QUẢN TRỊ RỦI RO TÀI CHÍNH DỊNH GIÁ OPTION

Thời gian cho đến khi đáo hạn của quyền càng dài thì giá trị thờigian của quyền càng lớn, bởi vì người mua quyền chọn hy vọng rằng vào một thờiđiểm nào đó trước khi hết hiệu lực, những t

MỤC LỤC

A CÁC NGUYÊN TẮC ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN

I Khái niệm cơ bản và thuật ngữ

Trong phần này chúng ta nghiên cứu những nguyên tắc cơ bản về định giáquyền chọn Đầu tiên sẽ chỉ ra những nguyên tắc về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất,giá trị nội tại và giá trị thời gian Tiếp theo là nghiên cứu về giới hạn trên và giới hạndưới của quyền chọn mua và quyền chọn bán, và nghiên cứu các biến số tác động đếngiá quyền chọn Phần này cũng nghiên cứu các điều kiện có thể làm cho người giaodịch quyền thực hiện quyền chọn trước khi đáo hạn Cuối cùng chỉ ra giá quyền chọnmua và quyền chọn bán liên hệ với nhau như thế nào thông qua nguyên tắc quyềnchọn mua – quyền chọn bán

S0 = giá cổ phiếu hiện tại

Pa(S0,T,X) = quyền chọn bán kiểu Mỹ

Hai quyền chọn chỉ khác nhau về giá thực hiện: C(S0,T,X 1) và C(S0,T,X 2) với

X1 < X2

Hai quyền chọn chỉ khác nhau thời gian cho đến khi đáo hạn: C(S0,T 1,X) vàC(S0,T 2,X) với T1<T2

Quyền chọn bán kí hiệu tương tự

 Trong hầu hết các ví dụ, chúng ta giả định rằng cổ phiếu khôngtrả cổ tức Nếu trong suốt vòng đời của quyền chọn, cổ phiếu cóchi trả cổ tức D1, D2, , thì chúng ta có thể thực hiện các điềuchỉnh đơn giản và đạt được các kết quả giống nhau Để làm điều

đó, chúng ta chỉ cần trừ đi hiện giá của cổ tức

Với N là số lần chia cổ tức và tj là thời gian còn lại cho đến mỗi ngày giao dịchkhông chia cổ tức, giả định mức cổ tức đã được biết trước

 Thời gian cho đến khi đáo hạn được thể hiện dưới dạng phân sốcủa một năm

Ví dụ, nếu ngày hiện tại là 9/4 và ngày đáo hạn là 18/7, chúng ta chỉ đơn giảnđếm số ngày giữa hai ngày này Ta có:

t

D

31 ngày tháng 5

30 ngày tháng 6

18 ngày trong tháng 7,Tổng cộng là 100 ngày

Vậy thời gian cho đến khi đáo hạn là 100/365 = 0,274

 Lãi suất phi rủi ro (r), là tỷ suất sinh lợi của các khoản đầu tư

không có rủi ro Việc xác định lãi suất phi rủi ro có thể được dựatrên cách xác định tỷ suất sinh lợi của một trái phiếu chính phủ T-bill có thời hạn Sau đây là cách xác định tỷ suất sinh lợi của mộtT-bill:

Như ta đã biết trái phiếu chính phủ ngắn hạn trả lãi không thông qua các phiếulãi coupon mà thông qua việc bán với giá chiết khấu Trái phiếu sẽ được mua lại ítnhất là bằng với mệnh giá Chênh lệch giữa giá mua lại và giá phát hành được gọi làkhoản chiết khấu Nếu nhà đầu tư nắm giữ trái phiếu đến khi đáo hạn, trái phiếu sẽ

được mua lại ở mệnh giá Vì vậy, khoản chiết khấu là lợi nhuận mà người nắm giữ

trái phiếu thu được.

Các khoản chiết khấu hỏi mua và chào bán của T-bill trong ngày giao dịch 14/5

của một năm cụ thể là như sau:

Đáo hạn Hỏi mua Chào bán

Giả sử ngày đáo hạn của quyền chọn là ngày 21/5

Vì chúng ta có thể đứng ở vị thế mua hoặc vị thế bán nên để tính lãi suất T-bill,chúng ta sử dụng số trung bình của chiết khấu hỏi mua và chào bán, là:

(4,45 + 4,37)/2 = 4,41

Sau đó chúng ta tính khoản chiết khấu so với mệnh giá là:

4,41(7/360) = 0,08575(dựa vào thực tế là quyền chọn còn 7 ngày nữa thì đáo hạn) Vì vậy, giá tráiphiếu là:

100 – 0,08575 = 99,91425

(100 – 99,91425)/99,91425 = 0,000858.

Nếu chúng ta lập lại giao dịch này cứ 7 ngày một lần trong suốt một năm, tỷsuất sinh lợi sẽ là:

(1,000858)365/7 – 1 = 0,0457Với 1,000858 chính là 100/99,91425 hoặc là 1 cộng với tỷ suất sinh lợi trong 7ngày

Lưu ý rằng khi chúng ta tính tỷ suất sinh lợi theo năm, chúng ta cho một năm

có 365 ngày

Chúng ta sẽ sử dụng lãi suất 4,57% như đại diện cho lãi suất phi rủi ro đối vớicác quyền chọn đáo hạn vào ngày 21/5

II Các nguyên tắc định giá quyền chọn mua và quyền chọn bán

1 Những vấn đề cơ bản về giá quyền chọn

a Khái niệm giá quyền chọn

Giá trị quyền chọn là những gì mà người sở hữu quyền chọn nhận được tại thờiđiểm quyền chọn đáo hạn hoặc tại thời điểm người sở hữu quyền chọn thực hiệnquyền chọn

b Các bộ phận cấu thành giá quyền chọn

 Giá trị nội tại của quyền

Giá trị nội tại bằng giá trị của quyền chọn ở trạng thái cao giá (ITM), nếu nhưquyền chọn này được thực hiện ngay lập tức.Nếu ITM càng lớn thì giá trị nội tại củaquyền chọn càng cao Một quyền chọn ở trạng thái kiệt giá OTM và ngang giá – ATM

sẽ có giá trị nội tại bằng 0

 Giá trị thời gian của quyền

Giá trị thời gian của một quyền chọn là khoảng chênh lệch giữa giá của quyền

so với giá trị nội tại Thời gian cho đến khi đáo hạn của quyền càng dài thì giá trị thờigian của quyền càng lớn, bởi vì người mua quyền chọn hy vọng rằng vào một thờiđiểm nào đó trước khi hết hiệu lực, những thay đổi về giá của tài sản cơ sở trên thịtrường sẽ làm tăng giá trị của các quyền chọn, do đó họ sẵn sàng trả một khoản tiềnchênh lệch trên giá trị nội tại

2 Các yếu tố ảnh hưởng đến giá quyền chọn

Giá trị của một quyền chọn được quyết định bởi 6 biến số liên quan đến tàisản cơ sở và thị trường tài chính

 Giá trị hiện tại của tài sản cơ sở Quyền chọn là tài sản mà giá trị

của nó xuất phát từ trị giá của một tài sản cơ sở Do đó, sự thayđổi giá trị tài sản cơ sở sẽ ảnh hưởng đến giá trị quyền chọn trên

tài sản đó Vì người nắm quyền chọn mua được quyền mua tàisản cơ sở tại mức giá định trước nên nếu giá trị tài sản cơ sở tăngthì giá trị quyền chọn cũng tăng theo Đối với quyền chon bán thìngược lại, giá trị tài sản tăng sẽ khiến giá trị quyền chọn giảm.

 Phương sai giá trị tài sản cơ sở Người mua quyền chọn có

quyền mua hay bán tài sản tại mức giá định trước Phương sai giátrị tài sản cao hơn thì giá trị quyền chọn cũng cao hơn Điều nàyđúng với cả quyền chọn bán và quyền chọn mua Mặc dù nhìn có

vẻ nghịch lý nhưng khi giá trị tài sản cơ sở biến động càng lớn(phương sai càng lớn) thì làm tăng giá trị quyền chọn vì lúc nàygiá của tài sản cơ sở có khả năng sẽ giảm thấp hơn nhưng cũng

có khả năng sẽ tăng cao hơn, người sở hữu quyền chọn sẽ có lợi

và không bao giờ bị thua lỗ quá mức giá phải trả để mua quyềnchọn; do đó quyền chọn sẽ được định giá cao hơn khi độ bất ổncao hơn

 Cổ tức chi trả trên tài sản cơ sở Giá trị tài sản cơ sở (cổ phiếu)

có thể giảm nếu cổ tức của cổ phiếu đó được chi trả trong suốt kìhạn của quyền chọn Đối với quyền chọn mua kiểu Mỹ, việc chitrả cổ tức sẽ làm tăng khả năng thực hiện sớm của quyền vì ngườimua quyền chọn mua mong muốn giá tăng Và việc thực hiệnsớm đó là tối ưu nếu cổ phiếu sắp đến ngày giao dịch khônghưởng cổ tức Nếu như cổ phiếu đó không trả cổ tức thì quyềnchọn mua kiểu Mỹ sẽ không bao giờ được thực hiện sớm, lúc đócách hành xử của quyền chọn này giống như quyền chọn kiểuChâu Âu Đối với quyền chọn bán kiểu Mỹ, việc chi trả cổ tức sẽlàm giảm khả năng thực hiện sớm của quyền vì người mua quyềnchọn bán mong muốn giá giảm Nếu khoản cổ tức đủ lớn để làmgiá cổ phiếu giảm nhiều, đôi khi quyền chọn bán sẽ không baogiờ được thực hiện sớm, tức là khiến cho quyền chọn bán kiểu

Mỹ hoàn toàn giống kiểu Châu Âu Đối với quyền chọn kiểuChâu Âu, do bắt buộc phải thực hiện vào ngày đáo hạn nên việcchi trả cổ tức không có tác động nhiều đến hành động nắm giữhay mua bán như quyền chọn kiểu Mỹ Rõ ràng, quyền thực hiệnsớm là điều giúp phân biệt quyền chọn mua kiểu Mỹ và kiểuChâu Âu Quyền này chỉ đáng giá khi cổ phiếu có chi trả cổ tức

 Giá thực hiện của quyền chọn Một đặc điểm quan trọng của

quyền chọn là giá thực hiện Trong trường hợp quyền chọn mua,

hiện tăng lên Trong trường hợp quyền chọn bán, người sở hữuquyền chọn có quyền yêu cầu bán tài sản tại mức giá định trướcnên giá trị quyền chọn sẽ tăng lên khi giá thực hiện tăng lên.

 Thời gian đến ngày đáo hạn của quyền chọn Đối với cả quyền

chọn mua và quyền chọn bán, thời gian đến ngày đáo hạn càngdài thì giá trị của quyền chọn càng cao vì người sở hữu quyềnchọn có nhiều cơ hội hơn để lựa chọn thời điểm thực hiện quyền.Ngoài ra trong trường hợp quyền chọn mua, người mua phảithanh toán mức giá xác định tại ngày đáo hạn khi người đó muốnthực hiện quyền, giá trị hiện tại của số tiền cố định này giảm đikhi thời gian còn hiệu lực của quyền chọn tăng lên, dẫn đến giátrị của quyền chọn cũng tăng lên

 Lãi suất phi rủi ro Các quyền chọn có giá trị nội tại ở thời điểm

hiện tại và giá trị nội tại này được xác định bởi giá thực hiện vàgiá tài sản cơ sở Bởi vì quyền chọn thể hiện một trái quyền đốivới một khối lượng tài sản nhất định suốt một thời kỳ trong tươnglai, do đó trái quyền này phải thu được lợi nhuận tương đươngvới lãi suất thị trường của những công cụ tài chính tương tự Lãisuất tăng lên thì làm tăng giá trị của quyền chọn mua và làm giảmgiá trị của quyền chọn bán

3 Nguyên tắc định giá quyền chọn

Giá trị tối thiểu

Một quyền chọn mua hay một quyền chọn bán đều là một công cụ với nghĩa vụpháp lý giới hạn, tức là người sở hữu quyền không bị bắt buộc phải thực hiện quyềnnếu việc thực hiện làm giảm giá trị tài sản Do đó, quyền chọn không thể có giá trị âm.Giá trị tối thiểu là:

Hình 1: Giá trị tối thiểu của quyền chọn mua và quyền chọn bán kiểu Châu Âu

Hình 2: Giá trị tối thiểu của quyền chọn mua và quyền chọn bán kiểu Mỹ

Giá trị nội tại

Giá trị thấp nhất của một quyền chọn kiểu Mỹ được gọi là giá trị nội tại, đôi khiđược gọi là giá trị cân bằng, hoặc giá trị thực hiện Ký hiệu là:

Quyền chọn mua: Max(0,S0 - X)

Quyền chọn bán: Max(0,X - S0)

Giá trị nội tại nhận giá trị dương đối với quyền chọn mua cao giá ITM và 0 đốivới quyền chọn mua kiệt giá OTM và ngang giá ATM, là giá trị mà người mua quyềnchọn mua nhận được khi thực hiện quyền chọn và là giá trị mà người bán quyền chọnmua từ bỏ khi quyền chọn được thực hiện

Với quyền chọn kiểu Châu Âu, do chỉ được thực hiện quyền vào lúc đáo hạnnên trong khoảng thời gian từ lúc ký hợp đồng quyền chọn đến trước ngày đáo hạn thì

cả quyền chọn mua và quyền chọn bán đều không có giá trị nội tại

Giá trị thời gian

Giá quyền chọn thường lớn hơn giá trị nội tại của nó Chênh lệch giữa giáquyền chọn và giá trị nội tại được gọi là giá trị thời gian hay giá trị đầu cơ Được địnhnghĩa là:

Quyền chọn mua: C(S0,T,X) – Max(0,S0 – X)

Quyền chọn bán: P(S0,T,X) – Max(0,X – S0)

Giá trị thời gian phản ánh những gì mà một nhà đầu tư sẵn sàng trả cho sựkhông chắc chắn của cổ phiếu cơ sở

Tác động của thời gian đến khi đáo hạn

Giá trị thời gian tăng cùng chiều với thời gian tính cho đến khi đáo hạn.

Điều này có nghĩa là nếu có hai quyền chọn chỉ khác nhau thời điểm đáo hạn thìquyền chọn nào có thời gian đáo hạn dài hơn thì có giá trị lớn hơn Điều này đúng choquyền chọn mua kiểu Mỹ và Châu Âu

Ví dụ: Xét hai quyền chọn mua kiểu Mỹ chỉ khác nhau thời gian đáo hạn Một

quyền chọn có thời gian đáo hạn là T1, có giá Ca(S0,T1,X) và quyền chọn còn lại cóthời gian đến khi đáo hạn là T2, có giá là Ca(S0,T2,X) và T2> T1

Tại thời điểm T1:

Giá trị quyền chọn 1: Ca(ST1,0,X) = Max(0,ST1 – X)

Giá trị quyền chọn 2: Ca(ST1,T2-T1,X) ≥ Max(0,ST1 – X)

 Ca(ST1,T2-T1,X) ≥ Ca(ST1,0,X)

 Ca(S0,T2,X) ≥ Ca(S0,T1,X)

Giá trị thời gian của một quyền chọn giảm dần theo thời gian đến khi đáo hạn

và phụ thuộc vào chênh lệch giữa giá cổ phiếu và giá thực hiện Các nhà đầu tư chi trả

lớn thì giá trị thời gian sẽ càng lớn Có 2 trường hợp đặc biệt làm cho giá trị thời gianthấp:

 Giá cổ phiếu tăng rất cao, quyền chọn được gọi là cường giá

DITM.

 Giá cổ phiếu giảm rất thấp, quyền chọn được gọi là chìm sâu vào

trạng thái kiệt giá DOTM.

Ở 2 đỉnh điểm này thì tính bất ổn của quyền chọn gần như bị triệt tiêu (khôngcòn khả năng thay đổi giá) Do đó, giá trị thời gian sẽ rất thấp

Đối với quyền chọn bán kiểu Mỹ tác động của thời gian đến khi đáo hạn cũngtương tự như trên Nhưng đối với quyền chọn bán kiểu Châu Âu, thời gian đến khiđáo hạn dài hơn vừa có lợi thế - giá trị thời gian lớn hơn – và bất lợi – phải đợi lâuhơn để nhận được khoản tiền bằng với giá thực hiện Tuy nhiên hiệu ứng giá trị thờigian có xu hướng vượt trội hơn và trong hầu hết các trường hợp quyền chọn bán cóthời hạn dài hơn sẽ có giá trị hơn so với quyền chọn bán có thời hạn ngắn hơn

Giá trị tối đa của quyền chọn

Giá trị tối đa của quyền chọn mua là giá của cổ phiếu:

Giá trị tối đa của quyền bán kiểu Châu Âu là hiện giá của giá thực hiện Giá trị tối đa của quyền chọn bán kiểu Mỹ là giá thực hiện:

P e (S 0 ,T,X) ≤ X(1+r) -T

P a (S 0 ,T,X) ≤ X

Thu nhập tốt nhất mà một người mua quyền chọn bán có thể kỳ vọng là đối vớimột công ty lâm vào tình trạng phá sản Trong trường hợp đó cổ phiếu không đáng giá

và người sở hữu quyền chọn bán có thể bán được cổ phiếu đó với mức giá tối đa là X

Do quyền chọn bán kiểu Mỹ có thể thực hiện sớm vào bất cứ lúc nào, giá trị lớn nhấtcủa nó là giá thực hiện X Đối với quyền chọn kiểu Châu Âu, ở những thời điểm trướcngày đáo hạn thì giá trị lớn nhất có thể đạt được là hiện giá của giá thực hiện

Hình 3: Giá trị tối thiểu và tối đa của quyền chọn mua kiểu Châu Âu và Mỹ

Hình 4: Giá trị tối thiểu và tối đa của quyền chọn bán kiểu Châu Âu và Mỹ

Giá trị của quyền chọn khi đáo hạn

Khi đáo hạn thì quyền chọn mua cũng như quyền chọn bán có giá bằng với giá trị nội tại Vì quyền chọn đã đến thời điểm đáo hạn, giá quyền chọn không

còn chứa đựng giá trị thời gian Triển vọng tăng giá hoặc giảm giá trong tương lai củagiá cổ phiếu không còn liên quan đến giá của quyền chọn nữa, tức là chỉ còn lại giá trịnội tại

Quyền chọn mua: C(ST,0,X) = Max(0,ST – X)

Quyền chọn bán: P(ST,0,X) = Max(0,X - ST)

Hình 5: Giá trị của quyền chọn mua tại thời điểm đáo hạn

Hình 6: Giá trị quyền chọn bán tại thời điểm đáo hạn

Tác động của giá thực hiện

Xét 2 quyền chọn mua có các điều kiện tương tự nhau chỉ khác nhau về giáthực hiện thì quyền chọn nào có giá thực hiện thấp hơn thì giá quyền chọn đó sẽ caohơn Điều này đúng cho cả quyền chọn mua kiểu Mỹ và kiểu Châu Âu

Một cách lí giải dễ hiểu nhất là khi quyền chọn mua được thực hiện, người sởhữu quyền chọn mua sẽ được mua tài sản cơ sở với mức giá thực hiện thấp hơn giá thịtrường Do đó, hợp đồng quyền chọn mua nào có giá thực hiện thấp hơn sẽ mang lạicho người sở hữu quyền chọn giá trị cao hơn

C(S o ,T,X 1 ) ≥ C(S o ,T,X 2 )

Xét 2 quyền chọn bán có các điều kiện tương tự nhau chỉ khác nhau về giá thựchiện thì quyền chọn nào có giá thực hiện cao hơn thì giá quyền chọn đó sẽ cao hơn.Điều này đúng cho cả quyền chọn bán kiểu Mỹ và kiểu Châu Âu

Đối với quyền chọn bán, khi quyền chọn được thực hiện thì người sở hữuquyền chọn có thể bán tài sản cơ sở với mức giá định trước cao hơn giá thị trường Do

đó, quyền chọn nào có giá thực hiện càng cao thì quyền chọn đó càng hấp dẫn

P(S o ,T,X 2 ) ≥ P(S o ,T,X 1 )

 Chứng minh cụ thể cho trường hợp quyền chọn mua kiểu Châu

Âu Xét 2 danh mục đầu tư A và B:

vị thế bán quyền chọn mua với giá thực hiện X2 Giá trị ban đầu của danh mục này là

Ce(So,T,X1) – Ce(So,T,X2) Chúng ta vẫn chưa biết giá trị ban đầu âm hay dương, điều

đó phụ thuộc vào giá quyền chọn nào cao hơn

Danh mục B bao gồm các trái phiếu phi rủi ro có mệnh giá là X2 – X1 Các tráiphiếu này được xem là các công cụ chiết khấu thuần tuý, như trái phiếu chính phủngắn hạn, và đáo hạn khi quyền chọn đáo hạn vì vậy, giá trị của danh mục này là hiệngiá của mệnh giá trái phiếu (X2 – X1)(1 + r)-T

Bảng 1: Thu nhập khi đáo hạn của hai danh mục A và B

Danh mục Giá trị hiện tại ST<X1 X1 ≤ ST< X2 X1< X2 ≤ ST

Khi đáo hạn, trong cả 3 trường hợp giá cổ phiếu có thể xảy ra, thì tổng thu nhậpcủa danh mục A luôn luôn tạo ra khoảng giá trị lớn hơn hoặc bằng 0 Do đó, giá trịhiện tại của danh mục A cũng lớn hơn hoặc bằng 0 Vì vậy,

C e (S o ,T,X 1 ) ≥ C e (S o ,T,X 2 )

 Với quyền chọn mua kiểu Mỹ, quyền chọn mua ở vị thế muakhông nhất thiết phải được thực hiện, do đó chúng ta chỉ cầnquan tâm đến điều gì sẽ xảy ra nếu quyền chọn mua ở vị thế bánđược thực hiện sớm

Giả định rằng giá cổ phiếu cơ sở trước khi đáo hạn là St và lớn hơn X2 Vì bất

cứ lý do nào đó, quyền chọn được thực hiện Điều này tạo ra một dòng tiền âm, - (St

một dòng tiền dương St – X1 Tổng hai dòng tiền này là X2 – X1, có giá trị dương vì

X2>X1

Vì vậy thực hiện quyền chọn sớm sẽ không tạo ra một dòng tiền âm Vì vậydanh mục A sẽ không bao giờ tạo ra dòng tiền âm khi đáo hạn, ngay cả khi quyềnchọn là Kiểu Mỹ Vì vậy, kết quả của chúng ta đúng đối với cả quyền chọn mua kiểu

Mỹ lẫn kiểu Châu Âu

Kết quả này cho thấy rằng giá của quyền chọn mua với giá thực hiện thấp hơnkhông thể thấp hơn giá quyền chọn mua có giá thực hiện cao hơn Tuy nhiên hai mứcgiá quyền chọn mua này có thể bằng nhau

Chứng minh tương tự với quyền chọn bán kiểu Mỹ và kiểu Châu Âu

 Chứng minh cụ thể cho quyền chọn mua kiểu Châu Âu:

So sánh kết quả của danh mục A với danh mục B bên trên, ta thấy rằng lợinhuận của danh mục B không bao giờ thấp hơn danh mục A Vì vậy các nhà đầu tư sẽkhông bao giờ chi trả cho danh mục B thấp hơn danh mục A Giá của danh mục A là

Ce(S0,T,X1) – Ce(S0,T,X2), giá của quyền chọn được mua trừ đi giá của quyền chọn đãbán Giá của danh mục B là (X2 – X1)(1+r)-T, hiện giá của mệnh giá trái phiếu Vì vậy

(X 2 – X 1 )(1+r) -T ≥ C e (S 0 ,T,X 1 ) – C e (S 0 ,T,X 2 )

 (X2 – X1) ≥ Ce(S0,T,X1) – Ce(S0,T,X2)

 Quyền chọn bán kiểu Châu Âu cũng cho kết quả tương tự

 Chứng minh cụ thể cho quyền chọn mua kiểu Mỹ:

Đối với quyền chọn mua kiểu Mỹ, quyền chọn mua có giá thực hiện thấp hơn

có giá trị ít nhất cũng bằng với quyền chọn mua có giá thực hiện cao hơn

Tuy nhiên kết luận rằng chênh lệch giá thực hiện không đúng đối với quyềnchọn mua kiểu Mỹ Nếu cả hai quyền chọn mua đều được thực hiện ở thời điểm ttrước khi đáo hạn, và khoản thanh toán X2 – X1 được đầu tư vào trái phiếu phi rủi ro,lợi nhuận của danh mục A sẽ là:

(X 2 – X 1 )(1+r) (T-t)

Giá trị này sẽ lớn giá trị của danh mục B là X2– X1 Vì vậy danh mục B sẽkhông luôn luôn có hiệu quả lớn hơn hoặc bằng danh mục A

Tuy nhiên, nếu các trái phiếu trong danh mục B có mệnh giá là (X2 – X1)(1+r)T,

và vì vậy có hiện giá là X2 – X1, danh mục B sẽ luôn hiệu quả hơn danh mục A Trongtrường hợp đó, giá trị hiện tại của danh mục A không thể vượt hơn giá trị hiện tại củadanh mục B Do đó, chúng ta có thể kết luận đối với quyền chọn kiểu Mỹ:

(X 2 – X 1 ) ≥ C a (S 0 ,T,X 1 ) – C a (S 0 ,T,X 2 )

 Quyền chọn bán kiểu Mỹ cũng cho kết quả tương tự.

Giới hạn dưới của quyền chọn

 Giới hạn dưới của quyền chọn mua kiểu Châu Âu

Xem xét hai danh mục đầu tư A và B: Danh mục A bao gồm một cổ phiếu

Ce(S0,T,X) và trái phiếu phi rủi ro có mệnh giá X, hiện giá là X(1+r)-T

Như thể hiện trong bảng, thu nhập từ danh mục B luôn lớn hơn hoặc bằng vớithu nhập của danh mục A Do đó, định giá danh mục B tối thiểu bằng với danh mục

A, có nghĩa là:

Ce(S0,T,X) + X(1+r)-T≥ S0

Chuyển vế bất phương trình trên, ta có

Ce(S0,T,X) ≥ S0 – X(1+r)-T

Nếu S0 – X(1+r)-T là âm, chúng ta xem giá trị thấp nhất của quyền chọn mua là

0 Kết hợp các kết quả này cho ta một giới hạn dưới:

 Giới hạn dưới của quyền chọn mua kiểu Mỹ

Chúng ta đã chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của quyền chọn mua kiểu Mỹ làMax(0, S0 – X) trong khi giới hạn dưới của quyền chọn mua kiểu Châu Âu là:

Max[0, S0 – X(1+r)-T]

Vì S0 – X(1+r)-T lớn hơn S0 – X và quyền chọn mua kiểu Mỹ phải có giá thấpnhất bằng với quyền chọn mua kiểu Châu Âu nên giới hạn dưới của quyền chọn muakiểu Mỹ cũng phải là:

Max [0, S 0 – X(1+r) -T ]

 Giới hạn dưới của quyền chọn bán kiểu Châu Âu

Chúng ta đã biết rằng giá trị nhỏ nhất của một quyền chọn bán kiểu Mỹ là

Châu Âu, vì nó không thể được thực hiện sớm

Xét hai danh mục A và B Danh mục A bao gồm một cổ phiếu Danh mục Bbao gồm một vị thế bán đối với một quyền chọn bán kiểu Châu Âu được định giá là

Pe(S0,T,X) và một vị thế mua đối với một trái phiếu phi rủi ro có mệnh giá là X vàhiện giá là X(1+r)-T

Bảng 2: Thu nhập khi đáo hạn của danh mục A và B:

Ta thấy rằng, thu nhập danh mục A khi đáo hạn lớn hơn hoặc bằng danh mục

B Vì vậy người ta sẵn sàng trả cao hơn cho danh mục A so với danh mục B Do đó,hiện giá của danh mục A cũng phải cao hơn hiện giá của danh mục B; tức là:

S0 ≥ X(1+r)-T - Pe(S0,T,X)

 Pe(S0,T,X) ≥ X(1+r)-T – S0

Nếu hiện giá của danh mục thực hiện thấp hơn giá cổ phiếu, giới hạn dưới này

sẽ có giá trị âm Vì chúng ta biết quyền chọn bán không thể có giá trị thấp hơn 0, nêngiới hạn dưới của quyền chọn bán kiểu Châu Âu là:

P e (S 0 ,T,X) ≥ Max[0,X(1+r) -T - S 0 ]

 Giới hạn dưới của quyền chọn bán kiểu Mỹ

Chúng ta đã chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của quyền chọn bán kiểu Mỹ làMax(0, X - S0) trong khi giới hạn dưới của quyền chọn mua kiểu Châu Âu là:

Max[0,X(1+r)-T – S0]

Ta thấy X - S0 lớn hơn X(1+r)-T – S0 Rõ ràng giới hạn dưới của quyền chọnbán kiểu Châu Âu không giúp nâng cao giá trị tối thiểu của quyền chọn bán kiểu Mỹnên giới hạn dưới của quyền chọn bán kiểu Mỹ vẫn là giá trị nội tại của nó:

Max [0, X - S 0 ] Quyền chọn kiểu Mỹ so với quyền chọn kiểu Châu Âu

Trong hầu hết các kết quả áp dụng đối với quyền chọn kiểu Châu Âu đều cóthể áp dụng đối với quyền chọn kiểu Mỹ Ngoài ra một quyền chọn kiểu Mỹ có thểđược thực hiện bất cứ lúc nào trước khi đáo hạn Vì vậy giá quyền chọn kiểu Mỹ ítnhất phải bằng với giá quyền chọn kiểu Châu Âu, tức là:

Quyền chọn mua: Ca(S0,T,X) ≥ Ce(S0,T,X)

Quyền chọn bán: Pa(S0,T,X) ≥ Pe(S0,T,X)

Ngang giá Quyền chọn mua – Quyền chọn bán

Ngang giá quyền chọn mua – quyền chọn bán là một công thức thể hiện mốiliên hệ giữa giá quyền chọn mua, giá quyền chọn bán, giá cổ phiếu, giá thực hiện, lãisuất phi rủi ro, và thời gian đến khi đáo hạn

Xét hai danh mục A và B Danh mục A bao gồm một cổ phiếu và một quyền

thực hiện và một trái phiếu chiết khấu phi rủi ro thuần tuý có mệnh giá là X Danhmục này sẽ yêu cầu một khoản đầu tư ban đầu là Ce(S0,T,X) + X(1+r)-T

Bảng 3: Thu nhập khi đáo hạn của danh mụcA và B

Vì khi đáo hạn, cả 2 danh mục đều tạo ra dòng tiền giống nhau nên theo luậtmột giá thì giá trị hiện tại của hai danh mục này phải bằng nhau Vì vậy:

S 0 + P e (S 0 ,T,X) = C e (S 0 ,T,X) + X(1+r) -T

Kết quả này được gọi là phương trình ngang giá quyền chọn mua - quyền chọnbán Kết quả này phát biểu rằng giá của một cổ phiếu cộng với quyền chọn bán bằngvới giá quyền chọn mua cộng với trái phiếu phi rủi ro

Ý nghĩa:

 Thay vì chúng ta nắm giữ một danh mục bao gồm 1 cổ phiếu và 1quyền chọn bán thì chúng ta có thể thay thế bằng một danh mụckhác bao gồm 1 quyền chọn mua và 1 trái phiếu phi rủi ro Haidanh mục này đều cho cùng một mức thu nhập

 Bằng cách quan sát dấu của mỗi nhân tố, chúng ta có thể dễ dàngxác định được những kết hợp nào là bản tái tạo của các kết hợpcòn lại Nếu dấu dương, chúng ta sẽ mua quyền chọn, cổ phiếuhoặc trái phiếu Nếu dấu âm, chúng ta nên bán Có nhiều cáchkhác để biểu diễn ngang giá quyền chọn mua - quyền chọn bán:

Pe(S0,T,X) = Ce(S0,T,X) – S0 + X(1+r)-T (vị thế mua quyền chọn bán = vị thếmua quyền chọn mua, vị thế bán cổ phiếu, vị thế mua trái phiếu)

S0 = Ce(S0,T,X) – Pe(S0,T,X) + X(1+r)-T (vị thế mua cổ phiếu = vị thế muaquyền chọn mua, vị thế bán quyền chọn bán, vị thế mua trái phiếu)

Ce(S0,T,X) = Pe(S0,T,X) + S0 - X(1+r)-T (vị thế mua quyền chọn mua = vị thếmua quyền chọn bán, vị thế mua cổ phiếu, vị thế bán trái phiếu)

X(1+r)-T = Pe(S0,T,X) + S0 - Ce(S0,T,X) (vị thế mua trái phiếu = vị thế muaquyền chọn bán, vị thế mua cổ phiếu, vị thế bán quyền chọn mua)

- S0 = - Ce(S0,T,X) + Pe(S0,T,X) - X(1+r)-T (vị thế bán cổ phiếu = vị thế bánquyền chọn mua, vị thế mua quyền chọn bán, vị thế bán trái phiếu)

- Ce(S0,T,X) = - Pe(S0,T,X) - S0 + X(1+r)-T (vị thế bán quyền chọn mua = vị thếbán quyền chọn bán, vị thế bán cổ phiếu, vị thế mua trái phiếu)

- X(1+r)-T = - Pe(S0,T,X) - S0 + Ce(S0,T,X) (vị thế bán trái phiếu = vị thế bánquyền chọn bán, vị thế bán cổ phiếu, vị thế mua quyền chọn mua)

 Khi thị trường định giá sai một công cụ tài chính nào đó thì ta cóthể sử dụng phương trình ngang giá quyền chọn để thực hiện kinhdoanh chênh lệch giá Việc arbitrage này diễn ra rất nhanh Do

đó, phương trình ngang giá quyền chọn hầu như luôn đúng trongmọi thời kỳ

Giả định rằng: danh mục A bao gồm quyền chọn bán và cổ phiếu được định giáthấp hơn danh mục B bao gồm quyền chọn mua và trái phiếu

S0 + Pe(S0,T,X) < Ce(S0,T,X) + X(1+r)-T

Kinh doanh chênh lệch giá xuất hiện ta sẽ mua danh mục A và bán danh mục

B Dòng tiền thu được ban đầu là khoản chênh lệch giữa giá trị danh mục B và giá trịdanh mục A Khi đáo hạn, không có dòng tiền nào vào hay ra ( = 0 dù giá cổ phiếuthay đổi như thế nào (cmt)) Hay nói cách khác, chúng ta nhận được một số tiền banđầu và không phải chi trả gì khi đáo hạn Vì mọi người sẽ bắt đầu thực hiện giao dịchnày, các mức giá sẽ bị buộc phải trở về theo đúng phương trình quyền chọn mua –quyền chọn bán

Lưu ý rằng: chúng ta không cần phải xác định công cụ nào đã bị định giá sai

(ta đơn giản chỉ căn cứ vào công thức và phương trình sẽ cho chúng ta biết mình cầnphải làm gì Tất cả những gì chúng ta cần làm là nhớ luôn luôn bán công cụ bị địnhgiá cao và mua công cụ bị định giá thấp

 Một ý nghĩa quan trọng khác được rút ra là ta có thể định giáđược quyền chọn mua và quyền chọn bán bằng cách biến đổiphương trình ngang giá quyền chọn, Cụ thể:

C(S0,T,X) = P(S0,T,X) + S0 – X(1+r)-T

P(S0,T,X) = C(S0,T,X) – S0 + X(1+r)-T

Đây là một trong những phương pháp để định giá quyền chọn, nhưng nó cónhược điểm là chỉ mang tính tương quan Để định giá quyền chọn bán chúng ta cầnphải biết giá quyền chọn mua, để định giá quyền chọn mua, chúng ta phải biết giáquyền chọn bán Vì vậy, chúng ta không thể sử dụng ngang giá quyền chọn mua –quyền chọn bán để định giá một công cụ mà không chấp nhận giá thị trường của mộtcông cụ khác là đúng hoặc phải có một mô hình mô hình cung cấp cho chúng ta giácủa công cụ khác Do đó, chúng ta cần một mô hình định giá quyền chọn – một công

thức thể hiện giá quyền chọn như là một hàm số của các biến số có thể ảnh hưởng tới

nó Chúng ta sẽ làm điều này trong phần định giá quyền chọn bằng mô hình nhị phân

Mặc dù ngang giá quyền chọn mua – quyền chọn bán là kết quả rất quan trọng

và hữu ích, nó lại không đúng cho trường hợp quyền chọn kiểu Mỹ Ngang giá quyềnchọn mua – quyền chọn bán kiểu Mỹ phải được diễn giải dưới dạng bất phương trình:

S 0 – X < C a (S 0 ,T,X) – P a (S 0 ,T,X) < S 0 – X(1+r) -T

Chứng minh vế trái:

Xét 2 danh mục A: Ce(S0,T,X) và X

danh mục B: Pa(S0,T,X) và S0

Tại thời điểm t nào đó mà Pa(S0,T,X) thực hiện được thì với St< X

A: X(1+r)t + m (với m là giá trị thời gian của quyền chọn)B: X – St + St = X

Ta thấy X < X(1+r)t + m nên danh mục A > B

Tại thời điểm đáo hạn T:

B ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN BẰNG MÔ HÌNH NHỊ PHÂN

I Khái niệm

1 Định nghĩa và các giả định của mô hình

a Định nghĩa

Định giá quyền chọn là việc đi tìm giá trị hợp lý lý thuyết của quyền chọn

Mô hình định giá quyền chọn là một công thức toán học hoặc là một quy trìnhtrên máy tính sử dụng các yếu tố đầu vào để xác định giá trị lý thuyết của quyền chọn.Nếu như mô hình được xây dựng tốt thì giá trị thị trường của quyền chọn bằng với giátrị lý thuyết của quyền chọn

Mô hình nhị phân là mô hình tính đến trường hợp giá cổ phiếu hoặc tăng lênhoặc giảm xuống với những khả năng xảy ra khác nhau Một phân phối xác suất nhịphân là là phân phối xác suất có tất cả hai kết quả hoặc hai trạng thái: một xác suấtbiến động tăng và một xác suất biến động giảm Vì lý do này mà mô hình còn đượcgọi là mô hình hai trạng thái

Để đơn giản hóa mô hình và trình bày những khái niệm cơ bản của mô hìnhđịnh giá quyền chọn một cách rõ ràng, súc tích, chúng ta sẽ đặt mô hình nhị phân vàomôi trường rủi ro không đổi Nguyên tắc rủi ro không đổi (Risk neutral valuation) làmột nguyên tắc rất quan trọng trong việc định giá quyền chọn

Chúng ta sẽ lần lượt tìm hiểu mô hình nhị phân một thời kỳ, hai thời kỳ, các

mô hình nhị phân mở rộng và cuối cùng là mô hình nhị phân n thời kỳ Trước hết,chúng ta sẽ bắt đầu với mô hình đơn giản nhất, mô hình nhị phân một thời kỳ

Mô hình nhị phân một thời kỳ là mô hình nhị phân dùng để định giá một quyềnchọn có đời sống là một đơn vị thời gian, khoảng thời gian này có thể dài ngắn tùythuộc vào nhu cầu của quyền chọn

b Các giả định trong mô hình nhị phân một thời kỳ

Ở đây, chúng ta sẽ bắt đầu xem xét một mô hình đơn giản nhất để làm cơ sởtìm hiểu các mô hình sau này Để làm đơn giản mô hình này, chúng ta có một số giảđịnh sau:

 Quyền chọn đang được định giá là quyền chọn mua kiểu ChâuÂu

 Cổ phiếu không trả cổ tức

 Mô hình được đặt trong môi trường rủi ro không đổi (risk neutralworld) Đây là một giả định rất quan trọng

Sd

Su S0

Môi trường rủi ro không đổi là môi trường:

 Chỉ có nhà đầu tư chấp nhận rủi ro (bàng quang với rủi ro, họ không yêu cầu bù đắpcho rủi ro và thu nhập mong đợi trên tất cả chứng khoán hay công cụ chứng khoánphái sinh đều theo lãi suất phi rủi ro) tức là:

St = S0(1+r)t

 Sẽ tồn tại xác suất chấp nhận rủi ro là p (xác suất tăng) và (1 – p) (xác suất giảm) Đâykhông phải là các xác suất thật sự của biến động tăng và biến động giảm của cổ phiếu.Chúng chỉ tồn tại trong môi trường rủi ro không đổi và mang ý nghĩa là làm cho tỷsuất sinh lợi của cổ phiếu bằng với tỷ suất sinh lợi phi rủi ro

Tức là S0(1+r)T = pSu + (1 – p)Sd

Với Su: giá tăng Sd: giá giảm

 Trong môi trường này thì nhà đầu tư sẽ đi vay và cho vay với lãi suẩt phi rủi ro

Để minh họa cho việc định giá bằng mô hình nhị phân được đặt trong môitrường rủi ro không đổi, ta xem xét ví dụ sau:

Giá chứng khoán hiện hành là 20$ và sẽ dịch chuyển tăng lên 22$ hoặc giảmxuống 18$ vào cuối kỳ hạn 3 tháng Quyền chọn được xem xét là quyền chọn muaChâu Âu với giá thực hiện là 21$ và thời gian đáo hạn là 3 tháng, lãi suất phi rủi ro là12%/năm

Chúng ta định nghĩa p là xác xuất tăng giá chứng khoán trong môi trường rủi rokhông đổi và thu nhập mong đợi của chứng khoán trong môi trường rủi ro không đổiphải bằng lãi suất phi rủi ro là 12%, nghĩa là p phải thỏa mãn:

22p + 18(1 – p) = 20(1+r)T

4p= 20(1+0,12)3/12 -18 p= 0,6523

Do đó, những nhà đầu tư này đã nảy ra ý tưởng mới là “Tại sao họ không thiếtlập một danh mục bao gồm cổ phiếu và quyền chọn mà trong tương lai dù giá cổphiếu có thay đổi như thế nào thì thu nhập đạt được từ danh mục vẫn không thay đổi”.Theo luật một giá phát biểu rằng “Một cơ hội đầu tư cho cùng một tỷ suất sinh lợitrong tất cả các trường hợp được gọi là không có rủi ro và phải tạo được tỷ suất sinhlợi phi rủi ro” Danh mục mà chúng ta thiết lập là một danh mục đầu tư không có rủi

ro nên thu nhập trên danh mục cũng phải bằng với lãi suất phi rủi ro Điều này không

hề mâu thuẫn với nguyên tắc môi trường rủi ro không đổi

Và từ danh mục phòng ngừa rủi ro, ta cũng có thể định giá được quyền chọn.Giá quyền chọn có thể được suy ra từ những giá trị được biết khác Cần phải thừanhận rằng với điều kiện là cơ hội arbitrage không tồn tại Do đó, phương pháp địnhgiá quyền chọn theo danh mục phòng ngừa rủi ro còn có tên gọi khác là “Arbitrage

2 Phương pháp tổng quát

Chúng ta xây dựng công thức tìm giá trị quyền chọn C bằng cách:

 Xây dựng một danh mục phi rủi ro bao gồm cổ phiếu và quyềnchọn

 Danh mục phi rủi ro này được gọi là một danh mục đã đượcphòng ngừa rủi ro (hedge portforlio), mà chúng ta sẽ gọi tắt làdanh mục phòng ngừa, nó bao gồm h cổ phần và một vị thế bánquyền chọn mua

Ý nghĩa của danh mục phi rủi ro ở đây là: với một danh mục phòng ngừa gồm

h cổ phần và một vị thế bán quyền chọn mua, dù trong tương lai, giá của cổ phiếu dùtăng hay giảm, ta đều cùng nhận được một giá trị như nhau

 Tính toán thu hồi mong đợi vào lúc đáo hạn của danh mục

 Chiết khấu thu hồi mong đợi theo lãi suất phi rủi ro (vì một danhmục phi rủi ro sẽ thu được một lãi suất phi rủi ro) để có đượchiện giá của danh mục phòng ngừa

 Với giá trị của danh mục phòng ngừa, giá trị của cố phiếu, ta cóthể suy ra được giá trị của quyền chọn mua

3 Định giá một quyền chọn mua bằng mô hình nhị phân một thời kỳ

Xem xét một trường hợp quyền chọn mua 1 cổ phiếu có giá được kí hiệu là S.Quyền chọn mua này còn giá trị một thời kỳ nữa thì hết hiệu lực Ngày bắt đầu thời kỳ

là hôm nay và được gọi là thời điểm 0 Ngày kết thúc thời kỳ được gọi là thời điểm 1

Khi quyền chọn hết hiệu lực thì cổ phiếu có thể nhận một trong hai giá trị sau:

nó có thể tăng lên theo một tham số u (u>1) hoặc giảm xuống theo một tham số d(d<1) Nếu nó tăng lên thì giá cổ phiếu sẽ là Su, nếu giá giảm xuống thì giá cố phiếu

là Sd Ví dụ, giả sử giá cố phiếu hiện tại là $50, nếu giá cố phiếu tăng lên 10% thìu=1,1 và nếu giá cố phiếu giảm xuống 8% thì d= 0,92 Khi quyền chọn hết hiệu lực,giá cổ phiếu có thể là 50(1,1) = 55 hoặc 50(0.92) = 46

Xem xét một quyền chọn mua cổ phiếu với giá thực hiện là X và giá quyềnchọn hiện tại là C Khi quyền chọn đến ngày đáo hạn, giá cổ phiếu sẽ là Su hoặc Sd,

và giá của quyền chọn sẽ là Cu hoặc Cd Tại ngày hiệu lực, giá của quyền chọn là giátrị nội tại của nó nên:

Cu = Max[0,Su – X]

Cd = Max[0,Sd – X]