Lý thuyết điện yếu tại nhiệt độ hữu hạn và thế hóa khác không

Đây là một quá trình vật lí rất phức tạp liên quan chặt chẽ đến sự phá vỡ hoặc khôi phục tính đối xứng của hệ lượng tử và có thể dẫn đến những trạng thái đặc biệt của vật chất, như chuyể

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

PHẠM TUẤN HOÀN

LÝ THUYẾT ĐIỆN YẾU TẠI NHIỆT ĐỘ HỮU HẠN VÀ

THẾ HÓA KHÁC KHÔNG Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và vật lý Toán

Mã số : 60 44 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS PHAN HỒNG LIÊN

Hà Nội - 2012

MỤC LỤC

Mở đầu ……….….3

1.Lí do chọn đề tài…… ……….…3

2 Mục tiêu đề tài và phương pháp nghiên cứu ……… 4

3.Cấu trúc của luận văn ……… 5

Chương 1 Mô hình Weinberg – Salam – Glashow ………… ………… ….6

1.1.Lagrangian của trường chuẩn và vô hướng L gauge + L scalar…….…….……… 7

1.2 Lagrangian của fermion L fermion….……… ………13

1.3 Lagrangian tương tác đỉnh ba L Yuk ……… …… 18

Chương 2 Lý thuyết điện yếu tại nhiệt độ hữu hạn và thế hóa khác

không ……… …… ……….……22

2.1 Lagrangian………… ……… ……… 22

2.2 Trường hợp m 2  0 , e g’0… ………….………….… … 31

2.3 Trường hợp 2 2 0 m   ……… …… ….33

2.3.1 Trường hợp g  0 và g'  0 , 0  const ….…… ……….33

2.3.2 Trường hợp g  0 và g'  0 , 2 2 0 m    ……….………35

Chương 3 Sự chuyển pha trong lý thuyết điện yếu ……… 37

3.1 Các hàm truyền tại nhiệt độ hữu hạn ………… ……… 37

3.2 Sự chuyển pha trong lý thuyết điện yếu ……… ……… 41

Kết luận …… ………44

Tài liệu tham khảo ………45

Phụ lục ….……… 47

Phụ Lục A … ……… ……….… 47

Phụ Lục B… ……… 49

Phụ Lục C… ………51

Phụ Lục D… ……… ……… 53

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1: Phá vỡ đối xứng tự phát tại T = 0.……….8 Hình 3.1 : Giản đồ pha theo nhiệt độ và thế hóa trong Chuyển pha loại hai … 42

MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài

Về bản chất Chuyển pha là một hiện tượng không nhiễu loạn và không kết hợp [8;10;21] Đây là một quá trình vật lí rất phức tạp liên quan chặt chẽ đến sự phá vỡ hoặc khôi phục tính đối xứng của hệ lượng tử và có thể dẫn đến những trạng thái đặc biệt của vật chất, như chuyển pha kim loại – siêu dẫn [7;22], chuyển pha từ trạng thái hadron sang trạng thái quark – gluon – plasma [14], chuyển pha liên quan đến các tính chất vật lí của vật chất đông đặc trong hạt nhân, sao notron [20] …

Thời gian gần đây vấn đề chuyển pha được đề cập đến khá nhiều trong các công trình được công bố trên các Tạp chí Quốc tế cả về lý thuyết và thực nghiệm [12;16;17] vì nó liên quan đến việc trả lời hàng loạt các vấn đề quan trọng hiện nay của vật lí và công nghệ Cơ chế vật lí và ứng dụng của ngưng tụ Bose – Einstein ( giải Nobel vật lí năm 2001), các hiện tượng lân cận vùng chuyển pha

Chúng ta biết rằng có một sự song song rất thú vị giữa sự phá vỡ đối xứng

tự phát trong lý thuyết chuẩn với những quá trình vật lí và các tương tác trong tự nhiên Bắt đầu từ mô hình Weinberg - Salam - Glashow thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu ( tại T = 0 ), cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát đã làm cho các boson chuẩn và các fermion trở nên có khối lượng Tuy nhiên cũng như QED khi xung lượng k  , có thể dẫn đến sự phân kì của các tích phân trên các loops trong các giản đồ Feynman Nhưng do tính bất biến chuẩn của lý thuyết, t’Hooft (1971) và Veltman (1974) đã chứng minh rằng có thể khử các phân kỳ này và lý thuyết tái chuẩn hóa được

Những kết quả thực nghiệm về sau đã cho thấy, tính toán lý thuyết từ mô hình có độ chính xác đáng kinh ngạc ( đến hai chữ số thập phân ), nhất là khi tiên đoán khối lượng của top quark Ngoài ra mô hình Weinberg – Salam còn có khả

năng mô tả cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát và sự ngưng tụ Bose – Einstein một cách đồng thời nhưng độc lập với nhau

Mặt khác, khi nghiên cứu lý thuyết trường ở nhiệt độ hữu hạn S.Weinberg [19], Dolan và Jackiw [15], A.D.Linde [9;11] đã chỉ ra rằng sự phá vỡ đối xứng

tự phát có thể được khôi phục trên nhiệt độ tới hạn TC , tại đó xảy ra sự chuyển pha của vật chất nếu có một lưỡng tuyến Higgs Tuy nhiên Mohapatra và Senjanovic [18] khi mở rộng mô hình với ba lưỡng tuyến Higgs, đã chứng minh rằng không có sự khôi phục đối xứng ở bất kì nhiệt độ nào Ngoài ra thế hóa 

không bị ràng buộc phải bằng không với bất kì giá trị nào của nhiệt độ T [13]

Khi khối lượng m là thực, không có sự chuyển pha nếu 2

< m2, nhưng chuyển pha diễn ra nếu 2

>m2 và khi 2 tăng nhiệt độ của hệ càng tăng lên

Vì thế, việc nghiên cứu cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát với thế hóa bosonic khác không trong mô hình Weinberg – Salam tại nhiệt độ và mật độ hữu hạn sẽ cho phép xác định cấu trúc pha của các quá trình tương tác điện yếu thông

qua điện tích e và các tham số thực nghiệm

Với những lý do đề cập đến ở trên, chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu lý thuyết điện yếu tại nhiệt độ hữu hạn và thế hóa khác không , cùng với sự chuyển pha trong các hệ tương tác điện yếu và một số đại lượng vật lý đặc trưng

2 Mục tiêu của đề tài và phương pháp nghiên cứu

Mục tiêu

Nghiên cứu sự chuyển pha ( tính chất, cơ chế phá vỡ đối xứng tại nhiệt độ

và thế hóa khác không, nhiệt độ tới hạn và một số đại lượng vật lí đặc trưng của

hệ lượng tử…) trên lý thuyết điển hình đối với một trong những quá trình tương

tác cơ bản, đó là chuyển pha trong các hệ tương tác điện yếu

Phương pháp nghiên cứu

Trong khuôn khổ luận văn, vấn đề được tiếp cận tại nhiệt độ T  0 trên cơ

sở mô hình Weinberg – Salam – Glashow thống nhất tương tác yếu và tương tác điện từ, phù hợp thực nghiệm với độ chính xác rất cao

Trong luận văn đã sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trường lượng tử tại nhiệt độ và mật độ hữu hạn

3 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm các phần Mở đầu, Nội dung được viết thành ba chương , Kết luận , Tài liệu tham khảo và 4 Phụ lục

Chương I Giới thiệu tổng quan về lý thuyết điện yếu trên cơ sở mô hình truyền

thống Weinberg – Salam – Glashow tại nhiệt độ T = 0

Chương II Nghiên cứu lý thuyết điện yếu tại nhiệt độ hữu hạn và thế hóa khác

không Cụ thể đã xác định được trung bình chân không khi   0 , và xét hai trường hợp 2

> m2 > 0 và m2 < 0  2

đã thu được các hệ thức tán sắc và sự phân tách khối lượng của các boson chuẩn khi, trong đó thế hóa  đóng vai trò như

một tham số tác dụng lên cơ chế phá vỡ đối xứng

Chương III Nghiên cứu tính chất chuyển pha trong các hệ tương tác điện yếu

và xác định nhiệt độ tới hạn

Kết quả luận văn được đăng trong Kỷ yếu tóm tắt Hội nghị khoa học lần thứ 15 của Học viện Kỹ thuật Quân sự, tr 51 ( 2011)

Chương 1

Mô hình Weinberg – Salam – Glashow

Trong chương này chúng tôi trình bày khái quát mô hình Weinberg - Salam - Glashow hay lý thuyết điện yếu tại nhiệt độ không , với đối xứng chuẩn định xứ (local) SU(2)  U(1)

Trong lý thuyết trường chuẩn, đối với mỗi đối xứng chuẩn định xứ, đạo hàm hiệp biến có dạng đầy đủ:

1

i i

Số hạng thứ hai biểu diễn đối xứng U(1), B là trường spin1 cần để duy trì

bất biến chuẩn , Y là vi tử của các phép biến đổi U(1) và là một hằng số nhưng

có thể khác nhau đối với các fermion khác nhau , g 1 là hằng số tương tác đối với nhóm U(1) giá trị của nó được xác định bằng thực nghiệm

Tương tự đối với các số hạng SU(2) và SU(3) các trường boson A i

Lý thuyết tương tác điện yếu SU(2)  U(1)

Mụ hỡnh Weinberg - Salam - Glashow

Vào những năm 1960 và đầu 1970 Glashow (1961), Weinberg (1967), Salam(1968) đề xuất mô hình và sau đó đến năm 1971 t’Hooft(1971) tiếp tục phát triển chứng minh được tính tái chuẩn hóa của lý thuyết thống nhất tương

tác điện từ và tương tác yếu Đây là mô hình rất phù hợp với các thông tin thực nghiệm

Trong mô hình SU(2)  U(1) , đạo hàm hiệp biến có dạng

1

i i 2

g

D    i YB  ig A

trong đó i

A : là các trường boson ứng với nhóm SU(2),

B : là các trường boson ứng với nhóm U(1)

Lagrangian SU(2)  U(1) tổng quát có dạng

L = L gauge + L scalar + L fermion + L Yuk

và bất biến đối với các phép biến đổi :

2

i i

U(1)  'U    expi Y  

1.1.Lagrangian của trường chuẩn và vô hướng L gauge + L scalar

Ta bắt đầu từ trường chuẩn vô hướng phức, hay từ phần bosonic của Lagrangian đối xứng SU(2)  U(1)

là tensor của trường đối với nhóm chuẩn SU(2)

B   B  B là tensor của trường đối với nhóm chuẩn U(1) Đạo hàm hiệp biến

'

i i g

D   i Y B  igA 

(1.1.3)

với g là hằng số tương tác đối với nhóm SU(2)

g’ là hằng số tương tác đối với nhóm U(1)

Y là siêu tích của trường vô hướng , Y   1

Một trường phức vô hướng lưỡng tuyến sẽ hoàn toàn phá vỡ đối xứng

SU(2), biểu thức của thế năng có dạng

1 2

3

22

2

g iv

và tổ hợp tuyến tính trực giao với Z tương ứng với boson chuẩn không khối

lượng (được đồng nhất với photon)

W

g cos

 và W 2 2

g' sin

 , hay : W

g' tan

g

  (1.1.11) Với định nghĩa trên, ta có

Như vậy khối lượng của W

và Z trong các quá trình trao đổi là không

độc lập với nhau vì mW  m cosZ W hay Z W

W

m m

i i

v h x v

dọc của các boson chuẩn có khối lượng W , Z Trường h(x) được gọi là trường

vô hướng Higgs mô tả hạt mà mới đây 99% được tìm thấy trên các máy gia tốc

0 10

B

Phá vỡ

3 trường có khối lượng

Ta thấy có 4 trường : 3 Goldstone boson 

, 0

và một trường thực gọi là trường Higgs

Siêu tích Y được xác định từ công thức :

2 v

  hay 0

v 2

1.2 Lagrangian của fermion L fermion

Các fermion (quark và lepton) được biểu diễn qua lưỡng tuyến SU(2) trái (kí hiệu : L) và đơn tuyến SU(2) phải (kí hiệu : R)

Ví dụ : electron và notrino của nó có dạng lưỡng tuyến :

ở đây a là kí hiệu các chỉ số màu

Thực ra, biểu diễn chính xác hơn phải là tổ hợp tuyến tính của d và s (trong phép gần đúng đầu tiên)

d  dsin C  scos C

và tổ hợp trực giao với nó

s  dsin   scos 

trong đó C là góc Cabbibo , sin C  0 22

Như vậy, Lagrangian đầy đủ của các fermion có dạng

a L

u Q

d

 

  

 

Đối với tương tác yếu, Lagrangian của các lepton bất biến đối với phép biến đổi SU(2)

2

i i

Ta biết rằng tương tác điện từ của các hạt tích điện Q là

Số hạng 𝐴ỡ phải là dòng điện từ như trong phương trình (1.2.5) Số hạng

𝑍ỡ có thể là tương tác thêm vào, vì vậy nó phải được kiểm tra bằng thực nghiệm

Vì chỉ có tổ hợp g' YL xuất hiện nên ta có thể chọn YL   1 và định nghĩa

lại g’ cho phù hợp để hấp thụ bất kì thay đổi nào trong YL Với YL   1, ta có :

gg' e

g g'



Như vậy lý thuyết chứa phần tương tác điện từ (1.2.5) thông thường cho

các electron và các notrino, cộng với tương tác dòng trung hòa với 𝑍ỡ cho cả

electron và notrino Với định nghĩa góc Weinberg trong phần (1.1), ta suy ra

W

e g

sin



W

e g'

cos

 (1.2.14)

Như vậy sự liên kết của các boson chuẩn được mô tả chỉ bởi hai tham số :

điện tích e của electron và góc trộn W

Tương tự, Lagrangian tương tác yếu của các quark và boson có dạng

i i

Tóm lại Lagranian liên kết của các trường fermion và các trường chuẩn

i i

mà L e e R e L R e không bất biến đối với SU(2)

2

i i

e L e expi  L

Hơn nữa, số hạng khối lượng không bất biến đối với U(1)

L e e R L exp i Y exp e   L i Y e L e exp R R e R iY R Y L  (1.2.18)

( với YR        YL 2 1 1 0 )

Tuy nhiên, trường vô hướng mà ta đưa vào phá vỡ đối xứng cũng dẫn đến các số hạng khối lượng fermion

1.3 Lagrangian tương tác đỉnh ba LYuk

Số hạng tương tác giữa trường vô hướng và trường fermion gọi là tương tác Yukawa hay còn gọi là tương tác đỉnh ba, nó là bất biến chính



 m  0 (1.3.5) Như vậy, các fermion quark và lepton có khối lượng do phá vỡ đối xứng

tự phát Các notrino ( theo mô hình chuẩn ) không có khối lượng

Lagrangian của tương tác Yukawa có dạng

B   B  B lµ tensor cường độ trường trong biến đổi U(1)

Ở Chương này ta mới chỉ nghiên cứu lý thuyết tương tác điện yếu tại nhiệt

độ T = 0 và cũng chưa chịu sự ảnh hưởng của thế hóa µ Khi nghiên cứu lý

thuyết tương tác điện yếu tại nhiệt độ T ≠0, dưới tác dụng của thế hóa µ, ta sẽ

dẫn đến sự phụ thuộc giá trị trung bình chân không và khối lượng của các boson

chuẩn vào thế hóa µ Nghiên cứu tiếp Chương 2 sẽ giúp ta thu được các kết quả

này

số thập phân Hơn thế nữa, cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát có khả năng làm sáng

tỏ bản chất của hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein

Chương này trình bày chi tiết sự phá vỡ đối xứng tự phát tại nhiệt độ T hữu hạn và thế hóa μ khác không trong lý thuyết điện yếu Chúng ta xét hai trường hợp 2> m2 >0 và m2 <02

D là đạo hàm hiệp biến được xác định như sau

2

a a

D    igA ig’YB 

còn Fa và B là các tenxơ cường độ trường tương ứng với phép biến đổi SU(2)

và U(1) lần lượt được xác định bởi

v

Bây giờ, ta sẽ đi tìm các phương trình chuyển động của các trường vô

hướng  , các trường chuẩn B và A có dạng như sau

Với trường vô hướng  , ta thực hiện lấy đạo hàm Lagrangian theo hàm

Tương tự phương trình chuyển động cho trường A

Giá trị kỳ vọng chân không của trường chuẩn được xác định từ phương

trình (2.1.6) , lấy trung bình ta được

2

a a

a a

Như đã biết các trường chuẩn được định nghĩa một cách thông thường

Boson chuẩn tích điện : 1  1 2

g g'

 

 (2.1.14)

Từ đây ta có thể biểu diễn qua góc  như sau

Boson chuẩn trung hòa : 3

Z A cos  B sin 

Photon : A  A sin3  B cos 

Lagrangian (2.1.5) có thể viết dưới dạng :

L = L Higgs + L gauge (2.1.15)

trong đó

    3   1 2

00

2

gA g' B g A iA i

trong đó g W là hằng số liên kết chuẩn , còn e chính là điện tích nguyên tố

Khối lượng của các boson chuẩn W, Z được tính qua các hằng số tương tác

g và điện tích nguyên tố e như sau

Điều đó có nghĩa là sự phá vỡ đối xứng SU(2) dẫn đến sự khác nhau về

khối lượng giữa các boson chuẩn tích điện W và boson trung hòa Z

Phần Lagrangian chuẩn trong công thức (2.1.15) được cho bởi

g  Z Z W W 

00

Khi g2  8  thế năng có cực tiểu tại nghiệm ổn định 0 Tại giá trị tới

hạn   m có hiện tượng Chuyển pha loại hai

2.3 Trường hợp m2   0 2

Chúng ta nghiên cứu tính chất động lực của quá trình trong trường hợp

2

0

m  và thế hóa   0 Khi đó đỗi xứng bị phá vỡ tự phát

SU(2)  U(1)U(1)EM

Trước hết ta xét thế hiệu dụng trong phép gần đúng trường trung bình

(MFA) , nó được xác định từ Lagrangian (2.1.1)

W

V   g Z  W  Z  W  

    2 2

1 4

( ) ( ) ( ) ( ) W

( ) ( )



 (2.3.11)

W0() 0 (2.3.12)

2 0

Thay (2.3.13) vào phương trình (2.3.6) ta thu được thế hóa hiệu dụng và bình phương khối lượng trong trường hợp này

 2 ; m2 m2 (2.3.14)

2.3.2 Trường hợp g  0 và g'  0 , m2   0 2

Trong trường hợp này trạng thái cơ bản (2.3.13) mô tả sự phá vỡ đối xứng

SU(2)U(1) U(1)EM và bảo toàn bất biến quay

Hàm truyền cho các vector boson chuẩn có dạng

 

2

0 1

12

2 1 2 02

2g

      (2.3.18) Điều đó có nghĩa là thế hóa làm cho các khối lượng lượng tử của hai véc

tơ boson tích điện tách biệt nhau

Tương tự như vậy, hàm truyền nghịch đảo của boson chuẩn trung hòa Z

và photon Alà