100 bài toán hình học lớp 9 chọn lọc

Đường tròn đường kính OA cắt CD tại I.Chứng minh I là trung điểm CD minh HINC nội tiếp 5.. Chứng minh JE là tiếp tuyến của O Chứng minh E,I,B thẳng hàng --- Bài 22 Cho đường tròn O và

Trang 1

100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc

1 LVC

Biên soạn LƯU VĂN CHUNG

100 BÀI TOÁN

HÌNH HỌC 9

2 LVC

Trang 2

3 LVC

PHẦN I -o0o -

MỘT SỐ BÀI TOÁN

ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT

H

3 BHCI là hình bình hành

4 BCIF là hình thang cân

2 BC 4

6 H là tâm đường tròn nội tiếp DEF - Bài 2

Cho BD , CE là hai đường cao , Ax là tiếp tuyến

AQ là đường kính I là trung điểm AH

Cho H là trực tâm củaABC , M là trung điểm BC I là điểm đối xứng với H qua K ; N là điểm đối xứng với H qua M Chứng minh

1 I (O) và N (O) và A , O , N thẳng hàng

2 AF là tia phân giác chung của ABC và  HAN 

3 AB.AC = AH.AD

4 Diện tíchAHM bằng 2 lần diện tích AOM

Trang 3

5 LVC

A

D

K

S

I K

A O B

3 SAOM nội tiếp

4 CHOD nội tiếp

5 AE // CD

6 CH cắt đường tròn tại F

Chứng minh SO là phân giác của FSC 

-

Bài 5

Cho AB là tiếp tuyến , ACD là cát tuyến , BI // CD, EC = ED

1 Chứng minh ABOE và AHES nội tiếp

2 Chứng minh AK là tiếp tuyến của (O)

3 Chứng minh OE.OS = R 2

4 AO = 3R , CD = R 3

Tính diện tích  AOS theo R

5 A, B cố định , tìm vị trí của cát tuyến

ACD để SAID lớn nhất

Bài 7 Ax , By , ED là các tiếp tuyến EO = 2R

1 Chứng minh ACDB là hình thang vuông

3 Chứng minh CM.DE = CE.DM

5 Chứng minh AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD

6 Tính chu vi và diện tích ACDB theo R

- Bài 8

Cho OM = 2R , MA và MB là hai tiếp tuyến

EF tiếp xúc với (O) tại C

Cho NA , NB là hai tiếp tuyến BK  NA , CI  AB , CD  NB

1 Chứng minh các tứ giác sau nội tiếp : AKCI , BDCI , NKCD , NDIA

=

Trang 4

Cho Ax , By là hai tiếp tuyến M  AB , I   AO , CD qua M và

vuông góc với IM Chứng minh :

1 CAIM và BDMI nội tiếp

2 CID vuông

3 EF // AB

4 AC.BD  R 2

5 Khi M cố định , I chạy trên AO

6 Tìm vị trí I để AC.DB lớn nhất

-

Bài 11

AB = 2R cố định , Ax , By  AB , I  Ax ,

cắt IK tại M Chứng minh :

Cho OM = 3R , MA , MB là hai

tiếp tuyến ,AD // MB , MD cắt (O)

tại C , BC cắt MA tại F , AC cắt

Cho MA , MB là hai tiếp tuyến , CD  AB

Cho đường thẳng d cắt (O;R) tại C và D M là điểm di động trên d ( M ngoài đường tròn và MC < MD ) MA , MB là hai tiếp tuyến , H là trung điểm CD

Trang 5

9 LVC

F

A

d M C E H D

E K

N

1 Chứng minh MIHF nội tiếp

2 Chứng minh OHEI nội tiếp

4 Chứng minh CIOD nội tiếp

5 Chứng minh 4 IF.IE = AB 2

6 Chứng minh khi M di động thì đường thẳng

AB luôn điểm qua điểm cố định

-

Bài 17

Cho (O;R) và dây BC = R 3.M là điểm di động trên tia đối của tia BC

Vẽ tiếp tuyến MA với (O) Vẽ đường tròn tâm M bán kính MA cắt BC

tại H và cắt (O) tại E AH cắt (O) tại K, OK cắt BC tại I và cắt AE tại N

Chứng minh :

1 AK là tia phân giác của BAC

2 MAOI và MHIN nội tiếp

3 ME là tiếp tuyến của (O)

4 BHOC nội tiếp

5 Đường thẳng AE đi qua điểm cố định

-

Bài 18

Cho (O;R) và dây BC = 2a cố định M  tia đối tia BC Vẽ đường tròn

đường kính MO cắt BC tại E , cắt (O) tại A và D ( A  cung lớn BC) AD

cắt MO tại H , cắt OE tại N Chứng minh :

1 MA là tiếp tuyến của (O) và MA 2 = MB.MC

2 MHEN nội tiếp

3 Tính ON theo a và R

4 Tia DE cắt (O) tại F Chứng minh ABCF là hình thang cân

Cho đường tròn (O ;R) và điểm A sao cho OA =3R Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM , AN với (O) ( M , N là tiếp điểm )

1 Chứng minh tứ giác MANO nội tiếp Tính AM theo R

2 Vẽ cát tuyến ACD với đường tròn ( C nằm giữa A và D ; CN < CM

3 Đường tròn đường kính OA cắt CD tại I.Chứng minh I là trung điểm CD

minh HINC nội tiếp

5 Chứng minh đường thẳng DH đi qua trung điểm E của AM

-

Trang 6

11 LVC

Bài 20

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R); hai đường

cao AD và BE cắt nhau tại H ( D  BC ; E  AC ; AB < AC )

1 Chứng minh các tứ giác AEDB và CDHE nội tiếp

2 Chứng minh CE.CA = CD.CB và DB.DC = DH.DA

3 Chứng minh OC vuông góc với DE

4 Đường phân giác trong AN của BAC cắt BC tại N , cắt đường tròn

(O) tại K ( K khác A) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp CAN

Chứng minh KO và CI cắt nhau tại điểm thuộc đường tròn (O)

-

12 LVC

PHẦN II

MỘT SỐ BÀI TOÁN LUYỆN THI VÀO

CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

Trang 7

AB tại H trên tia đối tia DC lấy điểm M Đường thẳng MB cắt (O) tại F AF cắt CD tại I

1 Chứng minh : ID.MC = IC.MD

2 Tiếp tuyến với (O) tại F cắt DM tại J Ch/ minh IJ = JM

3 MA cắt (O) tại E Chứng minh JE là tiếp tuyến của (O)

-

 Hướng dẫn giải:

1 Chứng minh ID.MC = IC.MD

FA , FM là phân giác trong

3 Chứng minh JE là tiếp tuyến của (O) Chứng minh E,I,B thẳng hàng

- Bài 22

Cho đường tròn (O) và dây cung AB quay quanh một điểm cố định P.Vẽ đường tròn tâm C điểm qua A và P và tiếp xúc với (O) Hai đường tròn này cắt nhau tại N

1 Chứng minh CODP là hình bình hành

3 Tìm quỹ tích N khi AB quay quanh P

A P B

K

4 Nếu AB cố định, còn P là điểm di động trên AB thì N di động trên đường nào? Chứng minh NP đi qua một điểm cố định

-

 Hướng dẫn giải:

1 Chứng minh CODP là hình bình hành

Tương tự ta có OD // CP

90

ONP 

4 Nếu AB cố định , P di động trên AB thì N di chuyển trên cung

 NP đi qua điểm cố định Gọi O’ là tâm đường tròn (AOB) , NP cắt OO’ tại K

Suy ra K cố định ( do O , O’ cố định )

Vậy NP điểm qua điểm K cố định

Trang 8

Cho đường tròn (O,R) Từ điểm P cố định ở ngoài đường

tròn vẽ tiếp tuyến PA và cát tuyến PBC với đường tròn H

1 Chứng minh K đối xứng với H qua BC

3 Trên đường vuông góc với PA tại P lấy điểm I sao cho

PI = R và I , O nằm cùng phía đối với BC Chứng minh

4 Tìm quỹ tích của H khi cát tuyến PBC quay quanh P

-

 Hướng dẫn giải

1 Chứng minh K đối xứng với H qua BC

là hình bình hành

K đối xứng với H qua BC

3 Quỹ tích của H khi PBC quay quanh P

Trên đoạn AB lấy điểm M Trên AM , BM dựng hai hình vuơng AMCD và BMEF về cùng một phía đối với đường thẳng AB Hai đường trịn (I) và (K) ngoại tiếp hai hình vuơngđĩ cắt nhau tại N

1 Chứng minh N , E , A thẳng hàng

2 Tìm quỹ tích N khi M di động trên đoạn AB

3 Chứng tỏ trung điểm H của IK luơn chạy trên một đường cố định khi M di chuyển trên đoạn AB

-

1 Chứng minh A , N , E thẳng hàng Gọi N là giao điểm của BC và AE AC cắt EB tại S Ta cĩ :

2 Quỹ tích của N khi M di động trên AB Quỹ tích của N là nửa đường trịn đường kính AB

3 Quỹ tích của H khi M chạy trên AB

-

Trang 9

Cho AB là đường kính cố định , MN là đường kính di động của đường

tròn (O) Tiếp tuyến tại B của đường tròn cắt AM tại P , cắt AN tại Q

3 Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp MNP

-

 Hướng dẫn giải

3 Quỹ tích tâm đường tròn (MNP)

Đường tròn (MNP) là đường tròn (MPQN)

Do IK = OA = R nên quỹ tích tâm I của đường tròn (MNP) là đường thẳng

song song với PQ và cách PQ một đoạn bằng R

M

N

B

2 Tìm vị trí M để MA + MB lớn nhất Theo chứng minh trên ta có MA + MB = MC

- Bài 27

Cho nửa đường tròn đường kính AB C là điểm chính giữa cung AB , M là điểm di động trên cung AC Trên BM lấy điểm N sao cho BN = AM

đi qua điểm cố định

-

Trang 10

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB C là điểm di động trên đường

tròn Gọi I , K là hình chiếu của O lên AC và BC

1 Chứng minh AK 2 + BI 2 không đổi

2 BI cắt AK tại G Tìm quỹ tích của G khi C di động trên (O)

3 Tìm vĩ trí điểm C trên (O) để tích GA.GB lớn nhất Tìm giá trị lớn

nhất đó

-

Cho đường tròn (O;R) , từ điểm P trong đường tròn dựng hai dây cung

APB và CPD vuông góc với nhau

1 Tính PA 2 + PB 2 + PC 2 + PD 2 theo R

2 Cho P cố định , khi hai dây AB và CD quay quanh P và vuông góc với

nhau Chứng minh AB 2 + CD 2 không đổi

Cho ABC cân tại A có   BAC 45 nội tiếp đường tròn (O;R) 0

1 Chứng minh AO là phân giác của  BAC

2 Tính các cạnh của ABC theo R

3 Nêu cách dựng đường tròn tiếp xúc với OB và OC Tính bán kính đường tròn đó theo R

-

Dựng tiếp tuyến tại D của (O) cắt OB , OC tại B’ và C’ I là giao điểm

-

Trang 11

Cho ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R) M là điểm thuộc cung nhỏ

AB AM cắt đường thẳng BC tại N

2 Chứng minh đường tròn tâm I ngoại tiếp MBN tiếp xúc với đường

thẳng AB

3 Gọi D là điểm chính giữa cung BC Chứng minh tâm K của đường

tròn ngoại tiếp MNC thuộc đường thẳng CD

-

Hướng dẫn giải

3 Chứng minh tâm K của đường tròn (MNC) thuộc đường thẳng CD

Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) có AB < AC M và N là hai điểm chạy trên AB và AC sao cho BM = CN Chứng minh trung trực của MN luôn đi qua điểm cố định

-

Gọi D là điểm chính giữa cung lớn BC

Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AB và

CD vuông góc Kẻ dây CE đi qua trung điểm I của OB Kẻ đường cao AH của ACE

1 Chứng minh các tam giác COI , EOC và AHI đồng dạng

2 Tính CE , AH và SACE theo R

3 Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếpAEI -

Trang 12

1 Chứng minh các tam giác COI , EOC và AHI đồng dạng

Bạn đọc tự chứng minh

-

Bài 34

Cho ABC vuông tại A , dựng hai đường tròn (I ) và (J ) đường kính AB

và AC , chúng cắt nhau tại H

1 Chứng minh H thuộc đường thẳng BC

2 Qua A vẽ đường thẳng d cắt hai đường tròn tại M và N ( M  (I) )

Tìm quỹ tích trung điểm E của MN

3 Tìm vị trí của đường thẳng d để chu vi tứ giác BCNM lớn nhất

2 Quỹ tích điểm I BMNC là hình thang

3 Tìm vị trí đường thẳng d để chu vi tứ giác BCNM lớn nhất Chu vi BCNM = BC + BM + MA + NA + NC Trước hết ta tìm vị trí M

Vậy chu vi tứ giác BCNM lớn nhất khi đường thẳng đi qua điểm chính giữa

- Bài 35

Cho đường tròn (O :R) và đường thẳng xy tiếp xúc với (O) tại A Từ điểm tùy ý trên (O) vẽ BH  xy tại H

1 Chứng minh BA là phân giác của  OBH

2 Chứng minh phân giác ngoài của  OBH đi qua điểm cố định

3 Phân giác  AOB cắt BH tại M Tìm quỹ tích M khi B di động trên

(O;R) -

đi qua điểm cố định

3 Tìm quỹ tích M Chứng minh AOMB là hình thoi

Trang 13

Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định với OA = R BC là đường kính

AO tại I

1 Tính OI theo R Suy ra I cố định

2 Trường hợp AB , AC cắt (O) tại D và E DE cắt OA tại K

a Chứng minh tứ giác KECI nội tiếp

b Tính AK theo R

c Chứng tỏ tâm đường tròn (AED) thuộc một đường tròn cố định

4 Tìm vị trí BC để diện tích ABC lớn nhất

5 Tìm vị trí BC để bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC nhỏ nhất

-

1 Tính OI theo R Suy ra I cố định

a Chứng minh tứ giác HECI nội tiếp

Gọi M là tâm đường tròn (ADE), gọi N là giao điểm của (M) và OA

26 LVC

Mà O” cố định ( O” là trung điểm IA )

- Bài 37

Cho hình vuông ABCD cố định cạnh là a E là điểm di động trên CD ( E  D ) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F Đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K

1 Tính sđ  AFK  AFK

2 Gọi I là trung điểm FK Chứng minh I thuộc đường thẳng cố định khi

E di chuyển trên cạnh CD

3 Chứng minh : AFB AIB

4 Gọi N là giao điểm AF và BD Chứng minh INCF nội tiếp

5 Tính độ dài các cạnh  AEK theo a và x , với x = DE (0 < x a  )

6 Tìm vị trí của K để EK ngắn nhất -

2 Chứng minh I thuộc đường thẳng cố định

4 Chứng minh tứ giác INCF nội tiếp

Trang 14

27 LVC

A B

N a

K D x E C

I

F

Suy ra tứ giác INCF nội tiếp

5 Tính độ dài các cạnh của  AEK theo a và x

Cho  ABC vuông tại A (AB < AC).Dưng ngoài tam giác hai hình vuông

ABHK và ACDE

1 Chứng minh H , A , D thẳng hàng

2 Đường tròn ngoại tiếp  ABC cắt AD tại F Ch/ minh  FBC vuông

1 Chứng minh H , A , D thẳng hàng

2 Chứng minh  FBC vuông cân

3 Chứng minh K , B ,C , E , M cùng thuộc đường tròn

Cho  ABC vuông tại A Lấy D thuộc cạnh AC (DC < DA) Vẽ đường tròn (D) tiếp xúc với BC tại E Vẽ tiếp tuyến BF với đường tròn (D) cắt

AD tại I , BD cắt AE tại K

1 Chứng minh A , B , E , D , F thuộc một đường tròn Xác định tâm

2 Chứng minh IF.BK = IK.BF

3 Trung tuyến AM của  ABC cắt BF tại N Chứng minh NA = NF -

1 Chứng minh A , B , E , D , F cùng thuộc một đường tròn

Trang 15

F N

2 Chứng minh IF.BK = IK.BF

3 Chứng minh NA = NF

1 Chứng minh trung điểm I của MN thuộc một đoạn thẳng cố định

2 Chứng minh đường trung trực của MN đi qua một điểm cố định

3 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp  OMN đi qua điểm cố định khác

điểm O

4 Xác định vị trí MN để MN ngắn nhất

-

1 Chứng minh trung điểm I của MN thuộc một đoạn thẳng cố định

2 Chứng minh đường trung trực của MN đi qua một điểm cố định

3 Chứng minh đường tròn (OMN) đi qua điểm cố định khác O

Vậy đường tròn (MON) đi qua điểm cố định A

4 Xác định vị trí MN để MN ngắn nhất

2



- Bài 41

Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O;R) A  cung lớn Bcsao cho O nằm trong  ABC Vẽ đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H

1 Chứng minh  AEF ~  ACB

2

3 N là trung điểm EF Chứng minh R.AN = AM.ON

5 Tìm vị trí điểm A trên (O;R) dể chu vi  DEF lớn nhất ? -

3 Chứng minh R.AN = AM.ON

k

( AN , AM là trung tuyến tương ứng ) Mặt khác :  BAE ~  BMO ( g- g)

Trang 16

5 Tìm vị trí điểm A trên (O;R) dể chu vi  DEF lớn nhất ?

Theo câu 4 thì chu vi  DEF lớn nhất

-

Bài 42

Cho  ABC vuông tại A , AI là trung tuyến D  BC ( D  B , C )

E , F là tâm đường tròn (ABD) và (ADC) Chứng minh A, E , I , D , F

cùng thuộc một đường tròn

-

Từ (1) và (2) ta có A , E , D , I , F cung thuộc một đường tròn

- Bài 43

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 đơn vị Trên cạnh AB , CD lấy hai điểm P và Q sao cho chu vi  APQ = 2 ( đơn vị )

Trang 17

33 LVC

A B

E

M

I H

F

D C

N

Từ điểm P’ tùy ý thuộc AB vẽ tiếp tuyến với (C) tại I cắt AB tại Q’ Ta có :

đường tròn (P’; P’B) và (Q’ ; Q’D)

2 Câu 2 có thể hỏi :

a Chứng tỏ đường thẳng PQ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

-

Bài 44

Cho hình vuông ABCD cạnh là a Trên cạnh AD , CD lân lượt lấy 2 điểm

M , N sao cho MBN450 BM , BN cắt AC tại E , F

1 Chứng minh MEFN nội tiếp

2 MF , NE cắt nhau tại H BH cắt MN tại I Tính BI theo a

Suy ra AM + NC = MN

( Hoăïc chứng tỏ MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định)

-

1 Chứng minh MEFN nội tiếp

2 Tính BI theo a Suy ra AM + NC = MN

D

B C

M

Cho  ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) Trên BC lấy điểm M Vẽ

xứng với M qua DE thuộc đường tròn (O)

-

Ta có DM =DI ( đối xứng )

DM = DC (  DMC cân )

- Bài 46

Cho hình vuông ABCD tâm O.Vẽ đường thẳng d qua O cắt AD , BC tại E và F Từ E , F vẽ các đường thẳng song song với BD và AC cắt nhau tại I

1 Tìm quỹ tích I khi E chạy trên AD

2 Vẽ đường cao IH của  IEF Tìm quỹ tích của H

3 Chứng minh đường thẳng HI đi qua điểm cố định -

Trang 18

Do B và O cố định nên H di chuyển trên

( có giới hạn )

Cho đường tròn (O) dây BC cố định A   BC lớn

1 Tìm vị trí của A để  ABC có ba góc nhọn

2 Tìm quỹ tích trực tâm H của  ABC khi A chạy trên (O)

thõa mãn điều kiện câu 1

-

1 Tìm vị trí của A để  ABC có ba góc nhọn

2 Tìm quỹ tích trực tâm H

- Bài 48

Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B , C cố định Biết AB = a, BC = b Đường tròn (O) di động đi qua B và C Vẽ tiếp tuyến AT của (O) (T

- Bài 49

Cho đường tròn (O;R) có hai dây cung AC và BD vuông góc tại I nằm trong đường tròn ( I  O )

1 Chứng minh IA.IC = IB.ID

2 Vẽ đường kính CE của (O) Chứng minh :

a AB 2 + CD 2 = 4R 2 b AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 = 8R 2

3 Từ A và B hạ đường vuông góc với CD lần lượt cắt BD tại F , cắt

AC tại K Chứng minh ABKF là hình thoi

4 Gọi M là trung điểm CD Chứng minh AB = 2MO

5 Gọi P là trung điểm OI, IH là đường cao của  ICD Chứng minh

6 MO 2 + MI 2 – 2MP 2 =

2 OI

2

Trang 19

1 Chứng minh IA.IC = IB.ID

3 Chứng minh ABKF là hình thoi

F

2 2

HMHI

-Cho  ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) B và C cố định , D và

E là điểm chính giữa  AB,  AC DE cắt AB , AC tại H và K

2 Chứng minh C, D , I thẳng hàng

Suy ra C , I , D thẳng hàng

3 Chứng minh HK

AH không phụ thuộc vào vị trí điểm A

- Bài 51

Định dạng
Số trang	38
Dung lượng	3,64 MB