Một số phương pháp giải phương trình chứa căn

Khi bình phương hai vế của phương trình ta cần cĩ điều kiện hai vế khơng âm để cĩ được phương trình tương đương Bài 1.Giải các phương trình Bài 2.. Giải các phương trình... Giải các phươ

 CÁC VÍ DỤ & PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Chú ý Khi bình phương hai vế của phương trình ta cần cĩ điều kiện hai vế khơng âm

để cĩ được phương trình tương đương

Bài 1.Giải các phương trình

Bài 2. Giải các phương trình

x x

 = −+ = − − ⇔ − − = ⇔ 

Bài 5. Giải các phương trình sau:

+ Nếu x = 30 phương trình thỏa mãn.

+ Nếu x = −61 phương trình thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x=30∨ = −x 61

b) 3 x− +1 33x− =1 3 x+1 ( )3

+ Với x = 1 thì phương trình thỏa mãn.

+ Với x = 0 thì phương trình vơ nghiệm.

Tĩm lại: nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1.

Bài 4. Giải phương trình sau : x+ +3 3x+ =1 2 x+ 2x+2

Bài 5. Với những giá trị thực nào của x thì mỗi đẳng thức sau là đúng?

a) x+ 2x− +1 x− 2x− =1 2

b) x+ 2x− +1 x− 2x− =1 1

c) x+ 2x− +1 x− 2x− =1 2

(Vơ địch Tốn Quốc tế lần 1, năm 1959)

Bài 6. Giải các phương trình

Một số phương trình vơ tỉ ta cĩ thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luơnđưa về được dạng tích (x x A x− 0) ( ) =0 ta cĩ thể giải phương trình A x( ) =0 hoặcchứng minh A x( ) =0 vơ nghiệm

Bài 1. Giải các phương trình 10x+ +1 3x− =5 9x+ +4 2x−2 (ĐH 2008B-DB)

Giải Điều kiện 5

Bài 2. Giải phương trình: 2 3x+ +4 3 5x+ =9 x2+12x+13

Giải Điều kiện: 4

3

x≥ −

Nhẩm được nghiệm x = 0 ta dùng liên hợp:

Phương trình đã cho tương đương với: 2

3

x≥ − ta cĩ: VT(*) 8< <VP(*) nên (*) vơ nghiệm!

Phương trình đã cho cĩ nghiệm duy nhất x = 0

Bài 3. Giải phương trình 3 x− +2 x+ =1 3

1 2( 2) 2 1

3 0

1 2( 2) 2 1

Suy ra (*) vơ nghiệm

Vậy PT cĩ nghiệm duy nhất x=3

Chú ý Bài tốn này cĩ thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ hoặc đánh giá

Bài 4. Giải phương trình sau : 2 2 ( 2 ) 2

Dể dàng nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 5. Giải phương trình sau x2+12 5 3+ = x+ x2+5 (Đề nghị Olympic 30/4)

Vậy pt cĩ nghiệm duy nhất x=3

Bài 7. (TH&TT) Giải PT 3 x+ +6 x− =1 x2−1

Giải Điều kiện x≥1

2 3 3

2

( 2) 0 (1)

1 1( 6) 2 6 4

x

x x

Vậy PT đ cho cĩ 2 nghiệm x=2,x= −1

Bài 9. (TH&TT ) Giải PT 4 3 ( 2)3

c) 2x2+16x+ +18 x2− =1 2x+4 ĐS: x= ±1

 CÁC VÍ DỤ & PHƯƠNG PHÁP GIẢI

VẤN ĐỀ 1: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai

x t

11

x t

Bài 2. Giải phương trình: 2 1 4 41

2

4

11

22

nghiệm của phương trình

Bài 3. Giải phương trình sau: x+ 5+ x− =1 6

Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm: x= ±3

Bài 7. Giải phương trình sau: 4 x− +2 4 6− =x 2

Giải

Điều kiện: 2≤ ≤x 6

Đặt:

4 4

4 4

46

0

0

62

x − x+ = (phương trình này vơ nghiệm)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x= ∨ =2 x 6

Bài 8. Giải phương trình 3 x− +2 x+ =1 3

b x , ta cĩ hệ phương trình

Bài 3. Giải phương trình : 2 ( 2 ) 2

2

x x

VẤN ĐỀ 4: Phương pháp hằng số biến thiên

Bài 1. Giải phương trình x+ 11+ x =11

Giải Điều kiện 0< <x 8

55

5

x x

1

21

Kiểm ra điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là:

VẤN ĐỀ 5: Đặt ẩn phụ đưa về hệ PT đối xứng loại 2 hoặc gần đối xứng

Bài 1. Giải phương trình: 2x2 − 6x− = 1 4x+ 5

Giải Điều kiện 5

Bài 2. Giải phương trình x2− −x 1000 1 8000+ x =1000

HD: Đặt 1+ 1 8000x+ = 2y , ta cĩ

2 2

2000(*)2000

Suy ra x= y, ta được nghiệm x=2001, lo¹i x=0).

Bài 3. Giải phương trình x3+3x2−3 33 x+ = −5 1 3x

Giải Đặt 33x+5 = y + 1, ta cĩ

3 3

( 1) 3 5( 1) 3 5

Bài 4. Giải phương trình: 4x2+ −5 13x+ 3x+ =1 0

Giải Điều kiện: 1

8 2001

4004 20012002

 CÁC VÍ DỤ & PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Với phương pháp này ta cần chú ý

+ x≠0, ta chia hai vế cho x:

Bài 3. Giải phương trình: x+ +3 2x x+ =1 2x+ x2+4x+3

Giải Điều kiện x≥ −1

Bài 2. Giải các phương trình

a) 4x2+3x+ =3 4x x+ +3 2 2x−1

b) x3+ +x2 3x+ +3 2x = x2+ +3 2x2+2x

 CÁC VÍ DỤ & PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Với phương pháp này ta thường biến đổi phương trình về dạng

Bài 4. Giải phương trình 2 ( )

Bài 1. Giải phương trình 2 x+ =3 9x2− −x 4

Bài 2. Giải các phương trình 3 2( ) 3 ( )2

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0

Bài 2. (TH&TH) Giải phương trình 5 2 7 4 3 2 1

Giải Điều kiện x> −1

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương và chú ý 5 2 7 ( 2 1)+ = + 3

3 3

x+ = x+ x+ ⇔ = (thỏa điều kiện)

Bài 4. Giải phương trình: x− + − =1 x 3 2(x−3)2 + 2x−2 (1)

Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm x = 5

Bài 5. Giải bất phương trình: 2 x2−x4 + +x 1−x2 = +1 2 (1)

2

x=

Bài 6. Giải phương trình: 2x2 + +4 2 2− x2 = 2 6 (1)

Giải Điều kiện: 2− x2 ≥ ⇔ −0 2 ≤ ≤x 2

x + = − x

Phương trình này vơ nghiệm

Do đĩ phương trình đã cho vơ nghiệm

Bài 7. Giải phương trình 3 x− +2 x+ =1 3

Giải Điều kiện x≥ −1

b) b) 3x2+6x+ +7 5x2+10x+14 4 2= − x x− 2

 CÁC VÍ DỤ & PHƯƠNG PHÁP GIẢI

• Đối với phương pháp này cần chọn hàm số thích hợp, rồi sử dụng tính đơn điệu của hàm số

• Cho hàm số y f x đồng biến (hay nghịch biến) trên khoảng D Khi đó = ( )

Bài 7. Giải phương trình 3 x− +2 x+ =1 3

Giải Điều kiện x≥ −1

Bài 1. Giải phương trình sau: 1+ 1−x2  (1+x)3 − (1−x)3= 2 + 1−x2 (1)

VIII PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC

4 1

x x

Đặt x=cos ,t t∈[0; ]; 16 cosπ 4t−12 cosx 2t+ ≠1 0

Với chú ý cos5α =16sin5α−20sin3α+5sin , ta có PT α sin5t=cost

Giải PT ⇔3x+ +4 33x+ = +4 (x 1)3+ +x 1

Xét 3

( )

f t = +t t là hàm số đồng biến nên ta có 33x+ = + ⇔ +4 x 1 (x 1)3−3(x+ =1) 1Xét trường hợp x+ ≤1 2 Khi đó tồn tại duy nhất α∈[0; ] sao cho π x+ =1 2cosα

(x+1) −3(x+ =1) 2(4cos α−3cos ) 2cos3α = α

Từ đó ta tìm được các nghiệm 2cos 1; 2 cos5 1; 2cos7 1

35121

x x x

−c) 1+ 1−x2 =x(1 2 1+ −x2) d) 4x3=3x+ 1−x2

x x

x

−c) x3−3 3x2− +3x 3 0= d)

2

2

1 ( 1)1

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Một số phương pháp giải PT vả BPT (Nguyễn Văn Mậu)

2. Các chuyên đề chuyên Toán bồi dưỡng HSG THPT (Kỉ yếu hội nghị khoa học)

3 Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ

4 Các tài liệu từ internet

MỤC LỤC

Trang

1 Phương pháp biến đổi tương đương 1

2 Nhân với dạng liên hợp 4

3 Đặt ẩn phụ 7

4 Đưa về dạng tích 15

5 Tổng bình phương 16

6 Phương pháp đánh giá 18

7 Phương pháp hàm số 20

8 Phương pháp lượng giác 22

9 Tài liệu tham khảo 24