Khoá luận tốt nghiệp toán Rèn luyện tư duy cho học sinh qua giải bài tập Đại số ở THPT

Do vậy, việc rèn luyện tư duy cho học sinh nói chung và rèn luyện tư duy cho học sinh phổ thông qua giải bài tập Đại số nói riêng là một yêu cầu cấpthiết để đáp ứng nhu cầu mới của thời

Với cách dạy và học theo lối truyền thống, lối tư duy thụ động đã ăn sâu khánhiều vào các thế hệ học sinh và ngay cả bản thân giáo viên Rất nhiều học sinhcòn bộc lộ những yếu kém, hạn chế về năng lực tư duy: nhìn các đối tượng toán họcmột cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa các yếu tố toán học, không linh hoạttrong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn,

áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiệnmới đã chứa đựng những yếu tố thay đổi; học sinh chưa có tính độc đáo khi tìm lờigiải bài toán Từ đó dẫn đến một hệ quả là nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải toán,đặc biệt là các bài toán Đại số Trong khi đó, Đại số lại là một môn học quan trọngtrong chương trình phổ thông, cung cấp cho học sinh nhiều kiến thức cũng như những

kỹ năng cần thiết Do vậy, việc rèn luyện tư duy cho học sinh nói chung và rèn luyện

tư duy cho học sinh phổ thông qua giải bài tập Đại số nói riêng là một yêu cầu cấpthiết để đáp ứng nhu cầu mới của thời đại

Nhận thức được tầm quan trọng của các vấn đề nêu trên, tôi đã chọn “Rèn

luyện tư duy cho học sinh qua giải bài tập Đại số ở THPT” làm đề tài khóa luận của

mình

3 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu những vấn đề cơ bản của tư duy và vấn đề rèn luyện giải toán để

từ đó đề xuất những biện pháp cần thiết nhằm rèn luyện năng lực tư duy cho học sinhtrung học phổ thông qua giải bài tập Đại số, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo củanhà trường

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích trên, khóa luận có nhiệm vụ làm rõ một số vấn đề sau:

- Làm sáng tỏ một số vấn đề cơ bản của tư duy

- Làm sáng tỏ một số quan niệm về vấn đề rèn luyện giải toán

- Đề xuất các biện pháp cần thiết để rèn luyện tư duy cho học sinh phổ thông quagiải bài tập toán Đại số

5 Phương pháp nghiên cứu

Trong khóa luận, tôi đã sử dụng chủ yếu hai phương pháp nghiên cứu sau:

+ Phương pháp nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu lí luận dựa vào những tài liệu có sẵn, những văn kiện của Đảng vàNhà nước về các vấn đề liên quan đến giáo dục như: thực trạng giáo dục, chương trìnhđổi mới sách giáo khoa, cách thức vận dụng và đổi mới các phương pháp dạy học hiệnnay,…

Nghiên cứu các tài liệu có sẵn liên quan đến những thành tựu của nhân loại trêncác lĩnh vực khác nhau: Giáo dục học, Tâm lí học, Toán học,…

Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa môn toán ở trường trung học phổ thông vàcác tài liệu tham khảo có liên quan

+ Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Dự giờ, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với các thầy cô giáo trong trường trunghọc phổ thông

- Tham khảo ý kiến của các giáo viên có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy toán

ở bậc trung học phổ thông

- Tiếp thu và nghiên cứu ý kiến của giảng viên hướng dẫn, các thầy cô trongKhoa

6 Phạm vi nghiên cứu

- Phạm vi thời gian: từ 10/2013 đến 5/2014.

- Phạm vi về nội dung: một số phương pháp rèn tư duy cho học sinh

7 Giả thuyết khoa học

Nếu thường xuyên quan tâm, chú ý và coi trọng đúng mức: “Rèn luyện tư duy

cho học sinh qua giải bài tập Đại số ở THPT” thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng

dạy và học Toán, theo yêu cầu của bộ môn

8 Đóng góp của khóa luận

- Về lí luận: Góp phần làm sáng tỏ nội dung “Rèn luyện tư duy cho học sinh qua

giải bài tập Đại số ở THPT”.

9 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu và kết luận, khóa luận được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn.

Chương 2: Rèn luyện tư duy cho học sinh phổ thông qua việc giải các bài tập Đạisố

Chương 3: Một số bài toán minh họa tổng hợp

Tư duy là gì? Đây là một vấn đề thu hút sự quan tâm của nhiều ngành khoa học

và nhiều nhà khoa học nghiên cứu Triết học nghiên cứu tư duy dưới góc độ lý luậnnhận thức Logic học nghiên cứu tư duy ở các quy tắc tư duy đúng Xã hội họcnghiên cứu tư duy ở sự phát triển của quá trình nhận thức trong các chế độ xã hộikhác nhau Sinh lý học nghiên cứu cơ chế hoạt động thần kinh cao cấp với tư cách lànền tảng vật chất của các quá trình tư duy ở con người Điều khiển học nghiên cứu tưduy để có thể tạo ra “Trí tuệ nhân tạo” Tâm lý học nghiên cứu diễn biến của quátrình tư duy, mối quan hệ qua lại cụ thể của tư duy với các khía cạnh khác của nhậnthức Ngày nay, người ta còn nói tới tư duy của người máy

Theo Spieecskin lại cho rằng: “Tư duy của con người, phản ánh hiện thực, vềbản chất là quá trình truyền đạt gồm hai tính chất: Một mặt, con người hướng vềvật chất, phản ánh những nét đặc trưng và những mối liên hệ của vật ấy với vật khác,

và mặt khác con người hướng về xã hội để truyền đạt những kết quả của tư duy củamình”

Từ cách tiếp cận mô hình xử lý thông tin, tác giả Đặng Phương Kiệt quan niệm:

“Tư duy là một quá trình tâm trí phức tạp, tạo ra một biểu tượng mới bằng cách làm

biến đổi thông tin có sẵn”.

Dựa trên cơ sở những mối liên hệ, quan hệ vốn có của các sự vật, hiện tượngtrong thế giới khách quan và lý thuyết phản ánh, tác giả Mai Hữu Khuê cho rằng:

“Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh những mối liên hệ và quan hệ giữa các đốitượng hay các hiện tượng của hiện thực khách quan”

Với việc xem tư duy như là quá trình phân tích, tổng hợp… Nguyễn ĐìnhTrãi cho rằng: “Tư duy là quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát những tài liệu đãthu được qua nhận thức cảm tính, nhận thức kinh nghiệm để rút ra cái chung, cái bảnchất của sự vật”

Với tư cách là quá trình nhận thức, tập thể tác giả: Trần Minh Đức, NguyễnQuang Uẩn, Ngô Công Hoàn, Hoàng Mộc Loan, coi “Tư duy là một quá trình nhậnthức, phản ánh những thuộc tính của bản chất, những mối liên hệ và quan hệ có tínhquy luật của sự vật hiện tượng mà trước đó ta chưa biết”

Theo tâm lý học: “Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tínhbản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiệntượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết.”

Từ điển tiếng Việt (Hoàng Phê (chủ biên), nhà xuất bản Khoa học Xã hội, HàNội, 1998) nêu rõ: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bảnchất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểutượng, khái niệm, phán đoán và suy lý”

Trong tâm lý học, một trong những nghiên cứu tương đối đầy đủ nhất về tư duy

đã được trình bày trong các công trình của X L Rubinstein Theo Rubinstein: “Tưduy – đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủhơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể”(dẫn theo Đavưđov)

Trong cuốn “Rèn luyện tư duy trong dạy học toán”, PGS.TS Trần Thúc Trình

có định nghĩa: “Tư duy là một quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bảnchất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng mà trước đó chủthể chưa biết”

Phân tích một số quan niệm về tư duy như trên để có thể hiểu sâu thêm địnhnghĩa của tư duy: “Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh hiện thực khách quan mộtcách gián tiếp là khái quát, là sự phản ánh những thuộc tính chung và bản chất, tìm

ra những mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng mà ta chưatừng biết.”

1.1.2 Đặc điểm cơ bản của tư duy

1.1.2.1 Tính có vấn đề

Khi gặp những tình huống mà vấn đề hiểu biết cũ, phương pháp hành động đã

biết của chúng ta không đủ giải quyết, lúc đó chúng ta rơi vào “tình huống có vấn

đề”, và chúng ta phải cố vượt ra khỏi phạm vi những hiểu biết cũ để đi tới cái mới,

hay nói cách khác chúng ta phải tư duy

1.1.2.2 Tính khái quát

Tư duy có khả năng phản ánh những thuộc tính chung, những mối quan hệ, liên

hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật hiện tượng Do đó, tư duy mang tính khái quát

1.1.2.3 Tính độc lập tương đối

Trong quá trình sống con người luôn giao tiếp với nhau, do đó tư duy của từngngười vừa tự biến đổi qua quá trình hoạt động của bản thân vừa chịu sự tác độngbiến đổi từ tư duy của đồng loại thông qua những hoạt động có tính vật chất Do đó,

tư duy không chỉ gắn với bộ não của từng cá thể người mà còn gắn với sự tiến hóacủa xã hội, trở thành một sản phẩm có tính xã hội trong khi vẫn duy trì được tính cáthể của một con người nhất định Mặc dù được tạo thành từ kết quả hoạt động thựctiễn nhưng tư duy có tính độc lập tương đối Sau khi xuất hiện, sự phát triển của tưduy còn chịu ảnh hưởng của toàn bộ tri thức mà nhân loại đã tích lũy được trước đó

Tư duy cũng chịu ảnh hưởng, tác động của các lý thuyết, quan điểm tồn tại cùng thờivới nó Mặt khác, tư duy cũng có logic phát triển nội tại riêng của nó, đó là sự phảnánh đặc thù logic khách quan theo cách hiểu riêng gắn với mỗi con người Đó chính làtính độc lập tương đối của tư duy

1.1.2.4 Mối quan hệ giữa tư duy và ngôn ngữ

Nhu cầu giao tiếp của con người là điều kiện cần để phát sinh ngôn ngữ Kết quả

tư duy được ghi lại bằng ngôn ngữ Ngay từ khi xuất hiện, tư duy đã gắn liền vớingôn ngữ và được thực hiện thông qua ngôn ngữ Vì vậy, ngôn ngữ chính là cái vỏhình thức của tư duy Ở thời kỳ sơ khai, tư duy đuợc hình thành thông qua hoạt độngvật chất của con người và từng bước được ghi lại bằng các ký hiệu từ đơn giản đếnphức tạp, từ đơn lẻ đến tập hợp, từ cụ thể đến trừu tượng Hệ thống các ký hiệu đóthông qua quá trình xã hội hóa và trở thành ngôn ngữ Sự ra đời của ngôn ngữ đánh

dấu bước phát triển nhảy vọt của tư duy và tư duy cũng bắt đầu phụ thuộc vào ngônngữ Ngôn ngữ với tư cách là hệ thống tín hiệu thứ hai trở thành công cụ giao tiếpchủ yếu giữa con người với con người, phát triển cùng với nhu cầu của nền sản xuất

xã hội cũng như sự xã hội hóa lao động

1.1.2.5 Mối quan hệ giữa tư duy và nhận thức

Tư duy là kết quả của nhận thức đồng thời là sự phát triển cấp cao của nhậnthức Xuất phát điểm của nhận thức là những cảm giác, tri giác và biểu tượng đượcphản ánh từ thực tiễn khách quan với những thông tin về hình dạng, hiện tượng bênngoài được phản ánh một cách riêng lẻ Giai đoạn này được gọi là tư duy cụ thể Ởgiai đoạn sau, với sự hỗ trợ của ngôn ngữ, hoạt động tư duy tiến hành các thao tác

so sánh, đối chiếu, phân tích, tổng hợp, khu biệt, quy nạp những thông tin đơn lẻ, gắnchúng vào mối liên hệ phổ biến, lọc bỏ những cái ngẫu nhiên, không căn bản của sựviệc để tìm ra nội dung và bản chất của sự vật, hiện tượng, quy nạp nó thành nhữngkhái niệm, phạm trù, định luật Giai đoạn này được gọi là giai đoạn tư duy trừutượng

1.1.3 Phân loại tư duy

Cho đến nay, vẫn chưa có sự thống nhất khi phân loại tư duy Tuy nhiên, có haicách phân loại tư duy phổ biến nhất, đó là:

1.1.3.1 Phân loại tư duy theo đối tượng (của tư duy): Với cách phân loại này, ta có

các loại tư duy sau:

- Tư duy kinh tế

- Tư duy chính trị

- Tư duy văn học

- Tư duy toán học

- Tư duy nghệ thuật, …

1.1.3.2 Phân loại tư duy theo đặc trưng của tư duy: Với cách phân loại này, ta có

các loại tư duy sau:

- Tư duy cụ thể

- Tư duy trừu tượng

- Tư duy logic

- Tư duy biện chứng

- Tư duy sáng tạo

- Tư duy phê phán, …

1.1.4 Quá trình tư duy

Tư duy là một hoạt động trí tuệ với quá trình gồm 4 bước cơ bản:

Bước 1: Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy Nói cách

khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp

Bước 2: Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thuyết và

cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi

Bước 3: Xác minh giả thuyết trong thực tiễn, nếu giả thuyết đúng thì qua bước

sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thuyết mới

Bước 4: Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.

Sau đây là sơ đồ của K K Platônôp:

Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ.Các thao tác trí tuệ cơ bản là:

- Phân tích, tổng hợp

- So sánh

- Trừu tượng hóa và khái quát hóa

- Cụ thể hóa, đặc biệt hóa

- Tưởng tượng

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Khẳng định

Chính xác hóa

Phủ định

Tìm giả thuyết mới

Giải quyết vấn đề Hoạt động tư duy mới

Câu hỏi

Giả thuyết

Xác minh

Quyết định

- Suy luận.

- Chứng minh

1.1.5 Một số nguyên tắc tư duy

1.1.5.1 Tập trung suy nghĩ vào mục đích

Tập trung suy nghĩ về một vấn đề cần xác định mục đích của vấn đề và tập trungsuy nghĩ vào mục đích ấy Muốn chứng minh một định lý phải tập trung suy nghĩ vàokết luận của định lý ấy Từ đó dùng những thao tác tư duy để vạch ra một đường đi tờikết luận hay vạch ra một chương trình thực hiện để chứng minh được định lý Khi giảimột bài toán cần tập trung suy nghĩ vào yêu cầu của bài toán, rồi huy động kiến thức,vận dụng các giả thiết đã cho trong bài toán để giải được bài toán

1.1.5.2 Đặt câu hỏi và tìm cách trả lời câu hỏi

Khi cần tìm hiểu một vấn đề hoặc giải một bài toán ta nên đặt ra những câu hỏiliên tiếp và suy nghĩ tìm câu trả lời cho chúng Chẳng hạn: Mục đích của vấn đề là gì?Yêu cầu của bài toán là gì? Để đạt được mục đích, yêu cầu ấy cần có hoặc cần biếtnhững gì? Những điều cần có và cần biết ấy đã có chưa hay hay có thể suy ra từ đâu? Đặt câu hỏi và tìm cách trả lời câu hỏi là một nguyên tắc của tư duy nhưng cũng

là một phương pháp rèn luyện và phát triển tư duy

Quá trình tư duy để tìm hiểu một vấn đề hoặc để giải một bài toán được thể hiện

ở những câu hỏi đặt ra liên tiếp và ở việc huy động kiến thức và kinh nghiệm để trả lờinhững câu hỏi ấy

1.1.5.3 Đánh giá khả năng của phương án giải quyết

Để giải quyết một vấn đề đặt ra (có thể là một bài toán, một định lý cần chứngminh hay một điều dự đoán cần được khẳng định) ta có thể có nhiều phương án Cầnsuy xét thấu đáo để đánh giá được phương án nào có nhiều khả năng, phương án nàosát với đích hơn Muốn làm được điều đó cần có kiến thức vững vàng, cần có kinhnghiệm qua rèn luyện nhiều và thường xuyên, và cần có kỹ năng vận dung các thao tác

tư duy

1.1.5.4 Phải biết thăm dò

Đối với những bài toán tổng quát phải biết cách thử những trường hợp riêng, từ

đó hi vọng rút ra được điều gì đó chung Đối với vấn đề có thể đề ra nhiều phương ángiải quyết nếu chưa khẳng định được phương án nào có nhiều triển vọng thì cần biếtcách thăm dò để phát hiện được những khả năng hiện thực hoặc những trở ngại không

thể vượt qua Trong những trường hợp vấn đề có liên quan đến nhiều kiến thức phảibiết thăm dò vùng kiến thức gần nhất với mục đích của vấn đề, phải thử vận dụng kiếnthức này hay kiến thức khác Đối với những bài toán hay định lí có nhiều giả thiết cầnthử để có thể sử dụng giả thiết nào trước, giả thiết nào sau.

1.1.5.5 Phải biết nghi ngờ

Khi các phương án đề ra chưa thể hiện triển vọng rõ ràng hoặc đã suy nghĩ nhiều

mà chưa có phương án thì có thể nghi ngờ, lật ngược vấn đề và suy nghĩ về bài toán lậtngược ấy Rất có thể ta sẽ phát hiện được điều vô lí của bài toán lật ngược và nhiều khinhờ phương án giải quyết bài toán đã đặt ra

1.1.5.6 Phải kiên trì nhưng mềm dẻo

Khi đã có một phương án giải quyết mà ta cho là hợp lí thì cần kiên trì theo đuổi

và mỗi khi gặp trở ngại ngăn cẳn bước tiến ta cần suy nghĩ để tìm ra thiếu sót, nhượcđiểm để hoàn thiện dần phương án ấy

Ở trường hợp phương án gặp trở ngại mà vô phương khắc phục ta cũng cần mềmdẻo, có thể tạm bỏ qua phương án ấy hoặc gạt bỏ hoàn toàn để tìm một phương ánkhác; thậm chí có thể tạm gác lại bài toán ấy trong một thời gian để tránh đường mòncủa tư duy cũ

1.1.5.7 Những quy tắc ưu tiên khi tư duy về một vấn đề

Pôlya đã kết thành những quy tắc ưu tiên khi tư duy về một vấn đề như sau:

 Cái dễ đi trước cái khó Khâu nào dễ của vấn đề ta giải quyết trước; kiến thứcnào dễ vận dụng ta dùng trước Rất có thể từ chỗ giải quyết xong những khâu dễ ta lại

có được những gợi ý để giải quyết những khâu khó hơn

 Cái quen biết đi trước cái xa lạ

 Cái toàn bộ đi trước đi trước cái bộ phận Khi nghiên cứu cách giải quyết mộtvấn đề ta cần nghiên cứu nó một cách tổng thể trước, không để những chi tiết làm taphân tán sự tập trung vào mục đích của vấn đề Sau khi đã thấu hiểu vấn đề, ta sẽ suynghĩ về các chi tiết để sắp đặt một trình tự nghiên cứu chúng, tìm hiểu vai trò của mỗichi tiết đối với mỗi vấn đề đặt ra

Người giáo viên phải luôn luôn quan tâm rèn luyện cho học sinh có thói quen tưduy theo những nguyên tắc và những quy tắc nêu trên Đó là một quá trình rèn luyệnkhổ tâm, khổ não Giáo viên cần có phương pháp dạy phù hợp sao cho học sinh biết tư

duy, say sưa suy nghĩ về những bài toán hay đến mức không dứt được chúng ra khi màchưa tìm được lời giải Nên có những bài tập khó và hay để học sinh suy nghĩ trongmột thời gian dài (có thể vài tuần hoặc một tháng) mà không cần chữa ngay

1.2 Quan niệm về vấn đề rèn luyện giải toán

Việc rèn giải toán bao gồm hai nội dung chủ yếu:

- Rèn luyện việc tìm lời giải các bài toán

- Rèn luyện việc giải bài toán

Có thể mô tả công việc trên thành hai công đoạn theo mô hình:

Trong quá trình rèn luyện, hai nội dung trên có khi tiến hành đồng thời nhưngcũng có khi tách thành hai quá trình riêng biệt Tuy vậy, về mặt nhận thức cần phânbiệt hai nội dung trên hoàn toàn khác nhau, độc lập với nhau (tuy có quan hệ hỗ trợ lẫnnhau) Mỗi nội dung đảm bảo một yêu cầu riêng biệt trong công việc rèn luyện giảitoán

Người giải toán cần nhận thức rõ ý nghĩa và tác dụng của mỗi nội dung và mốiquan hệ giữa hai nội dung đó

Ta hãy nói đến vấn đề giải bài toán khi đã có đường lối giải Vấn đề này tất nhiên

là quan trọng trong việc rèn luyện giải toán Người giải toán cần thấy rõ từ chỗ tìmđược phương hướng giải bài toán đến việc giải hoàn chỉnh bài toán bao gồm nhiềukhâu: từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản về nội dung, lí thuyết và các phươngpháp thực hành đến việc luyện tập thành thạo quá trình và các thao tác có tính chất kĩthuật Điều này đòi hỏi tính nghiêm túc, kiên nhẫn và một phương pháp làm việc khoahọc của người giải toán

Mặt khác, như đã biết kết quả của mỗi bài toán trước hết phải biểu hiện ở lời giảiđúng và đầy đủ

Lại có những bài toán mà việc tìm đường lối giải không khó, đôi khi đã khá rõràng mà cái khó chủ yếu thuộc về kĩ thuật giải, do vậy cũng đòi hỏi ở người giải toánkhông ít sự sáng tạo

Rèn luyện giải toán

Rèn luyện khả năng tìm

lời giải

Rèn luyện khả năng giải

bài toán

Quá trình phân tích này chứng tỏ tính chất quan trọng của việc rèn luyện giải bàitoán (khi đã có đường lối) Nhưng dù sao vẫn phải xem việc rèn luyện khả năng tìm lờigiải các bài toán là khâu có tính chất quyết định trong toàn bộ công việc rèn luyện giảitoán vì các lẽ sau:

- Dù có kỹ thuật cao, thành thạo trong việc thực hiện các thao tác và các phéptính nhưng khi chưa có phương hướng hoặc chưa có phương hướng tốt thì chưa thể cólời giải hoặc lời giải tốt

- Mặt khác phải xem lao động trong khâu thực hiện các thao tác khi đã có phươnghướng là lao động có tính chất kỹ thuật, không thể có những sáng tạo lớn như lao động

để tìm phương hướng

- Ngoài ra, coi trọng khâu rèn luyện phương pháp tìm lời giải các bài toán chính

là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập sáng tạo – một khảnăng không thể thiếu được đối với người giải toán

Những điều nêu ra ở trên (dù sơ bộ) cũng đủ chứng tỏ tính chất quyết định củakhâu: rèn luyện phương pháp tìm lời giải các bài toán trong toàn bộ quá trình rèn luyệngiải toán và khả năng tu duy cho người giải toán

1.3 Quy trình giải một bài toán

Để giải một bài toán ta thông thường thực hiện theo các bước sau:

1.3.1 Tìm hiểu bài toán (hay phân tích bài toán)

Cần nghiên cứu kĩ lưỡng các dữ kiện đã cho và mục đích cần đạt được của bàitoán Phải hiểu thấu bài toán

1.3.2 Xây dựng chương trình giải

Khi xây dựng được chương trình giải ta thường xuất phát từ mục đích A cần đạtđược của bài toán và nghĩ đến một điều kiện B gần nhất cần có để đạt được mục đích.Điều kiện này có thể là một định lí, một khái niệm hoặc một bài toán quen biết Tiếptục, muốn có điều kiện B ta lại cần có điều kiện C nào đó,… Cứ như thế, ta suy rarằng điều kiện cần thiết đầu tiên chính là giả thiết của bài toán

Muốn xây dựng được một chương trình giải tốt thì cần:

- Hiểu kĩ bài toán

- Liên hệ bài toán với những bài toán đã biết

- Phân tích bài toán thành những bài toán đơn giản hơn và có triển vọng giải được

- Thử một vài trường hợp cụ thể để đánh giá khả năng thực hiện

1.3.3 Thực hiện chương trình giải

Việc thực hiện chương trình giải không phải chỉ nhằm mục đích trình bày mộtchuỗi những suy luận logic và những phép tính để từ giả thiết suy ra kết luận của bàitoán mà còn phải biết trình bày lời giải một cách chính xác rõ ràng, sáng sủa; nghĩa làphải thể hiện sự rèn luyện kĩ năng tính toán, lập luận và sự rèn luyện trau dồi ngônngữ

1.3.4 Nhìn lại lời giải

Khi giải xong một bài toán ta không nên tự hài lòng với công việc đã làm củamình mà cần nhìn lại lời giải Trong khi nhìn lại bài toán ta cần làm ba việc sau:

1) Kiểm tra lại sự chính xác của các phép toán, sự hợp logic của lập luận

2) Tìm những ưu khuyết điểm của phương trình đã thực hiện Từ đó sẽ hoàn thiện hơnchương trình giải ấy hoặc đề xuất những phương pháp giải khác ưu việt hơn

3) Bằng các phương pháp tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa để có thể phát hiệnnhững bài toán mới

Những việc làm trên giúp ta rèn luyện một tác phong làm việc nghiêm túc, khoahọc, và cũng từ đó ta rút ra được những kinh nghiệm về tư duy và kỹ năng giải toán

2 CƠ SỞ THỰC TIỄN

2.1 Chức năng của bài tập Đại số

Bài tập Đại số có 4 chức năng cơ bản sau:

- Chức năng dạy học: Bài tập nhằm cũng cố cho học sinh những tri thức, kỹ

năng, kỹ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

- Chức năng giáo dục: Bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy

vật biện chứng, hứng thú học tập và niềm tin, phẩm chất đạo đức của con người laođộng mới

- Chức năng phát triển: Bài tập nhằm rèn luyện và phát triển năng lực tư duy

sáng tạo cho học sinh, đặc biệt rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành nhữngphẩm chất của tư duy khoa học

- Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh

giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh

Với các chức năng trên, bài tập Đại số đóng một vai trò quan trọng trong quátrình rèn luyện năng lực, các thao tác tư duy và trí tuệ cho học sinh, tạo cho học

sinh có cơ hội để rèn luyện và phát triển năng lực tư duy của mình.

2.2 Đánh giá chung về thực trạng

Trong thời gian thực tập sư phạm, thông qua những giờ dạy, giờ dự giờ và qua ýkiến thăm dò, khảo sát một số giáo viên thì người viết nhận thấy thực trạng dạy vàhọc bài tập Đại số hiện nay của giáo viên và học sinh bên cạnh những thuận lợithì còn có những khó khăn và tồn tại: việc phát huy năng lực tư duy, tính tích cực,chủ động của học sinh chưa thực sự đạt hiệu quả, mặc dù các giáo viên đã nỗ lực điềuhành, định hướng và tổ chức quá trình lĩnh hội tri thức của học sinh bằng nhữngphương pháp dạy học tích cực tuy nhiên chất lượng dạy học vẫn còn khiêm tốn.Điều đó do nhiều nguyên nhân, cả khách quan và chủ quan:

+ Thứ nhất, hệ quả này xuất phát từ sự rơi rớt lại của phương pháp dạy học cũ,nặng về truyền thụ một chiều của người dạy, lấy người dạy làm trung tâm, một sốgiáo viên còn chậm đổi mới

+ Thứ hai, hệ thống học tập bài tập Đại số đưa ra trong những giờ dạy cònchưa thật phong phú, đa dạng về nội dung, đơn giản về hình thức

+ Thứ ba, việc thực hành làm bài tập tại lớp của học sinh còn mang tính hìnhthức, đối phó

+ Thứ tư, việc ra những bài toán có khả năng sáng tạo chưa được quan tâmnhiều nên chưa kích thích được người học, chưa phù hợp với từng đối tượng học sinh.+ Thứ năm, năng lực làm bài tập Đại số của các em học sinh còn hạn chế, tâm lícoi nhẹ việc thực hành, do đó khi đứng trước một bài toán gây nên sự chán nản, nặngnề

+ Thứ sáu, do việc rèn luyện và phát triển năng lực tư duy cho học sinh chưađược quan tâm đúng mức, trong giờ học học sinh không thực sự chủ động tích cựctiếp nhận và vận dụng tri thức đã học trong thực tế học tập

Thực tiễn trên đã đặt ra yêu cầu cấp thiết là chúng ta phải chú trọng phát huynăng lực tư duy, tính tích cực, chủ động của học sinh trong giờ thực hành làm bài tậpĐại số Có như thế học sinh mới trở thành những chủ thể tích cực trong học tập cũngnhư trong đời sống xã hội, phát triển toàn diện và đóng góp sức mình cho đất nước

Kết luận chương 1: Khóa luận đã tổng quan những vấn đề cơ bản của tư duy,vấn đề rèn luyện giải toán và những cơ sở thực tiễn để từ đó đề xuất những biện pháp

cần thiết nhằm rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh bậc trung học phổ thông quagiải bài tập Đại số trong chương tiếp theo.

Chương 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH PHỔ THÔNG

QUA VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

1 Rèn luyện khả năng phân tích bài toán

Đây là việc xem xét, nghiên cứu bài toán đã cho mà vấn đề quan trọng là cáchnhìn bài toán Phải biết cách nhìn bài toán dưới dạng chính quy mẫu mực Đây là cáchnhìn trực tiếp vào đặc điểm chủ yếu của bài toán Cách nhìn này giúp ta phát hiệnđược các đặc điểm cơ bản, đơn giản nếu không bị che khuất bởi những hình thức rắcrối Tuy vậy, lại phải biết nhìn bài toán dưới dạng đặc thù, riêng lẻ Phải có con mắttinh tường và cũng phải luyện tập nhiều, người giải toán mới biết cách khai thác hếtmọi khía cạnh biểu hiện tinh vi của bài toán, mới “gọi” được những điều muốn nói củacác con số, của các kí hiệu, các điều kiện chứa đựng trong bài toán

Phải biết nhìn bài toán trong bối cảnh chung nhưng lại phải biết nhìn bài toántrong từng hoàn cảnh cụ thể; lại phải nhìn bài toán trong mối tương quan với các loạibài toán khác

Phải biết cách liên tưởng giữa các phạm vi khác nhau trong khi nhìn bài toán Làbài toán đại số nhưng lại phải liên tưởng đến chẳng hạn phạm vi lượng giác, hình học

và ngược lại

Nói chung lại, trong việc rèn luyện cách nhìn một bài toán, phải có những cáinhìn và cách nhìn đúng Đây là chìa khóa mở đường cho việc tìm kiếm các đường lốigiải

Ví dụ 1.1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2 5

u y xBiết rằng x và y thỏa mãn phương trình:

Bằng cách rút y theo x từ phương trình đầu rồi thế vào phương trình thứ hai của

hệ, ta thu được phương trình đối với x:

1cos

sin4

x x

9 cos sin  9

là một đồng nhất thức đúng với mọi  Hàm số u dưới dạng lượng giác có dạng:

3sin cos 54

Chỉ cần sử dụng bất đẳng thức:

u Y  có thể xem như là một phương trình hai ẩn X và Y và

viết lại dưới dạng:

4 4 5

3

Y  X  u (4)chính là phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng Đường thẳng này có phương

không đổi, luôn luôn song song với đường thẳng 0

43

Y  X và cắt trục Oy tại điểm có

tung độ là 4u  5 

Khi đó bài toán đã cho chuyển thành bài toán hình học sau:

Tìm điều kiện của u để đường thẳng có phương trình (4) cắt đường tròn có phương trình (1’) rồi từ điều kiện thu được của u ta suy ra kết quả.

- umin được xác định khi P trùng với N, tức là: n = 4(umin – 5).

Dễ thấy rằng nm và từ sự bằng nhau của hai tam giác OAB và OHM ta được:

u u



max min

254154

u u



B

Y 0 Y

Y 2

Y 1 N

x 3

Lời giải 1 có tính chất mẫu mực, “sách vở” tuy hơi dài nhưng có ưu thế hơn các lời giải khác đó là: có thể dùng lời giải đó để giải bài toán tổng quát của bài toán đã cho Đó là bài toán:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

u ax by c  

trong đó x và y thỏa mãn phương trình:

mx2nxy py 2qx ry s  0 (1)

x, y là biến số, còn a, b, c, m, n, p, q, r và s là các hệ số.

Tuy vậy, lời giải 1 không hấp dẫn vì giải dài và thiếu sáng tạo

Các lời giải từ số 2 đến lời giải 5 gọn và hay hơn Có được các lời giải đó là do ta

đã khai thác được cái riêng nhiều vẻ của bài toán Tất nhiên, bằng cách đó không thểgiải được bài toán dạng tổng quát đã nêu Đó cũng là mặt yếu của các lời giải này

Ví dụ 1.2 Giải bất phương trình:

 2   

2 x x  4x 3  3 x  1 x 3 2  (1)

Nhận xét và hướng dẫn giải

Với điều kiện x 1, bất phương trình tồn tại

Nếu để nguyên dạng của (1) mà thực hiện các phép biến đổi tương đương thì bàitoán trở nên quá phức tạp Nhưng nếu để ý đến nhóm x 1 x3 đã có ở vế phảicòn vế trái chỉ mới có x 1 x 3 ta có thể nghĩ đến việc tạo ra thừa số chung( x  1 x 3) cho cả hai vế

Khi đó ta có biến đổi sau:

23

2

33231

0

0 00

a b

b

a b a b

Nhận xét ngay được rằng bộ ba số (0,0,0) là một nghiệm

Ngoài ra cả ba số x, y, z đều khác 1, vì nếu x 1thì phương trình đầu của hệ không thỏa mãn

Khi x y z , , 1, hệ đã cho tương đương với hệ sau:

2 2 2

212.121

x y x y z y z x z

tan( )72tan( ).

74tan( )7

x y z

Ví dụ 1.5 Tìm giới hạn của dãy  x n với

sin2.22

n n

Như vậy ở bài toán này, bằng cách nhìn riêng mang tính lượng giác ta đã giảiquyết được bài toán

Một mặt khác, cách nhìn bài toán còn mang ý nghĩa khám phá bài toán đó Mộttrong các nhiệm vụ của việc khám phá đó là lột bỏ hình thức “có tính chất ngụy trang”của bài toán Mạnh dạn lột bỏ cái vỏ bọc bề ngoài của một bài toán là một công việccần làm đối với người giải toán.

Hệ đã cho chỉ có hai phương trình mà ẩn số còn lại là bốn Để giải bài toán này,

số phương trình của hệ phải có ít nhất là bốn Như vậy có nghĩa là ta phải “tìm kiếm thêm” các phương trình của hệ vốn có để có đủ điều kiện để giải

Như vậy, phương trình đầu của hệ xảy ra khi và chỉ khi xảy ra hệ (*)

Nói cách khác, thực chất của hệ đã cho là:

là một hệ chuẩn, đủ bốn phương trình của bốn ẩn

Chỉ cần đặt các tỉ số bằng nhau là k, ta thu được x t k z  , 4 ,k t 3 k Thay vàophương trình cuối ta thu được k 1

Từ giả thiết a, b, c, d theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ta suy ra:

.

a d b c k   Khi đó để sử dụng ta biến đổi vế trái của (2) về dạng:

Bài toán đặt ra: chứng minh (2) đúng với mọi x.

Khi a, b, c, d là cấp số cộng và m thỏa mãn (1) được thay bởi bài toán:

Chứng minh g u   0 với mọi u trong điều kiện đã cho.

Theo định lý về dấu của tam thức bậc hai, thay vì giải bài toán đó ta giải bài toánđiều kiện đủ sau: Chứng minh trong các điều kiện đã cho thì   0 (*)

   điều phải chứng minh

2 Rèn luyện khả năng định hướng và xác định đường lối giải

2.1 Xác định đúng đắn thể loại bài toán.

Theo nội dung của phương pháp tìm lời giải, việc xác định đường lối giải một bàitoán trước hết và chủ yếu là phải xác định đúng đắn thể loại bài toán Để làm tốt điềunày cần nghiên cứu kĩ bài toán đã cho mà chủ yếu là căn cứ vào yêu cầu mà bài toán

đó đòi hỏi để xác định đúng thể loại bài toán Các đường lối giải của số lớn loại bàitoán đã được xác định trong nội dung những tri thức về loại bài toán đó mà người giảiphải biết và tất nhiên phải nhớ Tuy vậy, cái khó khăn về mặt này thường gặp là mỗibài toán tuy nằm trong thể loại nào đó nhưng lại có vẻ riêng biệt của nó Vì thế người

giải phải nắm vững các đường lối chung, lại phát hiện đúng cái riêng của mỗi bài toán

để chọn một đường lối thích hợp nhất (trong các đường lối có thể có để giải bài toánđó)

2.2 Trong việc xác định đường lối giải của bài toán, lại phải chú ý đến khả năng sau:

Có những bài toán xét về mặt hình thức thì khác nhau nhưng có những đặc điểm giống nhau và vì thế đường lối giải chúng lại hoàn toàn giống nhau Ta nêu ra đây

các bài toán loại đó:

Ví dụ 2.2.1.

1) Cho phương trình: x2kx a 0 (1)với a 0 đã cho và k là tham số Hãy tìm mọi giá trị của k để cho biểu thức:

Trong đó x x1, 2 là các nghiệm của phương trình (1)

2) Cho phương trình bậc hai:

2.2.11; hệ thức (2) trong ví dụ 2.2.12; biểu thức x1 x2 trong ví dụ 2.2.13 và hệ thức (1)trong ví dụ 2.2.14 Riêng ví dụ 2.2.14 thì phương trình bậc hai chứa trong bài toán đóchính là phương trình y ' 0 vì hoành độ x x1, 2của các điểm cực trị là nghiệm của hệphương trình y ' 0.

Chính vì đặc điểm cơ bản giống nhau giữa các bài toán đó nên đường lối giải cácbài toán đó giống nhau mà cụ thể quy trình giải như sau:

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có mặt trong bài toán có nghiệm.Bước 2: Biểu diễn các đại lượng liên quan đến các nghiệm của phương trình bậchai qua x1x2và x x1 2,dùng định lí Viét thuận để tính x1x2và x x1 2rồi từ đó tính lạicác đại lượng đã cho

Bước 3: Công việc của bước này được xác định theo yêu cầu của từng bài toán.Như vậy, với cách nhìn vào các đặc điểm cơ bản, các bài toán trên có thể xếpthành một loại (vì có cùng đường lối giải)

Dưới đây, xin trình bày lời giải sơ lược của ví dụ 2.2.14:

Lời giải

Điều kiện để hàm số y có cực trị: phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt

4

 sinacosa2 3sin 2a 1 2sin 2 a

Để giải phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt thì:

rồi đặt sin cos 2 sin

4

với điều kiện:  2 u 2

ta được phương trình đối với u là:

2

2 2

không khỏi lúng túng trước một bài toán vì hai lẽ sau:

+ Bài toán này thuộc vào loại bài toán tổng quát nào?

+ Đường lối giải loại bài toán tổng quát đó như thế nào?

Có những khó khăn đó trước hết là do người giải toán không nắm chắc các đặcđiểm cơ bản để phân biệt các loại bài toán và các đường lối có thể giải được chúng.Vai trò của giáo trình và nhất là thầy giáo góp phần quan trọng trong việc rèn luyệnmặt này cho người giải toán

- Xác định những bài toán cùng loại, khái quát hóa thành bài toán tổng quát

và xây dựng đường lối giải bài toán đó Công việc này khó hơn công việc trên.

Trước hết đòi hỏi trình độ hiểu biết các loại toán để đủ khả năng hình thành được cácbài toán tổng quát và đường lối giải của chúng Để luyện tập khả năng này, ta có thể

tiến hành như sau: Phân tích trong các bài toán đã cho các đặc điểm cơ bản, chung cho

mọi bài toán và các đặc điểm phụ, riêng cho từng bài toán Không thể xếp các bài toánvào cùng một loại theo các đặc điểm riêng của chúng Như vậy có nghĩa là, dựa vàocác đặc điểm chung, giống nhau trong các bài toán, ta xếp chúng vào từng loại

Dưới đây là các bài toán minh họa

Ví dụ 2.3.1 Tìm mọi giá trị của tham số m để hệ bất phương trình sau đây vô

Cho một hệ bất phương trình có chứa tham số Hãy tìm mọi giá trị của tham số để

hệ bất phương trình vô nghiệm

Đường lối giải bài toán tổng quát là:

Tìm mọi giá trị của tham số m để cho:

+ Một trong các bất phương trình của hệ vô nghiệm

+ Mọi bất phương trình của hệ đều có nghiệm nhưng chúng không có nghiệmchung

Ngoài ra, còn phải biết thêm rằng: có đôi khi, do bài toán đã cho thay vì giải trựctiếp, ta giải bài toán gián tiếp

Trở lại ví dụ 2.3.1, do bất phương trình (1) không chứa tham số, ta xét cụ thểtrước

Vì thế, đường lối chung đã nêu trên phải được “dịch” vào bài toán cụ thể này là:

Tìm mọi giá trị của tham số m để cho:

- Bất phương trình (2) vô nghiệm

- Bất phương trình (2) có nghiệm thì mọi nghệm của (2) chỉ có thể là mọi x:

1.

x 

Công việc xác định đường lối coi như được giải quyết Lời giải tiếp tục như sau:

Ta xét bất phương trình (2):

+ Khi m 0, khi đó (2)   1 0 là bất đẳng thức không đúng với mọi x Như vậy, khi

0

m  thì (2) vô nghiệm, do đó hệ vô nghiệm

Vậy m 0 thỏa mãn bài toán

Vậy m 0 không thỏa mãn bài toán

Xét m 0 Để xét nghiệm của (2) ta phải xét đến dấu của 2  

Tổng hợp kết quả: Hệ đã cho vô nghiệm khi m 0.

Ví dụ 2.3.2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất các hàm số sau:

và do  2 sinx cos  x 2 sinx cos x 2 0, x.

Vậy đặc điểm cơ bản, có chung cho các hàm số đó là:

Tập xác định là mọi x R.Bài toán tổng quát được phát biểu là:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f x  có tập xác định là mọi x R

Vậy các bước để giải bài toán như sau:

Bước 1: Chuyển hệ thức yf x  (1) thành phương trình f x  y0 (2) ẩn x

Bước 2: Thành lập điều kiện có nghiệm x của phương trình (2)

Bước 3: Từ điều kiện đó ta suy ra tập giá trị của hàm số y và suy ra được ymax và

Vậy ta kết luận:

min

34

y y

    

- Khi y 0 khi đó từ (1) ta suy ra x 1 và ngược lại, khi x 1 thì y 0.

- Khi x 1 thì y 0, phương trình (2) có bậc hai Điều kiện có nghiệm:

2 2

0

1 4(1 ) 0

32

32

y

y y

y 

Từ đó: min 3

2

Do limx y, vì vậy không tồn tại ymax.

Ví dụ 2.3.3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai:

  2  0

trên tập xác định  ; 

Nhận xét và hướng dẫn giải

Đường lối giải bài toán này được dựa vào đồ thị của hàm f u  trên đoạn  ; 

Vì vậy, ta phải xét ba trường hợp, tùy theo vị trí tương đối của trục đối xứng

 với tập xác định, và ta giả thiết a 0

Khi đó, kết quả bài toán được thể hiện trên đồ thị cho bởi hình:

0

u 0

y

x β

u 0

y

x α