Đồng điều kỳ dị và ứng dụng vào không gian Euclid

Nói một cách vắn tắt, đồng điều kỳ dị được xây dựng bằng cáchlấy các ánh xạ liên tục từ n-đơn hình tiêu chuẩn đến một không gian tôpô X, rồi xét nhóm Aben tự do sinh bởi tất cả các ánh x

Nói một cách vắn tắt, đồng điều kỳ dị được xây dựng bằng cách

lấy các ánh xạ liên tục từ n-đơn hình tiêu chuẩn đến một không gian tôpô

X, rồi xét nhóm Aben tự do sinh bởi tất cả các ánh xạ này, gọi là

dây chuyền kỳ dị Toán tử bờ trên một đơn hình cảm sinh một phứcdây chuyền kỳ dị Khi đó đồng điều kỳ dị là đồng điều của phức dây chuyềnnày Các nhóm đồng điều nhận được là như nhau đối với mọi không giantương đương đồng luân với nhau, đó là lý do cho việc nghiên cứu chúng.Việc xây dựng này có thể áp dụng cho mọi không gian tôpô, và vì vậyđồng điều kỳ dị có thể biểu diễn theo lý thuyết phạm trù, trong đó

nhóm đồng điều trở thành một hàm tử từ phạm trù các không gian tôpôđến phạm trù các nhóm Aben phân bậc

Từ thế kỷ 20 đến nay, có nhiều bài toán trong đại số, hình học và tôpô

đã được giải quyết trọn vẹn bởi các công cụ của tôpô đại số, trong đóvai trò của lý thuyết đồng điều nói chung và đồng điều kỳ dị nói riêng

là rất quan trọng

Do tính thời sự và thể hiện công cụ đắc lực của lý thuyết đồng điềucùng những ứng dụng mang tính hấp dẫn của nó, tôi quyết định chọn

đề tài với chủ đề "Đồng điều kỳ dị và ứng dụng vào không gian Euclid "

để tiến hành nghiên cứu Tôi hy vọng bước đầu tìm hiểu sẽ giúp chobản thân sự đam mê cho nghiên cứu dài lâu và hy vọng tạo được

một tài liệu tham khảo tốt cho những người bắt đầu tìm hiểu về đồng điều

kỳ dị và hy vọng tìm ra được một số ví dụ minh hoạ đặc sắc

nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này

2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu đồng điều phức hình, đồng điều

kỳ dị và ứng dụng chúng vào không gian Euclid

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lý thuyết đồng điều kỳ dị Phạm vinghiên cứu của đề tài là lý thuyết đồng điều, lý thuyết phạm trù hàm tử

4 Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứuliên quan đến lý thuyết đồng điều, đặc biệt là đồng điều kỳ dị

và các ứng dụng của chúng

• Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi

các kết quả đang nghiên cứu

5 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm 4 phần : phụ lục, mở đầu, nội dung và kết luận

Phần nội dung được chia làm 3 chương:

• Chương 1: Đồng điều phức hình

Chương 1 giới thiệu về phức hình, đồng cấu nối, dãy khớp đồng điều,đồng luân dây chuyền và phức hình tự do

• Chương 2: Đồng điều kỳ dị.

Chương 2 trình bày các khái niệm và kết quả quan trọng về đơn hìnhtiêu chuẩn, phức hình kỳ dị, đồng điều kỳ dị, bất biến qua đồng luân,phân nhỏ trọng tâm và dãy Mayer-Vietoris

• Chương 3: Ứng dụng vào không gian Euclid

Chương 3 đề cập đến ứng dụng vào không gian Euclid

Cụ thể là: đồng điều của các ngăn và mặt cầu, đồng điều địa phương,bậc của một ánh xạ, các tính chất đồng điều của co rút lân cậntrong Rn và co rút lân cận Euclid

Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như đưa ra

một số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cậnvấn đề được đề cập

Chương 1

ĐỒNG ĐIỀU PHỨC HÌNH

Các khái niệm và các kết quả trong chương này có thể tìm thấy

từng phần hoặc tất cả trong các tài liệu [1], [2] và [3]

các nhóm Aben Kn và các đồng cấu ∂n, được gọi là các toán tử biên

(hay toán tử bờ) thỏa mãn ∂n∂n+1 = 0, với mọi số nguyên n

Ta gọi :

• Các phần tử của Kn là các n - dây chuyền (hay n - xích)

• Các phần tử của ZnK = ker (∂n) = ∂n−1(0) là các n - chu trình

• Các phần tử của BnK = im(∂n+1) = ∂n+1(Kn+1) là các n - biên

Vì điều kiện ∂n∂n+1 = 0 nên BnK ⊂ ZnK Do đó ta có nhóm thương

HnK = ZnK/BnK, gọi là nhóm đồng điều thứ n của phức hình K,

các phần tử của nó được gọi là các lớp đồng điều n - chiều

Theo định nghĩa, lớp đồng điều là lớp tương đương các chu trình,hai chu trình zn, zn0 ∈ ZnK được gọi là tương đương khi và chỉ khi

zn − zn0 ∈ BnK Lớp đồng điều của chu trình z được ký hiệu là [z]

Cho các phức hình K, K0, ta định nghĩa ánh xạ dây chuyền

f : K0 −→ K là một dãy các đồng cấu fn : Kn0 −→ Kn sao cho

∂nfn = fn−1∂n0 với mọi số nguyên n

Phép hợp thành f f0 : K00 −→ K của hai ánh xạ dây chuyền

K00 f

0

−→ K0 −→ K được định nghĩa (f ff 0)n = fnfn0 Nó cũng là

một ánh xạ dây chuyền Các phức hình và các ánh xạ dây chuyền

tạo nên một phạm trù, được ký hiệu ∂AG

Ta dễ dàng thấy được rằng, ánh xạ dây chuyền f là một đẳng xạ

trong phạm trù ∂AG khi và chỉ khi mỗi fn là một đẳng cấu

Ví dụ 1.1 1 Một phức hình

· · · ←−Kn−1 ∂n

←− Kn ←− K∂n+1 n+1←− · · ·gọi là khớp nếu và chỉ nếu ker (∂n) = im(∂n+1) với mọi số nguyên n Do đó,một phức hình K là khớp nếu và chỉ nếu HnK = 0 với mọi số nguyên n.Như vậy, có thể xem đồng điều như một thước đo cho sự thiếu tính khớp.Một phức hình khớp thường được gọi là acyclic (tức là nó không cóchu trình nào ngoài biên)

2 Một dãy G = {Gn}n∈Z các nhóm (Aben) được gọi là nhóm (Aben)phân bậc Chẳng hạn, ta thấy dãy ZK = {ZnK} các nhóm chu trình,

BK = {BnK} các nhóm biên, hoặc dãy HK = {HnK} các nhóm

đồng điều của một phức hình là các nhóm Aben phân bậc Thật ra Z, B, H

là các hàm tử hiệp biến từ phạm trù ∂AG vào phạm trù GAG các nhómAben phân bậc, các cấu xạ ϕ : G −→ G0 của phạm trù này là các dãyđồng cấu thông thường ϕn : Gn −→ G0n

Mỗi phức hình K là một nhóm Aben phân bậc với cấu trúc bổ sung bởitoán tử biên ∂

Mỗi nhóm Aben phân bậc G có thể trở thành một phức hình với ∂ = 0.Điều này xác định một phép nhúng GAG ⊂ ∂AG Cụ thể, ta có thể xem

ZK, BK, HK như các phức hình với các toán tử biên triệt tiêu

Nếu G ∈GAG thì ZG = G, BG = 0, HG = G

Nếu A là một nhóm Aben và k ∈ Z, ta có nhóm Aben phân bậc, ký hiệu(A, k) như sau: (A, k)n = A nếu n = k, và bằng 0 nếu n 6= k, tức là (A, k)chỉ tập trung vào số chiều k ,và bằng A ở đó Điều này xác định được mộtphép nhúng AG ⊂ GAG

3 Nếu Kλ

λ∈Λ là một họ các phức hình, ta định nghĩatổng trực tiếp ⊕λKλ ∈ ∂AG như sau:

Tương tự với tích trực tiếp Q

Nói chung, ta sẽ chuyển các khái niệm từ các nhóm Aben AG

vào các phức hình ∂AG bằng cách áp dụng theo từng chiều

Các khái niệm khác như: hạt nhân, đối hạt nhân, thương, đơn cấu,

dãy khớp phép chuyển là hoàn toàn tương tự

4 Nón ánh xạ

Đây là một khái niệm kỹ thuật hữu ích

Nếu f : K −→ L là một ánh xạ dây chuyền, ta định nghĩa một

phức hình mới Cf , gọi là nón ánh xạ như sau:

(Cf )n = Ln⊕ Kn−1, ∂Cf (y, x) = ∂Ly + f x, −∂Kx
(1.4)

Kiểm tra được ∂Cf∂Cf = 0 :

∂∂ (y, x) = ∂ (∂y + f x, −∂x) = (∂∂y + ∂f x − f ∂x, ∂∂x)

= (0, 0) Nếu L = 0, khi đó f = 0 và lúc này ta ký hiệu Cf = K+, được gọi làtreo của K, với : (K+)n = Kn−1, ∂K+ = −∂K Rõ ràng HnK+ = Hn−1K,thực ra là H (K+) = (HK)+

Ta có một dãy khớp ngắn :

0 −→ L−→ Cfι −→ Kκ + −→ 0 (1.5)

các ánh xạ dây chuyền, được cho bởi : ιy = (y, 0), κ (y, x) = x

Rõ ràng, dãy khớp ngắn trên chẻ ra tại mỗi số chiều, nhưng nhìn chung

sẽ không có ánh xạ dây chuyền nào chẻ ra (chẳng hạn như

1 ZoHom (K, L) bao gồm tất cả các ánh xạ dây chuyền từ K −→ L

2 Nếu g : L −→ L0 là một ánh xạ dây chuyền thì

Hom (K, g) : Hom (K, L) −→ Hom (K, L0) , {f }v 7→ {gfv} ,

cũng là một ánh xạ dây chuyền và nón ánh xạ của nó

CHom (K, g) ∼= Hom (K, Cg) Tương tự cho ánh xạ dây chuyền K0 −→ K

1.2 Đồng cấu nối, dãy đồng điều khớp

Ví dụ 1.2 Cho f : K −→ L là một ánh xạ dây chuyền, thì hạt nhânker(f ) là phức hình con của K, ảnh im(f ) là phức hình con của L,

với (ker (f ))n = ker (fn), (im (f ))n = im(fn)

Đồng thời theo định lý đồng cấu ta có K/ ker (f ) = im(f )

Nhận xét 1.2 Dãy 0 −→ K0 −→ Ki −→ K/Kp 0 −→ 0 các ánh xạ

dây chuyền trong Định nghĩa 1.2 là dãy khớp

Tức là với mỗi số nguyên n, dãy

0 −→ Kn0 −→ Ki n −→ (K/Kp 0)n −→ 0 (1.7)

là dãy khớp

Ngược lại, nếu dãy

0 −→ K0 −→ Ki −→ Kp 00 −→ 0 (1.8)

là một dãy khớp ngắn các ánh xạ dây chuyền tại mỗi chiều thì K0 ∼= i (K0)

và K00 ∼= K/i (K0), do đó sai khác phép đẳng cấu thì dãy khớp ngắn của(1.8) đều có dạng (1.7)

Mệnh đề 1.1 Nếu 0 −→ K0 −→ Ki −→ Kp 00 −→ 0 là một dãy khớp ngắncác ánh xạ dây chuyền thì dãy

HK0 −→ HKi∗ −→ HKp∗ 00cũng là một dãy khớp

Chứng minh Ta phải chỉ ra được im(i∗) = ker(p∗)

Do pi = 0, ta có p∗i∗ = (pi)∗ = 0∗ = 0, do đó im(i∗) ⊂ ker(p∗)

Ngược lại, cho [z] ∈ ker(p∗), tức là pz = ∂00x00 với x00 nào đó thuộc K00.Chọn x ∈ p−1(x00) Khi đó p (z − ∂x) = ∂00x00 − ∂00px = ∂00x00 − ∂00x00 = 0,

do đó z − ∂x = iz0 với z0 nào đó thuộc K0

Hơn nữa, i∂0z0 = ∂iz0 = ∂ (z − ∂x) = 0, do đó ∂0z0 = 0 vì i là đơn cấu.Như vậy, z0 là một chu trình, và i∗[z0] = [iz0] = [z − ∂x] = [z], tức là[z] ∈ im(i∗)

Tuy nhiên, nói chung thì i∗ không nhất thiết là một đơn cấu và

p∗ không nhất thiết là toàn cấu Một ví dụ minh họa rõ điều này đó là khi

ta xét dãy

0 −→ (Z, 0)−→ C (Z, 0)i=ι −→ (Z, 1) −→ 0p=κcủa (1.6) thì người ta đã chỉ ra rằng H C (Z, 0) = 0, ker(i∗) = (Z, 0),

H (Z, 1) = (Z, 1) 6= im(p∗)

Định nghĩa 1.3 Cho dãy khớp các ánh xạ dây chuyền như sau

0 −→ K0 −→ Ki −→ Kp 00 −→ 0 (1.9)

Xét các đồng cấu Hn−1K0 ←− p∂ −1(ZnK00) −→ Hp nK00, với px = [px](lưu ý rằng px ∈ ZnK00) và ∂x = i−1∂x

Định nghĩa của ∂ được xác định vì p∂x = ∂00px = 0, kéo theo ∂x ∈ im(i)

và ∂0 i−1∂x
= i−1∂∂x = 0 Rõ ràng p = [ ] ◦ p là một toàn cấu

Ta cũng thấy được ∂ | ker (p) = 0 Thật vậy, giả sử cho x ∈ ker (p),tức là px = 0, suy ra px = ∂00py = p∂y với y nào đó thuộc K

Vì ker (p) = im(i), nên x − ∂y = iy0 với y0 nào đó thuộc K0,

do đó i−1∂x = i−1∂iy0 = ∂0i−1iy0 = ∂0y0, suy ra i−1∂x = 0, hay ∂x = 0

Từ ∂, p được xác định như trên, chuyển sang các nhóm thương, ta cóđược một đồng cấu được xác định duy nhất

∂∗ = ∂ p−1 : HnK00 −→ Hn−1K0, ∂∗[px] = i−1∂x ,

gọi là đồng cấu nối của dãy (1.9)

Mệnh đề 1.2 a)Tính tự nhiên: Nếu

b)Tính khớp: Dãy

· · · ∂∗

−→ HnK0 −→ Hi∗ nK −→ Hp∗ nK00 −→ H∂∗ n−1K0 −→ Hi∗ n−1K −→ · · ·p∗

gọi là dãy đồng điều của (1.9), là khớp

Chứng minh (a) Tính tự nhiên được suy ra từ các bước hình thànhđịnh nghĩa của ∂∗ Cụ thể :

f∗0∂∗[px] = f∗0i−1∂x = f0i−1∂x = j−1f ∂x = j−1∂f x

= ∂∗[qf x] = ∂∗[f00px] = ∂∗f∗00[px] (b) Tính khớp tại HK đã được chỉ ra ở Mệnh đề 1.1, bây giờ

ta sẽ chứng minh tính khớp tại HK0 và HK00 bằng cách chứng minh

đủ 4 phép bao hàm:

• im(∂∗) ⊂ ker(i∗):

Cho [px] ∈ HK00 Khi đó i∗∂∗[px] = i∗i−1∂x = ii−1∂x = [∂x] = 0

• ker(i∗) ⊂ im(∂∗):

Cho [z0] ∈ HK0 và i∗[z0] = 0 Khi đó iz0 = ∂x, với x nào đó thuộc K

và ∂00px = p∂x = piz0 = 0 Như vậy [z0] = i−1∂x = ∂∗[px], tức là[z0] ∈ im(∂∗)

• im(p∗) ⊂ ker(∂∗):

Nếu [z] ∈ HK thì ∂∗p∗[z] = ∂∗[pz] = i−1∂z = 0 bởi vì ∂z = 0

• ker(∂∗) ⊂ im(p∗):

Cho [px] ∈ HK00 và 0 = ∂∗[px] = i−1∂x Khi đó i−1∂x = ∂0x0,với x0 nào đó thuộc K0, như vậy ∂ (x − ix0) = ∂x − i∂0x0 = 0,

và p∗[x − ix0] = [px]

là một biều đồ giao hoán các ánh xạ dây chuyền với các dòng khớp

và nếu hai trong ba mũi tên thẳng đứng cảm sinh đẳng cấu đồng điềuthì cái còn lại cũng vậy

Chứng minh Mỗi mũi tên thẳng đứng cảm sinh một ánh xạ của các dãyđồng điều khớp Theo Bổ đề Năm, hai trong ba các ánh xạ đó là ánh xạđẳng cấu thì cái còn lại cũng vậy (Bổ đề Năm có thể tham khảo trong[2])

Định nghĩa 1.4 Một dãy khớp các ánh xạ dây chuyền

0 −→ K0 −→ Ki −→ Kp 00 −→ 0 được gọi là trực tiếp nếu nó chẻ ra tại mỗichiều Điều này có nghĩa là tồn tại các ánh xạ Kn0 ←− Kjn n ←− Kqn n00, n ∈ Zsao cho ji = id, pq = id, ij + qp = id

Với định nghĩa này, thì đồng cấu nối HK00 −→ HK0 có cách mô tảhợp lý khác như sau

Mệnh đề 1.3 Dãy các ánh xạ dn = jn−1∂qn : Kn00 −→ Kn−10 = (K0)+n

là một ánh xạ dây chuyền d : K00 −→ (K0)+, và đồng cấu cảm sinh

d∗ : HnK00 −→ Hn(K0)+ = Hn−1K0 trùng với đồng cấu nối

Như vậy ∂0d = −d∂00 bởi vì i là một đơn cấu, do đó d : K00 −→ (K0)+

là một ánh xạ dây chuyền Đồng thời ta có, nếu z00 ∈ ZK00 thì

Hệ quả 1.3 Nếu f : K −→ L là một ánh xạ dây chuyền thì

Hf : HK −→ HL là một đẳng cấu khi và chỉ khi nón ánh xạ Cf là acyclic,tức là H (Cf ) = 0

Chứng minh Theo Hệ quả 1.2 thì Hf : HK −→ HL trùng với

đồng cấu nối của dãy 0 −→ L −→ Cfi −→ Kp + −→ 0 Theo Mệnh đề 1.2,

ta có được dãy đồng điều tương ứng của dãy (1.5) như sau :

Do vậy, dãy đồng điều khớp có dạng

Hn+1K −→ B0 nK −→ Zjn nK −→ H[ ] nK −→ B0 n−1K,tức là nó trùng với dãy khớp 0 −→ BK −→ ZK⊂ −→ HK −→ 0.[ ]

Nhận xét 1.3 Nón CK của mỗi phức hình K là acyclic, HCK = 0

Trong phần Nhận xét 1.1, các ánh xạ dây chuyền f : K −→ L có thểđược xem như chu trình không của Hom (K, L) Sẽ có nghĩa như thế nàokhi cho hai ánh xạ dây chuyền f, g : K −→ L là quan hệ đồng luân trong

ZoHom (K, L)? Có nghĩa là tồn tại s ∈ Hom (K, L)1 sao cho ∂ (s) = f − g.Khái niệm này được gọi là đồng luân dây chuyền, một khái niệm

rất quan trọng

Định nghĩa 1.5 Cho hai ánh xạ dây chuyền f, g : K −→ K0

Một đồng luân s giữa f và g, được ký hiệu s : f ' g, là một dãy

các đồng cấu sn : Kn −→ Kn+10 , sao cho ∂n+10 sn+ sn−1∂n = fn− gn,

với mọi n ∈ Z

Ta viết f ' g và nói f và g là đồng luân nếu tồn tại s như vậy

Mệnh đề 1.4 Quan hệ đồng luân ' là một quan hệ tương đương

Lớp tương đương của f : K −→ K0, được ký hiệu [f ], và được gọi là

Chứng minh Nếu s : f ' g thì f0s : f0f ' f0g bởi vì

∂00(f0s) + (f0s) ∂ = f0(∂0s + s∂) = f0(f − g) = f0f − f0g Tương tự, nếu

s0 : f0 ' g0 thì s0g : f0g ' g0g, do đó theo tính bắc cầu thì f0f ' g0g.Như vậy từ Mệnh đề 1.5 ta có thể xây dựng luật hợp thành các lớpđồng luân như sau: [f0] ◦ [f ] = [f0 ◦ f ] Điều này xác định được một

phạm trù mớiH∂G Các vật của nó là các phức hình trong ∂AG, tuy nhiêncác cấu xạ của nó lại là các lớp đồng luân của các ánh xạ dây chuyền.Nếu ta gán cho mỗi ánh xạ dây chuyền f : K −→ K0 một lớp đồng luân[f ] của nó thì ta được hàm tử hiệp biến π : ∂AG −→ H∂G

Định nghĩa 1.6 Mỗi ánh xạ f : K −→ K0 mà lớp [f ] của nó là mộttương đương trong H∂G được gọi là một tương đương đồng luân và K, K0

được gọi là tương đương đồng luân với nhau nếu tồn tại một tương đươngđồng luân f như vậy, ta viết K ' K0 Điều này có nghĩa là tồn tại cácánh xạ dây chuyền K −→ Kf 0 f

−

−→ K sao cho f−f ' idK, f f− ' idK0.Ánh xạ dây chuyền f− được gọi là nghịch đảo đồng luân của f

Mệnh đề 1.6 Nếu f ' g : K −→ K0 thì f∗ = g∗ : HK −→ HK0, tức làcác ánh xạ dây chuyền đồng luân cảm sinh các đồng cấu đồng điều

Định nghĩa 1.7 Một phức hình K mà có idK ' 0, hay K ' 0,

thì được gọi là co rút được

Rõ ràng K ' 0 kéo theo HK = 0 (do Hệ quả 1.4) Mệnh đề sau đâynhư một điều ngược lại

Mệnh đề 1.7 Cho K là một phức hình acyclic, tức là HK = 0 Khi đó

K ' 0 khi và chỉ khi với mọi n, ZnK là một hạng tử trực tiếp của Kn.Chứng minh Giả sử s : idK ' 0, tức là ∂s + s∂ = idK Do ∂ | BK = 0nên kéo theo ∂s | BK = idBK Do đó, dãy khớp

0 −→ ZK −→ K⊂ −→ BK −→ 0∂

chẻ ra, tức là ZK là một hạng tử trực tiếp của K

Ngược lại, giả sử t : BK −→ K với ∂t = id, tức là

K = ZK ⊕ tBK = BK ⊕ tBK Ta định nghĩa một ánh xạ s như sau

Mà theo giả thiết thì nón ánh xạ f : K −→ L co rút được, tức là

II Đặt T : κ ' 0 Suy ra ∂T + T ∂ = κ, hay

∂T (y, x) + T ∂ (y, x) = κ (y, x) , ∀ (y, x) ∈ Cf Gọi h : L −→ K là ánh xạ,với h = {hn : Ln −→ Kn} và η : K −→ K, với η = {ηn : Kn −→ Kn+1}sao cho T (y, x) = hy + ηx, ∀ (y, x) ∈ Cf

Nhắc lại rằng ∂K+ = −∂K Từ đó ta có

−∂hy + h∂y − ∂ηx − η∂x + hf x = x,tức là ∂h = h∂ và ∂η + η∂ = hf − id Vậy h là một ánh xạ dây chuyền vàthỏa mãn hf ' id Như vậy, f có g là nghịch đảo đồng luân phải và có h

là nghịch đảo đồng luân trái Đồng thời h ' h (f g) = hf (g) ' g Vậy f làmột tương đương đồng luân

Nhận xét 1.4 1 Nón CK của mỗi phức hình K là co rút được, CK ' 0

2 Nếu (E) : 0 −→ K0 −→ Ki −→ Kp 00 −→ 0 là một dãy khớp

các ánh xạ dây chuyền, với ánh xạ ρ : Ci −→ K00 được xác định bởi

ρ (x, x0) = px, thì ρ là một ánh xạ dây chuyền, ρ∗ : H (Ci) ∼= HK00,

Còn với ánh xạ σ : (K0)+ −→ Cp được xác định bởi σ (x0) = (0, ix0)

sẽ có kết quả đối ngẫu với kết quả trên Hơn nữa nếu dãy (E) là trực tiếpthì ρ và σ là các tương đương đồng luân

3 Cho 0 −→ K0 −→ Ki −→ Kp 00 −→ 0 là một dãy khớp các ánh xạdây chuyền

(a) Nếu s : i ' 0 thì ps là một ánh xạ dây chuyền K0+ −→ K00,

5 Điều ngược lại của Mệnh đề 1.8 cũng đúng

6 Nếu (E) : 0 −→ K0 −→ K −→ K00 −→ 0 là khớp và trực tiếp

thì 0 −→ Hom (L, K0) −→ Hom (L, K) −→ Hom (L, K00) −→ 0 cũng làdãy khớp và trực tiếp với mọi phức hình L

Nếu L = K00 thì idK00 ∈ ZoHom (K00, K00) và ∂∗[idK 00] là một lớp

đồng luân của các ánh xạ K00 −→ (K0)+ Lúc này đồng cấu cảm sinh

HK00 −→ H (K0)+ trùng với đồng cấu nối của dãy (E)

Chứng minh Các nhóm con của các nhóm tự do là tự do (theo I.2.23 của[3]) Do đó BK ⊂ K là tự do Do đó dãy khớp

0 −→ ZK −→ K −→ BK −→ 0 chẻ ra (theo I.2.23 của [3]), tức là ZK làmột hạng tử trực tiếp của K

Mệnh đề 1.10 Nếu f : K −→ L là một ánh xạ dây chuyền giữa cácphức hình tự do sao cho f∗ : HK ∼= HL thì f là một tương đương

tự do nên theo Mệnh đề 1.9 thì ZCf là một số hạng trực tiếp của Cf Định nghĩa 1.9 Một phức hình K được gọi là ngắn nếu tồn tại

một số nguyên n sao cho Ki = 0 với i 6= n, n + 1 và ∂n+1 : Kn+1 −→ Kn

là đơn cấu (tức là một phức hình được gọi là ngắn nếu nó được tập trungchủ yếu vào một số chiều cụ thể n) Hơn nữa, nếu Kn ∼= Z thì phức hình

K được gọi là sơ cấp

Mệnh đề 1.11 Mỗi phức hình tự do K là một tổng trực tiếp của các phứchình (tự do) ngắn Hơn nữa nếu mỗi Km là hữu hạn sinh thì K

là một tổng trực tiếp các phức hình sơ cấp

Chứng minh Từ Mệnh đề 1.9, ta có thể viết Km như một tổng trực tiếp

Km = ZmK ⊕ Zm⊥ Đặt Ki(m) = 0, với i 6= m, m + 1, Km(m) = ZmK,

Km+1(m) = Zm+1⊥ Rõ ràng, K(m)là một phức hình con, ngắn và K = ⊕mK(m)

Nếu Km là hữu hạn sinh thì ZmK và Zm⊥ cũng vậy Hơn nữa, tồn tại các

cơ sở {am1 , , amr } của ZmK và bm+1

1 , , bm+1s của Z⊥

m+1, s ≤ rsao cho ∂m+1bm+1i = τimami với τim ∈ Z, i ≤ s (xem Zm+1⊥ như nhóm concủa Zm qua ∂m+1 và áp dụng I.2.25 của [3])

Cho K(m,i) ⊂ K là phức hình con sinh bởi cặp am

i , bm+1i
nếu i ≤ s và bởiphần tử ami nếu i > s Khi đó K(m,i) là sơ cấp và K = ⊕i,mK(m,i)

Bổ đề 1.1 Mỗi biểu đồ giao hoán

Tức là, mỗi đồng cấu ϕ : HK −→ HL của đồng điều của

một phức hình tự do K có thể được biểu diễn bởi một ánh xạ dây chuyền

Chứng minh Cho K = ZK ⊕ Z⊥ như trong Mệnh đề 1.11 Theo Bổ đề1.1 ta có thể tìm thấy fnZ đầu tiên, sau đó là fn+1⊥ mà nó làm cho biểu đồ

Chương 2

ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ

Các khái niệm và các kết quả trong chương này có thể tìm thấy

trong các tài liệu [3] và [5]

Định nghĩa 2.1 Một q - đơn hình tiêu chuẩn ∆q là một tập hợp bao gồmtất cả các điểm x ∈ Rq+1 sao cho

thay thế (a) bởi (a’) 0 ≤ xi, i = 0, 1, , q

Vì vậy, ∆q là giao của siêu phẳng Pq

i=0xi = 1 với "phần tư thứ nhất"{xi ≥ 0} Đặc biệt, ∆q lồi (tức là đoạn bất kỳ tạo bởi hai điểm nằm trong

∆q thì nằm trong ∆q )

Ta có ∆0 là một điểm duy nhất, ∆1 là một đoạn thẳng (Hình 2.1),

∆2 là tam giác đều (Hình 2.2), ∆3 là tứ diện đều

Các điểm đơn vị ej = (0, , 0, 1, 0, , 0) của Rq+1 nằm trong ∆q,

chúng được gọi là các đỉnh của ∆q

Hình 2.1 Hình 2.2.

Định nghĩa 2.2 Ánh xạ f : ∆q −→ Rn

(hoặc vào tập con của Rn)được gọi là tuyến tính nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính (theo nghĩathông thường) F : Rq+1 −→ Rn sao cho F | ∆q = f

Nếu P0, P1, , Pq ∈ Rn là các điểm tùy ý thì tồn tại duy nhất

một ánh xạ tuyến tính f : ∆q −→ Rn thỏa f ei
= Pi, cụ thể là

f (x) = Pq

i=0xiPi Ảnh f (∆q) bao gồm tất cả các điểm P = Pq

i=0xiPicủa Rn với 0 ≤ xi ≤ 1,P xi = 1 Như vậy, ánh xạ tuyến tính của ∆qđược hoàn toàn xác định thông qua các giá trị của nó tại các đỉnh

và các giá trị này có thể được quy định

Chứng minh Ở cả hai vế ta đều có kết quả

ei 7→ ei với i < k, ei 7→ ei+1 với k ≤ i < j − 1,

ei 7→ ei+2 với i ≥ j − 1

Nhận xét 2.1 Nếu F : Rq+1 −→ Rn

là một ánh xạ tuyến tính và K ⊂ Rn

là một tập lồi sao cho F ei
∈ K, i = 0, 1, , q, thì F (∆q) ⊂ K Đặc biệt,

∆q là tập lồi nhỏ nhất chứa ei với tất cả i (bao lồi của ei )

và dây chuyền c khi hệ số khác không duy nhất là cσ = 1

Chứng minh Với đơn hình kỳ dị σ, ta có

Trong tổng thứ hai ta thay k bởi j và j bởi k + 1 thì các số hạng

tương ứng của hai tổng triệt tiêu nhau Vì vậy ∂∂ triệt tiêu trên cơ sở {σ},

do đó ∂∂ = 0

Nếu f : X −→ Y là một ánh xạ liên tục và σ : ∆q −→ X là

một đơn hình kỳ dị của X thì hợp thành f σ : ∆q −→ Y là một đơn hình

kỳ dị trong Y và ta có được một đồng cấu

Sqf : SqX −→ SqY, (Sqf ) (σ) = f σ

Mệnh đề 2.2 Dãy Sqf : SqX −→ SqY, q ∈ Z là một ánh xạ dây chuyền,

Sf : SX −→ SY Thay vì Sf ta thường viết f : SX −→ SY

Chứng minh Ta cần chứng minh ∂ (Sqf ) = (Sq−1f ) ∂, hay ∂ (f σ) = f (∂σ),với σ ∈ SqX



= Pq j=0(−1)jf σεjq

Do (f σ) εjq = f σεjq
, với j = 0, 1, , q Do đó ∂ (f σ) = f (∂σ)

Vậy Sf : SX −→ SY là một ánh xạ dây chuyền

Mệnh đề 2.3 S (gf ) = (Sg) (Sf ) , S (idX) = idSX (với g : Y −→ Z),tức là S là một hàm tử từ phạm trù các không gian tôpô vào phạm trùcác phức hình, S :Top −→ ∂AG

Chú ý 2.1 Bây giờ ta sẽ khái quát những khái niệm trên vào

cặp không gian tôpô (X, A)

là một dãy khớp các ánh xạ dây chuyền Dãy khớp này chẻ ra tại

mỗi số chiều, SqX = SqA ⊕ Sq(X, A) Thật vậy cơ sở {σ : ∆q −→ X}của SqX phân ra làm hai phần: những đơn hình nằm trong A và nhữngđơn hình không nằm trong A Theo như trên thì phân thành một cơ sởcho SqA, và còn lại là cho Sq(X, A) Lưu ý rằng S (X, ∅) = SX

Cho hai cặp không gian (X, A) và (Y, B), ánh xạ cặp

f : (X, A) −→ (Y, B) cảm sinh biểu đồ giao hoán các ánh xạ dây chuyềnvới các dòng là khớp

2.3 Đồng điều kỳ dị

Định nghĩa 2.4 Các nhóm đồng điều kỳ dị của không gian X (tương ứngcủa cặp không gian (X, A)) được định nghĩa chính là các nhóm đồng điềucủa các phức hình kỳ dị SX (tương ứng S (X, A))

Ta viết HX = HSX, H (X, A) = HS (X, A)

Các nhóm H (X, A) còn được gọi là nhóm đồng điều tương đối của

X mod A để phân biệt nhóm đồng điều tuyệt đối SX Ta nói z ∈ SX

là một chu trình mod A nếu ∂z ∈ SA (lúc này ta viết z ∈ Z (X, A)),còn z ∈ SX được gọi là biên mod A nếu z = ∂x + y với x ∈ SX và y ∈ SA(lúc này ta viết z ∈ B (X, A)) Nhóm đồng điều tương đối Hq(X, A) thìđẳng cấu với nhóm thương tạo bởi nhóm các q - chu trình mod A chia chonhóm các q - biên mod A, H (X, A) ∼= Z (X, A)

B (X, A).Nếu f : (X, A) −→ (Y, B) là một ánh xạ cặp của các cặp không gian thì

Sf : S (X, A) −→ S (Y, B) cảm sinh đồng cấu

Hf = f∗ : H (X, A) −→ H (Y, B) Như vậy đồng điều kỳ dị là

một hàm tử từ phạm trù các cặp không gian tôpô vào phạm trù

các nhóm Aben phân bậc, Top(2) −→ ∂S AG H

−→ GAG

Đồng cấu nối ∂∗ : Hq+1(X, A) −→ HqA của dãy khớp

0 −→ SA −→ SXi −→ S (X, A) −→ 0jđược gọi là đồng cấu nối của cặp (X, A),

và dãy khớp (theo Chương I, Mệnh đề 1.2)

· · · ∂∗

−→ Hq+1A −→ Hi∗ q+1X −→ Hj∗ q+1(X, A)

∂ ∗

−→ HqA −→ Hi∗ qX −→ · · · (2.4)j∗được gọi là dãy đồng điều của (X, A)

Nếu f : (X, A) −→ (Y, B) là một ánh xạ cặp giữa các cặp không gianthì

được gọi là dãy đồng điều của bộ ba (X, A, B)

Khi B = ∅ thì nó sinh ra dãy đồng điều (2.4)

Nhận xét 2.2 1 Nếu bộ ba (X, A, B) là một bộ ba thì đồng cấu nối

với ∂∗0 là đồng cấu nối của cặp (X, A)

2 Nếu B ⊂ A ⊂ X là một bộ ba sao cho ι∗ : HB ∼= HA thì

j∗ : H (X, B) ∼= H (X, A)

2.4 Các trường hợp đặc biệt

Chú ý 2.2 Cho P là một điểm đơn, khi đó tồn tại duy nhất một

đơn hình kỳ dị τq : ∆q −→ P với mỗi q ≥ 0 Ta có τqj = τq−1

với mọi q > 0 và 0 ≤ j ≤ q, do đó ∂τ2q = τ2q−1 với q > 0 và ∂τ2q−1 = 0.Như vậy SP là một phức hình

· · · 0 ←− Z ←− Z0 ←− Zid ←− Z0 ←− Zid ←− · · ·0

và

HoP = Z, HiP = 0 với i 6= 0 (2.7)Định nghĩa 2.5 Với mỗi không gian X, ta có ánh xạ hằng γ : X −→ P(P là một điểm) cảm sinh một đồng cấu γ∗ = γ∗X : HX −→ HP

được gọi là phép bổ sung

Nếu f : X −→ Y là một ánh xạ thì γ∗Yf∗ = γ∗X (tính tự nhiên của γ∗),đặc biệt f∗ chuyển ker γ∗X
vào ker γY

∗

Các nhóm này vì thế là hàm tử của X ∈ Top, được gọi là nhóm

đồng điều thu gọn của X và được ký hiệu ˜HqX = ker (γ∗ : HqX −→ HqP ).Nếu q 6= 0 thì ˜HqX = HqX (do (2.7))

Chú ý 2.3 Nếu X khác rỗng thì ánh xạ bất kỳ ι : P −→ X là

nghịch đảo phải của γ, do đó γ∗ι∗ = id Điều này dẫn tới

H0X = im (ι∗)0⊕ ker (γ∗)0 = Z ⊕ ˜H0X,

tức là tại số chiều 0 đồng điều thu gọn và đồng điều không thu gọn

sai khác nhau một hạng tử trực tiếp Z

Ngoài ra, dãy khớp H0P −→ Hι∗ 0X −→ Hκ∗ 0(X, P ) −→ 0 của cặp (X, P )chứng tỏ rằng κ∗ : ˜H0X ∼= H0(X, P )

Nếu (X, A) là cặp các không gian với A 6= ∅ thì ta có các ánh xạ(X, A) −→ (P, P )γ −→ (X, A) và γι = id Điều này dẫn tớiι

H (P, P ) −→ H (X, A)ι∗ −→ H (P, P ) và γγ∗ ∗ι∗ = id, tức là

H (X, A) = im (ι∗) ⊕ ker (γ∗) = H (P, P ) ⊕ ˜H (X, A) Như vậy, ι∗ ánh xạdãy đồng điều của cặp (P, P ) thành một số hạng trực tiếp của dãy

đồng điều (X, A), còn số hạng kia là ker (γ∗)

Mệnh đề 2.4 Nếu (X, A) là một cặp các không gian với A 6= ∅ thì ta cómột dãy khớp

· · · −→ ˜∂∗ Hq+1A −→ ˜i∗ Hq+1X

j ∗

−→ Hq+1(X, A)−→ ˜∂∗ HqA −→ ˜i∗ HqX −→ · · ·j∗được gọi là dãy đồng điều thu gọn của cặp (X, A)

Chú ý 2.4 Tên gọi phép bổ sung thường được sử dụng cho ánh xạ

dây chuyền η = ηX : SX −→ (Z, 0) mà nó biến 0 - đơn hình σo

thành 1 ∈ Z

Ánh xạ này có quan hệ mật thiết với γ, cụ thể ηX = ηP ◦ γX Hơn nữa,ánh xạ ηP : SP −→ (Z, 0) là một tương đương đồng luân, (Z, 0) là mộthạng tử trực tiếp của SP và hạng tử trực tiếp khác là đồng luân không.Đặc biệt ker (η∗) = ker (γ∗) = ˜HX

Vì vậy, sự nguy hiểm khi nhầm lẫn giữa hai phép bổ sung γ, η

là không quan trọng

Mệnh đề 2.5 Nếu X là một không gian con lồi khác rỗng của không gianEuclid Rn thì phép bổ sung η : SX −→ (Z, 0) là một tương đương

đồng luân, cụ thể ˜HX = 0

Chứng minh Phương pháp chứng minh mang tên "Phép dựng nón".Chọn P ∈ X Với mỗi σq : ∆q −→ X, q ≥ 0, ta định nghĩa

Định nghĩa này xác định đồng cấu

P η

(σ0) (2.9)

Từ đó ta dễ dàng chứng minh được rằng

∂q+1Pq = id − Pq−1∂q với q > 0, và ∂1P0 = id −P ηb 

0, (2.10)tức là {Pq} là một đồng luân id ' bP η Rõ ràng η bP = id

Vậy η là một tương đương đồng luân

Hệ quả 2.1 Nếu Y ⊂ Rn là một không gian con khác rỗng bất kỳ

thì ∂∗ : Hq(Rn, Y ) ∼= ˜Hq−1Y

Chứng minh (Rn, Y ) là cặp không gian thỏa Y 6= ∅ nên theo Mệnh đề 2.4

ta có dãy đồng điều khớp thu gọn của cặp (Rn, Y ) như sau:

· · · ∂∗

−→ ˜HqY −→ ˜i∗ HqRn

j ∗

−→ Hq(Rn, Y ) −→ ˜∂∗ Hq−1Y −→ ˜i∗ Hq−1Rn −→ · · ·j∗Theo Mệnh đề 2.5 thì ˜HRn = 0, do đó ∂∗ là một đẳng cấu

Chẳng hạn, mỗi P ∈ X là một co rút của X; nếu B là một không gianbất kỳ và Q ∈ B thì A ≈ A × Q ⊂ A × B và r : A × B −→ A × Q,

r (a, b) = (a, Q) là một phép co rút ("các nhân tử của một tích

là các co rút")

Với cặp không gian (X, A) cho như trên, nếu A có một lân cận trong X

mà A là một co rút của lân cận đó thì A được gọi là co rút lân cận

trong X

Mỗi co rút là một co rút lân cận nhưng điều ngược lại thì không đúng,chẳng hạn như với X = [0, 1] là đoạn đơn vị, A = {0} ∪ {1} gồm hai điểmđầu và cuối thì A là một co rút lân cận trong X nhưng không là co rútcủa X

Nếu r : X −→ A là một phép co rút thì r : SX −→ SA làm dãy khớpsau chẻ ra

0 −→ SA −→ SXi −→ S (X, A) −→ 0,j

do đó (r, j) : SX ∼= SA ⊕ S (X, A), vì vậy

(r∗, j∗) : HX ∼= HA ⊕ H (X, A) (2.11)Mệnh đề 2.6 Nếu A là một co rút của X thì dãy đồng điều của (X, A)phân tích thành các dãy khớp ngắn

0 −→ H∂ qA −→ Hi∗ qX −→ Hj∗ q(X, A) −→ 0được chẻ ra bởi r∗

Nhận xét 2.3 1 Dãy đồng điều của bộ ba P ∈ A ⊂ X thì đẳng cấu vớidãy đồng điều thu gọn của cặp (X, A)

2 Nếu X là một không gian co rút được, nghĩa là X ' P

thì η : SX −→ (Z, 0) là một tương đồng luân

3 Nếu B ⊂ A ⊂ X là một bộ ba sao cho A là một co rút của X

thì H (X, B) ∼= H (X, A) ⊕ H (A, B)

2.5 Bất biến qua đồng luân

Định nghĩa 2.7 Nếu X, Y là các không gian tôpô thì một đồng luânhay một phép biến dạng (của X vào Y ) là một ánh xạ liên tục

Θ : X × [0, 1] −→ Y Với mỗi t ∈ [0, 1], ta có

Θt : X −→ Y, Θt(x) = Θ (x, t) ,

là một ánh xạ liên tục Rõ ràng Θ được xác định bởi "họ một tham số"{Θt}0≤t≤1 và đảo lại Vì thế {Θt}0≤t≤1 cũng được gọi là một đồng luânhay một phép biến dạng

Hai ánh xạ f0, f1 : X −→ Y được gọi là đồng luân nếu tồn tại

một phép biến dạng {Θt : X −→ Y }0≤t≤1 sao cho f0 = Θ0 và f1 = Θ1

Ta viết Θ : f0 ' f1, hay đơn giản f0 ' f1 và ta nói Θ là một phép

biến dạng của f0 vào f1

Nếu A ⊂ X thì Θ : X × [0, 1] −→ Y được gọi là một đồng luân đối với

A nếu Θt | A = Θ0 | A với mọi t Ta viết Θ : f0 ' f1 rel.A

Một đồng luân Θ sao cho Θ1 là một ánh xạ hằng thì đôi khi được gọi làđồng luân không và f = Θ0 được gọi là đồng luân không

Quan hệ đồng luân ' là một quan hệ tương đương Lớp tương đươngcủa f được ký hiệu là [f ] và gọi là lớp đồng luân của f

Quan hệ đồng luân tương thích với phép hợp thành, nghĩa là nếu

f0, f1 : X −→ Y, g0, g1 : Y −→ Z là những ánh xạ liên tục sao cho

f0 ' f1, g0 ' g1 thì g0f0 ' g1f1

Từ đó ta có thể định nghĩa hợp thành các lớp đồng luân [g]◦[f ] = [g ◦ f ].Điều này xác định một phạm trù mới Htp mà các vật là các không giantôpô và cấu xạ là các lớp đồng luân của ánh xạ liên tục

Một đồng luân giữa hai ánh xạ (liên tục) f0, f1 : (X, A) −→ (Y, B) là một

họ một tham số Θt : (X, A) −→ (Y, B) , 0 ≤ t ≤ 1 với Θ0 = f0, Θ1 = f1

Ta viết f0 ' f1, quan hệ ' là một quan hệ tương đương tương thích vớiphép hợp thành.

Tính tự nhiên của ϕ = F0, F1 hoặc s có nghĩa là ϕ được xác địnhvới mọi không gian X và biểu đồ

(2.12)giao hoán với mọi ánh xạ liên tục h : X0 −→ X

Chứng minh Ta giả sử một cách quy nạp rằng

sk : SkX −→ Sk+1([0, 1] × X) đã được tìm thấy với k < q và

∂sk + sk−1∂ = Fk0− Fk1 (2.13)

Chọn ιq ∈ Sq(∆q) là ánh xạ đồng nhất của ∆q Ta có

∂F0ιq − F1ιq − sq−1∂ιq = F0∂ιq − F1∂ιq − (∂sq−1) (∂ιq)

= F0∂ιq − F1∂ιq − F0− F1− sq−2∂
(∂ιq) = 0

Do đó F0ιq− F1ιq − sq−1∂ιq là một q - chu trình, nếu q = 0

thì phép bổ sung của nó triệt tiêu vì ηF0 = ηF1

Vì [0, 1] × ∆q là lồi nên F0ιq − F1ιq − sq−1∂ιq cũng là một biên, tức là

ta luôn tìm được b ∈ Sq+1([0, 1] × ∆q) với ∂b = F0ιq − F1ιq − sq−1∂ιq.Bây giờ ta định nghĩa

sq : SqX −→ Sq+1([0, 1] × X) , sq(σ) = (id × σ) b, (2.14)

với σ : ∆q −→ X đi khắp mọi q - đơn hình của X

Ta phải kiểm tra lại tính tự nhiên ở biểu đồ (2.12) và hệ thức ở (2.13)với k = q

Với σ0 : ∆q −→ X0 thì

(id × h) sqσ0 = (id × h) (id × σ0) b = (id × hσ0) b = sq(hσ0) = (sqh) σ0,

điều này chứng minh tính tự nhiên ở (2.12) Hơn nữa

được sử dụng ở dấu bằng thứ tư

Mệnh đề 2.8 Nếu f, g : (X, A) −→ (Y, B) là các ánh xạ đồng luân thì

Sf, Sg : S (X, A) −→ S (Y, B) là đồng luân dây chuyền

Chứng minh Với mỗi không gian X, các phép bao hàm

Ft : X −→ [0, 1] × X, Ft(x) = (t, x) , 0 ≤ t ≤ 1,

xác định các ánh xạ dây chuyền tự nhiên Ft : SX −→ S ([0, 1] × X)

và theo Mệnh đề 2.7 nên tồn tại một đồng luân tự nhiên s : F0 ' F1.Nếu A ⊂ X là một không gian con thì Ft(SA) ⊂ S ([0, 1] × A)

và s (SA) ⊂ S ([0, 1] × A) (do tính tự nhiên của s) Chuyển sang

các nhóm thương ta có

Ft : S (X, A) −→ S ([0, 1] × X, [0, 1] × A) , và s : F0 ' F1

Theo giả thiết của mệnh đề, ta có một đồng luân Θ : f ' g Rõ ràng

Θt = ΘFt, do đó Θt = Θ Ft : S (X, A) −→ S (Y, B) bằng cách chuyển quathương Như vậy Sf = Θ0 = Θ F0 ' Θ F1 = Θ1 = Sg

Hệ quả 2.2 Nếu f, g : (X, A) −→ (Y, B) là đồng luân thì

f∗ = g∗ : H (X, A) −→ H (Y, B)

Chứng minh Thật vậy, vì theo Mệnh đề 1.6 các ánh xạ dây chuyền

đồng luân sinh ra các đồng cấu đồng điều giống nhau

Hệ quả 2.3 Nếu (X, A) ' (Y, B) thì H (X, A) ∼= H (Y, B)

Chứng minh Nếu (X, A) −→ (Y, B)f f

−

−→ (X, A) là các tương đươngđồng luân thuận nghịch thì H (X, A)−→ H (Y, B)f∗ f

−

∗

−→ H (X, A) làcác đẳng cấu tương ứng thuận nghịch (theo Hệ quả 2.2)

Hệ quả 2.4 Nếu X là co rút được, X ' P , thì ˜HX = 0

Thực ra, phép bổ sung η : SX −→ (Z, 0) là một tương đương đồng luân

Chú ý 2.5 Như vậy ta có biểu đồ giao hoán các hàm tử

(2.15)trong đó π chuyển qua lớp đồng luân Mệnh đề 2.8 khẳng định rằngmũi tên chấm S tồn tại Trong Mệnh đề 1.6, mũi tên H được chứng tỏtồn tại Hệ quả 2.2 chỉ ra rằng H S tồn tại và Hệ quả 2.3 cho biết H Schuyển tương đương thành tương đương

Chú ý 2.6 Nếu f : (X, A) −→ (Y, B) là một tương đương đồng luânthì f : X −→ Y và f | A : A −→ B cũng là các tương đương đồng luân.Điều ngược lại không đúng Một phản ví dụ được cho là X = Y = [0, 1] ,

A = {0} ∪ {1} , B = [0, 1] −12 , f = phép bao hàm Tuy nhiên, ở mức độdây chuyền thì điều đảo lại là đúng

Ví dụ 2.1 Nếu i : A ⊂ X là một cặp không gian thì A được gọi là

một co rút biến dạng của X nếu tồn tại một đồng luân Θt : X −→ Xvới Θ0 = id, Θ1(X) ⊂ A và Θ1 | A = i Như vậy Θ1 xác định

một phép co rút r : X −→ A với ir = Θ1, ta có ri = idA và Θ : idX ' ir.Đặc biệt, i, r là những tương đương đồng luân thuận nghịch, do đó

i∗ : HA ∼= HX Nếu Θ có thể được chọn sao cho Θt | A = i với mọi t thì

A được gọi là một co rút biến dạng mạnh

Chẳng hạn:

• Nếu A ∈ X là một điểm đơn thì A là một co rút biến dạng của Xkhi và chỉ khi X co rút được, khi đó ˜HX = 0 theo như Hệ quả 2.4

• Nếu Sn−1 = {x ∈ Rn/||x|| = 1} ký hiệu là một mặt cầu đơn vị

thì Sn−1 là một co rút biến dạng mạnh của không gian Euclid thủng

Rn− {0}, với Θt(x) = (1 − t + t/||x||) x

• Tương tự, phép biến dạng Θ chỉ ra rằng Sn−1 là một co rút biến dạngmạnh của quả cầu đơn vị thủng Bn−{0} với Bn

= {x ∈ Rn/||x|| ≤ 1}.Đặc biệt,

HSn−1 ∼= H (Bn − {0}) ∼= H (Rn− {0}) (2.16)

Định nghĩa 2.8 Với mỗi không gian X, ta định nghĩa các đồng cấu

βq : SqX −→ SqX, q ≥ 0, gọi là sự phân nhỏ trọng tâm, như sau:

β0 = id, βqιq = Bq · βq−1(∂ιq) , βq(σq) = σq(βqιq) , q > 0, (2.17)

với ιq ∈ Sq∆q ký hiệu là ánh xạ đồng nhất của ∆q,

Bq =

1