GIÚP HỌC SINH VƯỢT QUA NHỮNG SAI LẦM TRONG LẬP LUẬN TOÁN HỌC: PHẦN HÌNH HỌC

GIÚP HỌC SINH ,VƯỢT QUA , SAI LẦM , LẬP LUẬN TOÁN HỌC,PHẦN HÌNH HỌC

CHƯƠNG 2 GIÚP HỌC SINH VƯỢT QUA NHỮNG SAI LẦM TRONG LẬP

LUẬN TOÁN HỌC: PHẦN HÌNH HỌC

CHỦ ĐỀ 1: SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG VẼ HÌNH

Hình học không gian là một môn học về các vật thể trong không gian (hình hìnhhọc trong không gian) mà các điểm hình thành nên vật thể đó thường không nằmtrong một mặt phẳng Do đó HS thường hay gặp khó khăn trong việc vẽ hình biểudiễn và vẽ hình không chính xác Nguyên nhân chính là HS không đánh giá mộtcách đầy đủ các giả thiết bài toán đặt ra, hoặc những nhận định, những kết luận dotrực giác đưa ra hoặc biểu thị sai các khái niệm như góc, khoảng cách Và tấtnhiên điều này sẽ dẫn đến bế tắc trong cách giải hoặc lời giải không chính xác.Sau đây là những bài tập cụ thể chỉ ra những sai lầm mà hầu hết HS mắc phải.1.1. Sai lầm khi không đánh giá đầy đủ các giả thiết

 Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là một tam giác vuông có cạnh

huyền BC = a, ABC  Các cạnh bên hợp với mặt đáy những góc bằng nhau vàbằng  Tính diện tích xung quanh của hình chóp

Dự kiến sai lầm

- HS sẽ xác định đường cao của hình chóp (hay chân đường cao của hình chóp)

không đúng Tức là, HS sẽ lấy điểm H bất kỳ (H là chân đường cao của hình chóp) trong mp (ABC) mà không dựa vào một sự ràng buộc nào của giả thiết bài toán.

Vậy: Sxq = SSAB + SSBC + SSAC 1 1 1

- Nhìn vào hình vẽ trên không có một gợi ý liên hệ nào giúp ta thực hiện tính toán.

- HS chưa sử dụng giả thiết: các cạnh bên hợp với

đáy những góc bằng nhau thì ta suy ra được điều

h

A S

Hình 1.1

- Xác định tâm của mặt đáy: Vận dụng giả thiết ABC là tam giác vuông tại A, nên

H là trung điểm cạnh huyền BC.

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là một tam giác đều cạnh a Một mặt

bên của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại tạo với đáy nhữnggóc bằng nhau và bằng  Tính diện tích xung quanh của hình chóp

Dự kiến sai lầm

- HS sẽ vẽ hình mà không thể hiện được:

Mặt phẳng SAC  ABC , chưa vận dụng giả thiết hai mặt bên hợp với đáynhững góc bằng nhau

- HS không phân biệt được khái niệm hình chóp đa giác đều với hình chóp có đáy

là một đa giác đều: hình chóp đa giác đều thì chân đường cao của hình chóp trùngvới tâm hình tròn ngoại tiếp đa giác đáy, còn hình chóp có đáy là đa giác đều thìchưa chính xác, nên nhầm lẫn tính chất xác định chân đường cao của hình chóp

Từ những sai lầm đó mà dẫn đến việc xác định chân đường cao H của hình chópkhông đúng, dẫn đến những tính toán thiếu chính xác

- Kẻ SH  ABC

Vì ABC đều nên H trùng với tâm của

đường tròn ngoại tiếp ABC

- Vận dụng giả thiết hai mặt bên hợp với

mặt đáy những góc bằng nhau nên ta có:

S

Hình 2.2

Ta tính được: 1 1 3 ;

tan 4

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD, SA = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng a Tính

đường cao SH của hình chóp.

Dự kiến sai lầm

- Tương tự như 2 bài tập trên, HS sẽ xác định H không chính xác.

Gọi H là giao của hai đường chéo, HS sẽ

suy ra rằng SH là đường cao của hình

- Nếu SH là đường cao sẽ dẫn đến mâu thuẫn: SAC là tam giác cân nên SA = SC

mà theo giả thiết x a .

Lời giải đúng như sau:

Gọi O là giao của AC và BD.

B

C

D S

Vậy SH  ABCD Hay SH là đường cao của hình chóp S.ABCD.

Xét xem SAC có đặc điểm gì không? Vận dụng các đại lượng đã cho ta có:

Vậy OS = OA = OC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp của SAC. Hay SAC là

tam giác vuông tại S.

1. Hình chóp đều

 Gọi là góc giữa cạnh bên hợp với đáy,  là góc giữa mặtbên hợp với đáy

 Gọi là góc giữa đường cao của hình chóp với mặt bên

 Gọi SH là đường cao của hình chóp.

A

Hình chóp tam giác đều Hình chóp tứ giác đều

2. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy

- Nếu hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó là đường cao

- Nếu hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy thì cạnh bên là giao tuyến củahai mặt bên đó vuông góc với đáy.

S

D

C B

B A

S

Hình chóp có SAABCD Hình chóp có hai mặt bên SAC và

SAB vuông góc với đáy, SA là đường

cao của hình chóp

1) Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang cân, AD là đáy lớn

và

AB = BC = CD = a Các cạnh bên của hình chóp đều bằng nhau và bằng b

Tính thể tích và diện tich xung quanh của hình chóp

2) Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác cân, vuông tại đỉnh C Hai mặt bên (SAC) và (SBC) là những tam giác đều cạnh a Mặt bên (SAB) có

ASB

 900 Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp

1.2 Sai lầm khi vẽ hình biễu diễn của một hình trong không gian

Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình

H lên một mặt phẳng Muốn vẽ hình biểu diễn thì ta phải áp dụng tính chất của phép chiếu song song như: Hình biểu diễn của tam giác đều là một tam giác giác bất kỳ, hình biểu diễn của hình vuông là một hình bình hành, đường tròn là một elip Song một số tính chất của hình đó vẫn được bảo toàn Và học sinh đã không nắm rõ điểm này, nên dẫn đến vẽ hình biểu diễn của hình H là không đúng

Bài tập: Cho một elip là hình biểu diễn của một đường tròn có tâm O Hãy vẽ hình

biểu diễn của:

a Một tam giác đều nội tiếp trong (O);

b Hình vuông nội tiếp trong (O);

c Hai đường kính vuông góc của đường tròn;

d Một dây cung và đường kính vuông góc với dây cung

Dự kiến sai lầm

HS sẽ vẽ một tam giác, hình bình hành, hai đường kính, dây cung và đường kính

bất kỳ để biểu diễn những hình yêu cầu trên, mà không có một mối ràng buộc nào

biểu thị dữ kiện bài toán đã cho

a Hình biểu diễn của một tam giác đều là một

tam giác bất kỳ, nên ta có hình biễu diễn tam

giác đều ABC như bên

b Hình biểu diễn của hình vuông là hình bình

hành nên ta có hình biểu diễn hình vuông ABCD

như bên

D

C B

A

O

c Vì qua phép chiếu song song không

bảo toàn góc nên ta có hình biểu diễn

hai đường kính AC và BD vuông góc

nhau như bên

D

C B

A

O

d Lí luận tương tự như bên ta có hình

biểu diễn của một đường kính vuông

Nhận xét: - A, O, H thẳng hàng, BC đi qua

trung điểm của OD.

- OAMN, BC song song với MN, OA đi

qua trung điểm của MN.

O H

D

M

C B

A

Ta có hình biểu biễn như sau:

- Vẽ cung M’N’, lấy I’ là trung điểm của M’N’.

- Nối O’I’ cắt (O’) tại A’, D’.

- Lấy trung điểm H’ của đoạn O’D’.

Từ H kẻ B’C’ song song với M’N’

Tam giác A’B’C’ là hình biểu diễn của tam giác đều ABC.

b Cũng như câu a, khi nhìn vào hình vẽ biểu diễn trên thì ta không biết đó là hình

biểu diễn của hình bình hành, hình chữ nhật hay là hình vuông Bởi hình không thể hiện một tính chất đặc trưng nào?

- Trước hết, ta có hình vuông ABCD nội tiếp trong

đường tròn (O) là:

Ta thấy: Tâm của hình vuông trung với tâm của

đường tròn

Đường chéo của hình vuông luôn đi qua trung điểm

của dây cung mà song song với đường chéo còn lại

A

Do đó hình biểu diễn của hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) là:

- Vẽ đường kính A’C’ biểu diễn đường kính AC;

- Vẽ dây M’N’ song song với A’C’ và gọi I’ là

trung điểm của nó;

- Nối O’I’ cắt đường (O’) tại B’, D’.

I' D'

C' B'

M'

N' A'

Ta có A’C’ và B’D’ là hai đường kính vuông góc, B’D’ và M’N’ là đường kính

vuông góc với dây cung

Biện pháp khắc phục sai lầm

Để vẽ hình biểu diễn chính xác ta cần thực hiện những bước sau:

- Nắm rõ các tính chất của phép chiếu song song;

- Vẽ hình đó trong phẳng rồi xét xem yếu tố nào không đổi khi qua phép chiếu songsong;

- Vẽ hình biểu diễn

Bài tập củng cố: Vẽ hình biểu diễn của lục giác đều, hình chữ

nhật nội tiếp trong đường tròn tâm (O).

1.3 Sai lầm của HS khi xác định góc

Khi giải những bài toán tính toán các yếu tố như độ dài đường vuông góc chung,góc Ngay cả khi không yêu cầu dựng thì trên thực tế ta cũng phải xác định cácyếu tố đó trên hình vẽ, sau đó mới tính toán

Song do không nắm kỹ các khái niệm mà học sinh thường gặp sai lầm trong phầnnày, dẫn đến kết quả tính toán sai

Bài tập 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a và các mặt bên của

hình chóp hợp với đáy một góc  Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng phân giác của

góc nhị diện cạnh BC với các mặt bên của hình chóp và tính diện tích của thiết

diện

Dự kiến sai lầm

- HS sẽ gặp phải sai lầm khi xác định mặt phẳng phân giác của góc nhị diện đó là:

xác định phân giác của hai góc SBA và SCD, khi đó mặt phẳng phân giác đượctạo bởi hai đường phân giác đó và cạnh nhị diện

- Trong mặt bên (SAB), dựng đường phân

D C

S

Khi đó tứ giác BCNM là mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh BC cần tìm.

Phân tích sai lầm

- Nhìn vào hình vẽ ta không thể tìm ra được một mối liên hệ nào để tính toán được

diện tích thiết diện BCNM

- Ở đây ta có thể chứng minh được rằng mặt phẳng phân giác đó không đi qua hai

đường phân giác của hai góc SBA và SCD

Ta có lời giải như sau:

Để dựng được mặt phẳng phân giác thì trước hết ta phải dựng được góc phẳng nhị diện cạnh BC.

Từ H kẻ IJ song song với AB Khi đó:

;

SI BC SJ AD Do vậy

   Từ I kẻ phân giác IK cắt

SJ tại K, ta có: KIJ 2 Từ K kẻ MN song

song với AD

S

Nối BM, CN ta có mặt phẳng phân giác là: BCNM

Và thiết diện là hình thang vì MN // BC.

- Chỉ ra được BM, CN không phải là phân giác của SBA và SCD

Thật vậy,

Ta có: IS IJ KS KJ (1) (vì KI là phân giác của SIJ

Vì MN song song với AD nên: KS KJ MS MA (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MS MAIS IJ (3) Ta thấy: IJ AB

Từ (3) và (4) suy ra: MS MA BABS Vậy BM không là phân giác của SBA

Tương tự ta chứng minh được CN không phải là phân giác của SCD

Vì MN song song với AD nên: MN AD SK SJ (5)

Mặt khác: IK là phân giác nên: KS KJ IS IJ 2cos1  (6)

.

2

2 2.cos 2 2.cos

Bài tập 2: Cho một hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy ABC là một tam giác

vuông ở A, có AB = a, góc B bằng  Mặt phẳng đi qua cạnh BC và đỉnh A’ hợp với đáy ABC một góc bằng  Tính thể tích hình lăng trụ

- Do trực giác và không nắm rõ định

nghĩa nên đã xác định góc giữa hai mặt

phẳng (A’BC) và (ABC) không chính

xác Góc giữa hai mặt phẳng là góc

giữa hai đường thẳng lần lượt vuông

góc với hai mặt phẳng đó Hoặc xác

định một mp vuông góc với giao tuyến

B

A





   ;    

a  b  

- Tìm mp   : + Tìm đường thẳng vuông góc với c, cắt   và   tại A và B + Từ A (hay B) dựng đường vuông góc với c Khi đó AHB là góc giữa hai mặt phẳng cần tìm Ta có: AHB  

a) Nếu hai mặt của nhị diện lần lượt

chứa hai tam giác cân  MAB và  NAB

có chung đáy là AB thì MIN (I là trung

điểm của AB) là góc giữa hai mặt phẳng

đó

I M

- Khi đó mặt phẳng phân giác là mặt

phẳng đi qua cạnh của nhị diện và phân

A

(OCD) là mặt phẳng phân giác của nhị

diện( A, CD, B)

Bài tập 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a Đường chéo

BC’ của mặt bên BCC’B’ hợp với mặt bên BAA’B’ một góc  Tính thể tích hìnhlăng trụ

Dự kiến sai lầm

HS sẽ xác định sai góc giữa BC’ và mp (AA’B’B).

Nối BA’ góc giữa BC’ và mặt bên BB’C’C là

 ' '

C BA Vậy C BA ' '

Trong C BA' ', theo định lí sin ta có:

' ' sin '

sin ' sinBC A  a  BC asinA

Mặt khác: BA’ = BC’ nênC BA' ' là tam

giác cân tại B.

Sai lầm của lời giải trên chính là việc xác định sai góc giữa đường thẳng B’C’ với

mp (BAA’B’), do trực giác nhầm và không nắm rõ định nghĩa.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó với hình chiếu củađường thẳng đó trên mặt phẳng

Theo định nghĩa ta phải tìm góc giữa BC’ và hình chiếu của nó trên (BAA’B’) Trước tiên phải xác định được hình chiếu của BC’.

Ta thấy B thuộc (BAA’B’), ta cần xác định hình chiếu của C’ lên (BAA’B’), tức là xác định chân đường vuông góc kẻ từ C’ xuống (BAA’B’).

Lấy I là trung điểm của A’B’.

A '

B A

Dựng góc giữa đường thẳng a và mp   ta làm như sau:

- Tìm giao điểm O của a và  

- Lấy điểm A thuộc a chiếu vuông góc

1.4 Sai lầm của HS khi xác định khoảng cách

Để tính khoảng cách đúng, chính xác thì yếu tố quan trọng nhất đó là dựng đúngkhoảng cách đó Bài toán về khoảng cách trong hình học không gian thuần tuýthường trừu tượng và khó đối với HS Điều này cũng làm cho không ít HS thắcmắc, sai lầm khi học phần này Cụ thể:

Bài toán 1: Trong hình chóp tam giác S.ABC, đường cao đi qua đỉnh C của đáy.

Mặt bên (SAB) là một tam giác vuông có cạnh huyền AB = a, hợp với đáy một góc

 , và SAB  - Tính khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (SAB).

- Tính thể tích hình chóp.

Dự kiến sai lầm

- HS xác định góc giữa hai mp (SAB) và (ABC) và khoảng cách từ C đến (SAB)

chưa chính xác

- Vì SCABC nên góc giữa (SAB) và

(ABC) là SAC Vậy  SAC 

Từ C kẻ CH SA Khi đó

d C SAB CH

Xét trong SAB , vuông tại S:

VớiAB a SAB ,   nên ta có:

.cos ;

SA a  SB a sin

Trong tam giác vuông SAC có: CA a cos cos ;  SC a cos  sin 

Do đó: 1 2 12 12 CH a.cos cos sin

Vì CH là khoảng cách từ C đến (SAB) nên CH SAB

3

1 .cos cos sin cos sin sin 2 sin 2 cos

Tìm mp   vuông góc với AB Từ C kẻ CI AB Khi đó SCIAB

Vậy SAB ; ABC SIC 

- Khoảng cách từ điểm C đến mp (SAB)

là khoảng cách từ C đến hình chiếu của

nó trên mp (SAB) Ở đây H xác định như

trên là không phải hình chiếu của C lên

mp (SAB) Vì ta có thể chứng minh được

Từ C kẻ CH SI  CH SAB Vậy H là hình chiếu vuông góc của C trên (SAB)

Hay d C SAB ,   CH

Từ những yếu tố trên ta tính được: SA a .cos ; SB a sin 

Suy ra: sin 2 ;

Thông thường trong SGK chỉ đưa ra những định lí khái quát và trừu tượng nên những phương pháp này chỉ rõ cho HS cách xác định mp chứa điểm A và vuông

góc với mp   như thế nào Bởi khó khăn chủ yếu của HS là xác định mặt phẳng

- Xác định mp   : Nếu đã có sẵn một đường thẳng d 1 qua A vuông góc với một đường thẳng a chứa trong mp  , thì từ A cần dựng một đường thẳng d 2 và vuông

góc với a Khi đó   d d1, 2

2 Phương pháp 2: Dựa trên cơ sở đã có một khoảng cách có sẵn.

- Nếu có một điểm A’

- AA’ song song với  . Thì d A ,   d A ',  

Khoảng cách của đường thẳng a (a song song với   ) đến   là khoảng cách từ

một điểm trên đường a đến   .

3. Để tính khoảng cách từ A đến   ta có thể vận dụng hệ thức lượngtrong tam giác Ngoài ra có thể dựa vào:

+ V Bh  hV B Với: V là thể tích của hình chóp tạo bởi A và  

B là diện tích của hình F trên  

h là đường cao hạ từ A xuống   h d a  ,  

Bài tập 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có sáu mặt đều là hình thoi có một góc

bằng 60 và cạnh bằng a Đường cao của hình chóp là 6

I

H O

B A

- Nối BO’ Từ O’ kẻ ' O IBB' Khi đó O’ thuộc A’C’, I thuộc BB’ nên O’I là đường vuông góc chung của BB’ và A’C’.

- Tính O’I dựa vào thể tích hình chóp B.A’C’B’ Hình chóp này có chiều cao bằng

chiều cao của hình chóp '

Suy ra:

2

3 ' ' ' ' a 6

Đoạn vuông góc chung có nghĩa là đoạn thẳng mà vuông góc đồng thời với haiđường thẳng đó.

Do đó ở đây 'O I  A C' ' nên không thể kết luận nó là đoạn vuông góc chung của

A’C’ và BB’.

Ta thấy ' 'B O A C' ' Xem thử ' 'B O BB'?

Ta có: BDA H BD' ; AC  BDACC A' ' Suy ra BDAA BD BB';  'Vậy ' 'B O BB'. Hay B’O’ là đoạn vuông góc chung của A’C’ và BB’.

Và B O' '12B D' '12a

Đây là trường hợp đặc biệt đoạn vuông góc chung đã có sẵn Những trường hợptổng quát hơn thì ta phải dựng nó và dựng như thế nào? Thường dùng phương phápsau, nếu nắm kỹ phương pháp này thì bất kỳ một bài toán dựng đoạn vuông gócchung nào đều có thể giải quyết được.

đồng thời vuông góc với cả a và b.

- Nháy nút Dung để có các bước dựng,

giải thích từng bước

- Cho thay đổi các vị trị để HS dự đoán

số đường thẳng c Từ đây đi đến định

nghĩ đoạn vuông góc chung

J O

Để HS rút qua tích chất của đoạn vuông góc chung qua hoạt động sau:

Mở trang GSP/5.kc/9 Cho M, N là hai

điểm tuỳ ý thuộc hai đường chéo nhau

a, b.

Kéo rê M, N để so sánh: d a b và MN. , 

Rút ra nhận xét: Đoạn vuông góc chung

là đoạn thẳng ngắn nhất nối từ hai

đường thẳng a và b.

b

a I