Sử dụng đồ thị để giải phương trình bất phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAIĐơn vị: Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh Mã số:……… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: Lý Thị Loa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị: Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh

Mã số:………

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Người thực hiện: Lý Thị Loan Thảo

Lĩnh vực nghiên cứu:

Quản lý giáo dục………

Phương pháp dạy học bộ môn:………  Phương pháp giáo dục…

Lĩnh vực khác: ………

Có đính kèm:

Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác

Năm học: 2011 - 2012

SƠ LƯỢC LÍ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: Lý Thị Loan Thảo

2 Ngày tháng năm sinh: 18 – 11 - 1980

3 Chức vụ:

+ Đảng : Đảng viên

+ Chính quyền:

4 Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:

+ Trình độ: Thạc sĩ

+ Tốt nghiệp: Đại Học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC:

Đã trực tiếp tham gia giảng dạy 10 năm

Sáng kiến kinh nghiệm trong 5 năm gần đây:

- Sử dụng hàm số để tìm điều kiện có nghiệm của phương trình vô tỉ

- Một số ứng dụng của tam thức bậc hai

- Phương trình bậc cao

- Dùng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian

SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Đơn vị:……… Độc Lập – Tự Do – Hạnh phúc

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

NĂM HỌC: 2011 - 2012

Tên sáng kiến kinh nghiệm:

SỬ DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH Họ và tên tác giả: Lý Thị Loan Thảo Đơn vị ( Tổ) : TOÁN.

Lĩnh vực:

Quản lý giáo dục: Phương pháp dạy học bộ môn:……

Phương pháp giáo dục:……… Lĩnh vực khác:………

1 Tính mới:

- Có giải pháp hoàn toàn mới

- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có

2 Hiệu quả:

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn nghành với hiệu quả cao

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao

3 Khả năng áp dụng:

- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:

Tốt Khá Đạt

- Đưa ra giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Tốt Khá Đạt

-Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả cao, có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt Khá Đạt

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

( Ký, ghi rõ họ tên) ( Ký ghi rõ họ tên, đóng dấu)

SỬ DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài tập áp dụng :

Ví du 1ï:

a) Vẽ đồ thị hàm số : y f(x)  2x 1  3  x

b) Giải phương trình : f(x)  2

c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình :2x1 3  x m

Giải

a) Xét hàm số y2x1 3  x y

+) Phá dấu giá trị tuyệt đối ta được

 

1 -x - 2 nêu x<

2 1 3x - 4 nêu x 3

2

x + 2 nêu x >3

y f x

















y = m 2

-2

+) Từ đó có đồ thị của hàm số (hình vẽ)

b) Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số yf x  và đường thẳng y=2 Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có 2 nghiệm x = - 4; x = 2

I Giải phương trình:

1.Cơ sở lí thuyết

 Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm sốyf x  và đồ thị hàm số y g x   là nghiệm của phương trình : f x g x 

 Nghiệm của phương trình f x g x  là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số yf x  và đồ thị hàm số y g x  

2 Phương pháp

 Tìm tập xác định D của phương trình

 Biến đổi phương trình về dạng f x  g x 

(thường y g x   là một đường thẳng phụ thuộc tham số )

 Vẽ đồ thị hàm số yf x và đồ thị hàm số y g x  trên tập D

 Dựa vào đồ thị suy ra kết luận

x -4 -2 0 ½ 2 3

c) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số yf x  và đường thẳng y= m

Dựa vào đồ thị có:

- Nếu m < - 5/2 , phương trình vô nghiệm

- Nếu m = - 5/2 , phương trình có nghiệm x = ½

- Nếu m > - 5/2 , phương trình có 2 nghiệm

Ví du 2ï: Cho hàm số : y = x2 +3x

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số

b) Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

x2 +3x – m + 1 = 0

Giải

a) Vẽ đồ thị (P) có đỉnh ( 3; 9)

  và hướng bề lõm lên phía trên (hình vẽ ) b) Phương trình đã cho tương đương với phương trình : x2 +3x = m– 1

Do đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị

(P): y =x2 + 3x và (d): y = m –1

- Vẽ (P): là parabol có đỉnh ( 3; 9)

  và hướng bề lõm lên phía trên

- (d): y= m–1 là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox

Dựa vào đồ thị ta có:

- Nếu m – 1 9 5

      (d) không cắt (P),vậy phương trình vô nghiệm

y

x

O

4

9



m-1 -3/2 (P)

(d)

- Nếu m –1=-9/4 m 54 (d) tiếp xúc (P) tại M ( 3; 9)

2 4

   pt có nghiệm kép x=-3/2

- Nếu m–1  94 m  54 (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt  pt có 2 nghiệm phân biệt

Ví du 3ï: Cho phương trình : x2 +5x + 3m – 1 = 0

a).Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt

b).Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn: x1 < - 1 < x2.

c).Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn -1

Giải

Ta có phương trình  x2+5x =1–3m  nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của (P) : y=x2+5x và (d) : y=1– 3m

+ Đồ thị hàm số (P): y = x2 +5x ( hình vẽ )

+ (d) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox

a) Để phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt

 (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt nằm bên trái trục oy

Dựa vào đồ thị ta thấy bài toán thỏa mãn  25 1 3 0 1 29

b) Để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn x1 < - 1 < x2

 (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của đt x= -1

y

x

O

4

25



2

5



(P)

(d) 1-3m

-1

-4

Dựa vào đồ thị ta thấy bài toán thỏa mãn

 1 – 3m > - 4  m < 5/3

c Phương trình có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn – 1

 (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn – 1 ( tức là 2 giao điểm nằm về bên trái đường thẳng x= - 1 )

Dựa vào đồ thị ta thấy bài toán thỏa mãn  25 1 3 4 5 29

Ví du 4ï:

a) Vẽ đồ thị hàm số yx2 5x6

b) Tìm m để phương trình : x2 5x6 m có 4 nghiệm pb

Giải

a) Đặt f(x)= x2 – 5x + 6

Ta có 













0 ) ( )

(

0 ) ( )

( )

(

x f nếu x

f

x f nếu x

f x f

từ đó suy ra cách vẽ:

- Vẽ (C) : y = f(x)

- Giữ phần đồ thị (C) nằm phía trên trục ox

- Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục ox qua trục ox

Đồ thị hàm số (C’) là hai phần đồ thị thu được

b) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C’) của hàm số y f x

và đường thẳng (d): y = m Dựa vào đồ thị ta có : phương trình có 4 nghiệm phân biệt

 (d) cắt (C’) tại 4 điểm phân biệt  0 < m < 1/4

Ví du 5 ï: Tìm m để phương trình sau có nghiệm dương :

O 2 3 x

y m

¼

x x 3 4  m0

Giải

Phương trình x x 3 4 m

Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị (C) của hàm số

3 4

y x x   và đường thẳng (d): y = m y

Vẽ đồ thị hàm số y x x  3 4

Có

2 2

3 4 nêu x< 3

x x y

x x



 0 2 4 x

- vẽ đồ thị hàm số y = - x2 +3x – 4 , y=m

lấy phần đồ thị ứng với x < 3 -4

- vẽ đồ thị hàm số y = x2 – 3x – 4 ,

lấy phần đồ thị ứng với x 3 

Đồ thị ( C) là hai phần đồ thị thu được

+) (d) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox

+)Để phương trình có nghiệm dương thì (d) phải cắt (C ) tại ít nhất một điểm có hoành độ dương (điểm nằm bên phải trục oy) Dựa vào đồ thị ta thấy với m > – 4 thì (d) và (C) có giao điểm có hoành độ dương Vậy với m > – 4 thì phương trình có nghiệm dương

II Giải bất phương trình:

1.Cơ sở lí thuyết

Nghiệm của bất phương trình f(x) g(x) là hoành độ của những điểm thuộc đồ thị hàm số yf x  nằm hoàn toàn phía trên so với đồ thị hàm số y g x  

2 Phương pháp

 Tìm tập xác định D của bất phương trình

 Biến đổi bất phương trình về dạng f(x) g(x)

 Vẽ đồ thị hàm số yf x và đồ thị hàm số y g x  trên tập D

 Dựa vào đồ thị suy ra kết luận

Bài tập áp dụng :

Ví dụ 1: Cho hàm số y= f(x) = x2 – 4x + 3 có đồ thị (P)

a) Vẽ đồ thị hàm số (P) Dựa vào đồ thị hàm số (P), tìm các giá trị x sao cho f(x) < 0

b) Dùng đồ thị hàm số , giải bất phương trình : x2 – 4x + 3 > x-1

Giải:

a) Vẽ đồ thị hàm số (P) có đỉnh (2,-1) như hình vẽ

Ta có những giá trị x thỏa f(x)< 0 là hoành độ những điểm thuộc (P) nằm phía dưới trục hoành

Dựa vào đồ thị, ta có f(x) < 0  1 < x < 3

b) Vẽ đt (d) : y = x-1 trên cùng hệ trục với (P)

Nghiệm bất phương trình x2 – 4x + 3 > x-1 là hoành độ của những điểm thuộc (P) nằm hoàn toàn phía trên so với đt (d)

Dựa vào đồ thị, ta có nghiệm bất phương trình : x <1 hoặc x > 4

Ví dụ 2: Định m để bất phương trình sau có nghiệm :

 x2  2xm

Giải: - Đặt f(x)= -x2 + 2x có đồ thị (P)

- Vẽ đồ thị hàm số (P) có đỉnh (1,1) như hình vẽ

- Vẽ đường thẳng (d) : y = m là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox

- Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trị x ứng với phần của đường thẳng (d) nằm phía dưới (P)

y

x

O

-1

1 2 3 4

y

(P)

(d) 1

m

- Dựa vào đồ thị ta có bất phương trình có nghiệm  m< 1

Ví dụ 3: Định m để bất phương trình sau có nghiệm :

x2  xm x x2

Giải: Bất p/trình  x2  xx2  xmx x2 













m x x m

2 0

Đặt (P) : y = -x2 + 2x

- (P2) có đỉnh (1,1) như hình vẽ

- Vẽ đường thẳng (d) : y = m là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox

Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trị x ứng với phần của đường thẳng (d) nằm phía dưới (P) và nằm trên Ox

Dựa vào đồ thị ta có bất phương trình có nghiệm  0< m < 1

Ví dụ 4: Định m để bất phương trình sau có nghiệm :

x2  3xm  3  x

Giải:

Bất p/trình  x 3 x2  3xm 3  x























0 3 2

0 3 4

2 2

m x x

m x x























m x

x

m x

x

3 2 3 4

2 2

Đặt (P1) : y = -x2 + 4x -3 và (P2) : y= -x2 + 2x +3

- Vẽ (P1) có đỉnh (2,1) ; (P2) có đỉnh (1,4) như hình vẽ

- Vẽ đường thẳng (d) : y = m là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox

y

1 m

0 1 x

(P)

- Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trị x ứng với phần của đường thẳng (d) nằm phía dưới (P2) và nằm trên (P1)

- Dựa vào đồ thị ta có bất phương trình có nghiệm  m < 4

Ví dụ 5 : Giải và biện luận bất phương trình theo m :

x2  2x 3 m

Giải:

Bất phương trình 







































m x x x m x x x x

3 2 3 1 3 2 3 1

2 2

Đặt (P1) : y = x2 -2x -3 và (P2) : y= -x2 + 2x +3

- Vẽ (P1) có đỉnh (1,-4) ; (P2) có đỉnh (1,4) như hình vẽ

- Vẽ đường thẳng (d) : y = m là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox

- Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trị x ứng với phần của đường thẳng (d) nằm phía trên (P2) và (P1)

(P1) (P2)

1

4

3

m

(d)

y

-1 O 1 3 x

y

4

(P1) (P2)

Ta có :

- Hoành độ giao điểm của (d) và (P1) là nghiệm của phương trình :

x2 -2x -3 = m  x2 -2x -3 - m = 0  x1 1  m 4  x4  1  m 4

- Hoành độ giao điểm của (d) và (P2) là nghiệm của phương trình :

-x2 +2x +3 = m  x2 -2x -3 + m = 0  x2  1  4  m x3  1  4  m

- Dựa vào đồ thị ta có

* m 0 : bất phương trình vô nghiệm

* 0< m < 4 : bất phương trình có nghiệm x1 xx2  x3 xx4

* m 4 : bất phương trình có nghiệm x1 xx4

Ví dụ 6 : Cho hệ 















0 6 4

0 2

2 2

a x x

a x x

a)Tìm a để hệ bất phương trình có nghiệm

b)Tìm a để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất

Giải:

Hệ bất phương trình 















   







6 2 0

6 4 0 2

2

x x a a x x a x x

Đặt (P1) : y = -x2 -2x và (P2) : yx2 6 4x

- Vẽ (P1) có đỉnh (1,1) ; (P2) có đỉnh (2, 23 ) như hình vẽ

- Vẽ đường thẳng (d) : y = a là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox

- (P1) giao (P2) tại 2 điểm O(0,0) và )

49

48 , 7

8 (

A

Các điểm M(x,a) thỏa mãn hệ bất phương trình nằm trong phần gạch chéo, Dựa vào đồ thị , ta có :

y

(P2)

A 1

O 2 4

-2 -1 -2/3 x

a (d)

(P1)

a) Hệ bất phương trình có nghiệm  0 a 1

b) Hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất 











1

0

a a

Ví dụ 7 : Cho bất phương trình x2  x m  3 (1) Định m để :

a).Bất phương trình (1) có nghiệm

b).Bất phương trình (1) có nghiệm âm

c).Bất phương trình (1) thỏa mãn với mọi x ( 1 , 0 )

Giải:

Bất phương trình (1)

3 3

3 3

3

2 2

2 2

2





































x x m x

x

x m x x

x m

x

Đặt (P1) : y = -x2+x +3 và (P2) : y= x2 + x -3

- Vẽ (P1) có đỉnh 









 4

13 , 2

1

; (P2) có đỉnh 















4

13 , 2

1

như hình vẽ

- Vẽ đường thẳng (d) : y = m là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox

Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trị x ứng với phần của đường thẳng (d) nằm phía trên (P2) và (P1)

Do đó :

a) Bất phương trình (1) có nghiệm  (d) nằm giữa 2 Parabol  143 m143

-3 -14/3

1 -1 ½ 0 ½ x

y = m

y 13/4 3

b) Bất phương trình (1) có nghiệm âm 3

3

14







c) (P1) : x = -1  y 1

(P2) : x = -1  y  3

Bất phương trình (1) thỏa mãn với mọi x ( 1 , 0 )   3 m 1

Ví dụ 7 : Giải và biện luận bất phương trình theo m :

x2  x  x m (1)

Giải:

Ta có : x2  x  x m











 











m x

m x x x m x x

2 2 2

) 3 ( 1 2

) 2 ( 1 0

2 ) 1 ( 0

Đặt (P1) : y = x2 - 2x và (P2) : y= -x2 + 2x ; (P3) : y = x2

- (C) là đồø thị của (P1) thỏa (1) , (P2) thỏa (2) , (P3) thỏa (3)

- (P1) có đỉnh (1,-1) , bề lõm hướng lên

- (P1) có đỉnh (1,1) , bề lõm hướng xuống

- (P1) có đỉnh (0,0) , bề lõm hướng lên

- (d) : y = m là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox

- Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trị

x ứng với phần của đường thẳng (d) nằm phía trên (P1) ; (P2) và (P3).m

0 1 x

y

m

1

(P2)

(d)

- Hoành độ giao điểm của (d) và (P1) là nghiệm của phương trình

x2 -2x = m  x2 -2x - m = 0

 '  1 m 0  m  1

phương trình có nghiệm : x1  1  m 1 (do( 1 ))

- Hoành độ giao điểm của (d) và (P2) là nghiệm của phương trình

-x2 +2x = m  x2 -2x + m = 0

1 0

1

'     

phương trình có nghiệm : x2  1  1  m (do( 2 ))

- Hoành độ giao điểm của (d) và (P3) là nghiệm của phương trình

x2 = m 









)) 3 ( ( 0

3 m do x

m

Vậy :

- m 0 : phương trình vô nghiệm

- m 0 : phương trình có nghiệm x = 0

- 0 m 1 : phương trình có nghiệm x1 xx2

- m 1 : phương trình có nghiệm x1 xx3

BÀI TẬP:

1. Cho phương trình : 2x 8 3x 6 m

a.Giải phương trình với m = - 6

b.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

c.Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu

d Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn: 1 2

14

5

x x

2. Cho phương trình : x2 3x18 m

a.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

b.Tìm m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương

3. Tìm m để phương trình : 2

4x  8x  5m có 4 ngiệm phân biệt

4. Cho phương trình : x2 x23x  5 m0

a.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

b.Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất và nghiệm này lớn hơn 2

5. Giải và biện luận phương trình : x2 x m x2 x 2

6. Định m để bất phương trình sau có nghiệm : 2 3 2







x

7. Giải và biện luận bất phương trình theo m : x2 3x x2 x 2m









8. Giải và biện luận bất phương trình theo m :x2  xm x

9. Giải và biện luận bất phương trình theo m :x2  3xm x2 x 2

10. Cho bất phương trình x2  x m  3  2x (1) Định m để :

a) Bất phương trình (1) có nghiệm

b) Bất phương trình (1) có nghiệm dương

c) Bất phương trình (1) thỏa với mọi x ( 1 , 2 )

11. Định m để bất phương trình đúng với mọi x thuộc R :

m m x x

x2  2   

12. Định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất :





















0 4

0 4

2 2 2 2

m x y

x

m y y

x