Khoá luận tốt nghiệp toán Ước lượng khoảng

Lý thuyếtxác suất là bộ môn toán học nghiên cứu tìm ra các quy luật và đưa racác phương pháp tính toán xác suất của các hiện tượng ngẫu nhiên.. Như vậy, để đáp ứng nhu cầu cuộc sống hiện

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp em đã gặp rất nhiềukhó khăn và bỡ ngỡ Nếu không có những sự giúp đỡ và động viên củanhiều thầy cô giáo, bạn bè và gia đình có lẽ em khó có thể hoàn thànhkhóa luận này

Đầu tiên em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến cô giáo Th.S HoàngThị Duyên, người đã chỉ dạy cho em những kiến thức, kinh nghiệm tronghọc tập và nghiên cứu khoa học, đã động viên em trong suốt thời gian họctập, đặc biệt là trong quá trình làm khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, cán bộ, giảng viên TrườngĐại Học Quảng Bình, giảng viên khoa khoa học tự nhiên đã tận tình giảngdạy, khích lệ, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đặc biệt là các bạn trong lớp Đại học sưphạm Toán - K52 đã động viên và giúp đỡ em trong thời gian vừa qua.Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng do thời gian thực hiện còn bị chiphối bởi đợt thực tập tốt nghiệp, kiến thức còn hạn chế nên bài khóa luậnchắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Em mong muốn nhận đượcnhững ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn để đề tài đượchoàn thiện hơn

Sinh viên

Võ Thị Thủy

LỜI CẢM ƠN i

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7

1.1 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 7

1.1.1 Biến ngẫu nhiên 7

1.1.2 Phân phối xác suất 8

1.2 Mẫu ngẫu nhiên 17

CHƯƠNG 2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG 22 2.1 Ước lượng khoảng cho trung bình của một phân phối chuẩn khi biết phương sai σ2 24

2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình của một phân phối chuẩn khi chưa biết phương sai σ2 29

2.3 Ước lượng khoảng cho phương sai σ2 của một phân phối chuẩn 33

2.4 Ước lượng khoảng cho hiệu giữa hai giá trị trung bình của hai phân phối chuẩn 35

2.4.1 Ước lượng khoảng cho hiệu giữa hai giá trị trung bình của hai phân phối chuẩn khi đã biết phương sai σ2 35

1

2.4.2 Ước lượng khoảng cho hiệu giữa hai giá trị trung

bình của hai phân phối chuẩn khi chưa biết phươngsai σ2 382.5 Ước lượng khoảng cho trung bình của biến ngẫu nhiên

Bernoulli 432.6 Ước lượng khoảng cho trung bình của hàm phân phối mũ 47

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Xác suất thống kê là một nghành khoa học hiện đại, nó gần như xuấtphát từ các hiện tượng trong đời sống thực tiễn, hình thành và phát triểnrất nhanh nhằm phục vụ các nhu cầu thực tiễn

Trong khoa học cũng như trong cuộc sống hằng ngày chúng ta thườnggặp các hiện tượng ngẫu nhiên Đó là những hiện tượng mà ta không thể

dự đoán một cách chắc chắn rằng chúng xảy ra hay không xảy ra Nhàtriết học Mỹ Bengiamin Fraklin có nói: "ở nước Mỹ không có gì là chắcchắn cả, ngoại trừ 2 điều: chắc chắn ai cũng chết và chắc chắn ai cũngphải nộp thuế"

Ngẫu nhiên hiển diện mọi nơi, mọi lúc tác động đến chúng ta Ngẫunhiên mang lại cho ta cả niềm vui và nổi buồn, cả hạnh phúc và nổiđau Ngẫu nhiên đích thị là một phần tất yếu của cuộc sống Lý thuyếtxác suất là bộ môn toán học nghiên cứu tìm ra các quy luật và đưa racác phương pháp tính toán xác suất của các hiện tượng ngẫu nhiên Lýthuyết xác suất đã trở thành một nghành toán học quan trọng cả vềphương diện lý thuyết và ứng dụng Nó là một công cụ không thể thiếuđược mỗi khi cần đánh giá các cơ may, các nguy cơ rủi ro Nhà toán họcPháp Laplace ở thế kỷ XIX đã tiên đoán " Môn khoa học này hứa hẹntrở thành một trong những đối tượng quan trọng nhất của đời sống thực

tế thuộc về những bài toán của lý thuyết xác suất"

Navigation đã nói "Có bao giờ bạn thấy mình gặp may mắn hay rủiro? Khi nào may mắn, khi nào rủi ro? Nếu nắm được quy luật này thìtuyệt vời phải không? Lý thuyết xác xuất đang hướng tới điều đó".Song hành cùng với sự phát triển của lý thuyết xác xuất, Chúng taphải nhắc tới thống kê toán học Sự ra đời của thống kê toán học bắtnguồn từ các vấn đề thực tiễn và dựa trên những thành tựu của lý thuyết

xác suất Thống kê toán học đã có bước tiến nhanh với sự đóng gópcủa các nhà toán học như: Gantơn (1822 - 1911), Piếcxơn (1857 - 1936),Cramer, Fisher, Von Neuman

Hiện nay thống kê toán học đã được ứng dụng rộng rãi trong hầu hếtcác hoạt động của con người, từ khoa học tự nhiên, kinh tế, nông nghiệp,

y học cho tới các khoa học xã hội và nhân văn Thông kê giúp chúng taphân tích số liệu một cách khách quan, đáng tin cậy, phát hiện ra các trithức, thông tin ẩn chứa trong các số liệu đó Cho nên, chúng ta cần biếttrình bày các số liệu thống kê, cách tính các số liệu đặc trưng của các

số liệu này và hiểu ý nghĩa của chúng Một nhà xã hội nổi tiếng đã nói

"Thiếu khoa học thống kê, nhà nghiên cứu xã hội khác nào một người

mù mò mẫn trong căn nhà kho tối đen để tìm một con mèo đen đã khôngcòn ở đó nữa"

Thống kê toán học cung cấp các phương pháp thu thập, xử lí và diễngiải các phân tích về dân số, kinh tế, giáo dục để từ đó có thể vạchchính sách và ra các quyết định đúng đắn Ngay đầu thế kỉ XX, nhà triếthọc người Anh, H.G.Well đã dự báo "Trong một tương lai không xa, kiếnthức thống kê và tư duy thống kê sẽ trở thành một yếu tố không thểthiếu được trong học vấn phổ thông của mỗi công dân, giống như là khảnăng biết đọc, biết viết vậy"

Như vậy, để đáp ứng nhu cầu cuộc sống hiện đại thì thống kê và tư duythống kê là một điều không thể thiếu đối với bất kì ai, dù công việc củangười đó có liên quan trực tiếp đến các phương pháp thống kê hay không.Ước lượng khoảng cho các tham số là một trong những bài toán cơbản của thống kê toán học Khi nghiên cứu đặc tính X của mỗi cá thểcủa tổng thể thì một trong những mục tiêu cơ bản của việc nghiên cứu

là xác định các tham số đặc trưng của tổng thể như trung bình, phươngsai, cơ cấu của tổng thể theo dấu hiệu nghiên cứu Đó là những chỉ tiêutổng hợp để phân tích tổng thể cần nghiên cứu

Nếu xác định được quy luật xác suất của X thì việc đưa ra các đánh

giá cũng như các dự báo về sự biến động của tổng thể liên quan đến đặctính này sẽ chính xác và khách quan Tuy nhiên không phải lúc nào chúng

ta cũng xác định được quy luật của X Trong một số trường hợp, ta chỉbiết được dạng toán học của hàm phân phối hoặc hàm mật độ của biếnđịnh lượng X mà chưa biết các tham số có mặt trong chúng Vì vậy đểxác định quy luật xác suất của X trước hết ta phải đưa ra những đánhgiá về tham số này Bài toán ước lượng khoảng cho các tham số của phânphối xác suất sẽ giúp chúng ta giải quyết vấn đề này

Với những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài cho khóa luận

Ước lượng khoảng

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của khóa luận này là giới thiệu cách xây dựng các ước lượngkhoảng cho các tham số trong một số phân phối nhất định, và đưa ramột số ví dụ để làm rõ cho từng trường hợp cụ thể Để từ đó trang bịcho các học sinh, sinh viên vốn kiến thức cơ bản về ước lượng khoảng.Thông qua ví dụ, giúp các bạn hiểu rõ hơn

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về cách xây dựng các ước lượngkhoảng cho các tham số với các phân phối nhất định

• Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết xác suất, xác suất thống kê toán

4 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp được sử dụng trong quá trình nghiên cứu đề tài:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc, phân tích, tổng hợp tài liệulàm rõ nội dung lý thuyết sau đó trình bày lại các nội dung theo một hệ

thống lôgic.

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bảnthân, của các bạn học, anh chị học trước để tổng hợp và hệ thống hóakiến thức, vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học kết hợp với việc đưa racác ví dụ cụ thể để minh họa chi tiết

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Xemina, tiếp thu ý kiến củagiảng viên hướng dẫn để hoàn thành về mặt nội dung cũng như hình thứccủa khóa luận

5 Bố cục đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung đề tàikhóa luận được chia thành hai chương, trong đó, nội dung chính của khóaluận được trình bày ở chương 2

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này là hệ thống gồm một số khái niệm, định nghĩa và mệnh

đề cơ bản về biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất, mẫu ngẫu nhiêncùng với một số hệ quả, định lý có liên quan trực tiếp đến việc nghiêncứu cho chương sau

Chương 2: Ước lượng khoảng

Chương này nghiên cứu về các vấn đề của ước lượng khoảng và đưa racách xây dựng các ước lượng khoảng cho các tham số với các phân phốikhác nhau và đưa ra một số ví dụ minh họa làm rõ vấn đề cần nghiêncứu

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả

cơ bản của biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất, mẫu ngẫu nhiên làm

cơ sở để xây dựng cho chương 2 của khóa luận Các kiến thức ở chươngnày, chúng tôi trích dẫn trong các tài liệu [5], [6], [7], [9]

1.1 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

1.1.1 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1.1 Một ánh xạ X từ không gian các sự kiện ngẫu nhiên

cơ bản Ω vào R gọi là một biến ngẫu nhiên

X : Ω → R

ω 7→ X(ω)

Tập X = {X(ω)|ω ∈ Ω} gọi là tập giá trị của biến ngẫu nhiên X

Ví dụ 1.1.2 Các đại lượng sau đây là các biến ngẫu nhiên

• Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp trong 1 lần gieo đồng tiền cânđối và đồng chất thì X là biến ngẫu nhiên Giá trị của X là: 0; 1

• Gọi X là số viên đạn trúng đích khi bắn n viên đạn độc lập vào mộtmục tiêu thì X là biến ngẫu nhiên với giá trị 0, 1, , n

7

1.1.2 Phân phối xác suất

Định nghĩa 1.1.3 Hàm phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên Xđược định nghĩa bởi

Mệnh đề sau nói lên mối liên hệ giữa hàm mật độ và hàm phân phốicủa X

chiều Các biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn được gọi là các tọa độ củavéctơ ngẫu nhiên X.

Định nghĩa 1.1.10 Các biến ngẫu nhiên X1, Xn được gọi là độc lậpnếu

FX1, Xn(x1, x2, , xn) = FX1(x1)FX2(x2) FXn(xn)

Các đặc trưng của phân phối cho chúng ta một lượng thông tin nào

đó về biến ngẫu nhiên tương ứng Chúng ta xét một số đặc trưng thườngdùng sau

Định nghĩa 1.1.11 Kì vọng của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là E(X)được xác định như sau

i, Nếu X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối F (x) thì

ii, Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x1, , xn với các xácsuất tương ứng p1, , pn thì

σ(X) = pD(X)được gọi là độ lệch chuẩn của X

Định nghĩa 1.1.14 Cho biến ngẫu nhiên X và µ ∈ R Ta gọi

E(X − µ)k, (k ≥ 0)

là môment bậc k có gốc µ của biến ngẫu nhiên X

Và biểu thức E(| X − µ |k) là môment tuyệt đối cấp k có gốc µ của X.Nếu µ = 0 thì gọi E|X|k là môment tuyệt đối cấp k

Nếu µ = E(X) thì ta gọi

E(X − E(X))k

là môment trung tâm cấp k của biến ngẫu nhiên X

Trong phần này, chúng tôi cũng đưa ra một số quy luật phân phốixác suất quan trọng áp dụng cho Chương 2

Định nghĩa 1.1.15 (Luật phân phối nhị thức - B(n, p))

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số n, p và

kí hiệu X ∼ B(n, p), n ∈ N∗ nếu X nhận các giá trị 0, 1, 2, , n với xácsuất tương ứng là

pk = P (X = k) = Cnkpk(1 − p)n−k, k = 0, 1, 2, , n

Mệnh đề 1.1.16 Nếu X ∼ B(n, p), thì

EX = np;

DX = npq

Định nghĩa 1.1.17 (Quy luật 0 -1)

Biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị 0, 1 với các xác suất tương ứng q, p

(q + p = 1) được gọi là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật 0 -1 với tham

số p

P (X = x) = px(1 − p)1−x

Các số đặc trưng là

E(X) = 0.(1−p)+1.p = p và D(X) = (0−p)2(1−p)+(1−p)2p = p(1−p)

Tham số p của quy luật 0 -1 là kì vọng

Định nghĩa 1.1.18 (Luật phân phối Poisson - P (λ))

Biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật Poisson với tham số λ > 0, kí hiệu

= λe−λ.eλ = λ

Định nghĩa 1.1.20 (Phân phối mũ - E(λ), λ > 0)

Biến ngẫu nhiên X có phân phối mũ với tham số λ > 0, kí hiệu X ∼ E(λ)nếu hàm mật độ xác suất của X có dạng

= 2

λ2.nên DX = E(X2) − (EX)2 = 2

λ2 − (1

λ)

λ2

Nhận xét 1.1.22 Cho X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập cóphân phối mũ với trung bình λ Khi đó biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật chuẩn, kí hiệu X ∼ N (µ, σ2) vớitham số µ và σ2 nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng

f (x) = 1

σ√2πe

−(x − µ)22σ2

−(x − µ)22σ2 dx

σ ,

= √σ2π

+∞

Z

−∞

te−t22dt = 0

2 ,

= 1

σ√2π

Ta thu được kết quả DX = σ2

Định nghĩa 1.1.25 (Phân phối Khi-bình phương)

Cho X1, X2, , Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phốichuẩn hóa N (0; 1) Khi đó biến ngẫu nhiên

X = X12 + X22 + + Xn2

được gọi là có phân phối Khi-bình phương với n bậc tự do Chúng ta kíhiệu

X ∼ χ2n

để chỉ rằng X có phân phối Khi-bình phương với n bậc tự do

Phân vị mức α của biến ngẫu nhiên X có phân phối Khi-bình phươngvới n bậc tự do là giá trị χ2α,n của X thỏa mãn

P X < χ2

α,n = α

Tính chất 1.1.26 Nếu X1, X2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có phânphối tương ứng χ2n1 và χ2n2 thì X1 + X2 có phân phối χ2n1+n2

Định nghĩa 1.1.27 (Phân phối Student - Phân phối t)

Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập tương ứng có phân phốichuẩn N (0; 1) và phân phối Khi-bình phương với n bậc tự do Khi đóphân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

T = X

r Ynđược gọi là phân phối Student (hay phân phối t) với n bậc tự do

Phân vị mức α của biến ngẫu nhiên T có phân phối Student với nbậc tự do là số tα,n thỏa mãn

P {T < tα,n} = α

1.2 Mẫu ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2.1 Cho X là biến ngẫu nhiên Mẫu ngẫu nhiên từ X

là một véctơ ngẫu nhiên n chiều (X1, , Xn) trong đó các thành phần làcác biến ngẫu nhiên độc lập với nhau và có cùng phân phối với X

Từ định nghĩa, ta có hàm phân phối đồng thời là

n nếu có k phần tử trong mẫu bé hơn x

Định nghĩa 1.2.6 Cho mẫu (X1, , Xn) có hàm phân phối F (x) Hàm

đo được của các quan sát (X1, , Xn) được gọi là một thống kê

Như vậy, nếu g(X1, , Xn) là một thống kê thì g(X1, , Xn) là một biếnngẫu nhiên nên nó cũng có quy luật phân phối xác suất

Định nghĩa 1.2.7 Hàm phân phối của thống kê g(X1, , Xn) được gọi

là hàm phân phối mẫu của g(X1, , Xn)

Sau đây chúng ta xét một số đặc trưng của mẫu

Định nghĩa 1.2.8 Ta gọi

X = 1n

Vì E(Sn2) 6= σ2 nên nếu xét đại lượng

Cho mẫu (X1, X2, , Xn) từ X, mệnh đề sau được suy ra trực tiếp

từ tính chất độc lập và cùng phân phối của các phần tử Xk của mẫu vàđịnh nghĩa của hàm phân phối

p = Xn

Như vậy p là một biến ngẫu nhiên và

N µ; σ2
thì X và S2 là các biến ngẫu nhiên độc lập, với X có phân phốichuẩn N

√

nX − µ

S ∼ tn−1trong đó, √

nX − µ

S là phân phối t với n − 1 bậc tự do.

ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

Phân phối xác suất là đặc trưng cơ bản nhất của các biến ngẫu nhiên

vì biết phân phối xác xuất ta có thể xác định được tất cả các đặc trưngkhác của biến ngẫu nhiên Tuy nhiên, không phải lúc nào chúng ta cũngxác định được quy luật phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên.Trong các tình huống thường gặp, các phân phối xác suất của các biếnngẫu nhiên thường chưa biết hoặc chỉ biết dưới dạng toán học của chúngphụ thuộc vào một số tham số chưa biết Vì vậy, để xác định quy luậtxác suất của biến ngẫu nhiên trước hết phải đưa ra những đánh giá vềcác tham số này Một bài toán quan trọng nhất của thống kê toán là dựatrên mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) để ước lượng phân phối xác suấtcủa biến ngẫu nhiên hoặc các đặc trưng của phân phối đó

Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu việc xây dựng ước lượng khoảng(hoặc khoảng tin cậy) cho các tham số của một phân pối xác suất.Trong thực tế, chúng ta thường đặt ra câu hỏi: Liệu có thể xây dựngđược các khoảng ngẫu nhiên (khoảng với các đầu mút ngẫu nhiên) chứagiá rị chân thực của tham số với xác suất cho trước hay không? Ướclượng khoảng sẽ giúp ta trả lời câu hỏi đó

Giả sử (X1, X2, , Xn) là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối F (x, θ) trong

đó F (x, θ) là hàm phân phối phụ thuộc vào θ

Thống kê θ(X1, X2, , Xn) và θ(X1, X2, , Xn) được gọi là giới hạn tincậy dưới và giới hạn tin cậy trên của độ tin cậy β (β còn được gọi là mứctin cậy) nếu

P {θ < θ} = β

22

P θ > θ = βCòn khoảng với các đầu mút ngẫu nhiên (θ; θ) được gọi là khoảng tin cậycủa tham số θ với độ tin cậy β nếu

P θ ∈ (θ; θ) = βtrong đó α được gọi là mức ý nghĩa của khoảng tin cậy (θ; θ) và θ − θđược gọi là độ dài của khoảng tin cậy (θ; θ)

Với mức tin cậy β đã cho nói chung có vô số khoảng tin cậy

Chẳng hạn cho (X1, X2, , Xn) là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối chuẩn

N (µ; σ2) Khi đó X có phân phối chuẩn N

µ;σ

2

n

 Giả sử σ2 = 1, cóthể tìm hai số zαvà zγ là phân vị mức α và γ của phân phối chuẩn N (0; 1)sao cho:

√n

√n



= α − γ = β

Ta có thể thay đổi α và γ sao cho α − γ = β không đổi, nhưng khi

đó zα và zγ đều thay đổi và ta nhận được các khoảng tin cậy mức β

cũng thay đổi

Chẳng hạn, nếu α = 0, 975, γ = 0, 025 thì zα = −zγ = 1, 96; nếu

α = 0, 99, γ = 0, 04 thì zα = 2, 325, zγ = −1, 75 và cả hai khoảng tin cậyđều có mức tin cậy là β = 0, 95 Tuy nhiên độ dài của khoảng tin cậythứ nhất là 3, 92√

n còn độ dài của khoảng tin cậy thứ hai là

4, 075

√

n .

Vấn đề đặt ra là ta nên chọn khoảng tin cậy nào khi mức tin cậy β đã

cho Người ta thường chú ý tới khoảng tin cậy sao cho độ dài của khoảng

là bé nhất so với tất cả các khoảng tin cậy khác có cùng mức tin cậy

Thông thường khoảng tin cậy đối xứng, tức là khoảng tin cậy (θ0 − ε; θ0 + ε)sao cho:

P {θ < θ0 − ε} = P {θ > θ0 + ε} = α

2

là khoảng tin cậy ngắn nhất với mức tin cậy β = 1 − α, trong đó

ε là độ chính xác (hoặc sai số) hay bán kính của khoảng ước lượng

(θ0 − ε; θ0 + ε)

2.1 Ước lượng khoảng cho trung bình của một phân

phối chuẩn khi biết phương sai σ2

Cho một mẫu ngẫu nhiên X1, X2, , Xn từ một phân phối chuẩn

N (µ, σ2) với µ chưa biết và phương sai σ2 đã biết Ta cần tìm khoảng

ước lượng cho µ trong trường hợp σ2 đã biết Vì

Z := X − µσ

√n

< zα 2

σ

√n



= 1 − α

Từ đây ta có kết luận rằng, với độ tin cậy 1 − α, khoảng ước lượng cho

µ của một phân phối chuẩn khi biết phương sai σ2 là

σ

√n



Ví dụ 2.1.1 Giả sử rằng một tính hiệu được truyền từ vị trí A đến vịtrí B có phân phối chuẩn với kỳ vọng µ và phương sai bằng 4 Biết rằngkhi µ được gửi đi, thì tín hiệu nhận được ở B có giá trị là µ + N , trong đó

N là một biến ngẫu nhiên chỉ tiếng ồn có phân phối N (0, 4) Để giảm lỗi,người ta truyền tín hiệu đó 9 lần từ vị trí A đến vị trí B độc lập nhau.Nếu các giá trị nhận được là



= (7, 69; 10, 31)

Như vậy, giá trị của tín hiệu nhận được tại vị trí B nằm giữa 7, 69 và

10, 31 với độ tin cậy 95%

Khoảng tin cậy ở trên được gọi là khoảng tin cậy hai phía Tuy nhiên,đôi khi chúng ta chỉ cần xác định một giá trị sao cho, với độ tin cậy 1 − α,

có ít nhất một giá trị µ là lớn như giá trị đó

Gọi zα là điểm sao cho Φ(zα) = 1 − α Khi đó

√n