phương pháp giải một số dang toán về đường thăng và đồ thi

Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản cho học sinh thì đòi hỏi mỗi người thầy giáo, cô giáo cần phải định hướng và hướng dẫn học sinh khai

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Ở trường trung học cơ sở việc dạy toán là một hoạt động dạy học cho học sinh, trong đó giải toán là đặc trưng chủ yếu của hoạt động dạy học của học sinh Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản cho học sinh thì đòi hỏi mỗi người thầy giáo, cô giáo cần phải định hướng và hướng dẫn học sinh khai thác bài toán, mở rộng bài toán dẫn đến nhiều hướng đi cho bài toán tạo cho học sinh có tính chủ động về kiến thức, tìm tòi được nhiều cách giải hay và ngắn gọn.

Thế nhưng qua giảng dạy và nghiên cứu thực tế tôi nhận thấy phần đông các em Chưa có thói quen khai thác một bài toán thành chuối các bài toán liên quan, trong giải toán chỉ dừng ở việc tìm ra kết quả của bài toán Mà không khai thác xem bài toán đó có bao nhiêu cách giải và chọn phương án nào tối ưu nhất, bài toán đó đã gặp chưa, ở đâu, cách tiến hành như thế nào Chính vì lẽ đó mà học sinh không thể tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học để giải toán, cho nên khi bắt đầu giải toán học sinh không biết bắt đầu từ đâu, cần vận dụng kiến thức nào, ở phần nào lớp nào, vận dụng kiến thức nào ?, bài toán tương tự bài nào đã học chưa? mà chỉ thụ động trong việc tìm ra kết quả dẫn đến không biết trình bày một bài toán.

Đại số là một môn không giản đơn chỉ giải ra kết quả là xong và kết luận ngay mà nó đòi hỏi cần phải có suy luận, phân tích tổng hợp, tái hiện lại các kiến thức cần có của một người làm toán Đã ai tự hỏi tại sao nhiều người tự mình sáng tạo ra được nhiều bài toán trong lĩnh vực về đại số và số học nhưng

cũng phải đòi hỏi một cách sáng tạo như thế nào, có phù hợp với kiến thức đã học không Có phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh không ? Nếu xem xét một cách nghiêm túc thì trong hình học không phải là khó tìm ra sự sáng tạo

mà vấn đề là chúng ta dành cho môn hình ở mức độ quan tâm như thế nào.

Trong quá trình dạy toán và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy rằng việc tìm tòi và mở rộng các bài toán quen thuộc thành các bài toán mới Phân biệt các dạng toán theo từng chương và móc nối từng phần của các chương có dạng toán lại với nhau tìm được cách cách giải khác nhau cho một bài toán để

từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh là một phương pháp khoa học và có hiệu quả Tất cả quá trình này bắt đầu từ một bài toán đơn giản đến bài toán khó là bước đi phù hợp để rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh.

Một điều chắc chắn rằng việc tìm tòi và mở rộng bài toán sẽ kích thích hứng thú học tập và óc sáng tạo cho học sinh Từ đó giúp học sinh có cơ sở khoa học khi phân tích và bắt đầu phải đi từ đâu, định hướng tìm tòi lời giải cho bài toán khác Hơn nữa là củng cố cho học sinh niềm tin vào khả năng giải toán của mình.

Để các em học sinh tự mình nâng cao chất lượng học tập, mở rộng kiến thức nhằm củng cố bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy toán học cho học

sinh yêu thích môn hình Nên tôi quyết định nghiên cứu đề tài: “Một số vấn đề

về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về đồ thị

và đường thẳng - Toán 9 - Trường THCS Võ Lao”

Chính vì tôi được phân công giảng dạy ở lớp 9 trong các lớp tôi dạy đa số các em có học lực khá vì thế các bài toán tôi đưa ra ở đây có một số bài dành cho học sinh có lực trung bình và yếu, kém còn phần lớn các bài toán nâng cao đưa thêm vào trong các tiết luyên tập dành cho học sinh có lực học khá Nhằm nâng cao khả năng tư duy mở rộng kiến thức cho học sinh giúp các em hiểu sâu sắc hơn phương pháp giải dạng toán này Để các em tự mình nâng cao chất lượng học tập, bồi dưỡng và phát triển tư duy toán học cho học sinh yêu thích môn toán, giúp các em đạt được kết quả tốt nhất trong các kỳ thi

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN

Quá trình dạy học môn toán phải nhằm mục đích đào tạo còn người mà xã hội cần Vì vậy môn toán phải góp phần cùng các môn học khác thực hiện mục tiêu chung của giáo dục THCS thể hiện trên các mặt:

Làm cho học sinh nắm vững tri thức toán phổ thông, cơ bản thiết thực

Có kĩ năng thực hành giải toán toán có ký năng phát hiện và thực được vấn đề Hình thành ở học sinh các phẩm chất đạo đức và năng lực cần thiết như mục tiêu giáo dục THCS đã đề ra

Ở trường phổ thông, việc dạy toán là hoạt động học Với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của môn toán

Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau, có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, có thể phát triển thành bài toán mới trên cơ sở của bài toán xuất phát, để củng cố hoặc kiểm tra phát huy sự sáng tạo trong học toán Không để bài toán chỉ dừng ở mức tìm ra kết quả là song mà còn phải khai thác với nhiều chiều hướng khác nhau làm cho giờ giải toán được thêm sinh động từ đó phát huy được năng lực và trí tuệ của học sinh

Ở thời điểm nào đó mỗi bài tập chứa đựng tường minh, hay ẩn tàng những chức năng khác nhau (Chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra, chức năng khai thác, chức năng tìm tòi), là những chức năng để hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học toán

Tuy nhiên trên thực tế đối với việc giải các dạng bài toán và khai thác tìm tòi lời giải cho từng dạng bài toán cần phải tường minh và chặt chẽ cho dù có nhiều hướng khai thác khác nhau thì

Yêu cầu đối với lời giải:

- Lời giải không có sai lầm

- Lập luận phải có căn cứ chính xác

- Lời giải phải đầy đủ

Ngoài yêu cầu nói trên dạy học luyện tập còn yêu cầu lời giải phải ngắn gọn, đơn giản nhất, cách trình bày phải rõ ràng và hợp lý.Từ những yêu cầu trên đã đạt

được ta mới chuyển sang hướng khai thác bài toán sâu hơn cả về hình vẽ lẫn các cách giải để tìm ra phương án tối ưu cho bài toán được hay hơn.

Sau đây tôi xin đưa ra phương pháp tìm tòi lời giải của một bài toán:

+ Tìm hiểu nội dung:

- Bài toán cho biết gì ? Yêu cầu gì?

- Dạng toán nào?

- Kiến thức cơ bản cần có là gì?

+ Xây dựng chương trình giải:

Tức là chỉ rõ các bước cần tiến hành Bước 1 là gì? Bước 2 giải quyết vấn đề gì?

+ Thực hiện chương trình giải:

Trình bày theo đúng các bước đã chỉ ra Chú ý sai lầm thường gặp trong tính toán

+ Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:

+ Sau đó tiến hành khai thác bài toán từ bài toán xuất phát để được bài toán tương tự

Trong chương trình hình học lớp 9 các bài toán chứng minh đường tròn rất quan trọng Vậy làm thế nào để học sinh nắm chắc được cách giải dạng bài tập và khai thác được những bài tập đó là nhiệm vụ của người giáo viên giảng dạy

Để khai thác được những bài toán xuất phát đòi hỏi mỗi học sinh phải tự mình giải được các bài toán này, do đó học sinh cần đọc kĩ đề bài, vẽ hình chính xác, tìm hiểu yêu cầu của đề, vận dụng kiến thức đã học từ lớp dưới sao cho phù hợp với từng bài để giải Để đạt được điều đó các em phải nắm vững định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết, kết hợp với việc vẽ hình khoa học chính xác, trình bày lời giải logíc để có được lời giải nhanh và ngắn gọn nhất mới có đủ thời gian khai thác được bài toán mới sâu hơn Chính vì vậy trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán chứng minh thì học sinh phải đóng vai trò chủ đạo trong quá trình làm bài, từ đó mới phân tích được các cách giải khác nhau tìm hướng đi cho bài toán được sinh động hơn Khi hướng dẫn học sinh giải dạng bài tập này tôi tách ra các phần:

1. Nội dung bài toán và phương pháp giải

2. Ví dụ minh hoạ cho phương pháp giải đó

3. Khai thác các cách giải để chọn phương án tối ưu

CHƯƠNG IITHỰC TRẠNG VỀ VẤN ĐỀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐỒ THỊ VÀ ĐƯỜNG THẲNG TOÁN 9 Ở

TRƯỜNG THCS VÕ LAO.

I MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHUNG.

1 Thuận lợi

Giáo viên được trang bị đầy đủ về kiến thức và phương pháp giảng dạy Được

sự quan tâm giúp đỡ của BGH nhà trường, các tổ khối chuyên môn đã tạo điều kiện và luôn giúp đỡ chỉ bảo để bản thân tôi được nâng cao tay nghề Hàng tháng tổ thường xuyên mở các chuyên đề và triển khai thực hiện đến các giáo viên trong tổ Đặc biệt là tôi được trực tiếp dạy và chủ nhiệm các em nên tôi có điều kiện tiếp xúc và trao đổi với các em Qua đó tôi thấy đa số các em có khả năng chứng minh và khai thác được một số bài toán dạng toán liên đến đường thẳng và đồ thị

Về phía nhà trường có khá đầy đủ cơ sở vật chất phục vụ cho việc dạy và học,

có phòng học để phù đạo cho học sinh yếu kém,bồi dưỡn học sinh giỏi giúp các em luyện tập nhiều hơn các dạng toán để nhớ được kiến thức một cách có hệ thống

Học sinh phần đa có ý thức học tập Phụ huynh đã quan tâm đến việc học tập của con em mình, đã có tổ chức giúp đỡ những học sinh nghèo, học sinh có hoàn cảch đặc biệt khó khăn

b Khó khăn.

Bên cạnh những thuận lợi còn không ít những khó khăn:

Đội ngũ giáo viên trong tổ có tuổi đời công tác còn trẻ nên phương pháp giảng dạy còn nhiều hạn chế, còn ít kinh nghiệm trong công tác giảng dạy và giáo dục học sinh

Các em học sinh chủ yếu là con em người dân tộc thiểu số Điều kiện kinh tế còn gặp nhiều khó khăn, chưa quan tâm nhiều đến các em trong việc học ở nhà do đó các em lười học bài đặc biệt là việc làm bài tập ở nhà chưa đầy đủ Mặt khác một số học sinh chưa thấy được tầm quan trọng của việc học dẫn đến ý thức học của các em chưa cao Khả năng nhận thức của học sinh còn hạn chế chưa đồng đều Một số em còn nghỉ học nhiều, lười học dẫn đến bị rỗng kiến thức từ lớp dưới

Trong một lớp học có nhiều đối tượng học sinh khác nhau nên việc truyền thụ đầy đủ kiến thức trong từng tiết dạy của giáo viên đến học sinh rất khó khăn.

II THỰC TRẠNG CỤ THỂ.

Trong quá trình giảng dạy một số dạng toán về đường thẳng và đồ thị ở lớp 9 tôi thấy khả năng ghi nhớ kiến thức của học sinh còn hạn chế, chưa có hệ thống, chưa biết trình bày chứng minh, phân tích lời giải, khai thác hình học cho một bài toán dẫn đến việc vận dụng kiến thức vào làm bài tập còn chậm,

Trình bày không có logíc, kĩ năng lập luận chứng minh còn hạn chế, hay sai sót nhầm lẫn, diễn đạt thiếu mạch lạc, lập luận thiếu căn cứ, trình bày bài toán không biết xuất phất từ đâu, đặc biệt là trong tiết luyện tập

Quá trình giảng dạy trên lớp sau phần lí thuyết là phần các ví dụ được trình bày phân tích chi tiết nhằm giúp các em học sinh hiểu được ý tưởng cũng như bản chất bài toán, trên cơ sở này các em có thể hoàn toàn vận dụng sáng tạo vào các bài toán có nội dung tương tự

Thế nhưng qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy phần lớn cá em không nắm vững tính chất, dấu hiệu nhận biết hoặc thuộc lí thuyết nhưng không biết vận dụng vào bài tập đặc biệt vận dụng kiến thức liên quan còn rất yếu, nhất là trình bày lời giải còn hạn chế, chưa logic khoa học, chính xác

Trước khi đưa ra phương pháp hướn dẫn học sinh giải một số dạng toán này tôi tiến hành khảo sát học sinh thu được kết quả như sau:

Năm học

TSHS

và đường thẳng các em sử dụng thường xuyên trong suốt quá trình học tập Để chất lượng học sinh được nâng lên đó là trách nhiệm của người giáo viên trực tiếp giảng dạy Từ đó bản thân tôi tìm ra những nguyên nhân tại sao học sinh lại học yếu đến vậy? Yếu ở chỗ nào? Yếu ở dạng toán nào? Vì sao lại yếu? Thường xuyên quan tâm

đến điều kiện học tâp của các em, tác động đồng đều đến các đối tượng học sinh trong lớp Thì mới có cơ sở để phụ đạo và bồi dưỡng học sinh cho phù hợp Bên cạnh đó học sinh phải xác định đúng động cơ học tập, chăm chỉ thường xuyên học và làm bài ở nhà Mặt khác cần có sự ủng hộ nhiệt tình của phụ huynh học sinh, sự quan tâm sát sao hơn nữa của nhà trường.

III NGUYÊN NHÂN DẪN ĐẾN HỌC SINH KHÔNG KHAI THÁC ĐƯỢC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐỒ THỊ VÀ ĐƯỜNG THẲNG.

Giáo viên giảng dạy truyền thụ đủ nội dung kiến thức, vận dụng đúng phương pháp Tuy nhiên việc kết hợp các phương pháp chưa phù hợp đến từng đối tượng học sinh

Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy lớp 9 nhiều năm tại trường tôi nhận thấy phần đông học sinh không khai thác được một số dạng toán về đồ thị và đường thẳng với nhiều những lí do khác nhau:

- Học sinh không nắm được hoặc không vận dụng được những tính chất, dấu hiệu nhận biết của đường thẳng và đồ thị và kiến thức ở lớp dưới

- Kỹ năng vận dụng lý thuyết vào giải bài tập, vận dụng kiến thức liên quan, cách trình bầy lời giải bài toán còn hạn chế

Để giúp 46% học sinh chưa đạt mức trung bình này có được kết quả như mong muốn bằng những kinh nghiệm đã tích luỹ được tôi xin đưa ra một số giải pháp hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số dạng toán về đồ thị và đường thẳng nàynhư sau

CHƯƠNG III BIỆN PHÁP VÀ GIẢI PHÁP

- Để một tiết dạy trở nên nhẹ nhàng thoải mải cho học sinh giúp các em nắm bài học tốt khi khai thác các dạng toán về đồ thị và đường thẳng

- Thì trước hết các em phải có kiến thức, phải nắm vững được các phương pháp giải từng dạng toán một

- Phải nắm được mục đích yêu cầu của đề bài

Tôi thử kiểm tra hai tiết dạy của hai lớp:

Lớp có tinh thần tự giác cao biết hiểu học hỏi coi bài trước tiếp thu bài học mới thì các em cảm nhận tiết học tốt hơn, hiểu bài và nắm rõ bài học hơn

Còn lớp có tinh thần học tập yếu, thì việc các em tiếp thu bài rất khó khăn, mơ hồ

Nên quan điểm của tôi là việc truyền thụ kiến thức cho các em là một vấn đề rất quan trọng và việc các em nắm kiến thức đó lại là quan trọng hơn Kiến thức các em vừa được nghe có hiểu không và việc áp dụng nó như thế nào?

Khi đưa ra một bài toán mà giáo viên cần vạch ra được hướng đi đúng đắn cho học sinh

Đa số giáo viên chỉ dạy theo số lượng bài tập,tìm ra kết quả là song, không chỉ

ra và phân biệt các dạng toán cho các em, không khai thác xem bài toán này có bao nhiêu cách giải, không hiểu được học sinh của mình có nắm được bài hay không

Giáo viên phải vạch rõ nội dung chính của bài học giúp học sinh hiểu sâu bài, từng chi tiết nhỏ, thông qua việc phân tích đề bài và đưa đến hướng giải một cách đúng đắn hơn

Mục tiêu dạy các dạng toán này là củng cố lí thuyết và rèn luyện kỹ năng cho học sinh Qua thực tế giảng dạy và khảo sát học sinh kết quả thu được là học sinh còn mắc nhiều trong khi vận dụng lí thuyết vào giải bài tập và cách trình bầy lời giải Để giải được dạng bài tập này đòi hỏi học sinh cần phải theo trình tự các bước sau:

- Tìm hiểu nội dung bài toán

- Chỉ rõ các bước cần tiến hành

- Trình bày theo đúng các bước đã chỉ ra Chú ý sai lầm thường gặp trong tính toán

- Kiểm xem lời giải có sai lầm không

Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ cụ thể:

`1 Dạng1: Xét tính chất biến thiên của hàm số.

Để xét tính chất biến thiên của hàm số y=f(x) trong (a;b) ta lựa chọ một trong hai phương pháp sau

x x

−

=

−Bước 2: Khi đó

- Nếu A>0 với mọi 1 2

; ( ; )

x x ∈ a b

và 1 2

x ≠ x

thì hàm số đồng biến trong (a;b)

- Nếu A<0 với mọi 1 2

; ( ; )

x x ∈ a b

và 1 2

x ≠ x

thì hàm số nghịch biến trong (a;b)

Bài tập 1: Xét sự biến thiên của hàm số sau.

Tổng quát: Để xét sự biến thiên của hàm số y=f(x)= ax+b, với a≠ 0

ta làm như sau:Hàm số xác định với mọi x thuộc R

Khi đó: a>0 thì hàm số đồng biến trên R

a<0 thì hàm số nghịch biến trên R

Bài toán trên còn được mở rộng sang cả hàm số

2

y ax =

( a≠ 0

) Để xét sự biến thiên của nó:

Bài tập 2: Xét sự biến thiên của hàm số sau y=f(x)=

? Yêu cầu học sinh lên làm cách hai.

a,Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất

b, Tìm m để hàm số nghịch biến trên R

c, Tìm m để hàm số đi qua gốc tọa độ

d, Tìm m để hàm số luôn đi qua A(0 ;5)

Vậy m <1 hàm số nghịch biến trên R.

c) Để hàm số đi qua O(0;0) có nghĩa x=0; y=0 ta có:

0

=(m-1).0-2 1

m + ⇔ m2 = ⇔ = ± 1 m 1

Vậy : m =-1 hàm số luôn đi qua gốc tọa độ.

d, Để hàm số luôn qua A(0 ;5) ta có.

5

=(m-1).0-2 1

m + ⇔ m2 = ⇔ = ± 4 m 2

Vậy : m =-2 ; m =2 là giá trị cần tìm.

Lưu ý: Bài toán trên học sinh dễ mắc sai lầm ở phần c nếu không đối chiếu

điều kiện thì kết luận m =1 hàm số cũng đi qua gốc tọa độ

b) Hàm số đồng biến trên R khi m >0.

Kết hợp điều kiện(*) ta được

0 < ≤ m 1

hàm số đồng biến trên R.

Trong lời giải trên:

Câu a: Học sinh dễ mắc sai lầm khi chỉ thiết lập điều kiện m ≠ 0

nên kết quả bị sai

Câu b: Nhiều em học sinh mắc sai lầm khi thiết lập điều kiện m >0 nhưng lai không

kết hợp với điều kiện (*) dẫn đến kết quả sai

3 Dạng 3: Tìm m để hàm số luôn qua một điểm cố định.

Giả sử điểm cố định là M (x0;y0) khi đó thay toạ độ M vào PT đường thẳng đưa

về PT có 1 ẩn rồi sử dụng phương pháp đồng nhất thức

Bài tập 1 : Chứng minh rằng với mọi m thay đổi thì đường thẳng (d)có PT: (m+2)x+

(m-3)y - m + 8 = 0 luôn đi qua 1 điểm cố định Tìm điểm ấy?

Giả sử điểm M (x 0 ;y 0 ) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn

đi qua với mọi m do đó ta có:

(m+2)x 0 +(m-3)y 0 - m +8 = 0 với mọi m

x +y -1=0 2x -3y +8=0 3x +3y =3 2x -3y =8

Lưu ý: Không phải lúc nào đường thẳng cũng có dạng như trên mà đòi hỏi phải

biến đổi để đưa về dạng trên Sau đó ta nhóm các số hạng theo biến mà bài toán cho có dạng (*) sau đó ta đi đến đồng nhất các hệ số cho bằng 0

Bài tập 2: Cho họ đường thẳng có phương trình sau:

4 Dạng 4 : Lập phương trình đường thẳng.

1.Dạng 4.1: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k cho trước và đi qua điểm

M (x 0 ; y 0 ):

Phương pháp giải:

- Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b

- Thay a = k và toạ độ điểm M (x0; y0) vào phương trình đường thẳng để tìm b

 Phương trình đường thẳng cần lập

Bài tập 1:

a, Lập phương trình đường thẳng đi qua M (2;-3) và song song với đường thẳng y = 4x

b, Lập phương trình đường thẳng đi qua A(1;3) và có hệ số góc là -4

c, Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm B(-3;2) và tạo với tia ox một góc

0

45

d, Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm C(1;2) và chắn trên hai trục tọa độ những đoạn thẳng bằng nhau

Yêu cầu học sinh lên bảng giải.

? Nêu hướng giải quyết phần d.

Yêu cầu hoạt động nhóm 8 trong (7 phút).

a)- Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng : y = ax + b

song song với đường thẳng y = 4x  a = 4

-Vì đường thẳng y= ax + b qua M( 2;-3)nên

ta có : -3 = 4.2 + b  b = -11 Vậy phương trình đường thẳng cần lập là:

y = 4x - 11 b) - Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y =

ax + b

Vì đường thẳng đi qua A(1;3) nên ta có:

a+b=3 (1)

Mà đường thẳng này có hệ số góc bằng -4 nên ta có: a=-4 (2)

Vậy đường thẳng cần lập là: y=-4x+7.

c) - Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y = ax + b

Vì đường thẳng này tạo với trục ox một góc

0

45

nên ta có: a=tan

0

45

=1 Nên đường thẳng có dạng y=x+b mà đi qua B(-3;2) nên ta có: 2=-3+b hay b=5 Vậy đường thẳng cần lập là: y=x+5.

d) - Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng : y = ax + b.

Vì đường thẳng này đi qua C(1;2) nên ta có:

a+b=2 ⇒

a=b-2 (1) Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng với trục

oy và ox ta có A(0;b) và B(

b a

−

;0)