Phương pháp giải các phương trình quy về phương trình bậc hai_SKKN loại A cấp tỉnh

Do đó tôi thấy học sinh cần nắm thật vững mảng kiến thức này, đặc biệt đối với học sinh khá giỏi thì giáo viên giảng dạy cũng như giáo viên bồi dưỡng cần giúp các em có cái nhìn rõ nét,

PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Dù đã trải qua hơn hai ngàn năm nhưng toán học đã chứng tỏ mình như một đỉnh cao trí tuệ của con người, xâm nhập vào hầu hết các ngành khoa học và 

là nền tảng của nhiều lý thuyết khoa học quan trọng. Ngày nay với thời đại công nghiệp tiên tiến và sự phát triển như vũ bão của công nghệ thông tin thì vai trò của toán học càng trở nên quan trọng và cần thiết hơn bao giờ hết. 

Trong quá trình giáo dục tri thức cho học sinh, thì việc dạy đúng, đủ theo chuẩn  kiến  thức  kỹ  năng  của  chương  trình  đào  tạo  là  nhiệm  vụ  trọng  tâm  của mỗi  người  giáo  viên  đứng  lớp.  Song,  bên  cạnh  đó  một  nhiệm  vụ  cũng  không kém phần quan trọng và cần thiết đối với các trường trung học cơ sở đó là việc bồi  dưỡng,  đào  sâu  kiến  thức  mở  rộng,  nâng  cao  cho  đối  tượng  học  sinh  khá giỏi. Việc bồi dưỡng đó giúp các em không chỉ nắm vững kiến thức, kỹ năng cơ bản mà  còn  rèn  thói quen suy nghĩ,  tìm  hiểu,  suy  luận,  giải quyết một  vấn  đề, một bài toán khó một cách chặt chẽ, logic. Từ đó rèn cho các em trí thông minh, sáng tạo, niềm yêu thích, hứng thú đối với bộ môn Toán. 

  Qua một thời gian giảng dạy bộ môn Toán  lớp 9 ở trường trung học cơ sở thị trấn Than Uyên, huyện Than Uyên, tỉnh Lai Châu, tôi nhận thấy, phần kiến 

thức về “Phương trình bậc hai”, “Phương trình quy về phương trình bậc hai” là 

phần kiến thức trọng tâm, cơ bản, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10, thi học sinh giỏi các cấp. Do đó tôi thấy học sinh cần nắm thật vững mảng kiến thức này, đặc biệt đối với học sinh khá giỏi thì giáo viên giảng dạy cũng như giáo viên bồi dưỡng cần giúp các em có cái nhìn rõ nét, đầy đủ về phương trình bậc hai và các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai.    Nhận thức được tầm quan trọng của vấn đề, sau khi nghiên cứu kỹ lưỡng một số tài liệu có liên quan, tôi mạnh dạn đưa ra một hệ thống các kiến thức, các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai và cách giải. Tôi hy vọng rằng đề tài này ít nhiều sẽ giúp ích được thầy cô và các em học sinh khi bồi dưỡng mảng 

kiến thức về phương trình bậc hai. Đó chính là lý do tôi chọn “Phương pháp giải các phương trình quy về phương trình bậc hai” làm đề tài nghiên cứu của mình 

2 Đối tượng nghiên cứu

- Một  số  kiến  thức  về  phương  trình  bậc  hai.  Một  số  phương  trình  quy 

được  về  phương  trình  bậc  hai  trong  chương  trình  Đại  số  9  trung  học  cơ  sở  và phương pháp giải. 

III Mục đích nghiên cứu

Nhằm mục đích nâng cao, mở rộng hiểu biết cho học sinh nhất là việc bồi dưỡng học  sinh  giỏi,  giúp các em  có  cái  nhìn  đầy đủ  hơn về phương  trình  bậc hai,  phương  trình  quy  về  phương  trình  bậc  hai.  Qua  đó  giúp  học  sinh  có  điều kiện hoàn thiện các phương pháp về giải phương trình và rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. 

IV Điểm mới trong kết quả nghiên cứu

Đã áp dụng trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi năm học 2011 - 2012, 

2012 - 2013 và thu được những kết quả khả quan, thu hút được sự chú ý, tăng cường tính sáng tạo, tư duy của học sinh. 

PHẦN NỘI DUNG

I Cơ sở lý luận

Trong  chương trình  giáo dục phổ  thông,  Toán học  là một  môn khoa học quan trọng, là thành phần không  thể thiếu của nền văn hóa phổ thông mỗi con người.  Với  các  đặc  trưng  là  suy  luận,  tính  toán,  chứng  minh,  phân  tích,  tổng hợp, so sánh, môn toán có tiềm năng khai thác góp phần phát triển năng lực trí 

Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông, chuyên 

đề về  phương pháp giải một số phương trình quy về phương trình bậc hai là một chuyên đề hay và lý thú, thu hút được đông đảo thầy cô và học sinh quan tâm.  

1 Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số

Ở  chương  trình  toán  9  THCS,  định  nghĩa  phương  trình  bậc  hai  một  ẩn được trình bày như sau: Phương trình bậc hai đối với ẩn xR là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 (a  0). 

2 Một số kiến thức và kỹ năng cần nắm được khi giải phương trình bậc hai

Trong chương trình toán THCS phần kiến thức về phương trình, phương trình  bậc  hai  được  đông  đảo  học  sinh  yêu  thích,  say  mê  tìm  hiểu.  Các  dạng phương trình quy được về phương trình bậc hai trong chương trình toán THCS tuy rất đa dạng và phong phú nhưng mỗi dạng đều có những đặc điểm riêng, dễ dàng nhận biết, đồng  thời mỗi dạng phương trình đều có một phương pháp giải 

Có thể khẳng định rằng phương trình quy về phương trình bậc hai là một trong  những  kiểu  bài  tương  đối  khó  với  giáo  viên.  Khó  khăn  trước  hết  là  khó khăn về kiến thức, về phương pháp. Khó khăn trong  việc   hướng dẫn học sinh phát hiện vấn đề, làm sao để chỉ trong một vài tiết có thể giúp học sinh nhận biết thành  thạo  các  dạng  phương  trình  quy  được  về  phương  trình  bậc  hai  và  cách giải, chỉ trong một số tiết mà dung lượng kiến thức không ít, có rất nhiều dạng toán, rất nhiều vấn đề cần đề cập nâng cao. Giáo viên phải làm sao để giờ học vừa truyền thụ đủ kiến thức cho học sinh để học sinh có “nghệ thuật giải phương trình”  vừa  cô  đọng,  tập  trung  vào  phương  pháp  giải  đồng  thời  tránh  được  sự giảng giải nhàm chán và cuốn hút học sinh. Vậy nguyên nhân do đâu? 

        * Về phía học sinh:

Với giáo viên, việc giúp học sinh lĩnh hội phương pháp giải các phương trình quy về phương trình bậc hai là khó thì với học sinh kiểu bài này còn khó hơn rất nhiều.  

      Học sinh trong khi nghiên cứu toán học các em có những kiến thức nội dung tài  liệu  học  tập,  các  em  hiểu  các  định  lý  và  quy  tắc  nhưng  không  hiểu  các phương pháp chung để giải các bài toán. Bởi vì các thủ thuật ấy không được nêu  

rõ và hình thành trong bản thân khoa học. 

      Điều quan trọng không chỉ thông báo cho học sinh những thông tin về những thủ thuật và phương pháp ấy mà phải làm sao cho học sinh hiểu thấu đáo những kiến thức thu được về phương pháp. Điều này là bắt buộc bởi lẽ sách giáo khoa 

và tuyển tập tài liệu dùng cho học sinh hiện nay không có đầy đủ những chỉ dẫn liên quan đến phương pháp nhận thức riêng và lôgic đại cương áp dụng cho khi nghiên cứu toán học ở nhà trường. 

      Những chỉ dẫn tản mạn của giáo viên thông thường học sinh không nhớ và 

hệ thống hóa được. Vì thế tất cả những chỉ dẫn đó chỉ trông cậy vào trí nhớ của học sinh, học sinh lại nhanh quên. Mặc dù trong sách giáo khoa đã có một số bài tập giải mẫu và một vài chỉ dẫn giải phương trình  nhưng những hướng dẫn đó chưa cung cấp cho học sinh đầy đủ những cơ sở vững chắc để nắm vững cách giải các bài toán.  

Còn một số nguyên nhân khác khiến học sinh giải chưa tốt phương trình quy về phương trình bậc hai, đó là: 

-  Học  sinh  còn  yếu  về  kỹ  năng  phát  hiện  phương  trình  quy  về  phương trình  bậc  hai,  khi  đứng  trước  một  phương  trình  học  sinh  không  biết  được phương trình đó có đưa về phương trình bậc hai được hay không, nguyên nhân 

là do học sinh chưa nắm rõ, chưa phân biệt được các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai. 

-  Khi  đứng  trước  một  phương  trình  học  sinh  còn  nhầm  lẫn  về  phương pháp giải giữa phương trình này với phương trình kia. 

-  Một  số  học  sinh  không  hiểu  giải  một  bài  toán  là  như  thế  nào.  Vì  thế không giải đầy đủ, không biết nghiệm của phương trình tìm được có là đáp số của bài toán này không. 

  Trước  khi  tiến  hành  bồi  dưỡng,  nghiên  cứu  chuyên  đề  này,  tôi  đã  tiến hành kiểm tra khảo sát nhằm đánh giá khả năng vốn có của học sinh. Mặt khác lưu giữ kết quả để đánh giá từng bước tiến bộ của học sinh.  

  Dưới đây là đề kiểm tra khảo sát:  

Câu 1.  Giải phương trình: 

6

1 7 1 2 3

x

Câu 2.  Giải phương trình: 3(x2 x) 2  2(x2   x) 1 0 

Giải Câu 1: Điều kiện xác định của phương trình: x  0; x  

2

1

   Phương trình đã cho tương đương với: 

t t

  Đối chiếu kết quả thu được sau hai năm như sau:

- Đối tượng I: Các em chỉ mới làm được bài 1 nhưng thiếu kết luận nghiệm: 

III Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

1 Nhắc lại định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số

a) Định  nghĩa:  Phương  trình  bậc  hai đối  với ẩn xR  là phương trình  có dạng ax2 + bx + c = 0 (a  0) (1)  

b) Cách giải: Tính  2

4

b ac

    Nếu   0 thì phương trình (1) vô nghiệm. 

Phương trình ax 2 bx c  0 a 0 có hai nghiệm cùng dương 

0 0 0

P S

P S

Các bài toán về phương trình bậc hai rất phong phú và đa dạng. Để giải được các  bài  toán  đó phải  khéo léo kết  hợp  giữa  việc vận dụng các  kết quả  đã biết  về phương trình bậc hai đặc biệt là định lý Viet, với đặc thù riêng của phương trình đã cho mà biến đổi cho phù hợp. 

3 Các dạng phương trình quy được về phương trình bậc hai

Trong trường phổ thông ta thường gặp một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai như sau: 

DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

Phương  trình  chứa  ẩn  ở  mẫu  là  phương  trình  chứa  ẩn  ở  mẫu  thức  của phương trình. 

+ Tìm mẫu thức chung. 

+ Quy đồng, khử mẫu. 

- Khi giải dạng phương trình này cần lưu ý học sinh: Trước tiến cần tìm tập xác định của phương trình, sau khi giải tìm được nghiệm  phải kiểm tra, đối chiếu kết quả với tập xác định và kết luận số nghiệm của phương trình. 

4 1

x 

     c) Nhận xét: 

-  Đối  với  dạng  phương  trình  này chủ yếu  dùng  phương  pháp  phân  tích  đa 

thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích, ta sẽ được một phương trình mà vế  trái gồm các phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai đã biết cách giải. 

- Lưu ý: Nếu phương trình bậc 3:  ax3

 +  bx2

+ cx  +  d  =  0 (a 0) có:   +) a  +  b  +  c  +  d = 0 thì phương trình có một nghiệm x1= 1 

  +) a  –  b  +  c  –  d = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = -1 

DẠNG 3: NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO QUY ĐƯỢC VỀ

0 2 3

-  Phương  trình  trùng  phương  vô  nghiệm  trong  trường  hợp  phương  trình bậc  hai  trung  gian  vô  nghiệm  hoặc  phương  trình  bậc  hai  trung  gian  có  hai nghiệm cùng âm. 

-  Phương  trình  có  nghiệm  khi  phương  trình  bậc  hai  trung  gian  có  hai nghiệm,  có  nghiệm  kép  dương  hoặc  phương  trình  bậc  hai  trung  gian  có  hai nghiệm trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm âm. 

về dạng phương trình trùng phương (At4 + Bt2 + C = 0) 

    Phương trình này là phương trình trùng phương đã biết cách giải.  

t   , khi đó ta đưa phương trình dạng xa4xb4 c về phương trình trung gian là phương trình trùng phương có dạng tổng quát: t4 Bt2 C  0 

Bằng  phép đặt  t2 = X  với X0  ta đưa phương trình  về phương  trình bậc hai trung gian: X2 + BX + C = 0 

Số nghiệm của phương trình xa4 xb4 c phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình trung gian X2 + BX + C = 0 

-  Nếu  phương  trình  bậc  hai  trung  gian  vô  nghiệm  hoặc  có  nghiệm  nhưng 

b) Ví dụ: Giải phương trình:  

(x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) = 9 (5) 

Giải Nhận thấy  5 + (-1) = 1 + 3 

2

x x x

2 2

k x t x

k x

2 2 2

2 2

-  Để  giải  phương  trình  đối  xứng  như  trên  ta  dùng  những  phép  biến  đổi 

tương  đương  và  “đổi  biến”  để  đưa  về  phương  trình  bậc  hai  trung  gian  rồi  trả biến sẽ tìm được nghiệm phương trình ban đầu . 

-  Số  nghiệm  của  phương  trình  đối  xứng  phụ  thuộc  vào  số  nghiệm  của  

x x

      IV Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Sau khi  thực hiện  đề  tài  trên tôi nhận thấy,  khi  gặp các phương trình  có thể đưa  về phương trình  bậc  hai  các  em  đều giải  một  cách  thành  thạo,  say  mê 

hứng thú, kích thích được niềm đam mê, sáng tạo của học sinh. 

  Một điều đáng mừng hơn cả là kết quả thu được qua các bài kiểm tra. Chất lượng bài kiểm tra sau bao giờ cũng cao hơn, trình bày chặt chẽ hơn bài kiểm tra trước về trình độ nhận thức, về phương pháp giải, về tính thông minh sáng tạo.  

  Để kiểm tra khả năng lĩnh hội của học sinh, tôi cho các em làm một số bài tập như sau:  

Giải phương trình:

Câu 1 3 2

2x  5x  8x  3 0   Câu 2. x4  3x3 + 4x2  3x + 1 = 0

Giải  Câu 1: Nhân cả hai vế với 22 ta có: 

Với t2 = 2 x 1

x

  = 2 x = 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 

Đối chiếu kết quả thu được sau hai năm như sau:

Đối tượng I: Ở bài tập 1,2 đã biết vận dụng phương pháp giải đã được học 

PHẦN KẾT LUẬN

I Những bài học kinh nghiệm

    Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này tôi nhận thấy, để học sinh có thể giải thành  thạo các phương  trình bậc hai cơ bản  và  nâng  cao,  một kinh  nghiệm quý báu  được  rút  ra  là  học  sinh phải  nắm  chắc  các  kiến  thức  cơ bản, biết  cách  vận dụng  linh  hoạt  các  kiến  thức  ấy.  Từ  đó  giáo  viên  cung  cấp  cho  học  sinh  các phương pháp được coi là thuật giải, sau đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao,  khắc  sâu  kiến  thức  một  cách  hợp  lý  với  các  đối  tượng  học  sinh  nhằm  bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh. 

Để  chuyên đề  phát  huy  hiệu  quả  khi  giảng  dạy  giáo  viên  phải  cung  cấp nhiều dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy cho học sinh. 

II Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm

       Sau khi học sinh học xong chuyên đề này, tôi thấy học sinh nắm chắc hơn 

về phương  trình  bậc hai,  khi đứng  trước một bài  toán  về phương trình  bậc  hai học sinh không còn cảm thấy e sợ, ngỡ ngàng. Từ đó kích thích niềm say mê học toán của các em.  

III Khả năng ứng dụng, triển khai

  Căn  cứ  vào  kết quả thu  được từ hai   bảng  1  và bảng 2 ta  thấy trước  khi 

thực  hiện  chuyên  đề  này  học  sinh  thường  gặp  khúc  mắc  khi  đứng  trước  một 

phương trình bậc hai không ở dạng tổng quát mà không định hình được hướng 

giải, không biết bắt đầu từ đâu, đường  lối  làm  như  thế  nào mặc dù  rất dễ.  Sau 

khi  đã  được  học  và  được  làm  quen  với  chuyên  đề  trên  thì  đa  số  các  em  hiểu 

kiến  thức  trong  chương  trình,  phát  huy  tính  độc  lập  sáng  tạo  trong  học  tập  thì 

bản  thân  mỗi  giáo  viên  chúng  ta  cần  không  ngừng  sáng  tạo,  đổi  mới  phương 

pháp  giảng  dạy, đặc biệt  tăng  cường  giảng  dạy  theo  các  chuyên đề,  từ  đó  kích 

2 3

2     x x

x x

x x

TÀI LIỆU THAM KHẢO

-  Sách giáo khoa Toán 9 - Tôn Thân - Nhà xuất bản giáo dục