Một số phương pháp giải toán lớp 6

Một số phương pháp giải toán lớp 6

A LÝ DO CHỌN Đ Ề TÀI

Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học môn Toán Việc đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay là nhằm phát huy tính tích cực của học sinh qua đó khai thác vận dụng những khả năng vốn

có, và tự có, phát huy trí lực trong học sinh Trong quá trình giảng dạy ở trường THCS, bản thân tôi cũng dự rất nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã tham gia trực tiếp dạy đại trà, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi song tôi nhận thấy rằng việc phát huy trí lực cho học sinh còn có nhiều hạn chế Nhiều bài toán trong các kỳ thi khảo sát chất lượng, kỳ thi học sinh giỏi, đặc biệt các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập không đến nỗi khó lắm Thế nhưng nhiều học sinh vẫn không làm được mặc dầu học sinh đã được làm quen tiếp cận các dạng toán, qua bài giảng của giáo viên, qua sách vở, tài liệu

Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu của học sinh

Do vậy trong giảng dạy chúng ta phải biết chọn lọc nội dung kiến thức, phải đi

từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tư duy Toán học Trong quá trình giảng dạy chương trình lớp 6, tôi nhận thấy phép chia hết là một dạng toán hay và phát huy được tư duy của học sinh Chính vì thế tôi chọn đề tài là: “Một số phương pháp giải toán chia hết lớp 6”

B NỘI DUNG

I.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Dạng toán chia hết các em đã được làm quen ở chương trình Tiểu học, tính chất chia hết của tổng là cơ sở để giải thích các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5,

9 Ngoài ra còn là một kiến thức quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến vấn đề chia hết

Do vậy học sinh phải nắm vững kiến thức, phân loại được các dạng toán,… qua đó học sinh có thể phát triển được tư duy, sáng tạo, chủ động trong việc giải toán.Trong chương trình toán THCS có rất nhiều dạng bài tập khi giải vận dụng vào tính chất chia hết để giải quyết, đặc biệt được mở rộng trong tập hợp số nguyên Vì vậy để tránh gặp khó khăn cho sau này các em phải nắm chắc tính chất, dấu hiệu chia hết trong tập hợp số tự nhiên

Qua thực tiễn và tham khảo tài liệu tôi đã hệ thống lại kiến thức từ lý thuyết đến bài tập, từ đơn giản đến phức tạp của phần chia hết trong số học

6, ngoài ra tôi còn mở rộng thêm các bài tập nâng cao khác nhau có sử dụng tính chất chia hết, mỗi dạng đều có bài tập minh hoạ, và các bài toán cùng dạng

Trong quá trình viết sẽ có nhiều sai sót mong được sự góp ý bổ sung của đồng nghiệp, bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn

II THỰC TRẠNG CỦA TOÁN CHIA HẾT LỚP 6

Từ tiểu học chuyển lên THCS, học sinh còn rất bỡ ngỡ với cách học mới, cách học đòi hỏi học sinh chủ động, tư duy sáng tạo…trong lúc các em đang quen với tính toán các số tự nhiên đơn giản, và các dấu hiệu cụ thể Do vậy học sinh áp dụng lý thuyết thuần tuý vào việc giải bài tập là một điều khó khăn, lúng túng không biết cách làm và thực hiện phép toán như thế nào.Chỉ

có thể học sinh khá, giỏi mới có thể biết hướng làm, và giải quyết được vấn

đề của bài toán Tính chất chia hết là phần kiến thức quan trọng trong số học

6 nói riêng và THCS nói chung Nhưng nhiều khi HS nắm chắc lý thuyết vẫn chưa biết cách vận dụng vào làm bài tập, các em chưa có khả năng tư duy sáng tạo, tư duy tổng hợp

Do vậy để giải quyết đươc vấn đề trên giáo viên cần có phương pháp để làm cho Hs vận dụng lý thuyết vào giải bài tập một cách thành thạo và ngược lại, phải tạo cho Hs hứng thú trong giải bài tập, và yêu thích môn học

III KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 §Þnh nghÜa:

Cho hai số tự nhiên a và b(b ≠ 0).Ta nói a chia hết cho b (kí hiệu ab) nếu tìm được số tự nhiên q sao cho a = bq.Khi đó,a là bội của b và b là ước của a

2 Các dấu hiệu chia hết:

2.1 Dấu hiệu cơ bản

a Dấu hiệu chia hết cho 2

a 2  a có chữ số tận cùng bằng 0; 2; 4; 6; 8

b Dấu hiệu chia hết cho 5

a 5  a có chữ số tận cùng bằng 0; 5

c Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)

a 3 (hoặc 9)  a có tổng các chữ số của a chia hết cho 3 (hoặc 9)

Chú ý: Một số chia hết cho 3(hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của

nó chia cho 3(hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại

2.2 Dấu hiệu nâng cao

a Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)

a 4 (hoặc 25)  hai chữ số tận cùng của nó tạo thành một số chia hết cho 4 (hoặc 25)

b Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)

a 8 (hoặc 125)  ba chữ số tận cùng của nó tạo thành một số chia hết cho 8 (hoặc 125)

c Dấu hiệu chia hết cho 11

a 11  tổng các chữ số hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số hàng chẵn (hoặc ngược lại) chia hết cho 11

3 Các tính chất chia hết

3.1 Tính chất cơ bản:

a Tính chất chung :

- Bất kỳ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó

- Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thí a chia hết cho c (tính chất bắc cầu)

- Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0

- Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1

b Các tính chất c ơ bản khác:

- a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0

(hay a a với mọi aN*)

- Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b

(hay: a b và b a  a = b)

- Nếu a và b cùng chia hết cho m thì a + b chia hết cho m, a – b chia hết cho m ( hay: a m, b m  a + bm, a – b m)

- Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m thì a + b không chia hết cho m, a – b không chia hết cho m

(hay: a m, b m  a + b  m, a – b  m )

- Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b;c)=1 thì a chia hết cho b.c (hay: ab và ac mà (b;c) = 1 ab.c)

- Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) = 1 thì a chia hết cho c

(hay: a.bc và (b;c) = 1 thì ac)

- Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên (hay am k.am, với  k N )

- Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n

(hay: am, bn  a.bm.n)

- Nếu a.b chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m

(hay: a.bm và m là số nguyên tố a  m hoặc b m)

- Nếu a chia hết cho m thì an chia hết cho m với mọi n là số tự nhiên

(hay: am  an

m, với  n N)

- Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn với mọi n là số tự nhiên

(hay: ab  an

bn, với  n N)

3.2 Tính chất nâng cao

a a1 m, a2 m, a3 m, …….,an m  (a1+a2+a3+ +an)m

a1 m, a2 m, a3 m, …….,an m  (a1+a2+a3+ +an)m

c am, bm k1a + k2bm

d am, bm; a + b + cm  cm

am, bm; a + b + cm  cm

IV MỘT VÀI PH ƯƠ NG PHÁP GIẢI VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG:

1.Ph ươ ng pháp 1 : Dựa vào định nghĩa chia hết.

Để chứng minh a chia hết cho b(b ≠ 0) ta biểu diễn số a dưới dạng một tích các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b(hoặc chia hết cho b)

Bài tập 1: Không thực hiện phép chia, hãy chứng tỏ rằng:

a 39.2011 chia hết cho 13

b 2009.2010 chia hết cho 3

c 1411 2002 chia hết cho 17

Giải:

a Ta có: 39.2011 = 13.3.201113 (vì: 1313, theo định nghĩa)

b Ta có: 2009.2010 = 3.670.20093 ( vì: 33, theo định nghĩa)

c Ta có: 1411.2002 = 17.83.200217 ( vì: 1717, theo định nghĩa)

Bài tập 2: Chứng minh rằng (7n)1992 chia hết cho 49  n N

Gi¶i: Ta có (7n)1992 = 71992 n1992 = 72.7996.n1992 = 49.7996.n1992

Vì: 4949 nên 49.7996.n1992 chia hết cho 49

 (7n)1992 chia hết cho 49  n N

Bài tập 3: Chứng minh rằng :

a S1 = 5 + 52 + 53 + + 599 + 5100 chia hết cho 6

2010 39

1411

b S2 = 2 + 22 + 23 + 24 + + 299 + 2100 chia hết cho 31

Giải :

a S1 = 5 + 52 + 53 + + 599 + 5100

= 5.(1 +5) + 53.(1 + 5) + + 599.(1 +5)

= 6.(5 + 53 + 55 + + 599)

Vì: 66 nên S1 = 5 + 52 + 53 + + 599 + 5100 chia hết cho 6.(t/ định nghĩa)

* Nhận xét cách giải ba bài tập trên:

Chúng ta vận dụng các tính chất, quy tắc, các phép biến đổi phân tích một số, hoặc một tổng, hiệu xuất hiện thừa số chia hết cho số cần

chia.Tức là vận dụng định nghĩa để chứng minh

(Cụ thể: ab, nếu a = b.q, với a, bN, b ≠ 0, hoặc Ab, nếu A = b.t, b ≠ 0)

 Các bài tập cùng dạng:

Bài 1: Không thực hiện phép chia, hãy chứng tỏ rằng:

a 1674.2012 chia hết cho 18

b 204.1997 chia hết cho 51

c 1002.444 chia hết cho 37

Bài 2: Chứng minh rằng:

a aaa chia hết cho a

b abab chia hết cho ab

c abcabc chia hết cho abc

Bài 3: Chứng minh rằng:

a A = 1 + 3 + 32 + … + 311 chia hết cho 40

b B = 165 + 215 chia hết cho 33

c C = 5 + 52 + 53 + 54 + ….+ 58 chia hết cho 30

d D = 22000 + 22002 chia hết cho 5120

Bài 4: Chứng minh rằng

a abcabcchia hết cho 7, 11 và 13

b abcdeg chia hết cho 23 và 29, biết abc 2.deg

Bài 5: a.Tìm chữ số a biết rằng 20 20 20a a a chia hết cho 7

b.Tím số tự nhiên có hai chữ số, sao cho nếu viết nó tiếp sau sô 1999 thì

ta được một số chia hết cho 37

 Hướng dẫn giải:

Bài 1:

a 1674.2012 = 18.93.201218

b 204.1997 = 51.4.199751

c 1002.444 = 37.12.100237

Bài 2:

a aaa= a.111a

b abab = 101.ab ab

c abcabc = 1001.abc abc

Bài 3:

a A = 1 + 3 + 32 + … + 311 = = 40.(1 + 34 + 38 )40

(Ta nhóm 4 hạng tử lại với nhau)

b B = 165 + 215 = (24)5 + 215 = 220 + 215 = 215.(25 + 1)

= 215.3333

c C = 5 + 52 + 53 + 54 + ….+ 58 = … = 30.(1 + 52 + 54 + 56)30

(Ta nhóm 2 hạng tử lại với nhau)

Bài 4:

a Ta có: abcabc = 1000.abc + abc = 1001.abc chia hết 7, 11, 13

b Ta có: abcdeg = 1000.abc + deg = 2001.deg chia hết cho 23, 29

Bài 5:

a Đặt n = 20 20 20a a a = 20 20 1000a a + 20a = (20 1000a + 20a).1000 + 20a

= 1001.20a.1000 + 20a, Theo bài ra n7, mà 10017, nên 20a 7

Ta có: 20a = 196 + (4 + a), do đó 20a 7 khi 4 + a 7 Vậy a = 3

c Gọi số phải tìm là ab Ta có:

1999ab37  1999000 + ab 37

 5402.37 + 26 + ab 37

 26 + ab 37

Vậy: ab 11; 48;85

2 Ph ươ ng pháp 2: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết

Chúng ta vận dụng các tính chất nêu ở mục 3 trong mục I ở phần trên đề tài

Bài tập 1: Chứng minh rằng :

a 45 + 99 + 180 chia hết cho 9

b 125 + 350 + 235 chia hết cho 5

c 5124 - 504 chia hết cho 4

d 9226 - 1435 chia hết cho 7

Giải :

a 459, 999, 1809 nên 45 + 99 + 1809(tính chất chia hết của tổng)

b 1255, 3505, 2359 nên 125 + 350 + 2355(t/c chia hết của tổng)

c 51244, 5044 nên 5124 - 504 (theo tính chất chia hết của một hiệu)

d 92267, 14357 nên 9226 - 1435 (theo tính chất chia hết của một hiệu)

Bài tập 2: Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3

Gi¶i: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2.

Tổng ba số tự nhiên liên tiếp là: a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2)

= (3a + 3) 3 (tính chất chia hết của tổng)

Bài tập 3 :

Chứng minh rằng với  n N thì 60n + 45 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 30

Giải :

6015  60n15; 4545  60n + 4515 (theo t/c chia hết của một tổng)

6030  60n30; 4530  60n + 4515 (theo t/c chia hết của một tổng)

Bài tập 4 : Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư

6 chia cho 9 dư 1

Giải :

Giả sử có số a N thoả mãn cả hai điều đã kiện trên thì

a = 15q1 + 63

a = 15q2 + 13

Bài tập 5 : Chứng minh (1005a + 2100b) chia hết cho 15 với mọi a, b N

Giải :

Vì 1005 chia hết cho 3 nên 1005.a chia hết cho 3 với mọi a

Vì 2100 chia hết cho 3 nên 2100.b chia hết cho 3 với mọi b

 (495a + 1035b) chia hết cho 9

Chứng minh tương tự ta có(1005a + 2100b) chia hết cho 3, 5 với mọi a, b

Mà (9, 5) = 1

 (495a + 1035b) chia hết cho 45

* Nhận xét cách giải năm bài tập trên:

Chúng ta vận dụng các tính chất:

* a1 m, a2 m, a3 m, …….,an m  (a1+a2+a3+ +an)m

* a m, b m  a + b  m, (a – b  m)

* a m, b m  a + bm, a – b m

* ab và ac mà (b;c) = 1 ab.c

 Các bài tập cùng dạng:

Bài 1: Cho tổng sau: 18 + 27 + 33 + x với x N Tìm điều kiện của x để

A chia hết cho 3, để A không chia hết cho 3

Bài 2: Tìm các số tự nhiên x để:

a (x +4)x (x ≠ 0)

b  x 1 2 7  x 1

c  x 2 2 4  x 2

 Mâu thuẩn Vậy: không có số tự nhiên nào thoả mãn đầu bài

Bài 3: Cho A = 2.4.6.8.10.12 + 40

Hỏi A có chia hết cho 6, cho 8, cho 5 không?

Bài 4:

a Cho: M = 1 +3 + 32+ 33 +…+ 3118+ 3119

Chứng tỏ rằng: M chia hết cho 13

b Tìm hai số tự nhiên a,b thoả mãn điều kiện:

a + 2b = 48 và UCLN(a,b) + 3 BCNN(a,b) = 114

Bài 5:

Cho n là số tự nhiên Tìm ƯCLN và BCNN của n và n + 2 ?

Bài 6: Cho a + 5b7(a, b N) Chứng minh rằng 10a + b7 Điều ngược lại có đúng hay không?

Bài 7:

Một số tự nhiên a và 5 lần số đó có tổng các chữ số như nhau Chứng minh rằng a9

Bài 8:

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia nó cho 17 thì dư 5; chia nó cho 19 thì dư 12

Bài 9:

Một số tự nhiên chia cho 7 thì dư 5, chia cho 13 thì dư 4 Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu

 Hướng dẫn giải:

Bài 1:

- Nếu x3 thì A3

- Nếu x3 thì A3

Bài 2:

a (x + 4)x (x ≠ 0)

xx, suy ra 4x Vậy x 1;2; 4

b  x 12 7  x 1

mà: (x-1)2

(x – 1) Suy ra 7(x – 1) Vậy x Ư(7) x 2;8

c Giải tương tự câu b

KQ: x 0; 2

Bài 3: Dùng tính chất

a m, b m  a - bm hoặc a m, b m  (a – b  m)

Ta có: A6, A8, A5

Bài 4:

a M = 1 +3 + 32+ +…+ 3118 + 3119

= (1 +3 + 32)+( 33+34+35)+…+(3117 +3118+ 3119 )

= (1 +3 + 32)+33(1 +3 + 32)+…+3117(1 +3 + 32)

= 13 + 33.13 + …+ 3117 13

= 13( 1+ 33 +…+ 3117) 13

b

UCLN(a,b) +

Vậy a = 12; b = 18 hoặc a = 36 ; b = 6

Bài 5:

Gọi ƯCLN(n; n+2) = d n d n ;  2 d

Nếu n chẵn thì n = 2; Nếu n lẻ thì d = 1

Nếu n chẵn: BCNN(n; n + 2) = .( 2)

2

n n 

(Hai số chẵn liên tiếp) Nếu n lẻ: BCNN(n; n+2) = n.(n+2) (Hai số lẻ liên tiếp)

Bài 6: Xét tổng:

(a + 5b) + 2(10a + b) = 21a + 7b7 mà a + 5b7 nên 2(10a + b)7

Vì: (2,7) = 1 nên (10a + b)7

Ngược lại: Nếu (10a + b)7 thì a + 5b7 Xét tổng

(a + 5b) + 2(10a + b) = 21a + 7b7 mà 2(10a + b)7 nên a + 5b7

Vậy ngược lại vẫn đúng

Bài 7:

Một số là a thì số đó là 5a Hai số 5a và a có tổng các chữ số như nhau nên chia cho 9 có cùng số dư, hiệu của chúng chai hết cho 9

5a – a 9 hay 4a9 Vì (4, 9) = 1 nên a9

Bài 8:

Gọi số phải tìm là a Ta có:

a = 17m + 5 = 19n +12 (m, n N)

Suy ra 17m = 19n + 7 hay 17m = 17n + (2n + 7)

Ta có 17m17, 17n17 nên 2n + 717 Vì a phải nhỏ nhất nên ta chon n nhỏ nhất sao cho 2n + 7`7, ta chọn n = 5 Vậy a = 107

Bài 9:

Gọi số đó là a Ta có a = 7m + 5 và a = 13n + 4 với m, n N Cộng thêm

9 vào a ta được:

a + 9 = 7m + 14 = 7(m + 2)7

a + 9 = 13n + 13 = 13(n + 1)13

a + 97 và a + 913 mà (7, 13) = 1 nên a + 97.13 hay a + 991

Vậy a = 91k – 9 = 91k – 91 + 82, a = 91(k – 1) + 82 do đó a chia cho 91

dư 82

3 Ph ươ ng pháp 3: Dùng dấu hiệu chia hết

Chúng ta vận dụng các tính chất nêu ở mục 2 trong mục I ở phần trên đề tài

Bài tập 1 : Điền chữ số vào dấu * để :

a 3*5 chia hết cho 3

b 7*2 chia hết cho 9

c *63* chai hết cho cả 2, 3, 5, 9

Giải :

a 3*53  3+ * + 53 8 + *3  * 1;4;7

b 7*29  7+ * + 29 9 + *9  * 0;9

c Xét a b63 2, 5    b 0

a    a     a  a

Bài tập 2

Chứng minh rằng :

a 1028 + 8 chia hết cho 72

b Thay các chữ số x, y bằng chữ số thích hợp để cho

275 5, 25,125x

Giải :

a Ta thấy 72 = 8.9

Số 1028 + 8 9 vì tổng các chữ số bằng 9

Số 1028 + 8 8 vì tận cùng bằng 008

Mà (8, 9) = 1 nên 1028 + 88.9 = 72

b Để 275 5x  x0,5 (áp dụng dấu hiệu chia hết cho 5)

Để 275 25x  x 0 (áp dụng dấu hiệu chia hết cho 25)

Để 275 125x  x 0 (áp dụng dấu hiệu chia hết cho 125)

Bài tập 3

Tìm các chữ số a, b sao cho :

a a – b = 4 và 7 5 1a b chia hết cho 3

b a - b = 6 và 4 7 1 5a  b chia hết cho 9

Giải:

a số 7 5 1a b 3  7 + a + 5 + b + 13  13 +a + b3  a + b3 dư 2(1)

Ta có a – b = 4 nên 4  a 9, 0  b 5

Suy ra 4   a b 14(2)

Mặt khác a – b là số chẵn, nên a + b là số chẵn(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra a + b 8;14

- Với a + b = 8; a - b =4  a = 6, b = 2

- Với a + b = 14; a - b =4  a = 9, b = 5

b 4 7 1 5a  b 9  512 + 10(a + b)9

 504 + 8 + 9(a + b) + a + b9  a + b chia 9 dư 1

Do a = b  a - b = 6 nên a + b = 10  a = 8, b = 2

* Nhận xét cách giải ba bài tập trên:

Các bài tập trên khi giải chúng ta đều vận dụng vào dấu hiệu chia hết một cách trực tiếp hoặc một cách gián tiếp như dấu hiệu chia hết cho 3, 5, 9, 8,

25, 125