skkn hướng dẫn học sinh giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp hàm số thpt xuan tho

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ,HỆ PHƯƠNG TRÌNHBẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I/ LÝ DO CHỌN ĐỂ TÀI Giải phương trình, hệ phương trình là một bài toán thường gặp trong chương trình phổ th

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị : Trường THPT Xuân Thọ

Mã số:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Người thực hiện: ĐỖ THỊ YÊNLĩnh vực nghiên cứu:

- Quản lý giáo dục 

- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN 

- Lĩnh vực khác: 

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2013 - 2014

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

9 Đơn vị công tác: Trường THPT Xuân Thọ

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học

- Năm nhận bằng: 2010

- Chuyên ngành đào tạo: sư phạm Toán

III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy và chủ nhiệm

Số năm có kinh nghiệm: 03

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 03 năm gần đây:

BM02-LLKHSKKN

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ,HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I/ LÝ DO CHỌN ĐỂ TÀI

Giải phương trình, hệ phương trình là một bài toán thường gặp trong chương

trình phổ thông, ngay từ THCS học sinh đã được tiếp cận cách giải phương trình

và hệ phương trình đơn giản Lên THPT học sinh được tìm hiểu kĩ thêm vềphương trình và hệ phương trình Tuy nhiên nếu gặp các phương trình, hệ phươngtrình không mẫu mực học sinh sẽ rất lúng túng và thực sự rất khó khăn trong khigiải quyết bài toán, chính vì thế thường dẫn đến sai lầm hoặc không tìm ra hướnggiải quyết

Để giải phương trình, hệ phương trình sẽ có rất nhiều phương pháp giải, Tuynhiên tôi chỉ trình bày một phương pháp giải phương trình, hệ phương trình bằngứng dụng tính đơn điệu của hàm số nhằm giúp học sinh có thể giải phương trình,

hệ phương trình ngắn gọn và đơn giản hơn Đó là lí do tôi chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp hàm số”

II/ CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN:

Trong chương trình lớp 10, lớp 11 học sinh đã được học nhiều cách giải mộtphương trình, hệ phương trình không mẫu mực như phương pháp thế, phương phápcộng, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp bình phương 2 vế… Nhưng trongchương trình 12 học sinh có thể ứng dụng tính đơn điệu của hàm số vào việc giảiphương trình, hệ phương trình sẽ thuận tiện hơn rất nhiều, nhưng khi sử dụng tínhđơn điệu học sinh mới tiếp cận nên còn nhiều lúng túng

Trong khi giải phương trình hệ phương trình không mẫu mực, nếu gặp trườnghợp phải bình phương học sinh sẽ dẫn đến bình phương mà không tính đến vấn đề

2 vế phương trình không âm, nhiều lúc khi bình phương sẽ dẫn đến một phươngtrình bậc cao rất khó tìm ra nghiệm, hoặc một số phương trình hệ phương trìnhphải sử dụng đến tính duy nhất của nghiệm mới giải quyết được thì học sinh sẽ rấthoang mang và không biết hướng giải quyết vấn đề

Từ việc sử dụng tính chất của hàm số vào giải quyết một số phương trình và hệphương trình sẽ đơn giản hơn, nếu là phương trình và hệ phương trình mà yêu cầuphải đặt ẩn phụ hoặc thực hiện một số tính toán phức tạp khiến cho học sinh khótìm ra hướng giải quyết tiếp theo, chưa kể đến một số bài toán khi biến đổi còn khókhăn, với phương pháp hàm số học sinh có thể sử dụng kết quả của tính đơn điệucủa hàm số vào giải quyết như vậy sẽ dẫn đến bài toán được giải quyết một cách dễdàng hơn rất nhiều

Đề tài được viết bao gồm 2 nội dung:

1 Giải phương trình một ẩn

2 Giải hệ phương trình hai ẩn

BM03-TMSKKN

III/ TỒ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

1/ Giải phương trình một ẩn:

Trong phần này tôi hướng dẫn học sinh sử dụng định lí về tính đơn điệu của hàm

số để giải phương trình qua các bước sau:

 Phân tích đề bài

 Sử dụng tính chất của hàm số để giải phương trình,

TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến , hàm số đồng biến ta có:

Kí hiệu K là khoảng, hoặc đoạn, hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số yf x( )xácđịnh trên K

 Nếu hàm số yf x( ) liên tục và đồng biến trên K với mọi cặp x x1, 2thuộc K

thì: f x( )1 f x( )2  x1x2 và x1x2  f x( )1  f x( )2

 Nếu hàm số yf x( ) liên tục và nghịch biến trên K với mọi cặp x x1, 2thuộc

K thì: f x( )1 f x( )2  x1x2 và x1 x2  f x( )1  f x( )2

Từ đó cho ta ứng dụng vào các bài toán giải phương trình , hệ phương trình

Cụ thể ta có thề ứng dụng các tính chất về tính liên tục và đồng biến của hàm sốvào việc giải phương trình , hệ phương trình qua các phương pháp sau:

a) Phương pháp 1:

Ta nhận thấy rằng có thể sử dụng phương pháp hàm số như sau:

 Nếu nhận thấy : f x( )a

 Nhận xét : f x( ) là hàm số đơn điệu và nếu x x 0 thì f x( )0 a

 Nếu x x 0 thì f x( ) f x( )0 hoặc Nếu x x 0 thì f x( ) f x( )0

 Vậy f x( )0 a ta có x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Do đó ta có thể sử dụng phương pháp này cho những phương trình như trên:

Ví dụ 1:

Giải phương trình sau: 3 x  x 2 1

( Bài tập 7b SGK đại số 10 cơ bản trang 63 )

Vậy x 1 là nghiệm của phương trình

 Đối với bài toán trên học sinh có thể sai lầm như sau:

Khi chuyển được phương trình về dạng: x  học sinh tiếp tục bình2 x

phương mà không biết đã đưa phương trình về phương trình hệ quả

2

2221

x x

( sai lầm của học sinh là đã sử dụng dấu ‘‘ ’’ )

So sánh với điều kiện ban đầu thì phương trình có nghiệm x 1và x 2

Khi nhận cả 2 nghiệm x 1và x 2đã nhận thừa nghiệm ngoại lai của phươngtrình, đó là một số sai lầm có thể mắc phải của học sinh

Mà ( )f x f( 1) 1   x1 vậy x= -1 là nghiệm duy nhất của phương trình

 Nhận xét: Như vậy học sinh có thể giải bằng 2 phương pháp, và bài này ẩn

x cũng là bậc nhất nên khi bình phương 2 vế thì bậc của x sẽ lên bậc 2 do đó

có thể giải được như chương trình lớp 10 Tuy nhiên phải chú ý khi bình phương có nhiều lúc sẽ đưa phương trình về phương trình hệ quả, cuối cùng phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai

 Nhận xét: Đối với bài này 2 cách giải đều tương tự nhau song với cách đưa

về hệ phương trình các em phải nhận định được : 3 x x 2  2 x x2 5

sau đó đưa về hệ phương trình để giải, hơn nữa trong khi giải phương trìnhhọc sinh ít khi nghĩ là sẽ đưa về hệ phương trình để giải bài toán thôngthường học sinh sẽ chuyển vế rồi bình phương 2 vế như ở ví dụ 1 Như vậy

sẽ dẫn đến bài toán rất khó giải quyết

b) Phương Pháp 2:

 Ta nhận thấy nếu có thể thực hiện đưa phương trình về dạng : f u( )f v( )

 Sau đó xét hàm số : yf t( ) dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu

 Khi đó: f u( )f v( ) u v

 Sau đó giải bài toán đơn giản hơn bài toán ban đầu

Ví dụ 1:

Giải phương trình sau: 32x3  1 x33x22x

( HSG toán 10 trường THPT Cao Lãnh – Đồng Tháp)

Giải:

Cách 1: Giải pt: x33x22x 1 32x (1)3

Phương trình (1)  x13  x 1 2x 3 32x3 (*)

Xét hàm số đặc trưng: f t( ) t3 t với  t

Cách 2: bài toán này có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ không hoàn toàn như sau:

Đối với bài toán này nếu ta biến đổi có thể đưa về dạng phương trình như sau:

Với : a 1 32x thay vào phương trình (*) ta được: 3 x13    a 1 x 2 (2)

Lấy (1) – (2) vế theo vế ta được:

 Nhận xét:

Đối với cách 2 không phải học sinh nào cũng biết cách đặt ẩn phụ không hoàn toàn, về phần tính toán cũng phải tính rất chính xác , yêu cầu học sinh phải từ khá giỏi mới giải được bài toán này, việc giải theo cách 2 sẽ rất khó và phức tạp

Đối với cách 1 học sinh có thể giải bài toán một cách dễ dàng hơn rất nhiều

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 1 2  2

2x  2x x  x1

(Đại học Thủy Lợi năm 2001-2002)

Giải:

Nhận xét : Ta có thể đưa phương trình trên về dạng: f u( ) f v( )

Rồi sau đó sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bài toán dễ dàng hơn

Nhận xét : ta hoàn toàn có thể đưa phương trình trên về dạng: f u( )f v( )

Rồi sau đó sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bài toán

( 1) ( 2) 01

 Đồng thời xác định một số x0 sao cho f x( )0 g x( )0

 Vậy kết luận x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ1:

Giải phương trình sau: 3 3

2

log (x  4) x log (27x54)Giải:

2 2

log ( 4) log ( 2) 3

4

2log ( 2) 3

Đồng thời: g x( ) 3  x là hàm số nghịch biến với x>2

Để phương trình: f x( )g x( ) mà có nghiệm thì nghiệm đó phải là nghiệm duynhất của phương trình

 nên chia cả 2 vế phương trình cho 3x

Phương trình tương đương: 1 8 1 (*)

x x

Ta nhận thấy theo phương trình (*) :

Nếu x>2 thì VT<1 còn VP=1 nên x>2 không là nghiệm PT

Nếu x<2 thì VT>1 còn VP=1 nên x<2 không là nghiệm PT

Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình: 3x5 15x 8 0 có 1 nghiệm duy nhất Giải:

Đặt: f x( )3x515x8 là hàm số liên tục trên R nên liên tục trên [ 0; 1]

Suy ra phương trình f(x)=0 nếu có nghiệm thì chỉ có duy nhất một nghiệm

Vậy phương trình 3x515x 8 0 có một nghiệm duy nhất

Nhận xét : Một số bài toán có thể giải bằng nhiều phương pháp như sau:

Với: a b  2  x  2 x x 0 vậy x=0 là nghiệm của phương trình

Với: 1 a b  a4a b2 2b2  0 Dễ dàng chứng minh được phương trình vônghiệm

Mà ta lại thấy: f(0)=0 Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Cách 3: Bài toán này có thể sử dụng phương pháp 2 để giải

PT: 2 x 2 x 2x324x f x( )g x( )

Xét ( )f x  2 x  2x trên D=[-2;2]

Vậy f(x) là hàm số nghịch biến trên D

Xét g x( ) 2 x324x g x'( ) 6 x224 0  x D vậy g(x) đồng biến trên D

Do đó phương trình f(x)=g(x) có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Với x=0 ta thấy f(0)=g(0) do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Cách 4: Bài toán này có thể sử dụng phương pháp 3 để giải

Vậy x=0 là nghiệm của phương trình

 Nhận xét: Bài toán trên học sinh có thể giải bằng nhiều phương pháp, nó

giúp học sinh củng cố thêm về cách giải phương trình bằng phương pháp hàm số, một trong nhiều cách giải phương trình không mẫu mực

Có rất nhiều người đã sử dụng phương pháp này, sau đây là một số nhận định về phương pháp hàm số trong việc giải hệ phương trình

Ta có thể ứng dụng tính liên tục và đơn điệu của hàm số vào việc giải hệ phương trình, như vậy có thể giúp giải quyết bài toán một cách đơn giản hơn:

Sơ lược cách giải hệ phương trình hai ẩn:

Ta có thể thực hiện theo các bước sau:

 Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong hệ ( Nếu có)

 Bước 2: Rút ra từ hệ một phương trình ( có thể ra một trong hai phương trình của hệ hoặc phương trình hệ quả nhận được sau các phép biến đổi đại

số từ hệ phương trình)

 Bước 4: Sử dụng kết quả của phép biến đổi vừa làm ở bước 2 và kết hợp với bước 3 để giải hệ phương trình

 Bước 5: Suy ra nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

Nếu : x y  f x( ) f y( ) 2y2x y x ( mâu thuẫn )

Nếu : x y  f x( ) f y( ) 2y2x y x ( mâu thuẫn )

Vây x=y ta giải phương trình:

1 0

1 5 ( )2

1 0

1 5 ( )2

  





  

 nên suy ra x2xy y 2 6 0 vô nghiệm

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:

Ta nhận thấy trong phương trình (2)

Tập hợp ( x;y ) là những điểm thuộc đường tròn tâm I12; 12

y y

 rồi sau đó tìm nghiệm x, y bằng định

lí viet Nhưng đối với bài này không thể đặt ẩn phụ như trên mà phải đặt

b xy a x y



 

Khi đó hệ phương trình:

12

Đối với bài này ta có thể đặt: a x y b xy

Với a2 2a41 0 phương trình vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có các nghiệm: 32; 12

x y

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: 22 22 33

x y

Vế trái phương trình (*) là một hàm số đồng biến

Vế phải của phương trình (*) là một hàm số nghịch biến

Mà dễ thấy x=1 là một nghiệm của phương trình (*) nên suy ra x=1 là nghiệm duynhất của phương trình (*)

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:

4 4

4 4

Mà g(1)=0 nên g(y)=0 có nghiệm duy nhất là y=1

Vậy y=1 suy ra x=2

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: ( 1; 0) và (1; 2)

x y

Ta thay vào phương trình (1 ) của hệ phương trình được:

4

5 4 (*)2

x

x y

2 2 2

5 4

225

2

    là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y)= ( ½; 2)

IV/ HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI :

Trong năm học 2013 – 2014 này, với việc triển khai giảng dạy cho học sinhtrong một số giờ tự chọn ôn thi, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu sửdụng thành thạo các kĩ năng sử dụng tính đồng biến nghịch biến của hàm số , họcsinh biết cách sử dụng đạo hàm trong nhiều bài toán giải phương trình hệ phươngtrình, giúp học sinh sẽ tự tin hơn và chuẩn bị cho kì thi đại học và cao đẳng của bộgiáo dục tổ chức sắp tới Với việc hướng dẫn cho học sinh sử dụng thành thạo tínhđồng biến nghịch biến và tính chất của hàm số trong việc giải phương trình, hệphương trình, các em đã rất hứng thú khi tiếp cận

V/ ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Trong các kì thi đại học và cao đẳng diễn ra vẫn có những bài toán giải phương

trình, hệ phương trình bằng nhiều phương pháp Tuy nhiên nếu học sinh biết cách

sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số trên tập xác định giúp học sinh giải quyếtbài toán rất nhanh và hiệu quả Trường THPT Xuân Thọ là một trường mới và họcsinh đầu vào vẫn còn thấp tuy nhiên việc hướng dẫn cho học sinh giải phương trình

hệ phương trình bằng phương pháp hàm số giúp phần nào cho các em trong kì thiđại học và cao đẳng sắp tới

Đề tài hướng dẫn học sinh giải phương trình hệ phương trình không phải là đềtài mới, bằng việc tham khảo và nghiên cứu một lượng lớn bài tập và qua kinhnghiệm giảng dạy tôi chỉ trình bày một vấn đề nhỏ về giải phương trình và hệphương trình

Vì khả năng còn hạn chế nên trong khi trình bày đề tai không tránh được khỏisai sót , rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo đi trước, các bạn đồngnghiệp và các bạn đọc để giúp bản thân hiểu hơn và góp phần vào việc giúp các emhọc sinh giải phương trình hệ phương trình được tốt hơn

VI/ TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa 10, 11, 12 – Nhà xuất bản giáo dục - 2008

2 Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn toán 12- Lê Hồng Đức- VươngNgọc- Nguyễn Tuấn Phong- Lê Viết Hòa- Lê Đức Ngọc- NXB đại học quốc gia

VII/ PHỤ LỤC

Bài tập khảo sát:

Bài 1: Giải phương trình sau: 2x 1 5 x x 2 x 22 0

Bài 2: Giải hệ phương trình:

x x

x

x x

x

x x

Với: x y  2 thay vào (2) : 4 y y  1 1 0 (*)

 Kết quả khảo sát có trên 70% học sinh làm trên 5 điểm cho 2 bài giải

 Còn một số ít học sinh giải theo cách 2 thì có học sinh chưa tìm ra hướng giải quyết, một số lấy dư nghiệm cho câu giải hệ phương trình

NGƯỜI THỰC HIỆN

( Ký tên và ghi rõ họ tên)

ĐỖ THỊ YÊN