Sáng kiến kinh nghiệm –Kĩ năng giải phương trình cho HS lớp 9

III - Cơ sở lí luận và thực tiễn1/ Cơ sở lí luận Rèn kĩ năng giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của phơng pháp giảng dạy bởi lẽ việc giải toán là một việc mà cả ngời học lẫn

MụC LụC

phần I: Đặt vấn đề

3 Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức 16

5 Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 19

Phần I: Đặt vấn đề

I - Lí do chọn đề tài

Môn Toán là một môn khoa học tự nhiên có vai trò hết sức to lớn trong đời sống và trong khoa học kĩ thuật Đồng thời môn Toán còn là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn khác Thông qua bộ môn Toán đặc biệt là phân môn đại số học sinh phát triển các năng lực t duy và phẩm chất trí tuệ Chính có

điều kiện thế từ xa, nay, Toán học luôn là môn quan trọng trong quá trình học của học sinh

Giai đoạn hiện nay, đòi hỏi con ngời phải có khả năng t duy tích cực, nhanh nhẹn, linh hoạt có khả năng thích ứng với mọi điều kiện sống để giải quyết một cách hiệu quả các vấn đề đã và đang tồn tại trong cuộc sống hàng ngày Chính vì vậy mà việc trang bị cho học sinh những phơng pháp học Toán là kĩ năng giải toán là hết sức quan trọng

Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán ở trờng THCS Chúng tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều kk khi giải toán, đặc biệt là kĩ năng giải ph ơng trình và giải bài toán bằng cách lập phơng trình Đây là một vấn đề khó và hắc búa đối với học sinh, nhất là với đối tợng học sinh yếu Chính vì vậy để nâng cao chất lợng dạy và học môn đó, cụ thể là phần giải phơng trình chúng tôi đã chọn

đề tài " rèn kỹ năng giải phơng trình cho học sinh lớp 8

II - Thuận lợi - khó khĂN

1/ Thuận lợi

- Phòng trờng luôn chú ý tới việc đổi mới

- Khi thực hiện đề tài hiện nay tôi đang đợc tiếp giảng dạy ở khó 8 là 70 học sinh, ở 2 lớp 8 C và 8H

- Các gia đình công nhân, viên chức rất quan trọng đến việc học tập của các

em

- Mỗi lớp đều có đội ngũ cán sự toán nhiệt tình, năng động và tự giác học tập

2- Khó khăn:

- Trình độ tiếp thu kiến thức của học sinh không đều

- Học sinh còn lời học, và một số chỉ học vẹt cha biết cách áp dụng, ý thức vơn lên cha cao

- Một số gia đình cha thực sự quan tâm đến việc học tập của con mình

III - Cơ sở lí luận và thực tiễn

1/ Cơ sở lí luận

Rèn kĩ năng giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của phơng pháp giảng dạy bởi lẽ việc giải toán là một việc mà cả ngời học lẫn ngời dạy thờng xuyên phải làm trong chơng trình phổ thông, trong các cấp học đặc biệt là trong chơng trình khối lớp 8 thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán Giải toán là một hình thức vận dụng những kiến thức đã biết vào mà vấn đề

cụ thể vào thực tế, vào các vấn đề mới Trong quá trình giải toán ngời giải toán

đã hổi tởng hay nhớ lại huy động và tổ chức những kiến thức toán học đã biết, lựa chọn và kết hợp những kiến thức khác nhau để vận dụng Do đó qua qúa trình giải toán, kiến thức toán học của ngời giải đợc củng cố đào sâu mở rộng và trở lên "sống động" Trong phân môn đại số có rất nhiều bài toán liên quan giải phơng trình, học sinh không giải đợc không chỉ với nhiều học sinh học toán kém, học sinh lời học, không nắm vững kiến thức cơ bản đã dành còn có nhiều học sinh chịu khó học bài thuộc bài nhng cũng không làm đợc hoặc làm sai bài tập vì học sinh cha đọc kĩ để bàn cha hiểu rõ bài toán và không biết bắt đầu từ đâu, không biết vận dụng các quy tắc, thuật giải, các phơng pháp không chịu tìm kiếm các cách giải

Bên cạnh đó là một phần do lỗi của giáo viên cha trang bị cho học sinh các phơng pháp cơ bản, cha tạo cho học sinh thói quen tiến hành đầy đủ các bớc cần thiết, cha coi trọng phơng pháp suy nghĩ, cha trú trọng đến việc phân tích bài toán theo nhiều khía cạnh để tạo ra các phơng pháp và lời giải khác nhau Đặc biệt là cha chú trọng rèn luyện cho học sinh những kĩ năng thực hành, kĩ năng tính toán, kĩ năng biến đổi và kĩ năng suy luận, cha chú ý đến việc lựa chọn một

hệ thống bài tập đa dạng, cha gây đợc hứng thú cho học sinh thông qua giải các bài toán Chính vì vậy trong quá trình rèn kĩ năng giải toán cho học sinh tìm ra lời giải của bài toán khó, phơng pháp giải mới, độc đáo của bài toán gây lên sự hào hứng, phấn chấn, khoái trí điều đó có nghĩa là vun đắp lòng say mê học toán

và ớc mơ vơn tới vinh quang

2/ Cơ sở thực tiễn

Năm học 2006-2007, tôi đợc BGH phân công giảng dạy 2 lớp 8C và 8H và chủ nhiệm 8C Trong đó số học sinh của 2 lớp đa phần là nông nghiệp Các em

học sinh nông thôn thì tiếp thu bài chậm học sinh thụ động, nhng đợc cái chăm chỉ chịu khó, nhng không tự mình tìm tòi suy nghĩ để tìm ra cách giải bài toán còn một số học sinh công nghiệp thì tiếp thu bài nhanh hơn, càng có điều kiện và chịu khó tìm tòi hơn nhng lại hơn nhanh ẩu đoảng Các em học sinh hầu nh việc

tự giác học tập và rèn luyện cha tốt, thậm chí một số em lời không chuẩn bị bài ở nhà, về nhà thì mải chơi không làm bài Nếu có thì làm qua loa đại khái không cần kiểm tra đúng sai, cách trình bày bài không khoa học, vở cha đợc sạch đẹp, làm cha đầy đủ các bớc Các em cha xác định nhanh các dạng toán đã học Chính vì vậy bằng cách đi sâu vào nghiên cứu và giúp các em học sinh giải đợc nhiều bài toán trong một tiết dạy để rèn kỹ năng giải các phơng trình thông qua quy tắc giải bên cạnh việc sử dụng các đồ dùng dạy học hiện đại thì sử dụng các bảng phụ vừa tiện, đơn giản, hiệu quả vì cùng một lúc kiểm tra đợc nhiều đối t-ợng học sinh Từ đó nhằm nâng cao chất lt-ợng học bộ môn toán nói chung và phân môn đại số nói riêng và đặc biệt áp dụng vào việc rèn kỹ năng giải các

ph-ơng trình trong chph-ơng trình lớp 8

Phần II : Giải quyết vấn đề

I- Kết quả khảo sát đầu năm môn Toán:

Ngay từ tháng đầu của năm học nhà trờng đã tiến hành kiểm tra khảo sát chất lợng hai bộ môn chính Đó là bộ môn Văn và môn Toán để giáo viên bộ môn lên kế hoạch và phơng án cho công tác giảng dạy trong năm học

2006-2007 Kết quả cụ thể điểm Toán nh sau:

Số lợng Tỉ lệ % Số lợng Tỉ lệ %

Nhìn vào kết quả điểm thi khảo sát trên thì rõ ràng tỉ lệ học sinh điểm dới

TB cha đạt đợc 50%, mà trong khi đó kết quả thi học kỳ II năm học 2005-2006 lớp vẫn đạt trên 70% điểm trên TB Vậy sau 3 tháng nghỉ hè mà kiến thức các

em đã mai một đi ít nhiều

Qua đó tôi thấy việc học tập là phải thờng xuyên, liên tục kể cả đợt nghỉ hè bản thân các em vẫn phải có kế hoạch và lịch học ôn tập kiến thức cũ cho tốt và tìm hiểu thêm kiến thức mới sắp tới sẽ học và đề nghị gia đình học sinh phải kiểm tra một cách chặt chẽ

II- Biện pháp tiến hành

1- Biện pháp chuyên môn :

Để tìm lời giải của bài toán Đại hay Hình đợc tốt thì ngời giáo viên cũng

nh học sinh phải thực hiện đúng và theo các bớc sau Đó cũng là thể hiện tính

đơn trị của thuật giải:

(ở đây xin trình bày các bớc thực hiện để giải phơng trình cho tốt)

* Bớc 1: Tìm hiểu đề bài:

Yêu cầu đầu tiên của việc tìm hiểu đề bài là học sinh phải đọc kỹ đề, chép chính xác đề Thậm chí cần thiết phải thuộc đề bài

Nếu đối với giải phơng trình dễ thì tìm hiểu đề bài nhanh, không phức tạp lắm, nhng đối với giải những phơng trình khó thì việc tìm hiểu đề bài sẽ rất lâu

và phức tạp

Thông thờng học sinh hay không chú ý đến việc này do vậy không phán

đoán đợc hớng giải phơng trình hoặc giải ra kết quả nhng phơng hớng sai hoặc cha hợp lý

ở bớc này thông thờng học sinh phải đặt các hệ thống câu hỏi sau:

- Phơng trình này ở dạng nào? ẩn là x hay y hay z

- Các hệ số dạng nh thế nào?

- Có ẩn ở mẫu thức không ? Có hệ số chữ không ?

- Có dấu giá trị tuyệt đối không?

- Yêu cầu của đề bài nh thế nào?

- Có những đặc điểm gì giống với các phơng trình đã học hay đã giải?

- Cần phải đa về dạng phơng trình nào đã học?

* Bớc 2: Hớng dẫn cách tìm lời giải:

Sau khi tìm hiểu đề bài là bớc phân tích, tìm phơng hớng giải phơng trình Bớc này thờng đặt các câu hỏi sau:

- Để thực hiện đợc mục đích và yêu cầu của đề bài thì ta phải áp dụng định

lý nào? Tính chất nào? Hệ quả nào?

- Phơng trình có mấy nghiệm?

- Căn cứ vào đầu để biết có mấy nghiệm?

- Cách giải nh thế nào cho hợp lý và tối u?

- Cần lu ý yếu tố nào?

- Có thể chia bài toán thành một bài toán nhỏ hơn để giải đợc không?

* Bớc 3: Cách giải:

Đi vào thực hiện giải, thực hiện các bớc giải theo quy tắc một cách nghiêm túc, yêu cầu trình bày phải logic, có lý, các phép biến đổi phải tơng đơng

Sau khi tìm đợc kết quả thì nên thực hiện các bớc thử lại xem kết quả có

đúng không, nếu sai thì kiểm tra lại các bớc xem đúng bớc nào, sai bớc nào trong quy tắc giải? Kiểm tra lại những điều kiện ràng buộc của đề bài xem có vi phạm không? Nếu vi phạm thì cách giải quyết nh thế nào?

* Bớc 4: Khai thác bài toán:

Việc này thờng dành cho giáo viên, có thể phát triển chơng trình thành dạng nào tơng tự, hoặc đa ra quy tắc giải tổng quát cho từng dạng phơng trình, cho từng loại bài

Bớc này thờng học sinh giỏi làm tốt, còn đối với học sinh trung bình hoặc yếu thì cũng ít nghĩ đến Do vậy chúng ta phải thờng xuyên hớng cho các em dạng toán tơng tự cho đề về nhà nghiên cứu và tìm hiểu Cuối cùng giáo viên có thể giúp, gợi cho học sinh cách giải Và đây cũng là t duy khái quát hoá rất tốt

III- Kiến thức liên quan

1- Các phép biến đổi tơng đơng của phơng trình:

Định nghĩa tập xác định của phơng trình; Tập xác định của một phơng trình

là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phơng trình có nghĩa

2- Định nghĩa 2 phơng trình tơng đơng

2 phơng trình gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm

2 phơng trình vô nghiệm cũng đợc gọi là tơng đơng

3- Định nghĩa 2 phơng trình hệ quả

Nếu phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là tập hợp con của tập hợp nghiệm của phơng trình (2) thì phơng trình (2) là phơng trình hệ quả của phơng trình (1)

4- Biến đổi tơng đơng các phơng trình

Dựa vào các tính chất cơ bản của đẳng thức số:

a- Phản xạ : a= a

b- Đối xứng: a = b=> b= a

c- Bắc cầu: a= b và b= c => a = c

d- Cộng 2 vế của phơng trình với 1 số c : a= b <=> a= c = b +c

e- Nhân 2 vế của phơng trình với 1 số c  0: a = b và c0 <=> a c = b.c

* Định lý 1: Nếu cộng cùng 1 đá thức của ẩn vào 2 vế của 1 phơng trình thì

ta đợc 1 phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho

* Hệ quả 1: Nếu chuyển vế 1 hạng tử từ vế này sang vế kia củ 1 phơng trình, đồng thời đổi dấu của hạng tử đó thì ta đợc 1 phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho

* Hệ quả 2: Nếu xoá 2 hạng tử bằng nhau ở 2 vế của 1 phơng trình thì đợc

phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho

* Định lý 2: Nếu nhân 1 số  0 vào 2 vế của 1 phơng trình thì ta đợc 1

ph-ơng trình mới tph-ơng đph-ơng với phph-ơng trình đã cho

* Chú ý: Nếu ta cộng cùng 1 biểu thức có chứa ẩn ở mẫu hoặc nhân 1 đa

thức của ẩn vào 2 vế của 1 phơng trình thì phơng trình mới có thể không tơng

đ-ơng với phđ-ơng trình đã cho

Ngoài ra để giải phơng trình một cách nhuân nhuyễn và thành thạo và với các dạng phơng trình phức tạp thì biểu thức liên quan đến Đó là:

Cộng, trừ, nhân, chia các đơn thức, đa thức; hằng đẳng thức đáng nhớ Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử; quy đồng mẫu thức các phân thức; các quy tắc đổi dấu của biểu thức đại số

* Nói tóm lại: Để học tốt và giải tốt phơng trình bằng quy tắc giải học sinh

phải nắm vững tất cả các kiến thức đã học trong chơng trình, do vậy giáo viên giảng dạy phải thờng xuyên truyền thụ kiến thức mới học sinh mà còn phải củng

cố kiến thức đã học

IV- Giải phơng trình bằng quy tắc giải:

1- Phơng trình bậc nhất 1 ẩn:

VD1: Giải các phơng trình: a) 2x + 32 = 0 b) 5x - 36 = 0

c) 0x -9 = 0 d) 0x - 0 = 0

* Tìm hiểu đề bài:

Đây là các phơng trình bậc nhất 1 ẩn, có ẩn là x, có các hệ số là các số, mà các trờng hợp a  0 và b 0; a = 0 và b0 ; a= 0 và b= 0

* Hớng dẫn cách tìm lời giải:

Loại bài này nhằm mục đích chính là cho học sinh tập luyện hoạt động khái quát hoá một quá trình diễn ra trên một đối tợng riêng lẻ thành 1 quá trình diễn ra trên 1 lớp đối tợng Mục đích này thể hiện ở chỗ tìm thuật giải cho cả 4 phơng trình trên Ta có thể đặt ra những câu hỏi gợi ý nh sau:

- Về nghiệm của phơng trình ax + b =0 có thể chia thành mấy trờng hợp, đó

là những trờng hợp nào?

( Ba trờng hợp: Có 1 nghiệm duy nhất; vố số nghiệm và vô nghiệm)

- Điều kiện nào quyết định số nghiệm của phơng trình trong từng trờng hợp?

( Có mấy nghiệm duy nấht khi a nh thế nào? Vô số nghiệm khi a nh thế nào? và b nh thế nào? Vô nghiệm khi a nh thế nào? và b nh thế nào? )

- Hãy nêu các bớc gỉai phơng trình ax + b = 0 một cách tỉ mỉ?

* Cách giải:

+ Bớc 1: Xác định hệ số a, b của phơng trình

+ Bớc 2: Nếu a  0 thì phơng trình có nghiệm duy nhất

Nếu a= 0 và b0 thì phơng trình vô nghiệm

Nếu a = 0 và b= 0 thì phơng trình có vô số nghiệm

Dạy hoạt động khái quát hoá nh trên đã dựa trên cơ sở xét đầy đủ các trờng hợp riêng (nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm) Một phơng án khác để dạy hoạt động này trên cơ sở xuất phát từ một trờng hợp riêng Trờng hợp này cần lựa chọn sao cho học sinh dễ mắc sai lầm khi khái quát hoá Lúc học sinh mắc sai lầm, giáo viên giúp học sinh tự sửa chữa sai lầm là một tình huống s phạm tốt đ lĩnh hội và phát triển kiến thức giải phơng trình bậc nhất một ẩn Theo phơng án đó là thì có thể hình thành quy tắc giải phơng trình

ax+b =0 thông qua bài toán sau:

*Khai thác bài toán:

VD2: Giải các phơng trình sau: 4x + 3 = 0; - 7x -6 = 0; 7x - 0=0

Nếu chúng ta nhìn vào các phơng trình đó ta thấy sẽ xảy ra các trờng hợp

có nghiệm duy nhất ở cả 3 phơng trình nên khi xây dựng thuật giải học sinh dễ

bỏ quên 2 trờng hợp

Nếu a= 0 và b= 0 thì phơng trình có vố số nghiệm

Và nếu a = 0 và b  0 thì phơng trình vô nghiệm Vì thế thuật giải sẽ không đầy đủ và việc khái quát hoá sẽ không thành công

VD3: Tính x biết rằng:









 4 ) 6

5

3

4

6

* Tìm hiểu đề bài

Bài này ẩn dấu dới dạng tìm x mà không hỏi là giải phơng trình, nhng thực chất là giải phơng trình, ẩn là x

* Hớng dẫn cách giải:

Muốn tìm x ta phải tính 4x

Muốn tính 4x ta phải tính 4x

5

3

4 

x

4

5

3

4  là biểu thức tính đợc

* Cách giải:

Ta có thể giải nh sau:









 4 ) 6

5

3

4 x :

6 5

<=> 







 4 ) 6 5

3

4 x x

5 6

<=> 







 4 ) 5

3

5 36

<=> -4x =

5

23 5

36



<=> -4x =

5 13

<=> x = : ( 4 )

5

13



<=> x = )

4

1 (

5 13



<=> x =

20

13



Vậy nghiệm của phơng trình là x =

-20 13

2/ Giải phơng trình tích:

Ta đã gặp các phơng trình tích, tức là phơng trình dạng:

f(x) g(x) h(x) = 0 (1)

Ta biết rằng: Một tích bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất 1 nhân tử bằng 0

Do đó ta có:

f(x) g(x) h(x) <=>

f(x) = 0 g(x) = 0

h(x)= 0

Nh vậy nghiệm của phơng trình tích (1) là tập hợp nghiệm của các phơng trình : f9x) = 0 ; g(x) = 0 ; h (x) = 0

VD5; Giải phơng trình : (x-1) (2x+7) (x2 + 2) =0 (1)

* Tìm hiểu đề bài:

- Phơng trình nhà có tích 3 đa thức trong đó 2 đa thức bậc 1 và 1 đa thức bậc 2, ẩn của phơng trình là x

- Phơng trình sẽ có nhiều nhất 4 nghiệm nhng vì có đa thức (x2 + 2) luôn

d-ơng vậy phd-ơng trình có 2 ẩn

* Hớng dẫn cách tìm lời giải:

- Đa phơng trình về phơng trình tích đơn giản hơn gồm 2 tích của 2 đa thức bậc nhất

- Rút ra nhận xét nếu biểu thức có dạng x2 + a , a> 0 thì x2 + a >0 mọi x

Cách giải:

Vì x2 + 2 >0 nên phơng trình <=> (x-1) (2x + 7 ) =0

Nên phơng trình (1) <=> (x-1) = 0 (2)

(2x + 7) = 0 (3)

Đến bớc này ta lại quay về giải phơng trình bậc nhất 1 ẩn bằng thuật giải: h-ớng cho học sinh tự tìm ra kết quả theo các bớc:

Giải phơng trình (2) ta tìm đợc x= 1