Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp

Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh không biến điệu biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp.. 8 Chương 2: Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng pha

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

——————– * ———————

NGUYỄN ĐỨC HUY

HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU

THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM

TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã sô: 60 44 01

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: GS TS NGUYỄN QUANG BÁU

Hà Nội - 2012

Trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Nguyễn QuangBáu Nếu không có sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của thầy, luận văn nàychắc chắn không thể hoàn thành.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong bộ môn Vật lý lý thuyết khoa Vật Lý, Đại học Khoa Học Tự Nhiên,Đại học Quốc Gia Hà Nội đã chỉ dạy, giúp đỡ em trong suốt khóa học.Qua đây, em cũng xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, phòng Sauđại học, trường Đại học khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đãquan tâm tạo điều kiện để em hoàn thành và bảo vệ luân văn

Em cũng xin cảm ơn sự động viên khích lệ thường xuyên của gia đìnhbạn bè trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2012

Học viên

Nguyễn Đức Huy

Mở đầu 1

Chương 1: Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong bán dẫn khối và trong siêu mạng pha tạp 4

1.1 Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong bán dẫn khối 4

1.2 Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh không biến điệu biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp 8

Chương 2: Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ 14

2.1 Hamiltonian của hệ điện tử - phonon quang trong siêu mạng pha tạp khi có mặt sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ 14

2.2 Hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong siêu mạng pha tạp khi có mặt sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ 15

Chương 3: Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp 22

3.1 Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp 22

3.2 Khảo sát số và thảo luận 29

Kết luận 33

Tài liệu tham khảo 35

Phụ lục 36

*

Nói đến sự phát triển của khoa học kỹ thuật ngày nay không thể khôngnhắc tới những đóng góp của ngành vật lý bán dẫn Từ khi vật liệu bán dẫnđược tìm ra, việc đưa nó vào sử dụng đã thay đổi đáng kể bộ mặt của khoahọc công nghệ Vật liệu bán dẫn là thành phần không thể thiếu cho các thiết

bị điện tử cũng như nhiều loại thiết bị khoa học khác Yêu cầu sử dụng vậtliệu bán dẫn hiệu quả đặt đã ra nhiệm vụ phải tìm kiếm và nghiên cứu cácloại vật liệu mới cũng như nâng cao chất lượng các linh kiện bán dẫn Chấtlượng linh kiện bán dẫn được cải tiến chủ yếu bằng việc hoàn thiện cácphương pháp tạo tiếp xúc p-n Khi chất lượng đã đảm bảo thì vấn đề giảmkích thước của các linh kiện đã được đề cập đến một cách tự nhiên Giảmkích thước các linh kiện cũng chính là giảm nhỏ được kích thước thiết bị,tăng lượng linh kiện trên một đơn vị diện tích thiết bị và tạo hiệu quả caotrong sử dụng Tuy nhiên từ cơ sở lý thuyết cũng như thực nghiệm đều thấyrằng, giảm kích thước của linh kiện bán dẫn không đơn giản là tiếp tục

sử dụng các tính chất cũ đã được tìm ra trên các kích thước lớn Giới hạnlượng tử tạo ra rào cản cho việc sử dụng các tính chất cũ Khi kích thướclinh kiện bán dẫn vào cỡ bước sóng De Broglie của hạt dẫn (kích thước cỡnanomet), thì các tính chất mới xuất hiện Các cấu trúc mới có được khigiảm kích thước của linh kiện bán dẫn được gọi là các cấu trúc thấp chiều.Nghiên cứu lý thuyết tính chất các cấu trúc mới này là vấn đề đang đượcnhiều nhà khoa học hàng đầu quan tâm Đây cũng chính là nội dung nghiêncứu của ngành Vật lý bán dẫn các hệ thấp chiều

Sự phát triển của các kỹ thuật nuôi cấy tinh thể như Epitaxy dòngphân tử (MBE: Molecular Beam Epitaxy) hay kết tủa hơi kim loại hữu

cơ (MOCVD: Metal Organic Chemical Vapor Diposition) đã tạo ra nhiềucấu trúc thấp chiều như hố lượng tử (quantum wells), siêu mạng (superlat-tices), dây lượng tử (quantum wires), chấm lượng tử (quantum dots) Siêumạng là một ví dụ về hệ khí điện tử chuẩn hai chiều Các siêu mạng đượctạo thành từ cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp kế tiếp nhau của hailoại bán dẫn khác nhau có độ dày cỡ nanomet Trong các siêu mạng này,điện tử bị giam giữ trong các hố thế năng Khi đó chuyển động của điện tử

theo phương z bị lượng tử hóa, chỉ còn chuyển động tự do theo mặt phẳng(x, y) Thành phần xung lượng theo phương x và phương y có thể biến thiênliên tục còn xung lượng theo phương z sẽ phụ thuộc vào giá trị của số lượng

tử Các điện tử thể hiện như một hệ khí điện tử chuẩn hai chiều thực sự, kể

cả khi các hố thế năng theo z không phải cao vô hạn

Việc hệ khí điện tử trong vật liệu giờ đây mang tính cách của hệ khí haichiều mà không còn là ba chiều như trước đã làm thay đổi đáng kể về mặtđịnh tính cũng như định lượng nhiều tính chất vật lý của vật liệu bán dẫn.Một trong những tính chất được quan tâm nghiên cứu chính là tính chấtquang của vật liệu [9, 10, 11, 12, 15, 16] Tính chất quang được xem làhành vi của vật liệu mà cụ thể là phản ứng của hệ điện tử dưới tác dụng củabức xạ điện từ Khi một bức xạ điện từ truyền trong môi trường vật chấtthì một phần bức xạ truyền qua, một phần bị phản xạ hoặc hấp thụ hoặc cảhai Sự hấp thụ sóng điện từ của vật liệu bán dẫn phụ thuộc vào nhiều yếu

tố gồm các yếu tố bên ngoài như cường độ, tần số sóng điện từ, nhiệt độcủa hệ Hơn thế, trong các siêu mạng sự hấp thụ này còn phụ thuộc vào cácyếu tố nội tại thể hiện đặc điểm của vật liệu như tham số chu kì, nồng độhạt tải Các đại lượng này hoàn toàn có thể thay đổi được bằng công nghệchế tạo ngày nay Điều này là một đặc tính quý giá của các hệ thấp chiều,tạo cơ sở cho việc chế tạo các linh kiện có tính chất theo ý muốn Đây cũng

là lý do cho việc nghiên cứu lý thuyết các hiện tượng trong bán dẫn thấpchiều ngày càng được quan tâm

Trên lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết, đã có nhiều công trình nghiên cứu

về bài toán hấp thụ sóng điện từ trong các loại vật liệu bán dẫn khác nhau,

từ các nghiên cứu trong bán dẫn khối bằng phương pháp phương trình độnglượng tử [13, 14], hay như các bài toán trong hệ thấp chiều dựa trên phươngpháp Kubo-Mori [6, 7] Trong siêu mạng pha tạp, bài toán về hấp thụ sóngđiện từ mạnh bởi điện tử giam cầm cũng đã được giải bằng phương phápphương trình động lượng tử [4, 8] Tuy nhiên sự hấp thụ phi tuyến sóngđiện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạngpha tạp còn là bài toán chưa được giải quyết Đây chính là đề tài mà luậnvăn này nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu: Bài toán hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện

từ mạnh biến điệu theo biên độ có thể tiếp cận và giải quyết bằng nhiềuphương pháp như: phương pháp hàm Green, phương pháp tích phân phiếnhàm, phương pháp phương trình động lượng tử, Luận văn này sử dụngphương pháp phương trình động lượng tử (nhờ phương trình chuyển độngHeisenberg và Hamiltonian cho hệ điện tử - phonon trong hình thức luậnlượng tử hóa thứ cấp) Đây là phương pháp được sử dụng nhiều khi nghiêncứu các bài toán hệ thấp chiều và cho hiệu quả cao [2, 3, 4, 5, 8]

Bố cục khóa luận: Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và

phụ lục, luận văn chia làm 3 chương:

Chương 1 : Giới thiệu tổng quan về hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh

bởi điện tử tự do trong bán dẫn khối Giới thiệu về siêu mạng pha tạp

và đưa ra công thức cho hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởiđiện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp

Chương 2 : Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm

trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh biếnđiệu theo biên độ

Chương 3 : Tính toán hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến

điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp Từkết quả giải tích thu được, tính số và vẽ đồ thị cho siêu mạng pha tạpn-GaAs/p-GaAs

Các kết quả chính của luận văn được chứa đựng trong chương 2 vàchương 3 Trong đó, trên cơ sở phương trình động lượng tử cho điện tửtrong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh biến điệutheo biên độ với giả thiết tán xạ điện tử - phonon quang là chủ yếu, đã thuđược hàm phân bố không cân bằng của điện tử và lấy đó làm cơ sở tính

hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện

tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp Phân tích sự phụ thuộc phức tạp vàkhông tuyến tính của hệ số hấp thụ vào cường độ E0 và tần số Ω của trườngbức xạ Laser, nhiệt độ T của hệ và nồng độ pha tạp nD của siêu mạng.Ngoài ra, với sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ, sự thay đổi biên

độ sóng theo thời gian với tần số ∆Ω ảnh hưởng tới hệ số hấp thụ, điềunày cũng được chỉ ra Thực hiện tính toán số và vẽ đồ thị với siêu mạngn-GaAs/p-GaAs

Một phần kết quả của luận văn đã được công bố dưới dạng báo cáo

khoa học “Calculation of the nonlinear absorption coefficient of a strong

hội nghị khoa học khoa Vật lý, trường Đại học khoa học tự nhiên, tháng 10năm 2012

Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong bán dẫn khối và trong siêu mạng pha tạp

Chương này trình bày tổng quan về sự hấp thụ sóng điện từ trong bándẫn khối, sử dụng phương trình động lượng tử để tính toán hệ số hấp thụsóng điện từ trong bán dẫn khối Trong chương này, các vấn đề chính vềsiêu mạng pha tạp và hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện

tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp cũng được trình bày

1.1 Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong bán dẫn khối

1.1.1 Sự hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn khối

Phổ hấp thụ sóng điện từ của bán dẫn khối rất phức tạp, bao gồm baphần chính: chuyển dịch trực tiếp, chuyển dịch gián tiếp giữa các vùng dẫn

và vùng hóa trị, và chuyển dịch nội vùng

Sự hấp thụ do chuyển dịch trực tiếp giữa vùng dẫn và vùng hóa trị xuấthiện khi điện tử vùng hóa trị hấp thụ một photon có năng lượng lớn hơn

độ rộng vùng cấm và dịch chuyển lên vùng dẫn với vector sóng~k gần nhưkhông đổi, khi đó vùng hóa trị xuất hiện một lỗ trống có vector sóng −~k

Sự hấp thụ này xảy ra đối với những chất bán dẫn có khe vùng cấm trựctiếp như: InSb, InAs, GaAs, GaSb

Sự hấp thụ do chuyển dịch gián tiếp giữa vùng dẫn và vùng hóa trị đượcthực hiện với sự hấp thụ hay phát xạ một photon Điện tử vùng hóa trị hấpthụ hay phát xạ một photon để có thể di chuyển tới đáy vùng dẫn Chuyểndịch gián tiếp của điện tử thường xuất hiện ở tinh thể bán dẫn có khe vùngcấm gián tiếp như: Si, Ge, GaP

Sự hấp thụ do chuyển dịch nội vùng là sự hấp thụ của điện tử tự do, cần

có sự đóng góp của phonon xảy ra khi năng lượng sóng điện từ nhỏ hơn độrộng vùng cấm Khi đó các điện tử tự do hấp thụ hoặc phát xạ phonon liêntục để có thể dịch chuyển từ trạng thái này đến trạng thái khác Có thể coichuyển dịch loại này là chuyển dịch liên tục giữa các trạng thái liên tiếpnhau

Xét trường hợp sóng điện từ cao tần, vận tốc của hạt tải khi tương tácvới phonon có thể coi gần đúng là tuân theo quy luật:

trong đó τ là thời gian phục hồi xung lượng của điện tử Lực tác dụng điện

tử khi có mặt điện trường ~E là:

với m, e là khối lượng và điện tích của điện tử Với giả thiết ~E hướng theo

Oxvà v tỉ lệ với eiωt ta thu được:

Như vậy, trong trường hợp tuyến tính, độ dẫn σ không phụ thuộc vào cường

độ điện trường của sóng điện từ tới, hay hệ số hấp thụ (tỉ lệ với Reσ ) cũngđộc lập với cường độ điện trường ~E

Tuy nhiên trong trường hợp sóng điện từ mạnh, hấp thụ là phi tuyến, taphải kể đến số hạng bậc cao của Tensor độ dẫn cao tần Số hạng tổng quátcủa Tensor độ dẫn cao tần được cho bởi biểu thức:

+(1.6)

trong đó ~Plà vector phân cực điện Đóng góp của các số hạng bậc cao trongtensor độ dẫn cao tần trong trường hợp này là đáng kể, và khi tính đến điềunày, tensor độ dẫn sẽ phụ thuộc phi tuyến vào cường độ điện trường E và

do đó hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh là đại lượng phụ thuộcphi tuyến vào cường độ điện trường E

1.1.2 Lý thuyết lượng tử về hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử tự do trong bán dẫn khối

Hamiltonian của hệ điện tử - phonon quang trong bán dẫn khối khi cómặt sóng điện từ ~E = ~Esin(Ωt):

a~p+, a~p là toán tử sinh hủy điện tử ở trạng thái |~pi,

b~q+, b~q là toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái |~qi,

~p,~q là xung lượng của điện tử và phonon trong bán dẫn khối,

Để thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối ta

sử dụng hàm phân bố năng lượng tổng quát: hψi = Tr( bW,ψ ) trong đó bb W

là toán tử ma trận mật độ, hψi là kí hiệu trung bình thống kê tại thời điểm

với F~p1,~p2,~q(t) = +~p

1a~p2b~qt.Thiết lập và giải phương trình động lượng tử cho F~p1,~p2,~q(t) ta thu được

F~p1,~p2,~q(t) Thay vào (1.10) ta thu được phương trình động lượng tử cho

điện tử trong bán dẫn khối:

h

η~p(t0) N~q+1
−η~p+~q(t0)N~q

iexp i

¯h ε~p+~q−ε~p+ ¯hω~q−k¯hΩ+iδ ¯h
(t −t0)

++

h

η~p−~q(t0)N~q−η~p(t0) N~q+1

iexp i

¯h ε~p+~q−ε~p− ¯hω~q−k¯hΩ+iδ ¯h
(t −t0)

++

h

η~p−~q(t0) N~q+1
−η~p(t0)N~q

iexp i

¯h ε~p+~q−ε~p+ ¯hω~q−k¯hΩ+iδ ¯h
(t −t0)

.(1.11)

Ở đây Eo, Ω là biên độ điện trường và tần số sóng điện từ, m∗, e là khối

lượng hiệu dụng và điện tích của điện tử trong bán dẫn khối, tham số dương

vô cùng bé δ (δ → 0+) được đưa vào để đảm bảo giả thiết đoạn nhiệt

Ta có mật độ dòng của hạt tải được cho bởi:

Giải phương trình (1.11) trong gần đúng bậc nhất rồi thay vào phương trình

(1.13) ta thu được biểu thức tường minh cho hệ số hấp thụ α Và trong

trường hợp hấp thụ gần ngưỡng (thỏa mãn điều kiện | ¯hΩ − ¯hω0 |  ¯ε ) α

!

Ω − ωo

π¯h

!1 2

×

×

(

1 + 3(Ω − ω0)e220m∗¯hΩ4

Trong trường hợp hấp thụ xa ngưỡng (thỏa mãn điều kiện |¯hlΩ − ¯hω0|  ¯ε)biểu thức cho α:



1 + 3(Ω − ω0)e4

20m∗¯hΩ4 E

2 0

(1.15)

Như vậy, từ hàm phân bố không cân bằng của điện tử, ta tính được mật độdòng của điện tử trong bán dẫn khối và từ đó thu được biểu thức của hệ sốhấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn khối Hệ số này phụ thuộc phi tuyếnvào cường độ điện trường và tần số sóng điện từ

1.2 Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh không biến điệu biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp

1.2.1 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng pha tạp

Siêu mạng pha tạp là siêu mạng bán dẫn được tạo ra từ hai bán dẫn đồngnhất được pha tạp khác nhau Thế tuần hòa trong siêu mạng pha tạp đượctạo ra bởi sự phân bố tuần hoàn điện tích trong không gian Một ví dụ cụthể về siêu mạng pha tạp là siêu mạng được tạo bởi sự sắp xếp tuần hoàncác lớp bán dẫn mỏng GaAs loại n (GaAs : Si) và GaAs loại p (GaAs : Be),giữa các lớp này là lớp không pha tạp (mẫu loại này được gọi là tinh thển-i-p-i) Hamiltonian của điện tử trong siêu mạng pha tạp có dạng [15, 9] :

Trong (1.17) VH(z) là thế Hatree do các hạt tải dòng linh động có nồng độlần lượt là n(z) và p(z) ứng với điện tử và lỗ trống đóng góp vào thế siêumạng:

z=0= Vi(0), trong đó nD(z) và nA(z) lần lượt làhàm phân bố donor và acceptor, χ0 là hằng số điện môi tĩnh Nếu như sựpha tạp là đồng nhất hay nói cách khác nồng độ pha tạp không phụ thuốcvào z, lúc đó Vi(z) trong vùng pha tạp có dạng bậc hai:

dn(p, i) là độ dày lớp n(p, i), d là chu kì của siêu mạng pha tạp

Phương trình Schorodinger của điện tử có dạng:

trong đó un(r) là hàm bao của vùng năng lượng thứ i, mini vùng thứ n,

Hàm sóng của điện tử trong mini vùng n là tổ hợp của hàm sóng theomặt phẳng (x, y) có dạng sóng phẳng và hàm sóng theo phương của trụcsiêu mạng với dạng hàm Bloch Hàm sóng tổng hợp được viết:

tử bị tách thành các mini vùng và khí điện tử mang đặc trưng của khí điện

tử hai chiều

1.2.2 Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh không biến điệu biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp

Hamiltonian của hệ điện tử phonon quang trong siêu mạng pha tạp khi

a+n

,~k⊥, an,~k⊥ là toán tử sinh hủy điện tử ở trạng thái |n,~k⊥;

b~q+, b~q là toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái |~q;

Đưa H từ (1.24) vào và biến đổi ta thu được:

với λ = e~E0 q ~ ⊥

m ∗ Ω Trong đó δ là tham số dương vô cùng bé được đưa vào đểđảm bảo giả thiết đoạn nhiệt Giải phương trình (1.28) sau đó kết hợp với(1.12) và (1.13) ta thu được biểu thức tường minh cho hệ số hấp thụ α.Trong trường hợp hấp thụ gần ngưỡng (|¯hΩ − ¯hωo|  ¯ε) hệ số hấp thụ αcho bởi:

ρσ

1 2

h1+√1

ρ σ+ 1

16ρσ

i)

Còn trường hợp hấp thụ xa ngưỡng (|¯hlΩ − ¯hω0|  ¯ε) hệ số hấp thụ α cóbiểu thức giải tích:

)(1.30)

Như vậy từ hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong siêu mạng phatạp, tính được mật độ dòng của điện tử khi có mặt sóng điện từ mạnh khôngbiến điệu biên độ, từ đó thu được biểu thức hệ số hấp thụ phi tuyến sóngđiện từ mạnh của điện tử trong siêu mạng pha tạp

Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ

Trên cơ sở Hamiltonian của hệ điện tử - phonon quang trong siêu mạngpha tạp khi có mặt sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ, trong chươngnày phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm được xây dựng Từphương trình này, sẽ thu được hàm phân bố không cân bằng của điện tửgiam cầm trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của sóng điện từ mạnhbiến điệu theo biên độ

2.1 Hamiltonian của hệ điện tử - phonon quang trong siêu mạng pha tạp khi có mặt sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ

Khi đặt sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ vào siêu mạng phatạp, Hamiltonian của hệ điện tử-phonon quang cũng có dạng tương tự nhưtrường hợp sóng điện từ có dạng ~E = ~Esin(Ωt) đã được đưa ra ở mục 1.2.2:

Sự khác biệt so với trường hợp sóng điện từ có biên độ không đổi theo thờigian nằm ở thế vector ~A Ta luôn có trong cả hai trường hợp:

−1c

Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp đượcxây dựng dựa trên phương trình động lượng tử tổng quát cho toán tử số hạt:

Sử dụng chung các chỉ số câm n1, n01 ta biến đổi biểu thức (2.8) thành:

! (2.9)

Đặt Fn1, ~p1,n2, ~p2,~q= +

n1, ~p1an2, ~p2b~q

t, kết hợp với (2.6), (2.7), (2.9) phương trìnhđộng lượng tử cho điện tử được viết lại:

Để giải (2.10) ta thiết lập biểu thức giải tích của Fn1, ~p1,n2, ~p2,~q bằng cách giảiphương trình động lượng tử:

trong đó F = Fn1, ~p1,n2, ~p2,~q

Phương trình (2.12) là phương trình vi phân không thuần nhất, giải phươngtrình này bằng phương pháp biến thiên hằng số và sử dụng điều kiện đoạn

nhiệt: F(t)|t=−∞ = 0 ta tìm được nghiệm:

= i ~q⊥E~0

2m∗Ω2[sin(β1t1) + sin(β2t1)]



β1+ β2

2 t1