Mô hình hiện tượng luận cho tán xạ đàn hồi các nucleon

MỞ ĐẦU Tán xạ đàn hồi năng lượng cao của các nucleon được thực hiện nhờ tương tác mạnh của các hadron, nhưng trong trường hợp các hadron tích điện cần phải xét tương tác Coulomb giữa các

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB 1.1 Biên độ tán xạ tổng quát cho hai tương tác

1.2 Pha eikonal trong gần đúng eikonal

1.3 Công thức West và Yennie

CHƯƠNG 2 : TÁN XẠ CÁC NUCLEON NĂNG LƯỢNG CAO TRONG MÔ HÌNH EIKONAL 2.1 Một số cách tiếp cận tán xạ nucleon trong mô hình phi eikonal

2.2 Biên độ tán xạ các nucleon trong mô hình eikonal

2.3 Giá trị trung bình của các tham số va chạm

CHƯƠNG 3 : CÁC DỮ LIỆU THỰC NGHIỆM VỀ THAM SỐ VA CHẠM TRONG MÔ HÌNH TÁN XẠ PROTON – PROTON 3.1 Mô hình tán xạ đàn hồi pp và các đặc trưng của nó

3.2 Dữ liệu về tham số va chạm cho quá trình tán xạ pp ở 53GeV

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC A HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ CỦA NUCLEON

PHỤ LỤC B CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

B.1 Phương pháp khai triển theo sóng riêng phần

B.2 Phương pháp hàm Green

B.3 Phương pháp chuẩn cổ điển

B.4 Mối liên hệ giữa biên độ tán xạ sóng riêng phần về biên độ tán xạ eikonal

B.4.1 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang biên độ sóng eikonal

B.4.2 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng eikonal sang biên độ sóng riêng phần

B.5 Sơ đồ mối liên hệ giữa các phương pháp của bài toán tán xạ

1

5

7

10

12

16

23

25

27

33

34

39

41

41

49

55

57

57

58

59

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 2.1

Hình 2.2

Hình 3.1

Hình 3.2

Hình B.1

Hình B.2

Hình B.3

14 14 29 30 42 50 59 DANH MỤC BẢNG Bảng Trang Bảng 2.1 Bảng 3.1 Bảng 3.2

19

31

32

MỞ ĐẦU

Tán xạ đàn hồi năng lượng cao của các nucleon được thực hiện nhờ tương tác mạnh của các hadron, nhưng trong trường hợp các hadron tích điện cần phải xét tương tác Coulomb giữa các hạt va chạm [16] Sử dụng phép gần đúng chuẩn cổ điển trong cơ học lượng tử, Bethe đã thu được công thức cho tán xạ thế với góc tán xạ nhỏ của proton lên hạt nhân, trong đó có tính đến sự giao thoa của các biên độ tán xạ Coulomb và biên độ tán xạ hạt nhân [45] Biên độ tán xạ đàn hồi được ký hiệu bằng C N

F  và có thể biểu diễn một cách hình thức dưới dạng tổng hai loại biên độ tán xạ sau [45]:

    ,    

F  s t e F s t F s t (0.1)

trong đó s là bình phương năng lượng trong hệ khối tâm (cms), t là bình

phương xung lượng truyền 4 chiều, F C s t, - biên độ tán xạ hoàn toàn Coulomb được xác định trong điện động lực học lượng tử (QED), F N s t, - biên độ tán xạ hoàn toàn hadron (liên quan tới tương tác mạnh),   1/137, 036

là hằng số cấu trúc,  s t, là pha tương đối - sự lệch pha được dẫn ra bằng

tương tác Coulomb tầm xa

Sử dụng mô hình tán xạ thế, Bethe đã có kết quả cụ thể cho pha [16]  2ln 1, 06 / qa  (0.2)

trong đó q là xung lượng truyền của hạt tán xạ, còn a là tham số đặc trưng

cho kích thước của hạt nhân

Công thức của Bethe (0.2) có ý nghĩa quan trọng đối với lý thuyết và thực nghiệm Về lý thuyết phần thực của biên độ tán xạ kể trên cho phép ta kiểm tra hệ thức tán sắc [34], hay dáng điệu tiệm cận khả dĩ của tiết diện tán

xạ toàn phần [15], hay việc kiểm nghiệm các mô hình lý thuyết khác nhau cho tương tác mạnh Việc đánh giá phần thực của biên độ tán xạ hạt nhân phía trước ở vùng năng lượng thấp so với các số liệu thực nghiệm đã được thực

hiện cho vùng có 2 2

lý thuyết và thực nghiệm còn chưa được nghiên cứu đầy đủ

Mô hình eikonal là một công cụ mạnh thích hợp cho việc xem xét quá trình tán xạ đàn hồi của các hadron năng lượng cao Với cách tiếp cận theo

mô hình này cho phép chúng ta có thể đưa ra các giá trị về tham số va chạm (ví dụ như phạm vi tác dụng của lực Coulomb và lực tương tác mạnh ở các khoảng cách khác nhau), một đặc trưng vật lý quan trọng của quá trình tương tác

Việc giải thích đầy đủ quá trình tán xạ các nucleon trong hạt nhân đòi hỏi không những tư duy logic mà còn cần cả tư duy hiện tượng luận dựa trên

các kết quả thực nghiệm Hiện tượng luận trong khoa học là cách lập luận

xuất phát từ thực nghiệm, và kết quả được thực tế chấp nhận, chứ không theo cách tư duy logic trong toán học Hàm delta Dirac là một ví dụ, nó là

hàm suy rộng, xuất phát từ thực tiễn, chứ nó không hẳn được định nghĩa như những hàm số thông thường Hàm delta Dirac phải mất bẩy năm mới được

giới học thuật thừa nhận!

Mục đích của bản luận văn thạc sỹ khoa học là nghiên cứu quá trình tán

xạ đàn hồi của các nucleon tích điện trong mô hình eikonal ở mọi giá trị t theo

những mô hình hiện tượng luận đã được thừa nhận Sự ảnh hưởng của hai tương tác là tương tác mạnh giữa các hadron và tương tác Coulomb đến biên

độ tán xạ và pha tán xạ được rút ra dựa trên các số liệu thực nghiệm

Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, các phụ lục và kết luận

Chương 1: Mô hình eikonal và Giao thoa Coulomb

Xuất phát từ mô hình eikonal cho tán xạ năng lượng cao, chúng tôi xây dựng biên độ tán xạ tổng quát cho hai loại tương tác – tương tác Coulomb và tương tác nucleon, trong đó pha eikonal được tính từ biên độ tán xạ trong gần đúng Born Trong mục 1.1 chúng tôi trình bầy vắn tắt việc tính biên độ tán xạ

cho hai loại tương tác trong gần đúng Born Việc tính sự lệch pha cho biên độ tán xạ Coulomb trong mô hình eikonal được dẫn ra ở mục 1.2 Công thức cho lệch pha trong gần đúng eikonal thu được ở đây phù hợp với kết quả mà West

và Yennie thu được trong lý thuyết trường lượng tử bằng việc tính các giản đồ Feynman cho bài toán này Lưu ý ở đây có kể thêm hệ số dạng điện từ của nucleon nhưng bỏ qua spin của nucleon Mục 1.3 dành cho việc mở rộng công thức về sự lệch pha của biên độ tán xạ Coulomb và tán xạ hạt nhân từ tán xạ với xung lượng truyền nhỏ ra vùng xung lượng truyền lớn dựa trên các số liệu thực nghiệm

Chương 2: Tán xạ các nucleon năng lượng cao trong mô hình

eikonal

Chương 2 dành cho mô tả sự ảnh hưởng qua lại của hai loại tương tác Coulomb và tương tác đàn hồi hadron trong va chạm giữa các nucleon Trong mục 2.1 một số phương án mở rộng biểu thức hàm pha West và Yennie từ vùng xung lượng truyền nhỏ (khi cả hai loại tương tác Coulomb và tương tác mạnh cùng tham gia và sự giao thoa giữa chúng) cho vùng xung lượng truyền lớn (vùng mà tương tác Coulomb bị bỏ qua ) dựa vào các số liệu thực nghiêm

Ở đây đã chỉ ra những hạn chế và sự không chuẩn xác nếu chúng ta mở rộng công thức West và Yennie một cách đơn giản Để khắc phục những bất cập này trong mục 2.2 trong mô hình eikonal hiện tượng luận dựa vào hệ thức giữa biên độ tán xạ và pha eikonal qua phép biến đổi Fourier – Bessel Mục 2.3 dành cho việc tính các giá trị trung bình các tham số va chạm trong mô hình này

Chương 3: Các dữ liệu thực nghiệm về tham số va chạm cho tán xạ

proton – proton trong mô hình eikonal hiện tượng luận

Các giả thuyết về độ lệch quỹ đạo để đưa ra công thức đơn giản của West và Yennie sẽ được phân tích dựa trên biên độ tán xạ eikonal đầy đủ

Trong mục 3.1 các đặc trưng cho tán xạ proton-proton được giới thiệu vắn tắt Mục 3.2 mô hình eikonal hiện tượng luận được áp dụng để phân tích các dữ

liệu tán xạ đàn hồi pp ở năng lượng 53 GeV

Trong phần kết luận ta hệ thống hóa những kết quả thu được và thảo luận việc mở rộng những nghiên cứu tiếp theo cho bài toán tương tự trong lý thuyết trường lượng tử

Phần phụ lục A sẽ đưa cách tính hệ số dạng điện từ của tán xạ các nucleon

Phần phụ lục B, ta trình bầy cách thu nhận biểu thức Eikonal cho biên độ tán xạ từ các cách giải khác nhau phương trình Schrodinger trong cơ học lượng tử

Trong luận văn này, hệ đơn vị nguyên tử  c 1 và metric Feynman được sử dụng Các véctơ phản biến là tọa độ

CHƯƠNG 1:

MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB

Trong chương này ta xuất phát từ mô hình eikonal cho biên độ tán xạ năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ (tán xạ phía trước), trong đó pha eikonal được tính từ biên độ tán xạ Born Trong mục 1.1, ta tính biên độ tán

xạ tổng quát cho hai tương tác – tương tác Coulomb và tương tác hạt nhân khi

sử dụng biên độ tán xạ Born, việc tính pha eikonal khi ta vận dụng gần đúng eikonal cho tương tác Coulomb được trình bầy ở mục 1.2 Trong mục 1.3, xây dựng công thức West và Yennie (WY) dạng tổng quát cho hàm pha tán

1.1 Biên độ tán xạ tổng quát cho hai tương tác

Mô hình eikonal được thuận tiện sử dụng khi xem xét tán xạ của các hạt với góc tán xạ nhỏ dựa trên phép gần đúng, coi quĩ đạo của các hạt tán xạ là thẳng (còn gọi là gần đúng quĩ đạo thẳng) Trong quĩ đạo này thì pha của quá trình tán xạ  b sẽ chứa toàn bộ thông tin về quá trình tán xạ

 2 2 2 ( )

1 4

ý nghĩa, nó không dựa vào cơ chế tương tác cụ thể nào Tất cả động lực học của quá trình trong mô hình eikonal được xác định, nếu cho trước dạng cụ thể của pha  ( )b Pha này phụ thuộc vào tham số va chạm b và năng lượng của

khối tâm Ở năng lượng siêu cao thì pha  ( )b được xác định bởi biểu thức:

  1 2  2

2

iq b Born

Ở đây chúng ta đã bỏ qua sự phụ thuộc vào s của biên độ tán xạ Born Khi đó, biên độ tán xạ eikonal ở vùng năng lượng lớn là:

1 4

iq b i b eik

đủ sẽ là:

 2 2 2 ( ( ) ( ))

1 4

 2 2 2 ( )

1 4

( )

s

i q F q

Biểu thức (1.7) là biểu thức tổng quát hóa của biên độ tán xạ eikonal của tán xạ các nuclon trong hạt nhân khi có sự giao thoa cả 2 loại, tương tác Coulomb và tương tác hạt nhân

1.2 Pha eikonal trong gần đúng eikonal

Để có thể áp dụng biểu thức (1.7) này cho các bài toán về sau chúng ta cần lấy gần đúng eikonal biên độ tán xạ Coulomb Từ biểu thức (1.2), chúng

ta đưa vào khối một photon khối lượng nhỏ  để khử phân kỳ hồng ngoại:

2 2

1 2

2

1 ln 2 2



b i b i C

e e b d i

s q F

1 2

2 1 2

2

i i

C eik q

2

2 ' 2

N C

N i

Trong biểu thức này, chúng ta chỉ lấy cận trên của tích phân là Q để

nhằm khử các phân kỳ xuất hiện khi lấy riêng rẽ từng tích phân ở vùng xung

lượng q 2

lớn Sau khi lấy tổng hai tích phân này và lấy giới hạn Q 2  sẽ thu được biểu thức hữu hạn Tổng của hai số hạng đầu tiên trong biểu thức (1.14) là:

Biểu thức dưới dấu tích phân trong (1.16) không có kì dị tại q = q’ So

sánh biểu thức (1.16) và (0.1), chúng ta suy ra được pha eikonal bằng:

1.3 Công thức West và Yennie

Dạng tổng quát của hàm pha ( , )s t trong phương trình (0.1) đã được West và Yennie xây dựng dựa trên kỹ thuật giản đồ Feynman (trao đổi một photon) Trong trường hợp các hạt tích điện biểu thức của hàm pha này có dạng:

2

0 4

Khi xây dựng công thức (1.19), West và Yennie không có các số liệu

thực nghiệm về tiết diện tán xạ vi phân d

dt



ở vùng |t| lớn mà chỉ dựa trên hai

giả thuyết chính sau:

- Sự phụ thuộc của độ lớn biên độ đàn hồi hadron vào t được biểu

diễn như là một hàm mũ của các biến động lực học theo t

- Cả phần thực và phần ảo của biên độ tán xạ đàn hồi hadron đều phụ thuộc vào t theo cùng một dạng hàm mũ của các biến động lực học của t

Vì thế tỉ số của hai phần này là hằng số

Cùng với hai giả thiết này và sử dụng một vài phép gần đúng khác (xem tài liệu tham khảo [15,45-46]), về mặt nguyên tắc chúng ta có thể thu được công thức (1.19) và (1.20) áp dụng cho vùng tương tác và giao thoa Coulomb Tất nhiên, chúng ta không thể chắc chắn ý nghĩa thực tế của các tham số thu được bằng cách khớp các số liệu thực nghiệm bởi vì rằng có thể chúng phụ

thuộc mạnh vào giá trị |t| khi nó lớn Tuy nhiên công thức (1.19), (1.20) hoàn

toàn có thể được sử dụng để khớp các số liệu thực nghiệm xác định tiết diện

tán xạ vi phân trong mọi thí nghiệm tán xạ đàn hồi hadron ở vùng |t| nhỏ mà

không cần để ý đến sự phụ thuộc của biên độ tán xạ đàn hồi vào t ở vùng |t| lớn

Ba đại lượng tot,Bvà  (ở các giá trị năng lượng tương ứng) được thiết lập dựa trên công thức (1.19), (1.20) cùng với các số liệu thực nghiệm ở vùng

giá trị nhỏ của |t| (trong vùng tương tác Coulomb, giao thoa và một phần nhỏ

kế tiếp của vùng tương tác hadron) Khi |t| lớn (ở vùng tương tác hadron) sự

ảnh hưởng của tán xạ Coulomb thường bị bỏ qua hoàn toàn và quá trình tán

xạ đàn hồi được mô tả bởi biên độ tán xạ hiện tượng luận hadron F N( , )s t ,

biên độ này thường phụ thuộc một cách tương đối phức tạp vào t hơn so với

công thức (1.20) Như vậy, tiết diện tán xạ vi phân ở các vùng khác nhau được biểu diễn bởi hai công thức khác nhau (dựa trên các giả thuyết không

tương thích) điều này chứng tỏ một sự thiếu hụt quan trọng của lý thuyết

CHƯƠNG 2:

TÁN XẠ CÁC NUCLEON NĂNG LƯỢNG CAO TRONG MÔ

HÌNH EIKONAL

Biên độ tán xạ đầy đủ của các nucleon đã được xác định bởi Locher [34]

và West và Yennie [15] (bỏ qua sự ảnh hưởng của spin các hạt vào biên độ

tán xạ) được suy ra nhờ giả thiết rằng t phụ thuộc vào biên độ tán xạ đàn hồi

hadron và sử dụng một số phép tính gần đúng ở năng lượng cao Về mặt lý thuyết các biểu thức này có vẻ hợp logic toán học và khi West và Yennie đưa

ra các công thức đó thì hoàn toàn không có số liệu nào về cấu trúc nhiễu xạ trong tán xạ đàn hồi của các nucleon Tuy nhiên hiện nay câu hỏi nảy sinh là các số liệu thực nghiệm đưa ra là không phù hợp với các công thức đó

Trong mục 2.1 một số phương án mở rộng biểu thức hàm pha West và Yennie từ vùng xung lượng truyền nhỏ (khi cả hai loại tương tác Coulomb và tương tác mạnh cùng tham gia và sự giao thoa giữa chúng) cho vùng xung lượng truyền lớn (vùng mà tương tác Coulomb bị bỏ qua ) dựa vào các số liệu thực nghiêm Ở đây đã chỉ ra những hạn chế và sự không chuẩn xác nếu chúng ta mở rộng công thức West và Yennie [15] một cách đơn giản Để khắc phục những bất cập này trong mục 2.2 trong mô hình eikonal hiện tượng luận dựa vào hệ thức giữa biên độ tán xạ và pha eikonal qua phép biến đổi Fourier – Bessel Mục 2.3 dành cho việc tính các giá trị trung bình các tham số va chạm trong mô hình này

2.1 Một số cách tiếp cận tán xạ nucleon trong các mô hình phi eikonal

Trong một số bài báo [20,10], biên độ tán xạ đầy đủ F C N ( , )s t thu được nhờ công thức chứa các pha chuẩn West và Yennie (WY) và biên độ tán xạ

đàn hồi hadron F N( , )s t được xây dựng dựa trên cơ sở của một số ý tưởng hiện tượng luận chưa chuẩn từ hai công thức (1.19) và (1.20)

Ban đầu biên độ tán xạ hadron thu được từ (1.20) có vẻ đúng nếu chỉ theo công thức (1.19) Tuy nhiên điều này lại là không thể vì rằng nếu pha

( , )

WY s t

 là thực với mọi giá trị của t như đã giả thiết trong [16] thì phần ảo

của biểu thức (1.19) phải bằng không:

2

0 4

Một câu hỏi nảy sinh là liệu phương trình này có nghiệm duy nhất hay không Và câu trả lời đã có Theo [47] thì phương trình (2.3) đã được chứng minh bằng giải tích rằng nó có nghiệm duy nhất điều đó có nghĩa rằng pha tán xạ hadron

N( , )s t  (2.4)

pha của biên độ tán xạ hadron là không phụ thuộc vào t trong toàn bộ vùng các biến động học các giá trị của |t| [47] Cũng có nghĩa là đại lượng ( , ) s t là hằng số

( , )

WY s t

Điều này cũng được củng cố khi thực hiện phép tính số xác định phần ảo của

Hình 2.1, vẽ đồ thị sự phụ thuộc vào t của pha biên độ tán xạ đàn hồi

hadron trong hai trường hợp khác nhau (tán xạ trung tâm (central) và tán xạ

ngoài (peripheral)) khi trong quá trình tán xạ pp ở mức năng lượng 53GeV

(xem [48])

Hình 2.2: Phần ảo WY( , )s t khác không của pha tương đối WY ứng với phép tính số

pha tán xạ hadron ở hình 2.1

Hình 2.1: Hai sự phụ thuộc khác nhau của

pha tán xạ hadron N( , )s t vào t:

 Đướng thứ nhất (chấm gạch) dẫn đến

bức tranh tán xạ trung tâm của tán xạ

đàn hồi pp với năng lượng 53 GeV

 Đường thứ hai (nét liền) đưa ra bức

tranh tán xạ ngoài

Ở đường thứ nhất, đầu tiên pha tán xạ thay đổi rất nhanh (tiến đến /2)

khi – t ~ 1,4 GeV dẫn đến bức tranh tán xạ trung tâm của quá trình tán xạ đàn

hồi các hadron trong không gian các tham số va chạm Tương ứng với nó là

sự phụ thuộc của phần ảo pha tán xạ vào t được vẽ ở hình 2 (đường nét đứt) Tại vùng |t| nhỏ, phần ảo của pha tán xạ WY là khác không và do đó pha tán

xạ WY là số phức

Ở đường thứ 2, tán xạ ngoại vi (peripheral scattering) đàn hồi các

hadron, sự phụ thuộc vào t của pha tán xạ đàn hồi hadron N( , )s t bị giới hạn bởi điều kiện rộng hơn N( , )s t  2 , phần ảo tương ứng của pha này được vẽ

ở hình 2.2 (đường nét liền) Phần ảo trong trường hợp này dao động quanh giá

trị không ở các giá trị |t| nhỏ Trong trường hợp này pha tương đối WY cũng

là phức

Tuy nhiên mô hình hiện tượng luận cho tán xạ đàn hồi các nucleon năng lượng cao dựa theo các số liệu thực nghiệm tạm thời đã chỉ ra một cách thuyết phục rằng đại lượng ( , )s t là phụ thuộc vào t Vì thế, chúng ta có thể kết luận

rằng tích phân trong biểu thức (2.1) chưa đủ để mô tả quá trình tán xạ đàn hồi của các hadron

Mặc cho thực tế này thì một số tác giả vẫn thử mở rộng biểu thức của

biên độ tán xạ đầy đủ WY cho các vùng của t lớn hơn với bất kỳ biên độ tán

xạ đàn hồi hadron N( , )s t nào phụ thuộc vào t (có nghĩa là cả F N( , )s t và

cho pha tán xạ WY Điều này có thể làm được, [7], khi sự hiệu chỉnh dẫn đến dạng tích phân Gauss của thừa số dạng (form factor) điện từ và của biên độ tán xạ hadron Như vậy, thực tế là chỉ có sự lệch dạng của lũy thừa các biến

phụ thuộc vào t là đáng quan tâm Tuy nhiên, trong luận văn này cũng không

đề cập đến sự phụ thuộc của đại lượng ( , )s t vào t

Một cách tiếp cận khác được sử dụng trong tài liệu [36] Ở đây hai giả thuyết được đưa ra rất tự nhiên nhưng lại rất chi tiết Đầu tiên, sử dụng công thức biểu diễn tham số va chạm cho biên độ tán xạ, nó không có giá trị ở năng lượng hữu hạn nhưng lại có nghĩa ở năng lượng vô hạn Tiếp theo, sử dụng sự

phụ thuộc vào t của thừa số dạng lưỡng cực biểu diễn sự đóng góp riêng của

các điện tích nucleon để khai triển thành 3 số hạng: hai số hạng là các số hạng gần đúng Born của pha tương đối đến bậc 2 và số hạng còn lại là bổ chính pha WY, các số hạng này chứa các biểu thức biên độ tán xạ phức hadron ở dạng tổng quát phức thu được bằng cách khai triển biểu thức tổng quát Kết quả của việc tính số hạng bổ chính của pha tương đối thực WY là phức Như vậy, pha tương đối trở thành phức và nó mất đi ý nghĩa vật lý

Như vậy, cả hai cách tiếp cận trên gần như không thể là công cụ thích hợp để mô tả sự ảnh hưởng chung của tán xạ Coulomb và hadron mà biểu hiện tổng quát sự phụ thuộc của độ lớn và pha của biên độ tán xạ đàn hồi vào

xung lương truyền t Điều này đòi hỏi cần phải đưa ra một mô hình mới phù

hợp hơn để mô tả quá trình tán xạ này đó chính là mô hình eikonal Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh mô hình eikonal là thích hợp và là lợi thế hơn so với các tiếp cận của West và Yennie để mô tả quá trình tán xạ đàn hồi các nucleon

2.2 Biên độ tán xạ các nucleon trong mô hình eikonal

Trong bài báo của Adachi và các cộng sự [42] đã chỉ ra rằng biên độ tán

xạ đàn hồi F N C ( , )s t có thể được liên hệ với biên độ tán xạ đàn hồi eikonal

biên độ tán xạ F N C ( , )s t chỉ được xác định ở vùng hữu hạn của t Về mặt toán

học, khi sử dụng biến đổi Fourier - Besel (FB) thì sẽ tồn tại biến đổi FB ngược Điều đó dẫn đến các giá trị của biên đội tán xạ rơi vào vùng không có

ý nghĩa vật lý, nơi mà biên độ tán xạ đàn hồi các hadron là không xác định [42] Vấn đề này đã được giải quyết nhờ Islam[29, 30] dựa trên tính liên tục giải tích của biên độ tán xạ đàn hồi các hadronF N( , )s t từ vùng của t không có

ý nghĩa vật lý đến vùng có ý nghĩa vật lý Khi đó biên độ tán xạ đàn hồi hadron trong không gian các tham số va chạm sẽ gồm hai số hạng:

Biên độ tán xạ đàn hồi eikonal đầy đủ F C N ( , )s b có thể được biểu diễn như là tổng của hai biên độ tán xạ eikonal Coulomb F C( , )s b và tán xạ eikonal hadron F N( , )s b ở cùng một giá trị của tham số va chạm:

của s và t, đồng thời chỉ chứa các số hạng tuyến tính của hằng số cấu trúc :

N N p

| | ( ) 1

Thay thế các đại lượng B và  độc lập với t bằng các đại lượng phụ thuộc vào t được xác định bởi biểu thức:

( , ) ln 2 ( , )

( , )

N

N N

Các hệ số dạng f t1( ) và f t2( )phản ánh cấu trúc điện từ của các nucleon

va chạm và tạo nên một phần biên độ của tán xạ Coulomb từ lúc bắt đầu tương tác Do tích phân theo các biến động học được lấy trong vùng xác định

của t ở phương trình (2.12) nên sự tham số hóa thực tế mô tả cấu trúc điện từ của proton trong vùng lớn nhất có thể của t Đó là lý do vì sao thay cho việc

sử dụng hệ số dạng lưỡng cực như đã làm trong phương trình ở phần chú thích 1

(công thức (2.10b)) thì chúng ta có thể sử dụng một công thức thích hợp hơn [11,12]:

4 1

1

k j

với các giá trị của tham số g k và k được lấy từ [12], giá trị tái chuẩn hóa của

nó được cho trong bảng 1

g k 0,0301 0,8018 -1,0882 0,2642

k 0,1375 0,5848 1,7164 6,0042 Dạng của các hệ số dạng cho phép tính toán giải tích tích phân trong (2.13):

2 2

,

' '

j j

nó được cho bởi công thức Rosenbluth [32] (trong trao đổi một photon):

Ở đây d (E0, )NS

d

 là tiết diện tán xạ đàn hồi giữa một electron Dirac và một

proton tích điện khối lượng m (cả hai hạt đều coi là hạt điểm) với năng lượng

tới E 0 và góc tán xạ  (trong gần đúng Born) Công thức chứa hệ số dạng

Sự phụ thuộc vào t của hệ số dạng điện đã được mô tả gần đúng theo

kinh nghiệm bằng cách đưa ra một lưỡng cực để fit phương trình (2.10b):

tiết diện tán xạ vi phân Rosenbluth với hai hệ số dạng đều phụ thuộc vào t và

được tham số hóa theo công thức Borkowski (2.17) Cách tốt nhất khi sử dụng

4 lưỡng cực để fit 3 tham số đã chỉ ra rằng các hệ số dạng điện và từ của proton có giá trị khác nhau và có sự sai khác so với phương trình (2.26) (xem bảng 4 tài liệu [12]) Kết quả của việc fit các số liệu thực nghiệm đã chỉ ra rằng tiết diện tán xạ vi phân đàn hồi được mô tả theo hệ số dạng điện Borkowski là lớn hơn nhiều so với mô tả bằng hệ số dạng lưỡng cực Thực tế thì kết luận này củng cố các kết luận tương tự của các tài liệu [16,19] với độ

sai lệch của tỉ số ( )

( )

E D

hợp lý đã đưa ra được hệ số dạng từ quá trình tán xạ đàn hồi ep, từ đó suy ra

hệ số dạng của quá trình tán xạ đàn hồi pp

Khi biên độ tán xạ Coulomb trong công thức (1.13) là xác định thì biên

độ tán xạ đầy đủ chỉ còn phụ thuộc vào biên độ tán xạ hadron F N( , )s t Trong cách tiếp cận khác của WY, phương trình (2.11) cho xác định được biên độ tán xạ đầy đủ F C N ( , )s t với bất kỳ biên độ tán xạ đàn hồi hadron nào F N( , )s t

phụ thuộc vào t trong vùng xác định của t Sự khác nhau giữa hai cách tiếp

cận này đã được mô tả đầy đủ trong tài liệu [47, 48] Một phần sự khác nhau

này được minh họa trong trường hợp tán xạ đàn hồi pp ở năng lượng 53 GeV

d ( , )s t 2 F C N( , )s t 2

(2.27)

Thứ hai, chúng ta có thể lý giải lại về mặt hiện tượng sự phụ thuộc vào t

của biên độ tán xạ đàn hồi các hadronF N( , )s t ở giá trị s xác định và mọi giá trị đo được của t bằng cách fit lại số liệu thực nghiêm về tiết diện tán xạ vi

phân theo công thức (2.27) và (2.11) Điều cốt yếu ở đây là sự phù hợp của phép tham số hóa biên độ tán xạ hadron F N( , )s t

2.3 Giá trị trung bình của các tham số va chạm

Cách tiếp cận eikonal mang đến khả năng xác định giá trị trung bình của các tham số va chạm cho mỗi loại tương tác khác nhau Các đại lượng này có thể đặc trưng cho một dải các lực ứng với tán xạ đàn hồi, không đàn hồi và toàn phần Nếu điều kiện unita và định lý quang được sử dụng tính giá trị trung bình bình phương của các tham số va chạm cho mỗi loại tương tác khác

nhau một cách trực tiếp từ sự phụ thuộc vào t của biên độ tán xạ đàn hồi

cả hai số hạng này đều dương

Giá trị trung bình bình phương toàn phần (cho tất cả các quá trình va chạm) có thể được xác định theo công thức của định lý quang [50]:

2( ) 2 ( ,0)

tot

b s  B s , (2.29) với hệ số nhiễu xạ B s t( , ) đã được xác định trong phương trình (2.14)

Theo tính chất unita của phương trình lấy trung bình của giá trị trung bình bình phương sẽ được liên hệ với giá trị trung bình bình phương đàn hồi bởi biểu thức:

Tất cả các công thức đưa ra ở trên tạo nên hệ thống các công thức mà nó

sẽ được sử dụng để thu được các dự đoán cho các cách tiếp cận hiện tượng luận khác nhau khi nghiên cứu quá trình tán xạ của các nucleon này

CHƯƠNG 3:

CÁC DỮ LIỆU THỰC NGHIỆM VỀ THAM SỐ VA CHẠM CHO TÁN

XẠ PROTON – PROTON TRONG MÔ HÌNH HIỆN TƯỢNG LUẬN

Các giả thuyết về độ lệch quỹ đạo để đưa ra công thức đơn giản của West và Yennie sẽ được phân tích dựa trên biên độ tán xạ eikonal đầy đủ Trong mục 3.1 các đặc trưng cho tán xạ proton-proton được giới thiệu vắn tắt Mục 3.2 mô hình eikonal hiện tượng luận được áp dụng để phân tích các dữ

liệu tán xạ đàn hồi pp ở năng lượng 53 GeV

3.1 Tán xạ đàn hồi pp và các đặc trưng của nó

Trong nhiều năm trước đây, rất nhiều mô hình hiện tượng luận mô tả va chạm năng lượng cao của các nucleon đã được xây dựng với độ phức tạp khác nhau Phần nhiều trong số đều sử dụng cách tiếp cận eikonal đơn giản ví dụ như mô hình của Bourelly, Soffer và Wu [8] Trong các mô hình khác các nucleon lại được giả định gồm có một nhân trung tâm và xung quanh là các mây meson [31 ] hoặc là một chuỗi các tương tác của các parton và sự mô tả

va chạm các hadron theo phương pháp tán xạ Glauber [41, 21] Sự đóng góp của 3 pomeron đã được xem xét trong tài liệu [52, 53] Một lớp các cách tiếp cận khác lại bắt đầu từ cấu trúc nucleon và đồng nhất các parton là các quark

và gluon, sự tán xạ hadron được mô tả như là tổng các trao đổi pomeron hoặc gluon [4] hoặc là tán xạ bán phần của quark và gluon [7,22,27,28] Một số cách khác lại thử mô tả quá trình tán xạ nhiễu xạ nucleon – nucleon năng lượng cao trong khuôn khổ lý thuyết QCD không nhiễu loạn và sử dụng mô hình chân không ngẫu nhiên [17,33]

Tất cả các mô hình được xem xét trên đây đều được đặc trưng bởi một số tính chất được tổng quát hóa như sau:

1 Tất cả các phần ảo của biên độ tán xạ đàn hồi hadron đều được lấy ở phần ngoài của dải khá rộng của xung lượng truyền xung quanh tán

xạ trước và nó sẽ biến mất ở vùng cực tiểu nhiễu loạn Việc đưa ra vùng ngoài của tán xạ phải thỏa mãn định lý về tiệm cận năng lượng Tuy nhiên trong thực tế thì năng lượng tiệm cận ở rất gần vùng tán xạ trước

2 Phần thực của biên độ tán xạ đàn hồi các hadron thường là giảm từ

giá trị dương khi t=0 đến giá trị âm khi |t| nhỏ và đưa tiết diện tán xạ

vi phân vào vùng cực tiểu nhiễu xạ

3 Sử dụng biểu diễn eikonal hoặc tham số va chạm sẽ làm cho biên độ tán xạ trở nên hữu hạn ở năng lượng vô hạn Chỉ trong trương hợp

này các vùng vật lý của biến t là không bị giới hạn ở dưới, tức là

t  , để thỏa mãn đòi hỏi của phép biến đổi FB Tuy nhiên, ở

năng lượng hữu hạn, trong các vùng vật lý của biến t lại bị giới hạn

dưới để đảm bảo sự đúng đắn toán học của phép biến đổi FB cũng

như trong vùng không có ý nghĩa vật lý của t Trong trường hợp này

ảnh của phép biến đổi Fourier Bessel cho biên độ tán xạ dao động ở các giá trị tham số va chạm cao [42,29,30]

4 Giả thiết động lực học chung: Sự đóng góp vào biên độ tán xạ của vật chất hadron là gần giống với đóng góp của hadron tích điện ở bên trong

5 Biên độ tán xạ đàn hồi đã được tính bằng giải tích, đơn trị và thoả mãn tính đối xứng và điều kiên biên Froissart–Martin [24, 40]

6 Trong các mô hình QCD các tính chất của biên độ tán xạ nucleon đều dựa trên mức độ hadron để suy ra một cách đơn giản biên độ của các

mức quark Sự phụ thụộc của năng lượng, các tham số va chạm đều được hệ số hóa

7 Ảnh hưởng của cả tán xạ Coulomb và tán xạ đàn hồi hadron không được phản ánh đúng trong một số tài liệu Biên độ tán xạ đàn hồi đầy

đủ đã được West và Yennie thay thế bằng biên độ tán xạ mới không thỏa mãn đầy đủ các các giả thiết đã đưa ra ở trên

Tất cả các mô hình đã đề cập đều giúp chúng ta nghiên cứu sự phụ thuộc năng lượng vào các tiết diện tán xạ vi phân trong từng quá trình tán xạ cụ thể

3.2 Dữ liệu về tham số va chạm cho quá trình tán xạ pp ở 53 GeV

Dựa trên các kết quả phân tích số liệu của tán xạ đàn hồi pp ở năng

lương 53GeV tại ISR (Intersecting Storage Rings, a particle collider at CERN) [18] và dựa vào cách tiếp cận eikonal, mục này đưa ra các kết quả dữ liệu và tính số các tham số va chạm

Sử dụng các công thức (2.11), (2.13) cho biên độ tán xạ đàn hồi đầy đủ

del   CN

(3.1)

Độ lớn và pha của biên độ tán xạ này được tham số hóa theo phương trình

(2.2) để mô tả quá trình tán xạ đàn hồi pp trung tâm cũng như tán xạ ngoài

Trong khi sự phụ thuộc của độ lớn biên độ vào là hoàn toàn rõ ràng được xác định từ các dữ liệu thực nghiệm thì pha của biên độ chỉ bị ràng buộc một phần Cả hai quá trình tán xạ có thể được lựa chọn (trung tâm và ngoài) đều

đã được trình bày trong tài liệu [18] Sự phụ thuộc của pha biên độ tán xạ hadron N( , )s t đã được chỉ ra trong hình 2.1

Một khi mà biên độ tán xạ đàn hồi các hadron F N( , )s t được xác định thì

nó có thể suy ra được các dữ liệu tương ứng về các tham số va chạm cũng như