Tạp chí Online dành cho cộng đồng những người yêu toán Epsilon Số 1, ngày 13 tháng 2 năm 2015. Ra đều đặn 2 tháng 1 lần, vào ngày 13 các tháng chẵn. Chủ biên: Trần Nam Dũng Biên tập viên: Võ Quốc Bá Cẩn Lê Phúc Lữ Chủ đề của Epsilon đa dạng nhưng chủ yếu là về toán và các vấn đề liên quan, mức độ thường thức phổ thông, truyền bá toán học.
Trang 4Ban biên tập Epsilon
Epsilon, tức là rất nhỏ, nhưng không bằng 0 Và nhiều epsiloncộng lại có thể trở thành những cái đáng kể Có thể là 1, là 2, cóthể là vô cùng Điều quan trọng là ta có biết cách kết hợp cácepsilon khác nhau lại hay không Epsilon là tờ báo của cộngđồng, dành cho cộng đồng Nó là một sự khởi đầu Còn tiếp nốinhư thế nào sẽ hoàn toàn phụ thuộc vào sự đón nhận, ủng hộ,trợ giúp, tham gia của cộng đồng Để có được sự xuất hiện đềuđặn, đúng hạn, Epsilon sẽ không có bất cứ một giới hạn về sốtrang của một kỳ, số trang của một bài, và cũng không giới hạnchủ đề, không bắt buộc phải có mục này, mục kia
Chủ đề của Epsilon đa dạng nhưng sẽ chủ yếu là về toán vàcác vấn đề liên quan, mức độ thường thức phổ thông, truyền
bá toán học
Epsilon luôn mong muốn nhận được sự đóng góp từ phía cácnhà toán học, các nhà khoa học, các thầy cô giáo, các bạn sinhviên, các bạn học sinh và tất cả những người yêu toán và nhữngngười yêu những người yêu toán Để nâng cao chất lượng tạpchí, chúng tôi xin được phép sẽ trao đổi với từng tác giả, cùngbiên tập lại các bài báo phù hợp
Số báo mà các bạn đang đọc là số 1 của tạp chí Trong số này,chúng tôi có tổng cộng 9 bài viết Bên cạnh các bài liên quanđến kỳ thi HSG cấp quốc gia (VMO) 2015 vừa qua, chúng tôicũng giới thiệu một số bài viết thường thức, lý thuyết Toán cổđiển và hiện đại
Epsilon sẽ cố gắng ra đều đặn 2 tháng 1 lần, vào các ngày 13của các tháng chẵn Chọn ngày 13 để thể hiện sự quyết tâm.Vạn sự khởi đầu nan Chúng ta hãy cố gắng khởi đầu Và cốgắng đi tiếp Đi nhiều người, bạn sẽ đi rất xa
Trang 6Bài toán chuyến xe bus
Lê Tạ Đăng Khoa 145
Nhận xét về kỳ thi VMO 2015 .149
Trang 8Trong bài viết nhỏ này, chúng tôi muốn giới thiệu trước hết
là các ứng dụng của số phức trong bài toán về đa thức,sau đó là ứng dụng của số phức và đa thức trong các bàitoán tổ hợp đếm
1 Số phức trong các bài toán về đa thức
Nghiệm của đa thức đóng vai trò quan trọng trong việc xácđịnh một đa thức Cụ thể nếu đa thức P(x) bậc n có n nghiệm
x1, x2, , xn thì P(x) có dạng P(x) = c(x − x1)(x − x2)· · · (x − xn).Tuy nhiên, nếu chỉ xét các nghiệm thực thì trong nhiều trườnghợp sẽ không có đủ số nghiệm
Hơn nữa, trong các bài toán phương trình hàm đa thức, nếu chỉxét các nghiệm thực thì lời giải sẽ là không hoàn chỉnh Định
lý cơ bản của đại số vì vậy đóng một vai trò hết sức quan trọngtrong dạng toán này Và ta sử dụng cách phát biểu đơn giảnnhất của nó: một đa thức với hệ số phức (thực) luôn có ít nhấtmột nghiệm phức Dưới đây ta xem xét một số áp dụng
Bài toán 1. Tìm tất cả các đa thức P(x) khác hằng sao cho:
P(x)· P(x + 1) = P(x2+ x + 1) (1)
Trang 9Lời giải. Giả sử α là nghiệm của P(x) = 0 Khi đó α2+ α + 1 cũng
là nghiệm Thay x bằng x − 1 trong (1), ta thấy rằng
P(x − 1)· P(x) = P(x2− x + 1)
Vì P(α) = 0 nên α2− α + 1cũng là nghiệm của P(x) = 0
Chọn α là nghiệm có mô-đun lớn nhất (nếu tồn tại vài nghiệmvới mô-đun lớn nhất, ta chọn một trong số các nghiệm đó) Cáchchọn α như vậy suy ra |α2 + α + 1| 6 |α| và |α2− α + 1| 6 |α| vì cả
α2+ α + 1và α2− α + 1đều là nghiệm của P(x) = 0
Q(x)· Q(x + 1) = Q(x2+ x + 1)
Nếu Q(x) = 0 lại có nghiệm thì lý luận trên đây suy ra nghiệm
có mô-đun lớn nhất của nó phải là ±i Điều này không thể xảy
ra vì x2+ 1không chia hết Q(x) Ta suy ra rằng Q(x) là một hằng
số, giả sử là c Thay vào phương trình của Q, ta được c = 1 Nhưvậy lớp các đa thức thoả mãn phương trình (1) là P(x) = (x2+1)mvới m là một số nguyên dương nào đó
Bài toán 2. Tìm tất cả các đa thức P(x) khác hằng sao cho:
P(x)· P(x + 1) = P(x2
)
Trang 10x = α − 1, ta suy ra (α − 1)2 cũng là nghiệm của P(x) Bằng các
lý luận tương tự, ta cũng được
(α − 1)2
= 0 hoặc (α − 1)2
= 1.Giả sử rằng |α| = 1 và ... đềuphải có bậc 2n
Chú ý từ kết toán dễ dàng suy kết
đề thi học sinh giỏi Toán Quốc gia năm học 2013-2014:
Bài toán (VMO, 2014). Cho đa thức P(x) = (x2−... 1, 5} Ta cần đếm số chia hết cho
Chú ý a1· · · aKchia hết cho a1+· · ·+aKchia hếtcho 3, ta đưa toán việc đếm số (a1,... chia hết cho 11?
Bài toán 7. Cho ba số nguyên dương m, n, p, m >
và n + 2≡ (mod m) Tìm số (x1, x2, , xp)gồm p số nguyêndương cho tổng
