SKKN Rèn luyện cho học sinh giải một số bài tập bằng phương pháp lượng giác

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC"... Trong Toán học, lượng giác là một công cụ mạnh, nó được ứng dụng trong giải các d

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP BẰNG

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC"

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

Lượng giác có nhiều ứng dụng trong đời sống và khoa học Trong Toán học, lượng giác

là một công cụ mạnh, nó được ứng dụng trong giải các dạng toán khác, điển hình nhưhình học, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số, trong phương trình, hệphương trình, bất phương trình và bất đẳng thức

Cùng với định nghĩa giá trị lượng giác, các công thức lượng giác và các kết quả trongviệc khảo sát sự biến thiên của các hàm số lượng giác được sử dụng để giải quyết nhiềubài toán toán học và nhiều bài toán trong các nghành khoa học khác Do đó việc hướngdẫn học sinh sử dụng phương pháp lượng giác để giải một lớp các bài toán đại số là mộtđiều cần thiết, giúp học sinh hiểu sâu sắc, chắc chắn thêm những kiến thức về lượng giác;đồng thời trang bị thêm cho các em một phương pháp giải được nhiều bài toán đòi hỏinhiều đến kỹ năng tư duy, tổng hợp và các kiến thức rút ra từ các nội dung khác nhau Việc sử dụng phương pháp lượng giác để giải một lớp các bài toán đại số tạo hứng thútrong học tập, tăng khả năng tìm tòi sáng tạo, đồng thời tạo nên sự phong phú về thể loại

và phương pháp giải toán cho học sinh

PHẦN II: CÁC GIẢI PHÁP CẢI TIẾN.

1 Thực trạng của vấn đề

Lượng giác là một mảng kiến thức có thể nói khó đối với học sinh phổ thông Hơn nữa

một thực tế là có rất nhiều học sinh chưa thấy hết được ứng dụng của lượng giác trongcác bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số, phươngtrình, bất phương trình, hệ phương trình, đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳngthức

2 Phương pháp nghiên cứu.

Đề tài được sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh.

3 Đối tượng.

Học sinh lớp 10, học sinh giỏi và học sinh dự thi vào các trường đại học, cao đẳng

4 Cách thức thực hiện.

Để thực hiện đề tài này, tôi phân thành năm dạng bài tập tương ứng với dấu hiệu để đổi

biến lượng giác

5 Nội dung.

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Phương pháp lượng giác để giải toán đại số cần đến một số kiến thức lượng giác dựa

trên hai cơ sở chủ yếu sau:

1 Dựa vào công thức lượng giác:

Từ công thức cơ bản sin2t+ cos2t=1, suy ra nếu a và b là hai số thỏa mãn điều kiện thìtồn tại số t với 0 t 2  sao cho cost=a và sint=b Đôi khi để t xác định duy nhất ta chỉcần chọn một trong hai giá trị 0 hoặc 2

2 Dựa vào phương trình lượng giác cơ bản:

Từ cách giải phương trình lượng giác cơ bản,suy ra:

- Nếu số a thỏa mãn điều kiện a  1thì tồn tại các số t, u tương ứng duy nhất với

2 2

;

2

0 t    u sao cho cost=a và sinu=a

- Với mọi số thực a, tồn tại duy nhất t với  2 t2 sao cho tant=a

t a x

sin cos

y

t a

Dạng 4: Nếu bài toán chứa biểu thức dạng x2+a2 thì có thể đặt: x  a tan t,

Dạng5: Nếu bài toán chứa x mà ta tìm được axb thì có thể đặt:

x=a+(b-a)sin2t, hoặc x=b+(a-b)sin2t, với 0;2 

sin 4

5

; 4

5 4

4 2

Do đó: miny  2khi x  2 , maxy  2 2 khi x 2

Chú ý: Vì  2 x 2nên khi ta đặt x=2cost với t0 ; , thì sin t 0

k t

t t

t t

4

2 8 )

2 cos(

3 cos sin

5 cos ,

2

2 2 8

3

cos  

Chú ý: vì  1 x  1nên khi ta đặt x=cost với t0 ; , thì sin t 0 1 x2 sint

t t

; 4 4

3

;

2

Vậy: Bất phương trình này có nghiệm  1 x 0

Ví dụ 4: Cho các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a>c, b > c, c > 0 Chứng minh rằng:

c b

c a

c a ab

c b c

sin ,

a

c a t a

sin ,

b

c b u b

c

Khi đó (2) trở thành: sintcosu costsinu 1  sin tu  1 (3)

(3) luôn luôn đúng có nghĩa là (1) đúng

Cách 2: Ta có    

2 2

2 2

2 4

cos 2

cos 2

sin 2

sin 2 2

2

2 2 2 2

2 2

Do đó: A ab  tuab tu ab A ab

2 sin cos

1 2

2 2

Ví dụ 5: Chứng minh rằng nếu x  1 thì với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Dạng 2: Nếu bài toán chứa biểu thức dạng x2+y2=a2, thì có thể đặt: 







t a y

t a x

sin cos

y

t a

x

cos

sin

với t  0 ; 2  

Ví dụ 1: Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2+y2=1 Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  2

2

2 2 1

6 2

y xy

xy x

2 sin

cos

2

1

sin cos 6 cos

2

2 2

P

t t

P t t

t t

t

t t t

4 5 2 sin 3 2 cos

, 5

3 sin , 5

4 cos 2

10 1 10 3

2 sin 1 2

sin

2 cos 1 2

cos

y

x hoăo y

x u k

u y

u k

u x

k k





- Với P=-6, từ (1) suy ra :

2  1 cos

1 2 sin 13

12 2 cos 13

5 13 2

sin 12

, 13

12 sin , 13

5 cos

13 2 13 3

2 sin 1 2

sin

2 cos 1 2

cos

y

x hoăo y

x u k

u y

u k

u x

k k

) 2 ( 16

) 1 ( 9

2 2

2 2

yt xz

t z

y x

Trong các nghiệm (x,y,z,t ) của hệ nghiệm nào làm cho P= x+z , F=xz đạt giá trị lớn nhất

( Trích Đề thi tuyển sinh khối A năm 1987)

a a y

a x

b b t b z

thay vào (3) ta được:

12 ) sin sin cos

(cos 12

.

x  cos(a b)  1, nhưng vì cos(a-b)1, nên suy ra:cos(a-b)=1 khi a=b Do đó:

- P=x+z=4 cosa 3 cosa 7 cosa 7

Vậy Max P 7  abk2   ab 0 và a=b=2  , suy ra tương ứng với nghiệm của hệ là:x=3,y=0,z=4,t=0

- F=x.z=3 cos 4 cos 12 cos 2 12



a

Vậy Max F  12  cosa  1  ak  ab 0, a=b= , suy ra tương ứng với nghiệm của hệlà: x=3,y=0,z=4,t=0 và x=-3,y=0,z=-4,t=0.

Ví dụ 3: Cho các số thực x,y thay đổi thỏa: x2+y2=2 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức : P=2(x3+y3)-3xy.

(Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D năm 2008 )

t x

sin 2 cos 2

, t  0 ; 2   Suy ra:

P  4 2 (cost sint)( 1  sint cost)  6 sint cost

Đặt u=sint+cost = )

4 sin(

2 t ,  2 u 2,

ta có: P  2 2u3  3u2  6 2u 3 f(u)

2 6 6 2

1 0

) (

'

u

u u

2

13 2

1 , 1 ) 2 ( ,

Ví dụ 4: Giải phương trình: 1

1

2 2

) 1 ( 1 sin

t x

x

t x

\ 2

;

1 sin

2 1 0

2 1 ) 2 1 ( 2

1 1

x x

) 1 ( 1 1 log ) ( log

2 2

4 4

1

y x

y x

Với điều kiện trên hệ(1),(2)

1 1 log ) ( log

2 2

4 4

y x

y x

2

2 y x

y x y

cos 5

t y

t x

(sint>0 và sint >cost), thay vào phương trình (3) ta được:

25

16 sin

4

3 cot 4

1 cot 1 4

1 sin

1

cos

t t

t

5

4 sin t , cos t 53

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: 





 4 3

y x

Ví dụ 6 : Cho hai số thực x, y dương thỏa mãn: x+y=2 CMR: 3 3 ( 3 3 ) 2



y x y x

y x y x

2 2



t t y

t x

3 1 2 sin 8 sin cos

cos sin 512 ) (

Đặt u=sin22t, ĐK: 0 u 1,do đó: K=8u3-6u4 =f(u), f’(u)=24u2-24u3,

f(u)

2 0

Nhìn vào BBT ta thấy 0< f(u) 2, nên suy ra: 3 3 ( 3 3 ) 2



y x y

Bài giải:

0 0 1

;

0 

t

Khi đó phương trình có dạng :

t t t

t t

t t

t

1 cos

1 2 2 1 cos

Khi đó phương trình đã cho có dạng : 2 2 1 2 2 2 0

2 2 4

1 4

Vậy nghiệm của phương trình là x  2

Chú ý: Nhờ lượng giác hóa ta đã đưa phương trình vô tỉ về phương trình hữu tỉ, từ đó tìm được nghiệm của phương trình đã cho một cách nhẹ nhàng

Ví dụ 2: Với a  1 , b  1 Chứng minh rằng: 2 1 2 1  1

ab b a

Bài giải:

cos

1 1

Khi đó vế trái của bất đẳng thức đã cho trở thành:

1 ) sin(

cos cos

1coscos

) sin(

cos cos 1

tan tan cos

t

u t

u t

u t

u t

u

t

u t

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1 ) sin(

cos 1 , cos 1

k k u t

u b t a u

t

u b t a





sin cos

2 3 tan tan cos

2 3 tan cos

2 3 1

t t

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Dạng 4: Nếu bài toán chứa biểu thức dạng x2+a2 thì có thể đặt: x  a tan t,

2 2

xy x y

yx y x

Bài giải: Hệ đã cho tương đương với:

2 1 2 : ) (

2 2

y y

y x

x I

) 1 ( tan 2 sin

Nếu sin t 0 vàsin u 0: Nhân (1) và (2) theo vế, ta có :

2

1 cos cos cos

cos

1 cos

cos 4 tan tan 2

sin

2

u t u t u

t u

Lại có: (1)  2 sintcostcosu sinu (4)

Từ (3),(4) ta có sint=sinu  t=u (5)

Thay (5) vào (3) ta được: t     t  t   t  k  t  k ,k 

2 4 2

2 0 2 cos 2

1 2 cos 1 2

1 2

; 2

Khi đó nghiệm của hệ là:x=y=1 và x=y=-1

Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm là: x=y=0 x=y=1 và x=y=-1





t phương trình trở thành:

9 tan 9 ) tan

1 0 1 sin sin

2 cos sin

sin 1 cos

t

3

1 tan 

3 tan

2 2 3

2 2

2 2

t a

a t t

t a

a

2 cos tan

1

tan 1 1

1

; 2 sin tan

2 2

Khi đó bất phương trình (1) trở thành sin 2  2 3 cos 2  2 3 1

Vậy bất phương trình đã cho nhận mọi x làm nghiệm

Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi số thực a ta đều có: 4

( Bài 13.a) trang 222 SGK đại số 10 nâng cao)

Bài giải:

2

; 2 ,

2 4

cos 2

cos 4 2 4 cos

2

cos 6 sin 2 4

t

t t

t t

t

t

luôn đúng

Vậy bất dẳng thức được chứng minh

Ví dụ 6: Chứng minh rằng với mọi số a, b ta đều có:

ab b

a

( Đề 146 – Câu I 1 - Bộ đề tuyển sinh)

Bài giải: Đặt: a = tgt, b = tgu với t, u  

;

Khi đó:      t u 

u t u

t b

a

ab b a

tan 1 tan 1

tan tan 1 tan tan 1

u t su

t

u t u t

cos cos

sin sin 1 cos cos

sin cos

t u t u sin2t 2u

2

1 cos

ab b

a

(đpcm)

Dạng 5: Nếu bài toán chứa x mà ta tìm được axb thì có thể đặt:

x=a+(b-a)sin2t, hoặc x=b+(a-b)sin2t, với 







 2

sin

A

Vậy: maxA 6 khi x 25 , minA 3 khi x=1 hoặc x=4

cos 3 1



t t x

t x

sin 2

0 

t (vì hàm số y=sin2t tuần hoàn có chu kì là  và là hàm số

chẵn nên ta chỉ cần xét trên đoạn 0 ,2 )

Phương trình trở thành: 9 sin 2t  9 ( 1  sin 2t)  9 ( 1  sin 2t) 9 sin 2t m

m t t t

 3 (sin cos ) 9 sin cos (1)

4 cos(

2 cos

 u  u m

2

9 3 2

u u u

1

u

u

, chỉ có u=1 thỏamãn

4 cos(  

k t

k t

f trên đoạn 1 ; 2 f' (u)   9x 3 , 0

Đặt x = -4+10sin2t, với  

2 ,

0 

t (vì hàm số y=sin2t tuần hoàn có chu kì là  và là hàm số

chẵn nên ta chỉ cần xét trên đoạn 0,2 

0 

t  u0 ; 1Khi đó (1) trở thành - 25u 2 5u 24 m

; 0 0 ' , 5

f(u)

274

24 4Suy ra: min     24

Chú ý: Nhờ lượng giác hóa ta đã đưa bất phương trình vô tỉ về bất phương trình hữu tỉ,

từ đó việc sử dụng công cụ đạo hàm để tìm giá trị tham số trở nên dễ dàng hơn.

a Giải bất phương trình khi a=6

b Tìm a để bất phương trình đúng với mọi x thuộc đoạn  2 ; 4

( Trích đề 149 – Câu III 2 Bộ đề tuyển sinh).

0 

t (vì hàm số y=sin2t tuần hoàn có chu kì là  và là hàm số

chẵn nên ta chỉ cần xét trên đoạn 





 2 ,

0  ) Bất phương trình trở thành:

sin 6 ).

 9 sin 2 2 12 sin 10 (1)

a Khi a=6 bất phương trình (1) trở thành:

9 sin 2 2 12 sin 4 0  3 sin 2 2  2 0

5 2

 

, 12

f(u)

10 7

Do đó: Bất phương trình đúng với mọi x thuộc đoạn  2 ; 4 khi và chỉ khi m 10

Chú ý: Nhờ lượng giác hóa ta đã đưa bất phương trình vô tỉ về bất phương trình hữu tỉ,

từ đó việc sử dụng công cụ đạo hàm để tìm giá trị tham số trở nên dễ dàng hơn.

(Trích đề thi tuyển sinh ĐH Bách khoa năm 1983).

6 Xác định m để phương trình có nghiệm: 2  x 2 x ( 2  x)( 2 x) m

(Trích đề thi tuyển sinh ĐH Thủy sản Nha trang năm 1998)

7 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A=2x-y-2 với x,y thỏa mãn : 1

9 4

2 2



 y x

(Trích đề thi tuyển sinh ĐH Xây dựng năm 1999 )

8 Xét các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện abc+a+c=b.Tìm giá trị lứn nhất

a P

(Trích đề thi HSG Toán Quốc gia năm học 1998-1999)

PHẦN III: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM.

1 Kết quả nghiên cứu

Để kiểm tra hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng có chất lượngtương đương là học sinh lớp 12A và lớp 12K Trong đó lớp 12A chưa được hướng dẫn sửdụng phương pháp lượng giác đê giải toán đại số Với hình thức kiểm tra là làm bài tựluận thời gian 45 phút với đề bài như sau:

ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT

Câu 1: (3 điểm) Giải phương trình : 1  1 x  2 x(1 2 1 x )   2

Câu 2: (2 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 

y x x y x

3 1 1

Câu 3:(2 điểm) Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1 Tìm GTNN của biểu thức :

2 2 2

Qua đề tài này, tôi thu được một số bài học như sau:

- Phải cho học sinh tiếp cận với nhiều bài toán với những cách giải khác nhau

- Rèn luyện cho học sinh phân tích bài toán theo nhiều hướng khác nhau để tìm ra lờigiải tối ưu nhất

- Rèn luyện cho học sinh trình bày lời giải ngắn gọn, chặt chẽ, hợp logic

- Phải phát huy tối đa tính tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh

- Phải tạo điều kiện tối đa để học sinh chủ động giải quyết các bài toán dựa trên cơ sở lýthuyết tương ứng

Vì nhiều lí do khác nhau, nên trong bài viết này, tôi cũng chỉ mới nêu ra cách giải quyếtmột số bài toán đại số nhờ sử dụng công cụ lượng giác, mà không đề cập, so sánh với các

cách giải khác Rất mong được sự đóng góp, cùng trao đổi của các bạn đồng nghiệp để tôi

có thể khai thác tốt nhất các bài toán thuộc thể loại này