PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT ĐIỂN HÌNH TÌM NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT ĐIỂN HÌNH TÌM NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Giáo viên: Phạm Bắc Phú Tổ Toán-Tin, trường THPT A Hải Hậu I.. Loại bài tậ

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

Sáng kiến được áp dụng trong giảng dạy nội dung “Nguyên hàm, tích phân và

ứng dụng” (chương III – Giải tích 12) cho hai đối tượng: Một là học sinh lớp 12

(trong giảng dạy đại trà, ôn thi Đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán); Hai là sửdụng cho giáo viên vừa làm tư liệu, vừa định hướng sáng tạo khi dạy học nội dungnguyên hàm – tích phân

Nơi thường trú: Đội 10-xã Hải Thanh-huyện Hải Hậu-tỉnh Nam Định

Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học-chuyên ngành sư phạm Toán

Chức vụ công tác: Giáo viên

Nơi làm việc: Trường THPT A Hải Hậu

Địa chỉ liên hệ: Phạm Bắc Phú-Giáo viên THPT A Hải Hậu

Mail: phupb.toan@gmail.com

5 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị: Trường THPT A Hải Hậu

Địa chỉ: Khu 6-Thị trấn Yên Định-Hải Hậu-Nam Định

Điện thoại: 03503877089

[x] – Tr.y Tài liệu [x], trang y.

[x] – Tr.y-z Tài liệu [x], trang y đến trang z

Khối X năm Y Trích đề thi tuyển sinh Đại học của Bộ Giáo dục & Đào tạo,

khối thi X, năm tuyển sinh Y

QUY ƯỚC VỀ CÁC THUẬT NGỮ TOÁN

“hàm số f xác định trên K” K là một khoảng, một đoạn hay một nửa

a

f x dx

“Tìm nguyên hàm – tích phân …” Chỉ việc: Tìm họ các nguyên hàm … Tính tích phân …

“Hàm số dưới dấu tích phân”

Chỉ hàm f x xuất hiện trong các kí hiệu  nguyên hàm hay tích phân đang xét tới:

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT ĐIỂN HÌNH

TÌM NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Giáo viên: Phạm Bắc Phú

Tổ Toán-Tin, trường THPT A Hải Hậu

I Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:

* Hình thành và rèn luyện năng lực học tập bộ môn là một yêu cầu tất yếu củamỗi môn học ở cấp học phổ thông Trong quá trình giảng dạy cho nhiều đối tượng học

sinh các năm học từ 2008 đến nay, chúng tôi thấy cần thiết phải phát triển cho học

sinh năng lực Toán học để giúp học sinh nắm bắt và làm chủ được các phương pháp

và kĩ thuật giải toán đa dạng Điều này giúp học sinh tích cực hơn trong việc học của

mình, gợi động cơ yêu thích môn học và đáp ứng được các mức độ yêu cầu khác nhaucủa các kì thi

* Bài tập tìm nguyên hàm – tích phân là nội dung xuất hiện trong các đề thigiữa học kỳ II, thi cuối năm, thi Tốt nghiệp THPT, đặc biệt nó luôn xuất hiện trong đềthi Tuyển sinh ĐH, CĐ và thi HSG Toán 12 hàng năm kể từ năm học 2008-2009 tớinay Loại bài tập này phong phú về phương pháp và kĩ thuật, thể hiện mối liên hệ mậtthiết giữa nhiều mảng kiến thức Toán (đại số, lượng giác, giải tích, phương pháp tính),

do đó nó là một trong những nội dung giúp rèn luyện và phát triển một số năng lựcToán học cho người dạy và người học:

- Năng lực tư duy logic, sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu chính xác

- Năng lực suy đoán và tưởng tượng, liên hệ

- Năng lực làm việc theo quy trình

- Những hoạt động trí tuệ cơ bản: Phân tích, tổng hợp, khái quát hóa…

- Hình thành những phẩm chất trí tuệ có ích trong học tập, trong công tác vàcuộc sống: Tính linh hoạt, khả năng lật ngược vấn đề, tự phản biện, tính độc lập, tínhsáng tạo

II Thực trạng (trước khi tạo ra sáng kiến):

* Nhiều học sinh ít hứng thú với môn Toán Sở dĩ học sinh chưa tìm thấy niềmvui, sự yêu thích trong hoạt động giải toán là do chưa được rèn luyện những năng lựcToán học cần thiết đáp ứng yêu cầu của môn học

* Nội dung “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng” được trình bày trong hai bộ sách giáo khoa [1] (Nâng cao) và [3] (Cơ bản) theo phân phối như sau:

Trong Sách giáo khoa Nâng cao

Câu hỏi và bài tập ôn tập chương III 2 Ôn tập chương III 1

Theo phân phối trên, số tiết chính khóa cho việc luyện tập phương pháp và kĩthuật tìm nguyên hàm – tích phân không quá 8 tiết, thông thường các tiết luyện tập đóphải đảm bảo những nội dung sau:

i) Ba phương pháp tìm nguyên hàm – tích phân cơ bản

ii) Các bài toán nguyên hàm – tích phân theo dạng hàm số:

ii.1- Nguyên hàm, tích phân của hàm đa thức

ii.2- Nguyên hàm, tích phân của hàm phân thức hữu tỉ

ii.3- Nguyên hàm, tích phân của hàm lượng giác

ii.4- Nguyên hàm, tích phân của hàm vô tỉ

ii.5- Nguyên hàm, tích phân của hàm mũ

ii.6- Nguyên hàm, tích phân của hàm logarit

iii) Một số dạng tích phân đặc biệt

Ở một khía cạnh khác, các tài liệu tham khảo đóng vai trò là một kênh quantrọng giúp học sinh tự học, tuy nhiên hầu hết các tài liệu tham khảo hiện nay (xem [7],[8], [9], [10], [15], [16], …) về phương pháp tìm nguyên hàm – tích phân đều phânchia dạng, loại bài tập theo hệ thống trên

Thực tiễn khách quan cho thấy phân phối thời lượng còn quá ít so với một khốilượng lớn các dạng loại, chưa kể tới trong mỗi sự phân chia theo dạng hàm ở trên cònnhiều những dạng bài nhỏ đặc trưng của loại hàm đó

* Những khó khăn nảy sinh khi học tập môn Toán nói chung và giải các bàitoán nguyên hàm – tích phân nói riêng là: Học sinh phải nắm bắt và ghi nhớ khá nhiềukiểu bài và cách làm, thời gian luyện tập lại ít, dẫn đến lối học tập thụ động, gặp nhiềukhó khăn trước bài tập mới hoặc lạ Để góp phần giải quyết những khó khăn trên, dựatrên thực tiễn đã giảng dạy, trong báo cáo này tác giả trình bày một số kinh nghiệmphát triển năng lực Toán học qua dạy học phương pháp và kĩ thuật điển hình tìmnguyên hàm – tích phân, chứa đựng trong đó một số kĩ thuật dạy học và kĩ thuật sángtạo dành cho giáo viên

III Giải pháp:

III.1- TÓM TẮT NỘI DUNG GIẢI PHÁP:

Các nội dung cơ bản được đưa ra là:

 Nghiên cứu lí luận chung về năng lực Toán học và khả năng phát triển nănglực Toán học qua dạy học nội dung phương pháp và kĩ thuật điển hình tìmnguyên hàm – tích phân

 Ba phương pháp tìm nguyên hàm – tích phân

 Một số kĩ thuật điển hình tìm nguyên hàm – tích phân.

 Kinh nghiệm tiếp cận bài toán, kinh nghiệm sáng tạo trong từng phương pháp

và kĩ thuật, qua đó phát triển năng lực Toán học cho học sinh và giáo viên

 Giới thiệu một số kĩ thuật mới tìm nguyên hàm – tích phân.

 Thực nghiệm sư phạm

Điểm mới – sáng tạo của giải pháp:

* Phát triển năng lực Toán học qua dạy học phương pháp, thuật giải, phân tíchtìm lời giải và khai thác bài toán.

* Hệ thống những kĩ thuật điển hình tìm nguyên hàm – tích phân, trong đó:

Hướng 2-D1-mục D-Phần thứ hai – Chương II; Phần thứ ba là một số kĩ thuật mới và sáng tạo.

* Chỉ ra cách sáng tạo bài tập theo các phương pháp, kĩ thuật cho người làm

Toán và học Toán

III.2- NỘI DUNG GIẢI PHÁP:

CHƯƠNG I – CƠ SỞ LÍ LUẬN NĂNG LỰC TOÁN HỌC TRONG QUÁ TRÌNH DẠY VÀ HỌC

BỘ MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

A Một số quan điểm về năng lực

A1 – Khái niệm năng lực:

* Từ điển Tiếng Việt ([17] – Tr.639) giải nghĩa “Năng lực: 1-Khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó 2- Phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao”.

* Dưới góc độ tâm lí học: “Năng lực được hiểu như là: Một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt động đó” ([20] – Tr.15) Như vậy, năng lực là thứ phi vật chất, được thể hiện qua hoạt động và đánh giá được qua kết quả của hoạt động.

A2 – Bản chất và nguồn gốc của năng lực:

Có nhiều quan điểm khác nhau về bản chất và nguồn gốc của năng lực, chúngthống nhất tại ba điểm chung quan trọng sau:

Một là: Những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết (nhưng không

phải là điều kiện đủ) cho sự phát triển năng lực

Hai là: Năng lực của con người có nguồn gốc xã hội – lịch sử Không có môi

trường xã hội thì năng lực không thể phát triển Thế hệ trước xây dựng và cảitạo để lại dấu ấn cho thế hệ sau kế thừa

Ba là: Năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt động.

B1 – Khái niệm: Năng lực Toán học là đặc điểm tâm lí cá nhân, trước hết là đặc

điểm hoạt động trí tuệ đáp ứng các yêu cầu của hoạt động học Toán, tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực Toán học tương đối nhanh chóng

và sâu sắc trong những điều kiện như nhau.

Năng lực Toán học được xét theo hai góc độ:

Một là: Năng lực nghiên cứu, sáng tạo cái mới.

Hai là: Năng lực học tập Toán học.

B2 – Các thành phần của năng lực Toán học:

* Theo Kônmôgôrốp, các thành phần của năng lực Toán học bao gồm:

- Năng lực biến đổi khéo léo các biểu thức chữ phức tạp; năng lực tìm được các con đường giải các bài toán, nhất là các bài toán không có quy tắc chuẩn; năng lực tính toán.

- Trí tưởng tượng hình học.

- Suy luận logic theo các bước đã được phân chia một cách đúng đắn kế tiếp nhau; có kĩ năng quy nạp, khái quát vấn đề.

* Theo A.V.Cruchetxki ([20]), cấu trúc của năng lực Toán học bao gồm:

a) Thu nhận thông tin: Tri giác hóa tài liệu Toán; nắm bắt cấu trúc của bài toán.

b) Chế biến thông tin:

- Năng lực tư duy logic trong phạm vi quan hệ số lượng, quan hệ không gian, tưduy với các kí hiệu Toán học

- Năng lực khái quát hóa các đối tượng – các quan hệ - các cấu trúc; năng lựcrút ngắn quá trình suy luận và tính toán

- Tính mềm dẻo của quá trình tư duy trong hoạt động Toán

- Khuynh hướng rõ ràng, giản đơn, tiết kiệm và hợp lí lời giải

- Năng lực thay đổi nhanh chóng và dễ dàng suy nghĩ theo dạng tương tự, dạng

tư duy thuận chuyển sang nghịch; xem xét cách giải bài toán theo nhiều khíacạnh khác nhau; năng lực phân chia trường hợp

c) Lưu trữ thông tin: Ghi nhớ các khái quát; các chứng minh; các nguyên tắc giải.

C Phát triển năng lực Toán học trong quá trình dạy học bộ môn Toán ở trường THPT

Quá trình dạy và học bộ môn Toán, hai tuyến nhân vật chính là giáo viên vàhọc sinh tác động qua lại với nhau thông qua nội dung và chương trình Toán học Pháttriển năng lực Toán học trong quá trình này bao gồm: Phát triển năng lực Toán họccho giáo viên và phát triển năng lực Toán học cho học sinh Theo nghiên cứu từ [18] –Tr.107-110, chúng tôi cho rằng:

C1 – Phát triển năng lực Toán học cho học sinh trong quá trình dạy học bộ môn Toán ở trường THPT gồm có:

 Phát triển năng lực nhận dạng và thể hiện (khái niệm, định lí, phương pháp)

 Phát triển năng lực hoạt động phức hợp trong bộ môn Toán: Chứng minh, địnhnghĩa, dựng hình, giải toán quỹ tích, tính toán và ước lượng, …

 Phát triển năng lực hoạt động trí tuệ phổ biến trong môn Toán: Lật ngược vấn

đề, xét tính giải được, phân chia trường hợp, xét đoán các khả năng xảy ra…

 Phát triển năng lực hoạt động trí tuệ chung: Phân tích, tổng hợp, so sánh, kháiquát hóa, tương tự hóa, đặc biệt hóa, …

 Phát triển năng lực hoạt động ngôn ngữ: Phát biểu, giải thích bằng lời; biến đổihình thức bài toán…

 Phát triển năng lực tri giác thẩm mĩ: Thấy được vẻ đẹp nội tại của Toán học,nâng cao tình yêu với môn học

C2 – Phát triển năng lực Toán học cho giáo viên trong quá trình dạy học bộ môn Toán ở trường THPT:

 Trước hết người dạy Toán phải như là một học sinh học Toán, do vậy cần tự

mình phát triển, bồi dưỡng các nhóm năng lực Toán học ở trên như đối vớingười học sinh

 Hơn thế, người giáo viên cần có năng lực nghiên cứu sáng tạo cái mới (phương

pháp mới, kiến thức mới, bài toán mới) để nâng cao trình độ nghiệp vụ củamình, giữ đúng vai trò là hình mẫu, là người điều khiển (nhưng không là chủthể) của quá trình dạy học

Tóm lại: Phát triển năng lực Toán học trong quá trình dạy học bộ môn Toán là tìm

cách nâng cao ba yếu tố sau: Tri thức chuyên môn Toán, kĩ năng làm Toán, thái độ tình cảm đối với bộ môn Toán.

D Phát triển năng lực Toán học trong dạy học phương pháp và kĩ thuật điển hình tìm nguyên hàm – tích phân

D1 – Nội dung “Nguyên hàm – Tích phân” trong môn Toán ở trường THPT.

* Nguyên hàm, tích phân được đề cập tới trong chương trình Giải tích 12 ở chươngIII-“Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng” (theo [1], [3]), bao gồm những vấn đề:

i) Nguyên hàm

ii) Một số phương pháp tìm nguyên hàm

iii) Tích phân

iv) Một số phương pháp tính tích phân.

v) Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

vi) Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

Những yêu cầu đối với việc dạy học nội dung này là:

i) Hình thành được khái niệm nguyên hàm

ii) Dạy học tìm nguyên hàm

iii) Hình thành khái niệm tích phân

iv) Dạy học tính tích phân

v) Dạy học ứng dụng của tích phân trong hình học: Giải quyết bài toán diện

tích hình phẳng và thể tích vật thể (Theo [19] – Tr.164-170)

Như vậy có ba yêu cầu chính: Dạy khái niệm, dạy phương pháp và kĩ thuật tìm

nguyên hàm tích phân, dạy ứng dụng Lưu ý là việc ứng dụng tích phân tronghình học được đưa về bài toán tính một tích phân cụ thể

Những yêu cầu cần đạt được về kĩ năng là:

i) Tìm được nguyên hàm của một số hàm số dựa vào bảng nguyên hàm và

cách tính nguyên hàm từng phần

ii) Sử dụng được phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và

không đổi biến số quá một lần) để tính nguyên hàm

iii) Tính được tích phân của một số hàm số bằng định nghĩa hoặc phương

pháp tính tích phân từng phần

iv) Sử dụng được phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và

không đổi biến số quá một lần) để tính tích phân

(Theo [21] – Tr.51-54)

Từ những đặc điểm trên ta thấy có nhiều cơ hội hơn cả cho việc phát triển năng

lực Toán học qua nội dung nguyên hàm – tích phân ở ít nhất hai khâu: Một là phương pháp, kĩ thuật; hai là ứng dụng Trong phạm vi cho phép, ở những phần sau báo cáo

chỉ bàn về khâu phương pháp và kĩ thuật

D2 – Một số nội dung phát triển năng lực Toán học trong dạy học phương pháp

và kĩ thuật điển hình tìm nguyên hàm – tích phân.

Theo quan điểm chủ quan của tác giả, có những điểm sau đây cần lưu ý nhằmphát triển năng lực Toán học khi thực hiện dạy học phương pháp và kĩ thuật tìmnguyên hàm – tích phân:

1) Tăng cường thông tin, chỉ dẫn lịch sử về nột dung “nguyên hàm – tích phân” đểgây hứng thú với nội dung dạy và học, để tri giác vẻ đẹp nội tại của Toán học,

là tiền đề phát triển năng lực Toán học, tác động tốt tới tư tưởng và tình cảmcủa học sinh

2) Phát triển năng lực nhận dạng, năng lực thể hiện phương pháp và kĩ thuật tìmnguyên hàm – tích phân

3) Phát triển năng lực hoạt động trí tuệ phổ biến trong giải Toán: Sự phân tích bàitoán, phát hiện các yếu tố cơ bản và các yếu tố đặc biệt trong bài toán, biết phánđoán cách thức giải bài và tự phản biện cách làm

4) Phát triển năng lực hoạt động trí tuệ chung: Khái quát dạng bài tập, khái quát kĩthuật tìm nguyên hàm – tích phân, liên hệ giữa các thao tác và dấu hiệu trongdạng Toán về nguyên hàm – tích phân với nội dung Toán học khác (phươngtrình, đạo hàm…), đặc biệt hóa các dạng nguyên hàm – tích phân tổng quát chonhững bài cụ thể

5) Phát triển tư duy thuật giải: Tìm lời giải và trình bày các bài toán đổi biến haynguyên hàm - tích phân từng phần theo các bước chung

6) Phát triển năng lực trình bày lời giải, năng lực sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu.7) Phát triển năng lực sáng tạo bài toán nguyên hàm – tích phân mới

D3 – Một số kinh nghiệm đã thực hiện nhằm phát triển năng lực Toán học trong dạy học phương pháp và kĩ thuật điển hình tìm nguyên hàm – tích phân.

Quá trình dạy học phương pháp và kĩ thuật tìm nguyên hàm – tích phân gắn liềnvới việc dạy giải bài tập toán cụ thể Đây là quá trình lâu dài, nó không thể diễn ratrong chỉ một hay một vài tiết học Để phát triển năng lực Toán học trong quá trìnhnày, kinh nghiệm được rút ra là giáo viên và học sinh cần:

1 Hệ thống hóa kiến thức cơ bản nhất (Đối với học sinh không đòi hỏi lí thuyết quá

chuyên sâu vì nguyên hàm – tích phân là một nội dung phức tạp của Toán sơ cấp vàcao cấp; ở phạm vi THPT chỉ dừng lại ở mức độ: nguyên hàm xem như là phép toánngược của đạo hàm và tích phân được tính qua công thức Newton-Leibniz)

2 Hệ thống các biến đổi chung cho từng phương pháp.

3 Đối với mỗi bài toán cụ thể cần tuân thủ bốn bước giải Toán nói chung Đây là

điểm đặc biệt quan trọng quyết định sự hình thành và phát triển các năng lực Toán học

ở người làm Toán Thực hiện các biện pháp vấn đáp, đàm thoại, tự vấn đáp; qua

hoạt động ngôn ngữ này sẽ kích thích tư duy hướng đích của người làm toán Tác giảchú trọng những khâu sau đây:

(i) Tiếp cận và phân tích bài toán nguyên hàm – tích phân:

- Bài toán có quen thuộc, tương tự như bài đã làm hay công thức cơ bản nào không? Hàm số trong bài có giống một biểu thức hay một phần của phương trình nào đã gặp không?

- Phân chia hàm dưới dấu tích phân thành các bộ phận, chúng có quan hệ đặc biệt như thế nào? (lưu ý các quan hệ: Quan hệ bao hàm, biểu diễn cái nọ theo cái kia, quan hệ là đạo hàm của nhau, quan hệ về bậc, …)

- Có thể thực hiện được các biến đổi đặc trưng nào của loại hàm số này: Chia (đối với hàm phân thức), biến đổi hạ bậc – nhân đôi – tích thành tổng … (đối với hàm lượng giác), trục căn (đối với hàm vô tỉ)

- Quyết định chọn phương pháp nào trong ba phương pháp cơ bản? Biến mới là gì? Có những cách chọn nào cho u và dv, hãy thử xem? Hãy thử làm theo

dạng tích phân đặc biệt?

(ii) Tiến hành theo cách đã lựa chọn Nếu không thực hiện được tiếp: Khó khăn

lớn nhất xuất hiện ở đây là gì? Biến đổi nào phá bỏ được nó? Hãy quay lại bướcphân tích

(iii) Trình bày lời giải một cách ngắn gọn nhất, đảm bảo chính xác.

(iv) Thu được những kinh nghiệm gì từ quá trình trên ?

- Dạng nguyên hàm – tích phân tổng quát cho bài này là gì?

- Những kĩ thuật nào giúp giải dạng đó? Biến đổi then chốt của cách làm trên là biến đổi nào? – hãy ghi nhớ.

- Còn cách giải nào khác? Còn cách trình bày nào khác?

- Bước biến đổi không thành công ở trên dẫn tới bài toán mới nào?

- Hãy tạo ra những bài toán cùng dạng.

- Hãy thay đổi hình thức bài toán qua phép đổi biến.

4 Khái quát các quy trình, cách thức giải bài tập theo từng phương pháp cụ thể.

- Quy trình tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

- Quy trình tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

- Các tiêu chí chọn u và dv, "khẩu quyết" thường dùng.

- Cách thức phát hiện ra biến mới để biến đổi biến hay biến đổi vi phân

5 Hệ thống hóa bài tập theo phương pháp, theo kĩ thuật, theo dạng hàm Đối với

giáo viên, đây là phần tư liệu chuyên môn hữu ích cho quá trình dạy học phân hóa

6 Tìm hiểu nguyên lí tạo ra bài tập, nguyên lí tạo ra tình huống mong muốn trong bài tập, sáng tạo những bài toán mới.

Giả thuyết khoa học được đặt ra là:

Nếu chú ý rèn luyện và phát triển năng lực Toán học trong dạy học phương pháp

và kĩ thuật điển hình tìm nguyên hàm – tích phân sẽ giúp học sinh làm chủ được các phương pháp và kĩ thuật tìm nguyên hàm - tích phân, giúp giáo viên nâng cao trình

độ chuyên môn và có được những sáng tạo mới.

CHƯƠNG II – PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT ĐIỂN HÌNH

TÌM NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Tóm tắt nội dung của chương: Chương II trình bày ba phần, bao gồm:

Phần thứ nhất - Ba phương pháp cơ bản tìm nguyên hàm – tích phân.

A Phương pháp sử dụng định nghĩa và tính chất …

B Phương pháp đổi biến số

C Phương pháp nguyên hàm – tích phân từng phần

Phần thứ hai - Một số kĩ thuật điển hình tìm nguyên hàm – tích phân.

A Sử dụng phép biến đổi vi phân

B Nhân, chia với đại lượng thích hợp để biến đổi vi phân hay đổi biến

C Phân tích biểu thức trên tử theo mẫu và đạo hàm của nhân tử dưới mẫu

D Sử dụng tích phân từng phần cho tích phân dạng P x dx n( )( )

E Đổi biến không làm thay đổi cận tích phân

F Kĩ thuật ghép cặp để tìm nguyên hàm, tích phân

G Sử dụng máy tính cầm tay hỗ trợ việc tính tích phân

Phần thứ ba – Giới thiệu một số kết quả ban đầu trong việc tìm kiếm kĩ thuật mới

tìm nguyên hàm – tích phân.

A Vận dụng triệt để phép biến đổi vi phân của hàm một biến

B Khai thác đạo hàm của hàm tích phân

C Sử dụng mối liên hệ giữa tích phân xác định, diện tích hình phẳng và tổngtích phân

* Trong mỗi hệ thống trên, các nội dung cụ thể về phương pháp, kĩ thuật được

trình bày theo cấu trúc thống nhất gồm các vấn đề: Lí thuyết liên quan, nội dung

phương pháp hay ý tưởng kĩ thuật, dấu hiệu và quy trình, những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, các ý tưởng sáng tạo bài toán mới, hệ thống thí dụ minh họa, hệ thống bài tập vận dụng.

* Theo quan điểm cá nhân, việc phát huy năng lực Toán học không phải là những lí thuyết chung chung, nó phải được gắn ngay trên những bài toán cụ thể Do

đó tác giả lồng ghép điều này qua việc phân tích tìm hướng giải, trình bày lời giải,

Phần thứ nhất CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

A Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất của nguyên hàm và tích phân, sử dụng các nguyên hàm cơ bản

A1 – Tóm tắt lí thuyết:

Trong [1] – Tr.136-140, [3] – Tr.93-97 đã trình bày các vấn đề lí thuyết căn bản

về nguyên hàm – tính phân ở phạm vi THPT, những nội dung chính có thể tóm tắt nhưsau:

1) Khái niệm nguyên hàm, tích phân:

Khái niệm nguyên hàm Khái niệm tích phân

 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b

là hai số bất kì thuộc K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì

b

f x dx F x F b F a

2) Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

(gọi tắt là bảng nguyên hàm cơ bản)

3) Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm, tích phân:

Nếu f , g là hai hàm số liên tục trên K; a, b, c là ba số bất kì thuộc K thì:

Tính chất của nguyên hàm Tính chất của tích phân

phân không phụ thuộc vào kí hiệu biến).

A2 – Nội dung phương pháp:

Bản chất của phương pháp này là sử dụng các biến đổi sơ cấp hàm dưới dấu

tích phân thành tổng (hiệu) các hàm đơn giản hơn có trong bảng nguyên hàm cơ

1 Khai triển tích của hai biểu thức bằng luật phân phối.

2 Chia hai đa thức (biểu thức) đưa phân thức về những hạng tử đơn giản hơn.

   

f u x d u x[ ( )] ( ) F u x[ ( )] c Đây là điều đặc biệt quan trọng vì trong đa số bài

tập, các hàm dưới dấu tích phân thường phức tạp hơn rất nhiều so với những hàm đã nêu trong bảng nguyên hàm cơ bản Về điểm này báo cáo sẽ trình bày

hệ thống hơn thành mục riêng trong Phần thứ hai – mục A.

i) Để tìm nguyên hàm – tích phân của hàm đa thức, chủ yếu dùng một trong

hai cách: Khai triển lũy thừa, khai triển dạng tích tách bài toán về nhữngnguyên hàm cơ bản; sử dụng phép đổi biến số hoặc biến đổi vi phân

ii) Các cách làm khác nhau đối với cùng một nguyên hàm I có thể cho kết

quả có hình thức khác nhau (xem câu b của ví dụ trên), nhưng các kết quảnày phải sai khác nhau hằng số

 Thí dụ 2 Tìm các nguyên hàm, tích phân sau:

dx J

Nhận xét: Đối với tích phân của hàm phân thức hữu tỉ đơn giản:

i) Nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì chia tử cho mẫu đưa về

dạng có bậc của tử nhỏ hơn, khi đó có thể thực hiện thao tác “tách mẫu”hoặc đổi biến

ii) Mở rộng của dx ln x c

x là  dx 1 lnax b c 

ax b a (với a b,   và a khác

0) thường xuyên được sử dụng đối với dạng phân thức

 Thí dụ 3 Tìm các nguyên hàm, tích phân sau:

Chú ý: Trong giải toán tích phân của hàm vô tỉ, khi đổi từ căn thức sang dạng lũy

thừa cần lưu ý tới điều kiện xác định của các dạng kí hiệu, chẳng hạn ta có thể biếnđổi  

xdx nên chọn cách đổi biến để trình bày.

 Thí dụ 4 Tính các tích phân:

a)  

2 2 0

f x dx với f x là hàm chứa một hay nhiều biểu thức   u x i 

và a, b là các số thực cho trước, a b , ta vận dụng tính chất “tách cận” của tích phân,thực hiện theo quy trình như sau:

Bước 1: Tìm nghiệm của tất cả các biểu thức u x i  trong dấu giá trị tuyệt đối

trên khoảng (a; b) Giải sử tất cả các nghiệm đó là x1, ,x ( n

 1 2   n 

Bước 2: Chỉ ra được dấu của từng biểu thức u x trên từng đoạn i 

a x; 1 , ;x x1 2, ,x b n;  Nếu ở Bước 1 không có các nghiệm x1, ,x thì ta n

xét dấu của các biểu thức u x trên ngay  i  a b ; 

Bước 3: Dùng tính chất của tích phân và dấu đã xét ở Bước 2 để bỏ được dấu

giá trị tuyệt đối trong các tích phân thành phần của tổng:

Nhận xét: Với đa số các tích phân đơn giản của hàm số lượng giác, (bên cạnh cách

đổi biến số) ta thường tuân theo các quy tắc biến đổi như sau:

+ Nếu có lũy thừa bậc cao sin , cosn x n x thì sử dụng công thức hạ bậc, nhân đôi,

nhân ba

+ Nếu có dạng tích của các biểu thức sin, cosin thì biến đổi tích thành tổng

+ Nếu có tang, cotang thì viết khai triển theo sin, cosin hoặc biến đổi vi phân xuấthiện 2 , 2

 Thí dụ 6 Tìm các nguyên hàm, tích phân sau:

x (Trích Đề thi HSG Toán 12 Nam Định, năm 2007-2008).

Câu a: Phân tích: Với biểu thức     

tan tan tan

hướng biến đổi như sau:

Hướng 1: Sử dụng công thức cộng khai triển  

x , chính là  tan3x , đây là công thức

nhân ba đối với hàm tang, tuy nhiên trong chương trình hiện nay công thức này đã bịlược bỏ nên đa số học sinh không biết, hoặc biết và dùng thì phải chứng minh lại

Hướng 2: Thấy các cung ,  ,  

1 tan tan

a b

a b nhiều lần để quy

nguyên hàm cần tìm về tổng của các nguyên hàm quen thuộc dạng tan x  dx.

Hướng 3: Ta biến đổi từ dạng tích sang dạng tổng cho riêng các biểu thức trên

x trước tiên có thể nghĩ tới việc biến đổi tử

về dạng tích theo công thức quen thuộc: cos5 cos4 2sin sin9

đây không thấy được ngay mối liên hệ (để rút gọn, để đổi biến) giữa tử và mẫu

+ Ta nhớ lại một nguyên tắc hay dùng khi “bậc” của tử lớn hơn “bậc” của mẫu

là tìm cách chia tử cho mẫu Ở đây không thể đặt phép chia như đa thức, mà phải tìmcách phân tích tử, cụ thể là từng lượng cos5 , cos4x x thành 2cos3x

Sơ đồ sau đây định hướng biến đổi góc từ công thức biến đổi tổng thành tích,

Lời giải:

 Ta có: cos5x cos4x(cos5xcos ) (cos4x  xcos2 ) (cos2x  x cos )x

2cos3 cos2x x 2cos3 cosx x(cos2x cos ) (cos2x  x cos )(1 2 cos3 )x  x .

A4 – Kinh nghiệm trong giảng dạy phương pháp này:

* Đây là phương pháp rất cơ bản, phù hợp với mọi đối tượng học sinh khi mới

tiếp cận được các khái niệm và tính chất, giáo viên cần đặc biệt lưu ý tăng cường lượng bài tập phân hóa theo dạng hàm phù hợp với phương pháp nhằm mấy mục đích

sau:

- Học sinh phải sử dụng nhiều lần các nguyên hàm cơ bản (cùng một

công thức nguyên hàm cơ bản với những hình thức khác nhau) để họcsinh có thể thuộc và thành thạo công thức

- Rèn luyện kĩ năng biến đổi đa thức, phân thức, căn thức, lũy thừa,

lượng giác, số mũ cho học sinh nhằm khắc sâu kiến thức đã học trước

đó Đối với học sinh giỏi nhằm rèn luyện tính mềm dẻo – linh hoạt trong

tư duy Toán, tránh việc làm phức tạp hóa bài toán theo những phươngpháp khác

- Những trở ngại trong một số bài toán theo hướng biến đổi sẽ gây hứng

thú cho học sinh thúc đẩy năng lực tự tìm hiểu các phương pháp khác

mạnh hơn

* Giáo viên cần đa dạng hóa hình thức câu hỏi trong bài tập: Ngoài bài toán

trực tiếp là tìm nguyên hàm – tích phân có thể sử dụng các kiểu hỏi khác: Chứng minhđẳng thức; Tìm điều kiện (cân bằng hệ số) để đẳng thức xảy ra; Giải phương trình, bấtphương trình tích phân; Tính đạo hàm của hàm tích phân Do khuôn khổ có hạn, báocáo chỉ thể hiện nội dung này trong phần bài tập vận dụng dưới đây

(với a là số thực khác 0 cho trước).

Bài 2 Tìm các tham số a, b, c sao cho f x   2x1 x2 có một nguyên hàm là

3

23

x x Đáp số: I2 2 3  2 4 .a.10   

a.16 I sin4xcos4xsin6xcos6x dx

(Học viện Quan hệ quốc tế – 1997)

B Phương pháp đổi biến số:

B1 – Tóm tắt lí thuyết:

Cơ sở của phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm – tích phân được thể hiệnqua hai định lí sau đây:

Định lí 1 Cho hàm số u u x   có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y f u   

liên tục sao cho hàm hợp   

Định lí 2 Cho hàm số u u x có đạo hàm liên tục trên K, hàm số    y f u   

liên tục sao cho hàm hợp   

f u x u x dx f u du

Các công thức nêu trong hai định lí trên được gọi là công thức đổi biến số

B2 – Nội dung phương pháp:

1 Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm – tích phân: Là phương pháp biến đổi

vận dụng hai công thức đổi biến số ở trên Có hai kiểu vận dụng, đó là:

* Kiểu 1:

+ Nội dung: Để tính g x dx  , ta biến đổi        

g x dx f u x u x dx và thực /hiện việc đổi biến t u x Bài toán mới là    f t dt có hình thức quen thuộc hơn và có cách biến đổi dễ hơn so với hình thức cũ

+ Dấu hiệu: Để tìm biến mới u x  trước hết phải có biến đổi

     /

g x dx f u u dx , “bộ phận đứng trước” dx (là đạo hàm của u) sẽ gợi ý cho

ta biểu thức u x  Một số dấu hiệu khác cũng giúp ích cho quá trình tư duychọn biến mới:

Những bộ phận chứa biến xuất hiện lặp lại nhiều lần;

Những bộ phận phức tạp, gây ra khó khăn nhất cho bài toán;

Chọn biến mới cho nguyên hàm – tích phân có phần giống như chọn biếnphụ cho bài toán phương trình, bất phương trình hay hệ…

* Kiểu 2:

+ Nội dung: Để tính g x dx , ta chọn   x v t , khi đó  

          

g x dx g v t v t dt / f t dt Hình thức mới của bài toán cần phải quen

thuộc hơn và có cách biến đổi dễ hơn so với hình thức cũ

+ Dấu hiệu: Bên cạnh những bài toán có cách lựa chọn theo hình thức 1 có thể

chuyển sang hình thức 2 (khi mà t u x    x v t  ), trong phạm vi chươngtrình Toán THPT hiện nay ta sử dụng hình thức hai dưới góc độ “lượng giác

hóa” được trình bày trong mục B3 ngay dưới đây.

2 Các bước tìm nguyên hàm g x dx bằng phương pháp đổi biến số: 

(i) Biến đổi nguyên hàm về hình thức thuận lợi, chọn biến mới theo t, nêu điều kiện cần thiết của t

(ii) Đổi vi phân dx theo dt

Đổi biểu thức g x dx  thành f t dt  .

(iii) Tính nguyên hàm mới f t dt  

(iv) Kết luận (viết kết quả nguyên hàm theo biến x ban đầu).

3 Các bước tính tích phân b  

a

g x dx bằng phương pháp đổi biến số:

(i) Biến đổi tích phân về hình thức thuận lợi, chọn biến mới theo t, nêu điều kiện cần thiết của t

(ii) Đổi cận: vớix a thì t; với x b thì t.

(iii) Đổi vi phân dx theo dt.

Đổi biểu thức g x dx  thành f t dt  .

(iv) Tính tích phân mới   



f t dt

(v) Kết luận giá trị của tích phân đã cho

B3 – Hệ thống một số dạng đổi biến thường gặp:

* Đổi biến số theo kiểu 1: Dựa trên hai cơ sở: Một là tạo ra dấu hiệu mong muốn sự

có mặt của bộ phận u x dx trong bài, ta cho /  u x lần lượt là một trong số các dạng hàm số cơ bản thường gặp (lũy thừa, căn, lượng giác, mũ, lôgarít…); Hai là dựa trênkinh nghiệm tổng hợp các bài tập đã thực hiện, có một số dạng thường gặp mà ta sửdụng cách đổi biến số theo kiểu 1 như sau:

5 f cos sinx xdx tcosx sin xdx dt

Dưới đây là các thí dụ minh họa cho các dạng đổi biến số đã nêu trong mục B3

ở trên được sắp xếp theo dúng trình tự tương ứng đã liệt kê; với những thí dụ này báocáo chỉ trình bày lời giải theo đúng các bước, hạn chế các phân tích – bàn luận thêm.Bên cạnh đó một số thí dụ khác sẽ chỉ ra rằng cần có sự linh hoạt trong cách chọn biến

 Thí dụ 7 Tìm các nguyên hàm, tích phân sau:

a)     

5 2

4 1

1(2 1)

0 4

x dx I

Chú ý: Có một điểm khác biệt ở lời giải trong Thí dụ này so với những Thí dụ trước

đó, đó là ở bước đổi vi phân, chẳng hạn ở câu a là :

" Đặt t 4 x t2, 0, có x2  4 t2  xdxtdt ”.

Ở đây ta không (không nên) rút trực tiếp x theo t cũng như không rút trực tiếp

dx theo tvà dt Có thể tạm giải thích điều này như sau:

+ Nếu từ t 4 x2 mà rút x theo t, về cơ bản có hai trường hợp x 4 t2 Rắc rối nảy sinh là đôi khi phải tách cận tích phân cho phù hợp với dấu trong mỗitrường hợp x 4 t2 , x 4 t2

+ Trong việc đổi vi phân 2

4

tdt dx

 Thí dụ 11 Tìm nguyên hàm, tích phân sau:

1 sin 3sin cos cos2

dx J

i) Từ Thí dụ 10a và Thí dụ 11a ta khái quát cách làm các bài dạng tann xdx ,

cotn xdx tùy theo tính chẵn lẻ của n như sau:

+ Nếu n chẵn, n = 2k thì thêm bớt 1 vào tann x, cotn x để đưa về dạng:

k

x

x đặt tsinx.

+ Trong thực hành giải toán, tùy theo đối tượng học sinh mà hướng dẫn cáchbiến đổi, chẳng hạn với học sinh đại trà có thể thực hiện theo cách chia

tan 

P x cho tan2 x 1, chia Pcotx cho cot2x 1

ii) Từ Thí dụ 11b thấy đặc trưng của biểu thức lượng giác dưới mẫu là dạng

đẳng cấp đối với sin , cosx x Cách làm như vậy (đưa về ẩn tang hoặc

ln3 x 2 x 3

dx I

e e (Khối B năm 2006)

b)  



1

1 1

dx J

x (ĐH Nông nghiệp I – Khối B - 2001).

Lời giải:

9 sin 27sin9

+ Hai tích phân này đều thuộc dạng chung f a2  x x dx , do vậy đều có2 k

thể giải theo cách chung là lượng giác hóa x a sint (hoặc x a cost) Tuy nhiên

cách lượng giác hóa không phải lúc nào cũng cho lời giải gọn gàng, nhất là khi số mũ

k lớn.

+ Từ hai lời giải có thể đặt ra kinh nghiệm:

 Nếu k lẻ, k = 2n + 1 thì nên biến đổi về f  a2  x x xdx và thực hiện đổi2 2n.biến t a2  x (vì khi đó biểu diễn được các bộ phận 2 f  a2  x2 , x , 2n xdx

theo t và dt một cách thuận lợi).

 Nếu k chẵn thì chọn cách lượng giác hóa

Sau đây chúng ta xét thêm một số thí dụ khác và phân tích các dấu hiệu hợp lícho việc đổi biến, việc làm này rất cần thiết cho khả năng tư duy độc lập và linh hoạtcủa học sinh trước một bài toán mới:

 Thí dụ 14 Tính tích phân: 



3

1) Trước hết, nếu xét về mức độ quen thuộc về dạng, ở đây ta có biểu thức căn của

hàm phân thức bậc nhất chia bậc nhất (x có bậc 1 nên có thể rút theo biến mới), thì có thể đặt trực tiếp căn này bằng biến mới t (Ý tưởng này xuất phát từ những kinh nghiệm làm toán: "Thấy căn thì đặt ẩn phụ", "khử bộ phận phức tạp bằng cách đặt ẩn"…).

* Đặt 

4

x t

2 2 1 3

81

t

t : Đây là tích phân của hàm phân thức hữu tỉ

và tính được qua phép lượng giác hóa ttanu

2) Tích phân đã cho có thể biểu diễn về dạng chứa ax2 bx c và xử lí theo đặc

trưng riêng của tích phân dạng này:     

x x x , trong đó tích phân đầu tính được nhờ lượng giác

hóa, tích phân sau tính được nhờ nguyên hàm cơ bản du 2 u c

3) Hai hướng phân tích trên đều đưa đến con đường lượng giác hóa ở bước cuối Vậy

có cách đổi biến lượng giác trực tiếp nào cho tích phân này?

+ Mục tiêu cần đạt là khử căn thức

 4

x

x.+ Căn dạng này có thể liên hệ tới biểu thức lượng giác sau dưới góc độ là ứngdụng của công thức nhân đôi: 

cũng thu được bài toán quen thuộc:

3

5) Nếu ta để ý tới sự đặc biệt của cận (1 + 3 = 4), ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến không làm thay đổi cận (xem trong Phần thứ hai – mục E):

0

3sin

của chúng đều không tạo ra những biểu thức thuận lợi có mặt trong I.

+ Quan sát về tỉ lệ các cung lượng giác trên tử và dưới mẫu cho ta tỉ lệ (phần chứa x)

là 3 Ta có hai cách thức biến đổi như sau:

Lưu ý: Trong trường hợp cung trên tử phức tạp hơn dẫn tới tử là sin nt   ta sửdụng công thức cộng để khai triển tử.

B5 – Kinh nghiệm trong giảng dạy, làm Toán theo phương pháp này:

1) Rèn luyện học sinh giải toán theo một quy trình:

* Đổi biến số là phương pháp hay được sử dụng nhất (một cách trực tiếphoặc gián tiếp dưới góc độ đổi vi phân) vì vậy cần rèn luyện cho học sinhnắm vững quy trình – các bước làm bài

+ Có hai quy trình tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến, tính tích

phân bằng phương pháp đổi biến đã được báo cáo chỉ ra trong mục B2 phần

2 và 3

+ Việc tiếp cận hai quy trình này dựa theo một trong hai cách (tùy theo

năng lực của học sinh, tùy thuộc theo thời gian học tập):

 Giáo viên giới thiệu quy trình, làm mẫu, phân tích để học sinhhiểu và vận dụng Củng cố quy trình qua bài tập

 Giáo viên để học sinh bàn luận về các công việc phải làm nếuquyết định đổi biến cho bài toán cũ để dễ tính hơn, khái quát các ýchính để thống nhất thành quy trình chung Củng cố quy trình quabài tập

* Chú ý rèn luyện các khâu trung gian, trong đó có hai khâu quan trọng là:

Phát hiện lựa chọn ẩn mới; Đổi vi phân Thông qua các thí dụ cần chỉ cho

học sinh thấy khi nào ta đổi vi phân trực tiếp dx theo t và dt, khi nào đổi vi

phân h x dx theo   t và dt

2) Dạy học sinh tư duy phân tích, liên hệ, tự phản biện và khái quát hóa:

Mục tiêu là để học sinh tự tìm ra cách thức biến đổi, chọn biến phù hợp đối

với bài toán cụ thể Có hai định hướng trong việc lựa chọn biến mới:

+ Dựa trên kinh nghiệm:

 Kinh nghiệm làm bài nguyên hàm – tích phân theo dạng

 Kinh nghiệm giải các bài toán đại số bằng cách sử dụng biến phụ(điều này thể hiện sự thống nhất cách tư duy của Toán học)

+ Dựa trên đặc điểm đặc biệt và mối liên hệ của các biểu thức dưới dấutích phân

3) Người dạy cần hệ thống các dạng đổi biến thường gặp trong bài tập và tạo được "kho" bài tập phong phú theo các dạng nhưng trong giảng dạy không nên cung cấp hết mọi dạng đó cho học sinh một cách trực tiếp mà thông qua một số

thí dụ điển hình để phân tích cho học sinh cách đổi biến phù hợp Mục tiêu của

dạy bài tập theo làm phương pháp này là cung cấp cách tư duy tìm ra biến mới tốt hơn là làm quá nhiều bài tập.

4) Sáng tạo bài toán mới: Để sáng tạo bài toán mới giải theo phương pháp đổi

biến số ta tuân theo các bước như sau:

Bước 1: Chọn lựa một hàm f t  có thể tìm được nguyên hàm của nó (trongphạm vi chương trình Toán THPT)

Bước 2: Thay thể t bởi một biến mới t u x  

Bước 3: Thực hiện một số biến đổi để "làm mới" hình thức của hàm thu

được (thực chất là ta che giấu đi ẩn mới)

Bước 4: Lựa chọn cận a, b phù hợp nếu muốn tạo bài toán tích phân, lưu ý

tới tính liên tục của f u x  

  trên [a ; b]

Như vậy:  Hết Bước 2 ta đã có một bài toán mới

 Sau Bước 4 có thể lặp lại Bước 2 và Bước 3, chẳng hạn dùng phép đổibiến không làm đổi cận y a b x   để tạo ra một hình thức khác cho hàm số

Theo bốn bước trên có thể dùng một trong hai hướng sau:

Hướng 1: Sử dụng các dạng nguyên hàm – tích phân giải bằng phương pháp đổi biến

mà ta hệ thống được Cách làm này tạo ra những bài toán theo khuôn mẫu sẵn có,quen thuộc với học sinh, có thể dùng để củng cố kĩ năng theo dạng bài

 Ta thay đổi cho I một hình thức mới như sau:

(cos sin ) (cos sin ) 4 1 sin2 1 sin2 4



* Lưu ý: Bài toán mới được tạo ra không nhất thiết phải làm theo cách ngược lại với

cách ta đã tạo ra nó, chẳng hạn với tích phân J ở trên có thể đổi biếncos ; cos2 ; sin2

x  t x t x  t hoặc là 1x  1 x t

Hướng 2:

* Nguyên tắc: Dạng f u x u x dx   / 

 với u x là hàm số được kết hợp từ nhiều hàm số cơ bản Cách làm này tạo ra những bài toán không theo khuôn mẫu sẵn

có, có thể dùng để củng cố kĩ năng biến đổi nâng cao cho học sinh giỏi

2 0

+ Câu hỏi đặt ra đối với giáo viên là: Học sinh sẽ giải bài toán này bằng

cách nào? Báo cáo sẽ đề cập tới kĩ thuật như vậy trong mục B – Phần thứ hai của chương này.

B6 – Bài tập vận dụng: Tìm các nguyên hàm, tích phân sau:

b.7

7 1

5 2

e dx I

b.21

1

ln ( 3 ln 3 ln )

1

2 2

I  

b.24

1

2 3 0

(sin cos ) sin2

2 6

13cos

4sin

C Phương pháp sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân từng phần

C1 – Tóm tắt lí thuyết: Cho hai hàm số u u x v v x  ,    có đạo hàm liên tục trên

a

(Theo [1] – Tr.144, [3] – Tr.99)