Trực quan hoá một số bài toán quỹ tích là đường tròn bằng lập trình mô phỏng nhằm phát triển tư duy trừu tượng

Trực quan hoá một số bài toán quỹ tích là đường tròn bằng lập trình mô phỏng nhằm phát triển tư duy trừu tượng

I Đặt vấn đề.

1 Cơ sở lý luận.

ở trờng THCS, Hình học là một môn học có tính trừu tợng cao, có những dạng toán khó trong đó phải kể đến dạng toán "Quỹ tích" Chính vì thế bên cạnh trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản cần phải hình thành cho các em những cách thức sơ khai cần thiết để tiếp cận và từng bớc giải loại toán này Là

ng-ời dạy học chắc ai cũng biết V.I.Lênin khẳng định: "Con đờng nhận thức là đi từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng" Cái trực quan mà Lênin nói ở đây không phải là trực quan thông thờng mà phải là "trực quan sinh động".

2 Cơ sở thực tiễn.

Hiện nay, ở các trờng (nhất là các trờng ở nông thôn) tỉ lệ học sinh học kém toán rất cao Trong đó phần lớn các em ngại học phân môn Hình học đặc biệt là dạng toán quỹ tích Dạng toán này đợc đa vào các lớp cuối cấp THCS với thời lợng không nhiều lắm Nhng nó lại có mặt khá nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các các cấp Toán quỹ tích không những khó học đối với học sinh mà còn khó dạy đối với giáo viên vì các dụng cụ trực quan hỗ trợ giảng dạy hầu nh không có mà các dụng cụ thủ công tự tạo của giáo viên thì lại thiếu chính xác, thiếu thẫm mỹ, thao tác khó khăn, thậm chí nhiều khi mâu thuẫn với lý thuyết làm mất lòng tin của học sinh Do đó mà nhiều khi các em ngộ nhận trong giải toán

Qua khảo sát thực tế ở trờng tôi giảng dạy bằng hai bài toán sau đây:

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh BC cố định Gọi I là giao điểm của

ba đờng phân giác trong Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.

Bài 2: Cho đờng tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn P là một điểm

chuyển động trên đờng tròn Gọi M là một điểm thuộc đoạn AP sao cho AM = k.AP (với k

>0) Tìm quỹ tích điểm M.

Kết quả thu đợc:

Tổng số Số HS chỉ ra đợc quỹ tíchở bài 1 Số HS chỉ ra đợc quỹtích ở bài 2

Nhìn vào kết quả điều tra trên chắc bất cứ giáo viên dạy toán nào cũng trăn trở: tại sao HS lại không giải đợc toán quỹ tích

Chỉ thị 40- CT của Ban bí th có yêu cầu: "Tích cực áp dụng một cách sáng tạo các phơng pháp tiên tiến hiện đại, ứng dụng công nghệ thông tin vào hoạt

động dạy học" Hiện tại, một số trờng THCS trong huyện đã đợc trang bị phòng

máy vi tính nhng hiệu quả sử dụng cha cao Chủ yếu các trờng thờng dùng để đánh văn bản hay rải rác dạy tin học văn phòng cho học sinh Cha thấy trờng nào sử dụng công nghệ thông tin nói chung và máy tính nói riêng nh một đồ dùng dạy học Trớc đây trong lúc dạy nghề tin học lớp 9, tôi đã thử giới thiệu một số bài toán quỹ tích và dựng hình cơ bản bằng phần mềm The Geometer's Sketchpad Sau khi xem các em rất thích và hiểu bài toán rất nhanh Gần đây tôi đợc tiếp xúc với phần mềm dạy học Violet của ngời việt có giao diện thân thiện, mang tính s phạm

cao và tơng đối dễ sử dụng Trong bộ phần mềm này có môđun lập trình mô phỏng cho phép trình bày các bài toán quỹ tích cũng nh dựng hình giúp giáo viên

dễ dàng trong quá trình giảng dạy và mang lại những hiệu quả không ngờ tới Chính vì thế tôi mạo muội trao đổi với các thầy cô và các bạn đồng nghiệp sáng

kiến nhỏ: "Trực quan hoá một số bài toán quỹ tích là đờng tròn bằng lập trình mô phỏng nhằm phát triển t duy trừu tợng".

3 Giới hạn đề tài.

Đề tài này chỉ giới thiệu cách mô phỏng trực quan một số bài toán quỹ tích

là đờng tròn (đặc biệt là bài: "Cung chứa góc" - Hình học 9 - Tiết 46, Bài 6) bằng

cách dùng ngôn ngữ Violet Script nhằm hình thành cho học sinh những kiến thức

và kỹ năng cơ bản khi làm toán quỹ tích Nói cách khác là tạo cho học sinh những

"lối mòn" trên con đờng nhận thức để các em có thêm tự tin giải toán khi không có

thầy cô bên cạnh

Để bài viết đợc gọn hơn, tôi xin nêu cách hớng dẫn tìm ra quỹ tích và mô phỏng quỹ tích chứ không trình bày lời giải chi tiết

II Giải quyết vấn đề.

1 Kiến thức cơ bản.

1.1 Quỹ tích là gì?

Quỹ tích là tập hợp những điểm có một số tính chất chung nào đó và chỉ những điểm có tính chất đó mà thôi

1.2 Cách giải bài toán quỹ tích:

Khi giải bài toán quỹ tích ta thờng phải chứng minh cả hai phần: phần thuận

và phần đảo

Phần thuận:

Những điểm có tính chất T thì nằm trên hình H (Nếu bài toán quỹ tích có

xét giới hạn thì ở phần này có thêm phần Giới hạn quỹ tích).

Phần đảo:

Những điểm nằm trên hình H thì có tính chất T

1.3 Hai yếu tố chính trong bài toán quỹ tích:

Trong bài toán quỹ tích có hai loại yếu tố chính đó là: yếu tố cố định và yếu

tố chuyển động Việc tìm ra mối liên hệ giữa hai loại yếu tố này là khâu cốt yếu để giải bài toán quỹ tích

2 Một số bài toán minh hoạ.

Bài toán quỹ tích "cung chứa góc".

Cho đoạn thẳng AB và góc  (00 <  < 900) Tìm quỹ tích (tập hợp) các

điểm M thoã mãn = 

Trớc hết GV cho HS làm bài toán cụ thể sau:

 Bài toán 1:

Cho đoạn thẳng AB cố định, tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M nằm trong mặt phẳng sao cho = 900

Cách làm:

Đầu tiên GV hớng dẫn học

sinh vẽ một số vị trí của điểm M

Chẳng hạn: M1, M2, M3 nh bên

Ta đợc hình vẽ nh sau:

Sau đó đặt câu hỏi:

C1: Em có nhận xét gì về

các vị trí của điểm M (chúng

thẳng hàng hay không)?

TL: Chúng không thẳng

hàng

C2: Các vị trí của M có thể

nằm trên đờng thẳng hay đờng

tròn?

TL: M có thể nằm trên đờng tròn

C3: M cách đều điểm nào?

GV có thể gợi ý (nếu HS không trả lời đợc): M có

cách đều trung điểm O của AB không?

Rồi yêu cầu học sinh nối O với các vị trí của

M

AMB AMB

a)

b)

C4: So sánh các đoạn thẳng vừa vẽ?

TL: Chúng bằng nhau vì đều bằng một nữa cạnh huyền AB

Vậy điểm M nằm trên đờng nào?

TL: M nằm trên đờng tròn 









 2

; AB

O (Đờng tròn đờng kính AB)

Không những 3 điểm nói trên mà mọi điểm M thoả mãn = 900 đều thuộc

đờng tròn đờng kính AB Sau đó GV cho HS xem mô phỏng quỹ tích vừa tìm đợc

để ghi nhớ lâu hơn (trên máy hình ảnh sẽ sinh động hơn).

Khi M  A hoặc M  B thì góc AMB là góc tạo bởi đờng thẳng vuông góc với AB lần lợt tại A hoặc B

AMB

Hình 1

e)

g)

Hình 2

*Lu ý: trong bài toán trên nếu yêu cầu tìm quỹ tích những điểm M sao cho tam giác AMB vuông tại M thì phải trừ hai điểm A và B (vì khi M  A hoặc M  B thì không tồn tại tam giác AMB).

Sau khi học sinh nắm đợc quỹ tích ở bài toán trên thì GV cho HS quan sát

sự mô phỏng trên máy (nh một số hình chụp đợc dới đây)

C1: Theo quan sát, em có nhận xét gì về quỹ đạo chuyển động của điểm M? TL: Điểm M chuyển động trên hai cung tròn

GV hớng dẫn HS chứng minh nhận định trên

* Phần thuận:

(Trớc hết, xét một nữa mặt phẳng bờ là đờng thẳng AB)

Hình 3

GV (nói đồng thời trình diễn trên máy): Giả sử M thoã mãn =  và nằm trong nữa mặt phẳng đang xét Hãy chứng minh cung tròn đi qua ba điểm A,

M, B là cố định (không phụ thuộc vào M)

AMB

Trên nữa mặt

phẳng bờ là đ ờng

thẳng AB không

chứa điểm M kẻ

tia tiếp tuyến Ax

của Đ.Tròn đi qua

3 điểm A, M, B

Khi đó BAx

= do đó tia

Ax cố định

Tâm O phải nằm trên đ ờng thẳng Ay vuông góc với Ax tại A

Vậy O cố định,

không phụ

thuộc vào M







y

x

 Chú ý: GV cần giải thích cho học sinh là tia Ay luôn cắt d (vì 00 < 

< 900 nên Ax không thể trùng với đờng thẳng AB do đó Ay không vuông góc với AB)

Vậy M thuộc cung tròn AmB cố định

* Phần đảo:

Lấy bất kì điểm M' thuộc cung AmB Ta cần chứng minh = 

(Phần này do HS tự chứng minh - sử dụng kiến

thức về góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây

cung)

GV (nói và mô phỏng

trên máy): trên nữa mặt phẳng

đối của mặt phẳng đang xét, ta

còn có cung Am'B đối xứng

với cung AmB cũng có tính

chất nh cung AmB

Mỗi cung nh thế đợc gọi

là cung chứa góc  dựng trên

đoạn AB

* Kết luận:

Với đoạn thẳng AB và góc  (00 <  < 900) cho

trớc thì quỹ tích các điểm M thoã mãn =  là hai

cung chứa góc  dựng trên đoạn AB.

Sau khi giải xong GV nêu một số chú ý:

 Hai cung chứa góc nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB

 Hai điểm A, B đợc coi là thuộc quỹ tích

 Khi  = 900 thì hai cung nói trên là hai nữa đờng tròn (Bài toán 1)

 ở hình 4e) AmB là cung chứa góc  thì AnB là cung chứa góc

180-

AM'B

AMB

Hình 4

e)



Hình 5

m

m'

a)

b)

y

Mặt khác O phải nằm trên

đ ờng trung trực d của AB











Hình 4

e) n

m y

x

y

x

x

O cố định vì

Ay và d cố định.

M2 M3

M1

O

P

P

GV hớng dẫn dựng cung chứa góc trên đoạn AB theo các bớc dới đây: (Phần này cũng đợc mô phỏng trên máy)

 Bài toán 2: Cho đờng tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn P

là một điểm bất kì trên đờng tròn Tìm quỹ tích trung điểm M của AP khi P chuyển động trên đờng tròn

Tơng tự bài toán 1, ở bài này GV cũng cho HS vẽ trớc một số vị trí của

điểm M Chẳng hạn: M1, M2, M3 nh hình dới đây:

Sau đó cho HS nhận xét

về các vị trí của M

TL: M có thể nằm trên

đ-ờng tròn nào đó (vì chúng - M1,

M2, M3 không thẳng hàng)

Bây giờ yêu cầu HS chỉ

ra các yếu tố cố định và yếu tố

chuyển động và sự liên hệ giữa

chúng

TL: -Yếu tố cố định:

Đ-ờng tròn (O; R) cố định nên O

cố định và R không đổi; điểm A

cố định

-Yếu tố chuyển động: P

chuyển động nên trung điểm M

của AO cũng chuyển động

Hình 6

Hình 7

Dựng tia Ax

sao cho

= . ABx

Dựng đ ờng thẳng Ay  Ax

Dựng đ ờng trung trực d của AB

Gọi O là

giao điểm

của Ay và d

Dựng cung tròn tâm O bán kính

OA (hoặc OB)

Do M là trung điểm của AP nên ta nghĩ đến đờng trung bình của tam giác AOP Gọi N là trung điểm của AO - N cố định Do MN là đờng trung bình của tam giác AOP nên NM OP R

2

1 2

1



Vậy M nằm trên đờng tròn 









 2

;R

N

Lời giải:

Sau khi giải xong GV cho HS xem lại mô phỏng quỹ tích trên máy:

Bài toán 2':

Cho đờng tròn (O; R) và một điểm A nằm trong đờng tròn P là một điểm bất kì trên đờng tròn Tìm quỹ tích trung điểm M của AP khi P chuyển động trên

đờng tròn

(Cách làm bài toán này hoàn toàn tơng tự bài toán 2 ở trên) Hình 8

Hình 9

 Bài toán 2*:

Cho đờng tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn P là một điểm bất kì trên đờng tròn Tìm quỹ tích những điểm M thộc tia AP sao cho AM = k.AP (k

> 0) khi P chuyển động trên đờng tròn

Bài toán này là trờng hợp tổng quát của bài toán 2 (ở bài toán 2 thì k = 1/2)

Do đó việc giải bài này tơng tự bài toán 2 (chú ý đến các kiến thức về đoạn thẳng

tỷ lệ)

 Bài toán 3: Cho đờng tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn Kẻ

cát tuyến qua A cắt đờng tròn tại E và F Tìm quỹ tích trung điểm M của dây cung EF

ở bài này, GV cần chuyển về bài toán đã gặp (Bài toán1)

C1: Do M là trung điểm của dây cung EF nên quan hệ giữa OM và EF (và cả AF) nh thế nào?

TL: OM  EF hay OM  AF (chú ý khi EF đi qua tâm O thì M  O lúc này

ta coi OM  AO tại O)

Suy ra = 1v Vậy M nằm trên đờng tròn

tâm O' là trung điểm của AO, bán kính

2

AO

(theo Bài toán 1)

Tiếp đến GV cho HS vẽ đờng tròn này

C2: Có phải bất kì điểm nào thuộc đờng tròn

cũng thuộc quỹ tích không?

TL: Nếu điểm M' 













2

;'AO

O nhng nằm ngoài đờng tròn (O; R) thì khi nối A với M' sẽ

không cắt đờng tròn (O; R) Do đó điểm M' không

thuộc quỹ tích

C3: Vậy quỹ tích là phần nào của 









 2

; ' AO

TL: Quỹ tích cần tìm là phần cung tròn













2

;

' AO

O nằm phía trong và trên đờng tròn (O; R)

(Hình 11b)

Giải: ( )

 Bài toán 4: (Bài 50 - Tr 87 - SGK Toán 9) Cho đờng tròn đờng kính AB

cố định, M là một điểm chạy trên đờng tròn Trên tia đối của tia MA lấy điểm

I sao cho MI = 2MB

AMO

M

M'

Hình 10

Hình 11

a) Chứng minh rằng AIB không đổi.

b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên

ở bài này, GV chuyển về bài toán đã gặp (Bài toán quỹ tích cung chứa góc) a) Trớc hết là chứng minh AIB không đổi:

Do  BMA = 900 (góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn), nên trong tam giác vuông BMI, ta có:

2







MI

MB

Vậy AIB không đổi

b) C1: Bài toán này tơng tự bài toán nào ta đã gặp?

TL: Tơng tự bài toán quỹ tích cung chứa góc

C2: ở đây  bằng bao nhiêu?

TL:  = 26034'

C3: Vậy quỹ tích các điểm I là hình nào?

TL: Điểm I nằm trên hai cung chứa góc  = 26034' dựng trên đoạn AB

dựng trên đoạn AB là sai vì khi M  A thì cát tuyến AM trở thành tiếp tuyến I1AI2 Khi đó I trùng I1 hoặc I2 Vậy điểm I chỉ thuộc hai cung I1mB và I2m'B (hình 12e)

Sau đó GV cho HS xem mô phỏng quỹ tích trên máy (nh các hình chụp đợc

dới đây), rồi trình bày lời giải theo các bớc đã học (chú ý nhấn mạnh phần giới hạn quỹ tích).

1

M A

B

I

Hình 12

3 Kết quả đạt đợc.

Sau khi áp dụng đề tài này vào giảng dạy, cảm nhận đầu tiên của tôi là học sinh rất có hứng thú học tập - các em chú ý đến bài giảng một cách say mê và đặc biệt là tiếp thu kiến thức rất nhanh, có một số kỹ năng cơ bản để làm toán quỹ tích

Qua khảo sát cũng với hai bài toán lần trớc tại lớp 91 và 92 tôi thu đợc kết quả rất khả quan:

Tổng

số Số HS chỉ ra đợc quỹ tíchở bài 1 Số HS chỉ ra đợc quỹ tíchở bài 2

III Kết luận - Kiến nghị.

1 Kết luận.

Dạy học là quá trình tổ chức hoạt động học tập cho học sinh trong đó ngời thầy giữ vai trò chủ đạo Vì thế để một tiết dạy có hiệu quả điều đầu tiên giáo viên

phải gây đợc "hứng thú" học tập cho học sinh, trên cơ sở đó phát huy tính tích cực

sáng tạo của các em Kết quả một giờ giảng không tính trên số lợng các bài toán thầy giải mà là những gì đọng lại trong nhận thức của các em

Dạy học là một nghệ thuật, việc đổi mới phơng pháp giảng dạy là việc làm thờng xuyên của ngời dạy học nhằm đa nghệ thuật đó đạt đến đỉnh cao Hiện nay

đất nớc ta đang đi trên con đờng đổi mới và hội nhập Khoa học và công nghệ

đang mang lại những lợi ích to lớn trong mọi hoạt động của xã hội (trong đó có giáo dục và đào tạo) Khi đa ra đề tài này tôi biết rằng sẽ có ý kiến cho rằng là với

điều kiện dạy học nh hiện nay chúng ta cha thể áp dụng rộng rãi đợc Thử hỏi rằng nếu sau một thời gian nữa khi khoa học và công nghệ thông tin đợc đa vào nhà tr-ờng (khi mà giáo án điện tử dần thay thế giáo án thông thtr-ờng) thì liệu chúng ta có

là chủ đợc nó không? Hơn nữa nếu đợc xem "Cách làm, cách trình bày" của máy

chắc ai cũng rút ra cho mình những cách thức tơng tự trong quá trình dạy học Cũng cần phải nói thêm rằng để giải tốt toán quỹ tích thì học sinh cần phải có một quá trình rèn luyện lâu dài và trên nhiều phơng diện, sáng kiến trên chỉ giúp HS

mở cánh cửa đầu tiên khi mới bớc đầu làm quen với toán quỹ tích

2 Kiến nghị.

Về phía cấp trên: cần có đầu t đúng mức về cả vật chất lẫn con ngời để sớm

đa CNTT vào dạy học

Về phía trờng học: Quản lí và phát huy hiệu quả những đồ dùng thiết bị đợc cấp về, có kế hoạch bão dỡng, tu bổ để duy trì hiệu quả sử dụng lâu dài

Về phía giáo viên: tự học, tự bồi dỡng để tự làm mới chính mình không chỉ

về năng lực chuyên môn mà còn có khả năng ứng dụng công nghệ cao vào hoạt

động giảng dạy

Một điều nữa mà tôi muốn nói ở đây là một sản phẩm hỗ trợ dạy học tạo ra bằng các phần mềm nó khác với các đồ dùng khác là có thể nhân bản lên rất nhiều lần mà không hề tốn kém mấy về kinh tế lẫn thời gian Ngoài ra mỗi ngời có thể

sửa đổi, làm mới nó theo ý thích và do đó "đồ dùng" đợc hoàn thiện theo thời gian,

đặc biệt có thể sao chép để HS tự học thêm ở nhà hay dùng để các bậc phụ huynh tham khảo

Trên đây là một vài kinh nghiệm mà tôi mới tích luỹ đợc trong quá trình tìm hiểu một số phần mềm dạy học và qua thực tế giảng dạy, xin đợc trao đổi và mong nhận đợc sự góp ý của các thầy cô cùng các bạn đồng nghiệp

Phụ lục

1

function main

set_paper Paper, 3, 0x0000BF

appear Text, 8.25, 0.5, "Hãy vẽ một đoạn thẳng AB", 2

input_line &x1, &y1, &x2, &y2

disappear Text

if x1 > x2 then

tx= x1

ty= y1

x1= x2

y1= y2

x2= tx

y2= ty

end_if

appear Point, x1, y1, "A", below

appear Point, x2, y2, "B", below

line x1, y1, x2, y2

input_data "Hãy cho biết số đo của góc ", "Goc", goc, "Tốc độ xem 1 ->5", t

if goc <= 90 then

goc_nhon goc, x1, y1, x2, y2, t

end_if

if goc > 90 then

goc_tu goc, x1, y1, x2, y2, t

end_if

end

function goc_nhon goc, ax, ay, bx, by

AB= sqrt((ax-bx)^2 + (ay-by)^2)

ix = (ax + bx)/2

iy = (ay + by)/2

get_angle &goc1, ax, ay, bx, by

r1= AB*sin(90-goc)/(2*cos(90-goc))

get_point &ox, &oy, ix, iy, goc1+90, r1

appear Point, ox, oy, "O"

get_angle &gocc, ax, ay, ox, oy

get_angle &gocd, ox, oy, bx, by

appear Point, 0,0, "M"

r= sqrt((ox-ax)^2 + (oy-ay)^2)

set_paper Paper, 0.5, 0xBE00BE

attach_pen PointM

for g from gocc+180 to gocd step -2

get_point &mx, &my, ox, oy, g, r

set_pos PointM, mx, my

Lập trình: Bài toán quỹ tích cung chứa góc

V i o l e t S c r i p T