Momen từ dị thường của electron và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong điện động lực học lượng tử

Ví dụ như sự dịch chuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặc mômen từ dị thường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực nghiệm trùng nhau với độ chín

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

PHẠM THỊ THUẬN

MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON

VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

PHẠM THỊ THUẬN

MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON

VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ….4

CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRON ….7

1.1.Phương trình Pauli …7

1.2 Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn phi tương đối tính ….8

1.3 Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli ….11

CHƯƠNG 2: CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON ……… 20

2.1 S-ma trận … 20

2.2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào mômen từ dị thường … 24

2.3 Hệ số dạng điện từ 25

CHƯƠNG 3: BỔ CHÍNH CHO MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG … 29

3.1 Bổ chính cho mômen từ dị thường trong gần đúng một vòng … 29

3.2 Mômen từ dị thường cùng với các bổ chính lượng tử … 36

KẾT LUẬN … 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO … 39

PHỤ LỤC A … 40

PHỤ LỤC B … 49

PHỤ LUC C … 50

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1 Chương I……… 21 Hình 2 Phụ luc A……… 43 Hình 3 Phụ lục A……… 45

MỞ ĐẦU

Lý thuyết lượng tử về tương tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi là điện động lực học lượng tử QED, đã được xây dựng khá hoàn chỉnh Sự phát triển của QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J Schwinger, R Feynman Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giả đã nêu cùng với việc tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron, QED đã lý giải thích thành công các quá trình vật lý qua tương tác điện từ, cả định tính lẫn định lượng Ví dụ như sự dịch chuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặc mômen từ dị thường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực nghiệm trùng nhau với độ chính xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/

Phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, tương tác của electron với trường điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tương tác từ tính mới Cường độ của tương tác này được mô tả bằng mômen từ electron , và nó bằng

e0 e R sẽ dẫn đến sự đóng góp bổ sung, mà nó được gọi là mômen từ dị thường Lưu ý, chỉ số R – ký hiệu giá trị được lấy từ thực nghiệm

Tuy nhiên, thực nghiệm đo được mômen từ của electron bằng  1, 0038750, giá trị này được gọi là mômen từ dị thường của electron J Schwinger /13/ là người đầu tiên tính bổ chính cho mômen từ dị thường của electron vào năm 1948 và ông thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ chính cho mômen từ của electron khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai số tính toán với thực nghiệm vào khoảng

Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng cho mômen từ dị thường của electron trong QED Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trình tính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, đang

được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết trường lượng tử

Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, tài liệu tham khảo và một số phụ lục

Chương 1 Phương trình Pauli và mômen từ của electron Phương trình

Pauli và mômen từ dị thường có thể thu nhận bằng hai cách: Trong mục 1.1 xuất

phát từ phương trình Schrodinger bằng tư duy hiện tượng luận ta thu được phương

trình Pauli với số hạng tương tác của mômen từ electron với trường ngoài /1/ Mục 1.2 dành cho việc nhận phương trình Pauli bằng việc lấy gần đúng phi tương đối tính phương trình Dirac ở trường điện từ ngoài trong gần đúng  v

c , v – là vận tốc của hạt, còn c là vận tốc ánh sáng Các bổ chính tương đối tính tiếp theo cho phương trình Pauli ở gần đúng bậc cao hơn  v

c thu được bằng việc sử dụng phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen ở mục 1.3

Chương 2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào mômen từ dị thường

của electron Xuất phát từ Lagrangce tương tác của electron với trường ngoài ta nêu

vắn tắt các xây dựng S-matrận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trường điện từ ngoài Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng đóng góp cho mômen từ dị thường của electron Mục 2.3 dành cho việc thảo luận

ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tương đối tính

Chương 3 Mômen từ dị thường của electron trong gần đúng một vòng

Trong mục 3.1 sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng Việc tính biểu thức bổ chính cho mômen từ dị thường trong gần đúng một vòng được tiến hành ở mục 3.2 Lưu ý, việc tính mômen từ dị thường của electron là bài toán phức tạp, trong Luận văn này bước đầu ta đã thực hiện một loạt những động tác để đơn giản bài toán bằng việc

bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lượng photon, bỏ qua việc tái chuẩn hóa khối lượng, điện tích của electron, hàm sóng của electron và trường điện từ ngoài liên quan tới các đường ngoài trong giản đồ Feynman, và tính toán tới phần đóng góp chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman cho mômen từ dị thường của electron Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu được và thảo luận việc tổng quát hóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tương tự

Trong Bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử  c 1 và metric Feynman Các véctơ phản biến là tọa độ :

 0 1 2 3   

x  x t x x x  y x z  t x thì các véctơ tọa độ hiệp biến : x g x  x0 t x, 1 x x, 2  y x, 3  z t,x,

CHƯƠNG 1 - PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRON

Phương trình Pauli và số hạng tương tác giữa mômen từ của electron với trường điện từ ngoài có thể thu được bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phương trình Schrodinger bằng cách kể thêm spin của electron và tương tác của mômen từ với trường ngoài được giới thiệu ở mục 1.1; ii/ Từ phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, thực hiện phép gần đúng phi tương đối tính ở gần đúng bậc  v

c

ta có phương trình Pauli cho electron với mômen từ Nghiên cứu các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụng phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen

1.1 Phương trình Pauli

Phương trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trường điện từ ngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng Phương trình Pauli

có dạng phương trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), song hàm song 

trong phương trình Pauli không phải là một vô hướng có một thành phần  r t, phụ thuộc vào các biến không gian và thời gian, mà còn chứa biến số spin của hạt là s z Kết quả để cho hàm sóng r s t, z,  là một spinor hai thành phần

  1

2

, ,2, ,

, ,2

 - là magneton Bohr, còn  là các ma trận Pauli Khi đăt hạt vào trường điện từ

  0

0

2

e e

là thế vô hướng và thế véc tơ của trường điện từ Phương trình (1.6)

là phương trình Pauli, mà nhờ nó ta có thể giải thích được hiệu ứng Zeemann

1.2 Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn phi tương đối tính

Xuất phát từ phương trình Dirac cho electron trong trường ngoài ở dạng chính tắc ta có:

Như vậy, phương trình (1.7) sẽ biến thành hệ phương trình

0

2 0

1( / ) u

(1.14) Cùng với việc sử dụng các đồng nhất thức sau

0

m c trùng với phương trình Pauli để cho hạt có spin ½ trong trường điện từ ngoài Thật đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tương đối tính hóa của phương trình Dirac ở trường ngoài sẽ tự động dẫn đến số hạng tương tác MB  giữa mômen từ (hay spin ) của hạt với từ trường ngoài, trong đó electron có mômen từ đúng khác với tỉ số

Đối với hạt không phải là cơ bản, như các proton hay các neutron quá trình giới hạn trên dẫn đến các kết quả sai M p  eS/ m c p Rõ ràng trong những trường hợp này liên kết tối thiểu không đủ để kể thêm trường điện từ ngoài Chính vì vậy để cho những hạt này, chúng ta có thể nhận được phương trình phi tương đối tính với các mômen từ đúng đắn phải bằng cách hiện tượng luận là cộng “bằng tay” các số hạng mômen.(xem them bài tập 11 và 22)

Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lưu ý các biểu thức để cho mật độ xác suất và mật độ dòng xác suất tương ứng với phương trình (1.16) với độ chính xác

1.3 Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli

Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tương đối tính phương trình Dirac ở trường điện từ ngoài ta thu được lý thuyết Pauli đúng tới bậc  2

c Trong giới hạn này n r

H là chéo nhưng các nghiệm âm và dương là hoàn toàn “phân ly ” Để chéo hóa toán tử Hamilton ở các bậc cao hơn một cách hệ thống, thì ta phải kể thêm các bổ chính tương đối tính, bằng cách sử dụng phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho phương trình Dirac

Để đơn giản ta bắt đầu tử bậc v c/  và phương trình Dirac ở dạng

2

cùng với

m c K    U K UKU (1.22)

    (hay cao hơn) (1.23)

Và phép biến đổi thứ hai ta có

m c K    U K U K U    (1.24)

   (hay cao hơn) (1.25)

và tiếp tục Lựa chọn tốt nhất cho phép biến đổi đầu tiên là

c , đúng trong phương trình Pauli (1.16)

Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực hiện phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thứ hai với K cùng

c (hay cao hơn) ta nhận được toán tử chẵn

2 4   55

1 , ,

(1.38) Đúng đắn đến bậc  4

4

v O

c với việc chéo hóa Hamilton 2

i j i i j k k i j i i j k k

         

- Khi các S S, , là tự liên hợp, thì các ma trận biến đổi Fouldy –Wouthuyen , ,

U U cũng là những phép biến đổi unita Điều này có nghĩa bất biến của giá trị trung bình như phép biến đổi   1

- Phương pháp Fouldy –Wouthuyen chỉ chấp nhận cho những vấn đề vật lý trong vùng

đúng đắn của một hạt ở đấy phép khai triển Fouldy –Wouthuyen là hội tụ

- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho lý thuyết Dirac phép biến đổi Fouldy –

Wouthuyen đã cung cấp phương pháp chéo hóa Hamilton Dirac tới bậc bất kỳ hữu hạn

nào đấy Viết phương trình Dirac (1.7) dưới dạng

2 (0) (0) (0) (0) (0)

m c K   K     (1.43) Cùng với các toán tử chẵn  0 , (0)  2 2

( )n ( )n ( )n (n 1) (n 1) (n 1)†

K     U  K  U  (1.44) ( )n      n 1 n 1  

     (1.45)

( ) ( )

v O

c





-Electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện Để kết thúc ta trở lại phương trình

(2.98) Phương trình này có thể dẫn đến dạng quen thuộc bằng việc xem xét trường hợp electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện

(1.48) Trong trường hợp này ta có

Trong trường hợp của thế Coulomb   2

/

V r  Ze r hai thành phần cuối cùng là

22 22  

02

   

0

eA V x V r A

v c/  Đối với phần chẵn của toán tử được chéo hóa và toán tử Hamilton tự liên hợp là đúng đắn đến bậc được nghiên cứu v c/ , mà từ đây ta thu được lý thuyết một hạt để cho hạt và cho phản hạt

- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen, tương tự như phép biến đổi Feshbach-Villars, là phép biến đổi không định xứ và bị “loang ra ” của biến số tọa độ một độ dài có thể so sánh với bước sóng Compton

- Phương pháp Fouldy – Wouthuyen chỉ thích hợp cho các trường hợp, thứ nhất phép khai triển v c/  là hội tụ; thứ hai là cách giải thích một hạt được chấp nhận

Hamiltonian của phương trình có dạng

- Mômen từ dị thường trong QED và giản đồ Feynman

Theo lý thuyết Dirac mômen từ của electron có dạng

0

2

e mc

   - magneton Bohr

Theo thực nghiệm phát hiện mômen từ dị thường của electron

CHƯƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MÔMEN TỪ

trong đó p1, p2 là các xung lượng ở trạng thái đầu và trạng thái cuối của electron

Quá trình tán xạ này có thể mô tả bởi các giản đồ Feynman / 2,3,4/ theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Giản đồ Feynman trong gần đúng bậc thấp nhất (a) theo điện tích e,

và các giản đồ Feynman tiếp theo mô tả các bậc cao (bổ chính) cho quá trình tán xạ này

(xem Hình 1)

(a) (b1) (b2)

(b3) (b4)

Hình 1 Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết

nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng

đường electron

trường điện từ ngoài

Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng với giản

đồ Hình 1.(a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau:

4 1

2 2

10

22

   2  1

1 2 3

10 20

12

Thay (2.6b) vào (2.4) ta được yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của

electron ở trường điện từ ngoài trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn :

1 2

ex

10 20

2 1

và được gọi là biên độ tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài tĩnh (trường thế

Coulomb) trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo electron

2.2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào mômen từ dị thường

Để kể thêm các bổ chính bậc cao, thì chúng ta cần thay u2u1bằng đại lượng tổng

quát hơn mà nó tương ứng với các giản đồ Feynman mà ta gọi là các giản đồ đỉnh

Những giản đồ này được chia làm hai loại: loại giản đồ đích thực và loại giản đồ không đích thực 2

Các giản đồ đích thực trước đây được gọi là « một hạt bất khả quy » được kết nối với nhau mà ta không thể tách làm hai phần bằng việc cắt bỏ một đường trong Các giản đồ không đích thực được lồng vào các đường ngoài của giản đồ và chúng cho đóng góp vào việc tái chuẩn hóa lại khối lượng của các đường ngoài, tương ứng với các hạt ngoài

Lấy tổng các giản đồ đỉnh đích thực, bỏ qua các hàm sóng ngoài, ta xác định « phần đỉnh đích thực » 

p p1 , 2  p p1 , 2 (2.10) trong đó  là đỉnh « trần » , còn p p1 , 2 được xác định bằng tập hợp các giản đồ Hình 1 Tiết diện tán xạ ở bậc nhất theo trường ngoài cùng với tất cả các bổ chính được

trong đó số hạng  là đỉnh “trần” , còn p p2, 1 được xác định bởi tập hợp các giản đồ Tiết diện tán xạ ở gần đúng bậc nhất với trường ngoài, cùng với các bổ chính thì biểu thức u p 2 u p 1 được thay thế bằng u p  2  p p u p2, 1  1

Bằng lập luận bất biến Lorentz, hàm đỉnh có thể biểu diễn dưới dạng

p p2, 1c p1 1 c p2 2c3 c4 p1 c5p2 (2.14) trong đó c i, i 1, 2,3, 4,5 là các hàm số của của p1 và p2, Đặt

k Định luật bảo toàn dòng

k u p   2  p p u p2, 1  1 0 (2.16) Điều này dẫn đến các điều kiện sau c1c2 0 và c4 c5 0 Hệ quả chỉ còn lại hàm

số độc lập c3 và c4, chúng ta viết lại toán tử đỉnh dưới dạng

   2  2

1,

F E F1 ; F M F1F2 (2.20) tương ứng với với hệ số dạng điện và hệ số dạng từ

Yếu tố S-ma trận để cho tương tác với trường ngoài yếu cùng với tất cả bổ chính có dạng

có thể viết giới hạn phi tương đối tính dưới dạng

với 0 0,

2

B

A  A r  Ta có