sát Trongquá trình giảng dạy chúng ta chú ý nhiều đến việc truyền thụ khối lượng kiếnthức nhưng chưa chú trọng đến cách dẫn dắt học sinh tìm hiểu khám phá vàlĩnh hội kiến thức từ những bài tập đơn giản mà các em đã biết Do đó, khigiảng dạy (đặc biệt là đối tượng học sinh giỏi) giáo viên thường hay yêu cầuhọc sinh nhớ quá nhiều các dạng bài tập nhiều khi không cần thiết nên tạo áplực quá lớn cho học sinh

3 CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

Trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, các tiết dạy tự chọncũng như trong các tiết luyện tập tại lớp bản thân tôi luôn luôn coi trọng việckhai thác bài toán để từ đó tìm thêm cách giải khác, xây dựng bài tập tương

tự, bài toán tổng quát, bài toán mới, từ những bài toán đơn giản mà học sinh

có thể dễ dàng giải được Chẳng hạn:

Nên a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3 – 3abc

= (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b) – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b + c)

= ( a + b + c)3 - 3(a + b).c.(a + b + c) – 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)[(a + b + c)2 - 3(a + b).c – 3ab]

Từ bài toán trên ta có thể xây dựng được vô số bài toán, chẳng hạn:

3.1.1 Xây dựng chùm bài tập trong bài toán phân tích đa thức thành nhân tử; chứng minh chia hết:

Bài toán A 1: Phân tích đa thức: a3 b3c3 3abc thành nhân tử

Trích đề vào 10 chuyên Toán, THPT Lê Hồng Phong- TP.Hồ Chí Minh, 1988 Hướng dẫn: Xem cách 2 của bài toán A

Nhận xét 1: Từ bài toán A Do đa thức đã cho có bậc lẻ đối với tất cả các

biến nên dấu của a cũng là dấu của a3, dấu của b cũng là dấu của b3, dấu của ccũng là dấu của c3 Do đó ta có thể đề xuất bài toán sau:

Bài toán A 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Từ bài toán A và bài toán A2.a) ta có thể xây dựng tiếp một số bài toán sau:

Bài toán A 3: Chứng minh rằng a3 b3c33abc chia hết cho a – b + c

a b c abc chia hết cho k

b) Cho cho a, b, c, k là các số nguyên thỏa mãn a 2  b 2  c 2  ab bc ca k   M Chứng minh rằng a3b3 c3  3abc chia hết cho k

Hướng dẫn: Giải tương tự bài toán A6

Bài toán A 8: Cho abc là số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn abc 11 M

Lời giải: Vì số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn với tổng các chữ số

hàng lẻ chia hết cho 11 thì chia hết cho 11 nên từ abc 11 M  a b c 11   M (1)Lại có a3 b3c33abca b c a    2 b2  c2 ab – +ac bc (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra điểu phải chứng minh

Bài toán A 9: Cho a, b,c N *  và ƯCLN(abc, a + b + c) = 1 Chứng minh rằng nếu (a 3  b 3  c 3  kabc) (a b c) M   thì (k 3) (a b c)  M  

ta có thể đề xuất một số bài toán sau:

Bài toán A 10: Cho x a 2  bc y b;  2  ac z c;  2  ab

Chứng minh rằng: a) (ax by cz) (a b c) b) (ax by cz) (x y z)   M     M  

Bài toán A 11: Cho   bc;   ac;   ab

3.1.2 Xây dựng chùm bài tập trong chứng minh đẳng thức; trong tính toán; rút gọn biểu thức:

Bài toán A 14:

Chứng minh rằng, nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a = b = c hoặc a + b + c = 0

Lời giải: Ta có a3 b3c3 3abc a3b3c3 3abc0

Bài toán A 15: Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc

Trích bài 38- Trang 13- SBT Toán 8-Tập 1

Hướng dẫn: Xem các cách giải ở bài toán B trang 21

Bài toán A 16: Rút gọn các biểu thức sau:

b) Phương pháp giải tương tự câu a

Nhận xét 4: Từ bài toán A16.a) nếu cho biết a + b + c bằng một giá trị nào đóthì ta có thể tính được giá trị của biểu thức A Chẳng hạn:

Bài toán A 17: Cho a + b + c = 2014

Tính giá trị của biểu thức A =

Hướng dẫn: A = (a b c)1    1.2014 1007

Bài toán A 18: Cho ba số a, b, c là ba số khác 0 thỏa mãn điều kiện a3

+ b3 + c3 = 3abc Tính giá trị các biểu thức sau:

Hướng dẫn: Tương tự bài toán A 18 a)

Bài toán A 20: Cho abc 0 thỏa mãn điều kiện a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2

Tính giá trị biểu thức M = 1ab  1bc  1ac

     

Bài toán A 21: Cho a + b + c = 2014 và a, b, c đôi một khác nhau Hãy chứng

tỏ giá trị của biểu thức

a b b c c a không phụ thuộc vào giá trị của a, b, c

Hướng dẫn: A = (a b c)1    1.2014 1007

Bài toán A 22: Cho a, b, c là ba số nguyên liên tiếp Chứng minh rằng giá trị

của biểu thức A a + b3 3 c3 3abc

a b c

 



  không phụ thuộc vào giá trị của a, b, c

Lời giải: Ta có a + b3 3 c3 3abc 1  2  2  2

Do a, b, c là ba số nguyên liên tiếp nên không mất tính tổng quát của bài toán,

ta giả sử a > b > c  a = c + 2 và b = c + 1 Khi đó biểu thức A trở thành:

3.1.3 Xây dựng chùm bài tập trong chứng minh bất đẳng thức:

Ta có nhận xét sau: M 0  với mọi a + b +c  0 Dấu đẳng thức xảy ra khi

a = b = c, từ đó, ta có thể xây dựng một số bài tập sau:

Bài toán A 23: Chứng minh rằng x3 +y3 +z3  3xyz khi và chỉ khi x+y+z  0

Lời giải: Xét hiệu x3 +y3 +z3 -3xyz = 21 (x+y+z)(x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2

Ta có (x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2 ≥ 0 với mọi x, y, z

 12 (x+y+z)(x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2 ≤ 0 (vì x+y+z  0)

Vậy x3 +y3 +z3  3xyz

Bài toán A 24: Cho các số dương x, y, z Chứng minh rằng x3 +y3 +z3 - 3xyzkhông âm

Hướng dẫn: Giải tương tự bài toán A23 (x, y, z là ba số dương nên x+y+z 0)

Bài toán A 25: Cho ba số không âm x, y, z

Chứng minh rằng x y z 3 xyz    3 Dấu “=” xảy ra khi nào? ( Bất đẳng thức Cô-si cho 3 số không âm)

Lời giải: x y z 3 xyz    3       3 x 3 3 y 3 3 z 3  3 xyz 03 

Bài toán A 26: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác, không phải là tam giác cân Chứng minh rằng a3 +b3 +c3 – 3abc > 0.

Lời giải: Ta có a3 b3 c3  3abc(a b c a  ) 2 b2c2  ab bc ca  

Bài toán A 27: Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh rằng:

a) sin3A + sin3B + sin3C – 3sinA.sinB.sinC ≥ 0

b) cos3A + cos3B + cos3C – 3cosA.cosB.cosC ≥ 0

c) tan3A + tan3B + tan 3C – 3tanA.tanB.tanC ≥ 0

Hướng dẫn: Giải tương tự bài toán 23

3.1.4 Xây dựng chùm bài tập trong giải phương trình; giải hệ phương trình:

Nhận xét 6: Nếu thay a, b, c bởi các đa thức một biến hoặc nhiều biến vào đa thức a3 b3c3 3abc và cho a3 b3c3 3abc0 thì ta sẽ được vô số cácbài toán về giải phương trình hay hệ phương trình Chẳng hạn:

Bài toán A 28: Giải phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình(1) là: S = 2; 23 

Bài toán A 29: Giải phương các trình sau:

a) (x + 1)3 + (2x + 1)3 + (x + 2)3 – 3(x + 1)(2x + 1)(x + 2) = 0

b) (1– x)3 + (2x – 1)3 – (1 + 3x)3 + 3(1– x)(2x – 1)(1 + 3x) = 0

c) (x + 1)3 + (x – 1)3 + (2x + 1)3 + 3(1 – x2)(2x + 1) = 0

Hướng dẫn: Câu a, b ta sử dụng bài toán A để giải trực tiếp.

Câu c, ta phải biến đổi 3(1 – x2)(2x + 1) = - 3(x + 1)(x – 1)(2x + 1) sau đógiải tương tự câu a, b

Hướng dẫn: Sử dụng kết quả bài toán A31, từ đó tính được giá trị biểu thức P

Bài toán A 33: Giải hệ phương trình 2 2 2

Bài toán A 34: Giải hệ phương trình: 2 2 2

(I)

(c a)x

y

b c (b a)(b c)x (c a)(c a)x 0

b c (b a)(b c) (c a)(c a) x 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x, y, z) = ( 0; 0; 0)

Bài toán A 37: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

 3  3  3     (x y) (y z) (z x) 3(x y y z z x)( )( ) 0

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình về dạng

1

2 x y z   x y  y z  z x    x y z  (do x y z  0)Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là (x, x, x) với x N * 

Bài toán A 38: Tìm các nghiệm nguyên dương của hệ phương trình:

2 3

x y 3xyz z (2x 2y) z

3.2 Xây dựng chùm bài tập từ đẳng thức:

a3 + b3 + c3 = 3abc với điều kiện a + b + c = 0

Bài toán B: Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc

Trích bài 38- Trang 13- SBT Toán 8-Tập 1

* Chú ý: Bài toán này là một hệ quả của bài toán A, tuy nhiên tầm ứng dụng

của nó cũng không kém gì so với bài toán A Bài toán này có rất nhiều cách giải, sau đây tôi chỉ nêu một số cách giải:

 0 3  a3  b3  c3   3( )( )( )c a b  a3 b3 c3  3abc

Sau đây là những ứng dụng của bài toán trên:

3.2.1 Xây dựng chùm bài tập trong bài toán phân tích đa thức thành nhân tử; chứng minh chia hết:

Bài toán B 1: Cho ba số nguyên a, b, c và a + b + c = 0

a Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 chia hết cho 3

b Biết trong ba số a, b, c có ít nhất một số chẵn

Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 chia hết cho 6

Hướng dẫn:

a) a + b + c = 0  a3 b3 c3  3abc 0 a3 b3c3 3abc

b) Tương tự câu a) với chú ý trong ba số a, b, c có ít nhất một số chẵn nên abcchia hết cho 2

Bài toán B 2: Phân tích đa thức (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 thành nhân tử

Trích đề thi HSG Toán 8, TPHCM- Vòng 1- Năm học 1986 – 1987 Lời giải:

Bài toán B 3: Phân tích đa thức ( x2 + y2)3 + (z2- x2)3 - (y2+ z2)3 thành nhân tử

Trích đề thi Vô địch Toán 8-Vòng 1-Nước Cộng hoàn Belarutsia-Năm 1957 Hướng dẫn: Giải tương tự như bài toán B2

3.2.2 Xây dựng chùm bài tập trong chứng minh đẳng thức; trong tính toán; rút gọn biểu thức:

Bài toán B 4: Cho a+b+c = 0 và a, b, c khác 0

Tính giá trị của biểu thức B a3 b3 c3