SKKN Phân dạng và định hướng cách giải cho bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMĐỀ TÀI: "PHÂN DẠNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG CÁCH GIẢI CHO BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN"... Tôi xin trìnhbày một số kinh nghiệm của mình về việc giải

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"PHÂN DẠNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG CÁCH GIẢI CHO BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG

GIAN"

ĐẶT VẤN ĐỀ

Năm học 2009-2010 là năm học tiếp tục thực hiện cuộc vận động “Học tập và làm theotấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, “Hai không_bốn nội dung”, “Mỗi thầy cô là một tấmgương đạo đức, tự học và tự sáng tạo”, với chủ đề “Năm học đổi mới quản lí và nâng caochất lượng giáo dục” cùng với phong trào xây dựng “trường học thân thiện, học sinh tíchcực”

Nghị quyết TW2 khoá VIII đã khẳng định “ Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục vàđào tạo, khắc phục lối dạy truyền thụ một chiều, rèn luyện nều tư duy cho người học,từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình dạy học”

Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi đội ngũ các thầy cô giáo phải tích cực học tập,không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương pháp dạy học theo hướngphát huy tích cực, tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng khả năng tự học,khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho họcsinh

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng trong việc giảiquyết một bài toán hình học tọa độ nói chung, có thể có rất nhiều nguyên nhân dẫn đếntình trạng nói trên, nhưng theo tôi, nguyên nhân chủ yếu là khi học hình học toạ độ, họcsinh chỉ “giải hình học bằng đại số”, không để ý đến các tính chất hình học

Các phương pháp giải còn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp bài toán nào thì chỉ chútrọng tìm cách giải cho riêng bài toán đó mà không có một cách nhìn tổng quát Chính vìvậydẫn đến tình trạng các em bị lúng túng trước các câu hỏi mặc dù các câu hỏi đó chỉ

xoay quanh một vấn đề: Viết phương trình đường thẳng trong không gian

Với vai trò là một giáo viên dạy Toán và qua nhiều năm giảng dạy, để trao đổi cùng cácthầy cô đồng nghiệp với mong muốn tìm ra hướng giải quyết đơn giản nhất cho một bàitoán, làm cho học sinh nhớ được kiến thức cơ bản trên cơ sở đó để sáng tạo Tôi xin trình

bày một số kinh nghiệm của mình về việc giải quyết bài toán Viết phương trình đường

thẳng trong không gian đó là :

“Phân dạng và định hướng cách giải cho bài toán viết phương trình đường thẳng

trong không gian”.

CƠ SỞ LÝ LUẬN

Trong chương trình Sách giáo khoa có đề cập đến hai dạng phương trình của đường

thẳng:Phương trình tham số và phương trình chính tắc.

Như vậy để xác định được phương trình đường thẳng ở hai dạng trên, người học phải xácđịnh được:

+) Điểm mà đường thẳng đi qua

+) Véctơ chỉ phương của đường thẳng

Nhưng không phải trong mọi trường hợp, ta đều có thể tìm được một cách dễ dàng haiđại lượng nói trên, và cũng như nhiều vấn đề khác của toán học Bài toán viết phương

trình đường thẳng cũng chủ yếu có hai dạng: tường minh và không tường

minh

Dạng tường minh:

- Các đại lượng để giải quyết bài toán thì đề bài cho sẵn, dạng toán này chủ yếu để

người học củng cố công thức

- Với bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian, dạng tường minh theotôi đó là:

Viết phương trình tham số (hoặc chính tắc)của đường thẳng biết:

1) Hai điểm mà đường thẳng đi qua

2) Một điểm mà đường thẳng đi qua và véctơ chỉ phương

Dạng không tường minh:

- Các đại lượng để giải quyết bài toán được ẩn dưới một số điều kiện nhất định nào đó,dạng toán này đòi hỏi người học phải biết kết hợp kiến thức, có tư duy logíc toán học,vận dụng linh hoạt các điều kiện có trong đề bài

Trong đề tài này tôi xin được bàn về các dạng toán không tường minh, đây cũng là dạngtoán chủ yếu xuất hiện trong các kì thi, và học sinh cũng thường găph phải khó khăntrong dạng toán này, trước hết tôi xin được chia nhỏ thành hai bài toán:

Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng trong không gian biết một điểm đi qua

Ở bài toán này đề bài chỉ cho biết một điểm đi qua,không cho trực tiếp phương của đường thẳng, buộc học sinh phải xác định phương của đường thẳng dựa vào các điều kiện khác của bài toán

Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước

Ở bài toán này đề bài không cho trực tiếp điểm đi qua và phương của đường thẳng, buộc học sinh phải xác định các đại lượng đó dựa vào các điều kiện của bài toán.

Ngoài việc phân dạng toán, chúng ta cũng cần phải hướng dẫn cho học sinh định hướngcách giai khi đứng trước một bài toán

Trong bài toán Viết phương trình đường thẳng trong không gian, người học cần chú ý

đến các điều kiện xác định của đường thẳng trong không gian, tôi đặc biệt chú ý đền haiđiều kiện xác định đường thẳng sau:

+) Biết hai điểm đi qua

+) Biết hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm

Và đó cũng là hướng giải quyết chủ yếu cho bài toán mà tôi đưa ra:

Định hướng thứ nhất: Tìm hai điểm mà đường thẳng đi qua.

Khi xác định được hai điểm đi qua thì hiển nhiên ta có hai đại lượng cần thiết để hình

thành phương trình dạng tham số hoặc dạng chính tắc.

Định hướng thứ hai: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm

Một vấn đề đặt ra ở đây là: phương trình dạng tổng quát của đường thẳng không đượctrình bày trong sách giáo khoa, vậy nếu học sinh vẫn để dưới dạng tổng quát thì có đượcchấp nhận hay không? nếu không được chấp nhận thì làm thế nào?

Các khắc phục không có gì khó khăn, các bạn có thể hướng dẫn học sinh chuển về dạngtham số thông qua ví dụ sau:

Vậy ta có phương trình dạng tham số của .

 

1 2 1

Suy ra  đi qua M1; 2;1  

+) Đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng nên có một véctơ chỉ phương là tích

có hướng của hai mặt phẳng

Sau khi nghiên cứu và áp dụng vào các tiết dạy cho học sinh, tôi thấy học sinh khôngcòn lúng túng trước bài toán hình học dạng này nữa, mà chỉ sau một số bài tập nhất định,

các em đã nắm chắc nguyên tắc cơ bản để giải bài toán là “ Xác địn điểm đi qua và véctơ

chỉ phương” Đa số các em học sinh từ trung bình trở lên đều có thể tự tin làm được hết

các bài tập SGK và bài tập sách bài tập hình học nâng cao 12 Các em tự đặt câu hỏi:

Còn cách giải khác cho bài toán không? Từ đó kích thích sự tò mò tìm cách giải mới cho

mỗi bài toán cụ thể và cũng có nhiều em đã tìm được một số lời giải khá độc đáo kháccho bài toán Biết kết hợp các kiến thức đã học để giải các bài toán hình học khó hơn

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI

Trên cơ sở các kiến thức cơ bản về hình học giải tích đã được trình bày trong sách giáokhoa Hình học 12 Kiến thức cơ bản về đường thẳng trong không gian lớp 11.Tôi xin

được trình bày nội dung đề tài dưới một số Bài toán cơ bản mà phương pháp giải các bài toán đó được rút ra từ hai định hướng cớ bản nêu trên.

Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng trong không gian biết một điểm đi qua

+) Điểm đi qua đã cho trong đề bài

+) Phương của đường thẳng xác định thông qua các đại lượng, các mối quan hệ trong bài toán

1) Đề cho:

+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : M1; 2;3

+) Mặt phẳng ()  có tọa độ các điểm thuộc mặt phẳng và véctơ pháp tuyến:

n 2; 3;1  

+) Quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng 

Hệ (I) là phương trình dạng tham số của đường thẳng 

(Cách giải thứ 2 được đề xuất từ học sinh)

Ví d 2ụ 1

Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình của đường thẳng  qua



+) Quan hệ: Đường thẳng  song song với cả hai mặt phẳng, suy ra nó có

phương vuông góc với hai véctơ pháp tuyến của hai mặt phẳng

2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng 

+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : A  2;1;3.

+) Đường thẳng  1 đi qua điểm M1;2; 1   và có véctơ chỉ phương u 11; 1;1  

+) Đường thẳng  2 đi qua điểm N  2;3; 1   và có véctơ chỉ phương u 2 1;2;1 +) Quan hệ: Đường thẳng  cắt cả hai đường thẳng  1 và  2

2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng 

Từ mối quan hệ ta có thể có hai hướng giải quyết sau:

Định hướng 1:

+) Đường thẳng  cắt đường thẳng  1 nên xác định một mặt phẳng  

+) Đường thẳng  cắt đường thẳng  2 nên xác định một mặt phẳng  

Vậy đường thẳng  là giao của hai mặt phẳng   và  

Định hướng 2:

+) Đường thẳng  cắt đường thẳng  1 tại P

+) Đường thẳng  cắt đường thẳng  2 tại Q

Vậy đường thẳng  cũng là đường thẳng PQ

Từ đó dẫn đến các cách giải

Cách giải:

Cách 1:

 Gọi   là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau  và  1

Vậy   có hai chỉ phương là AM3;1; 4  

 Gọi   là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau  và  2

Vậy   có hai chỉ phương là AN0; 2; 4  

Gọi P là giao điểm của  và  1 P   1 P1 ; 2 t  t; 1  t

Gọi Q là giao điểm của  và  2 Q   2 Q  2 t';3 2 '; 1  t  t'

Mặt khác ba điểm P, A, Q cùng thuộc đường thẳng  nên thẳng hàng hay:

Hay đường thẳng  có chỉ phương: u1; 17; 29   và đi

đồng thời vuông góc với d1 và cắt d2:biết 1

+)Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : A1; 2;3

+)Đường thẳng d1 đi qua điểm M6;1; 4 và có véctơ chỉ phương u  1 2; 4; 1  

+) Đường thẳng d2 đi qua điểm N1; 2;3   và có véctơ chỉ phương u22;1; 1  



+) Quan hệ: Đường thẳng  cắt d2

Đường thẳng  vuông góc với d1(có thể cắt hoặc không cắt)

2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng 

Từ mối quan hệ ta có thể có hai hướng giải quyết sau:

Định hướng 1: (Xác định điểm đi qua)

+)Đường thẳng  cắt đường thẳng d2 tại P

+)Đường thẳng  vuông góc với d1 nên AP u 1  AP u 1  0

   

Suy ra đường thẳng  cũng là đường thẳng PA

Định hướng 2:

+) Đường thẳng  cắt đường thẳng d2 nên xác định một mặt phẳng  

+) Đường thẳng  vuông góc với d1 nên xác định một mặt phẳng   qua A và

Mặt khác   chứa  nên đi qua A   :x 2z 7 0 

Gọi   là mặt phẳng qua A và vuông góc với d1, nên nhận u 1 2; 4; 1  



là véctơ pháptuyến

Phương trình của đường thẳng  

Ngoài hai cách giải trên, ta còn có thể tìm trực tiếp véctơ chỉ phương

Cách 3: Gọi u a b c ; ;  là chỉ phương của đường thẳng  cần tìm a2 b2 c2  0

Vậy, đường thẳng cần tìm có phương trình  

17 3 :

+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : A3; 2; 1   

+) Đường thẳng d đi qua điểm M3; 4; 1   và có véctơ chỉ phương u1; 5;2   +) Quan hệ: Đường thẳng  cắt d

Đường thẳng  vuông góc với d

2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng 

Từ định hướng trên, học sinh có thể giải quyết Ví dụ5 với đầy đủ các cách như Ví dụ4.

Vậy đường thẳng cần tìm có chỉ phương: u1 n n;    30; 30; 60  

Qua các ví dụ trên cho thấy, mỗi bài toán không phải chỉ có một cách giải mà đối với

mỗi bài toán, trong từng trường hợp, học sinh có thể định hướng cho mình nhiều cách giải khác nhau, phù hợp với đặc điểm của từng bài toán

Có những cách giải thì rất hiệu quả đối với bài toán này nhưng sẽ gặp khó khăn đối với bài toán khác Như ví dụ sau:

Ví d 6ụ 1

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   : 2x y  2z 17 0  và mặt cầu

  S : x 12y 32z 22  9 Viết phương trình tiếp tuyến  với mặt cầu (S)

biết tiếp tuyến đó đi qua M1;8; 2 và song song với mặt phẳng ()

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?

1) Đề cho:

+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : M1;8; 2

+) Mặt phẳng   có véctơ pháp tuyến n 2; 1;2  

+) Mặt cầu  S có tâm và bán kính I1;3; 2 ,   R 3

+) Quan hệ: Đường thẳng  / /  

Đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu (S)  khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng  bằng R

Từ định hướng trên, học sinh có thể giải quyết Ví dụ5 với đầy đủ các cách như Ví dụ4.

Vậy qua M có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài

Như vậy bài toán được giải quyết không mấy khó khăn!nhưng nếu sử dụng cách

khácthì vẫn giải được, tuy nhiên khá phức tạp Ví như ta dùng các xác định hai điểm

Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước

Cả điểm đi qua và phương của đường thẳng được xác định thông qua các đại lượng cho

trước và các mối quan hệ hình học.

Ví d 7ụ 1

Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình của đường thẳng  biết nó

nhau:

1

2 : 3

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?

1) Đề cho:

+) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến n P1;1; 1  



+) Đường thẳng  1 đi qua M 1 1;1; 2   có chỉ phươngu12;3;1

+) Đường thẳng  2 đi qua M22;1;0 có chỉ phươngu 13; 1;1  

+) Quan hệ: Đường thẳng   P

Đường thẳng  cắt cả  1 và  2

2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng 

Cách giải:

Cách 1: (Xác địng hai điểm đi qua)

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng  với hai đường thẳng  1,  2 +)M    1 M2 t;3 t;1 2  t

Cách 2: (Giao của hai mặt phẳng)

Gọi   là mặt phẳng chứa  1 và vuông góc với (P)

Trong bài toán trên, véctơ chỉ phương của đường thẳng có thể xác định được một cách

dễ dàng nhờ mặt phẳng (P) Vậy chỉ cần xác định được một điểm đi qua là đủ

và vuông góc với mặt phẳng (P)

Vì  1và  2 chéo nhau nên  2cắt () tại M

Mặt khác  1không vuông góc với (P) nên  1 cắt đường

thẳng qua M và vuông góc với (P)

Vây đường thẳng cần tìm  là đường thẳng qua M và

Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ:

+)Đường thẳng  2 đi qua M 2 4;3; 4 có chỉ phươngu  2 7; 2;3

+)Quan hệ: Đường thẳng  vuông góc và cắt  1

Đường thẳng  vuông góc và cắt  2

2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng 

Cách giải:

Cách 1: (Xác định hai điểm đi qua)

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng  với  1 và  2

7 10 7 ' 2 2 2 ' 2 3 6 3 ' 0 0

Cách 2: (Đường thẳng là giao của hai mặt phẳng)

Ta có: u u 1 ; 2   8; 4;16 su ra đường vuông góc chung có chỉ phương u2;1; 4

Gọi () là mặt phẳng xác định bởi  và  1.Vậy () đi qua điểm M16;1;10 và có véctơpháp tuyến: n u u; 1    9;6;3

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?

1) Đề cho:

+) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến n P1;3; 5  



+) Đường thẳng d đi qua M2;1;7 có chỉ phươngu d1;2;1

+) Quan hệ: Đường thẳng   P

Đường thẳng  cắt cả d và d  

2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng 

Cách giải:

 Điểm đi qua:

Vì đường thẳng  cắt d và nằm trong mặt phẳng (P) nên đi qu agiao điểm của d va

(P).Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ:

Mặt khác:   . 0

p d

+) Quan hệ: Đường phân giác  là tập hợp các điểm nằm trên mặt phẳng xác địnhbởi  1 và  2 đồng thời cách đều cả hai đường thẳng đó.

2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng 

Cách giải:

Đường phân giác đi qua giao điểm A của hai đường thẳng  1 và  2

Tọa độ giao điểm A là nghiệm của hệ:

1

2 2

u u v

Hai đường thẳng cắt nhau có hai phân giác d1 và d2

+) Phân giác d1 có chỉ phương cùng phương với v              1               v2

có tọa độ: 17;10; 1   nên có

phương trình: x171y103z15

 +) Phân giác d2 có chỉ phương cùng phương với v1  v2