SKKN MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

Đối với môn toán lớp 9, phần '' Phơng trình bậc hai'', ''Phơng trình quy về phơng trình bậc hai'' là phần kiến thức trọng tâm, là phần kiến thức thờng xuyên xuất hiện trong các đề thi tố

Lời nói đầu

Việc dạy đúng chuẩn mực kiến thức của chơng trình là một nhiệm vụ quan trọng của mỗi ngời giáo viên đứng lớp Tuy nhiên, việc bồi dỡng cho học sinh khá, giỏi cũng là một việc làm rất cần thiết phải đợc tiến hành thờng xuyên ở trong các nhà trờng phổ thông trung học cơ sở Việc bồi dỡng giúp cho học sinh khá không chỉ nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản mà còn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận một cách hợp logíc tìm ra đợc lối giải những bài tập khó, giúp các em rèn trí thông minh sáng tạo, có hứng thú trong khi học môn toán

Đối với môn toán lớp 9, phần '' Phơng trình bậc hai'', ''Phơng trình quy

về phơng trình bậc hai'' là phần kiến thức trọng tâm, là phần kiến thức thờng xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp, thi học sinh giỏi và thi vào trung học phổ thông Do đó, theo tôi học sinh cần nắm thật chắc chắn mảng kiến thức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có cái nhìn thật đầy đủ về " Phơng trình quy về phơng trình bậc hai" Sau khi nghiên cứu khá nhiều tài liệu tham khảo viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đã đa ra các bài toán rất đa dạng

và phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn, nằm trong nhiều tài liệu khác nhau, do đó gây không ít khó khăn cho việc dạy của giáo viên và của học sinh

Trớc tình hình đó, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tôi mạnh dạn đa

ra một hệ thống kiến thức nói về ''Phơng trình quy về phơng trình bậc hai'' với một mong ớc là làm tài liệu ôn tập, nhàm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho ngời dạy và ngời học trong việc bồi dỡng học sinh khá giỏi

''Một số phơng trình đa về phơng trình bậc hai'' là một hệ thống kiến thức có đặc thù riêng, đợc tích hợp từ nhiều tài liệu khác nhau Nói về cách giải của một số loại phơng trình đa đợc về phơng trình bậc hai nh: Phơng trình chứa ẩn ở mẫu; phơng trình bậc ba; phơng trình bậc bốn; phơng trình vô tỷ… Với mỗi loại phơng trình sau khi trình bày cách giải đều có kèm theo các ví

dụ minh hoạ, cuối mỗi dạng còn có các nhận xét và những lu ý nhằm giúp

ng-ời đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu

Tôi mong rằng thông qua các vấn đề mà tôi đã trình bày ở đề tài này phần nào giúp các em học sinh trang bị các kiến thức cũng nh các phơng pháp giải phơng trình ở bậc THCS, chuẩn bị tốt cho kì thi vào trung học phổ thông

Phần I: Những vấn đề chung

A Mục tiêu nhiệm vụ của đề tài

Đề tài có nhiệm vụ nghiên cứu và chọn ra một hệ thống kiến thức cơ bản nhất, chung nhất về các dạng phơng trình đa về phơng trình bậc hai nhằm:

+ Giúp cho giáo viên có tài liệu để bồi dỡng học sinh giỏi

+ Giúp cho học sinh có một cái nhìn thật đầy đủ về phơng trình đa đợc

về phơng trình bậc hai, từ đó có những thao tác t duy nhanh nhạy, sáng tạo, có

kỹ năng nhuần nhuyễn trong việc giải các dạng phơng trình này

+ Giúp học sinh tự tin trong khi giải toán hoặc trong thi cử

B cơ sở thực tiễn của việc nghiên cứu đề tài

Toán học là một môn khoa học trìu tợng, đóng vai trò quan trọng trong

đời sống con ngời, trong việc nghiên cứu khoa học Khi học toán các em sẽ nắm bắt đợc nhiều phơng pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ năng tính toán, phân tích tổng hợp, giải quyết đợc nhiều bài toán thực trong cuộc sống

Việc bồi dỡng học sinh giỏi là một việc làm rất cần thiết trong các nhà trờng THCS Để là học sinh giỏi, các em cần đợc rèn luyện, phát triển t duy sáng tạo, mở rộng, đào sâu kiến thức

Sự phân hoá đối tợng trong học sinh hiện nay về năng lực nổi lên rất rõ

số học sinh các lớp chuyên, chọn chiếm một tỷ lệ tơng đối lớn, do đó nhu cầu

đợc nâng cao, mở rộng kiến thức của các em học sinh là rất lớn

Căn cứ vào thực tế dạy học ta thấy, phần kiến thức về phơng trình và phơng trình đa về phơng trình bậc hai ở chơng trình THCS cha đợc đề cập đến nhiều Đội ngũ giáo viên cha đợc chuẩn bị chu đáo để bắt tay vào dạ bồi dỡng cho học sinh khá giỏi, do đó đòi hỏi ngời giáo viên phải tự biên soạn, su tầm, lựa chọn tài liệu cho riêng mình chính vì thế nội dung bồi dỡng phần kiến thức này cha có sự thống nhất, gây không ít khó khăn cho ngời học và ngời dạy

Nghiên cứu sách giáo khoa và chơng trình hiện hành ta thấy: SGK đại

số 9 đã đa ra cho học sinh một số loại phơng trình quy về phơng trình bậc hai nh: phơng trình chứa ẩn ở mẫu, phơng trình vô tỷ, phơng trình trùng phơng, đa vào ẩn mới song nhìn chung mức độ yêu cầu về loại này chỉ dừng lại ở mức

độ nhận dạng, chỉ phù hợp với học sinh đại trà, còn với các em học sinh ở các

lớp chuyên, lớp chọn nếu dừng lại ở yêu cầu trên thì cha đủ, vì vậy cũng cần

hệ thống, phân loại và giới thiệu với các em về mảng kiến thức ''Phơng trình quy về phơng trình bậc hai''

C Đối tợng nghiên cứu

Nghiên cứu về các dạng phơng trình, các cách giải phơng trình nói chung và phơng trình bậc hai nói riêng

Nghiên cứu các phơng pháp dạy học toán ở trờng THCS

Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa đại số 9, các tài liệu tham khảo và các chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán

Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, qua học hỏi đồng nghiệp

Phần II: Nội dung

A Một số kiến thức và kỹ năng cần thiết khi học về giải

+ Kiến thức về giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức đại số

+ Điều kiện để cho một biểu thức có nghĩa (biết tìm tập xác định của phơng trình, tập xác định của một biểu thức

+ Kỹ năng biến đổi các biểu thức

+ Kỹ năng giải và biện luận phơng trình bậc hai một ẩn, phơng trình chứa ẩn ở mẫu (dạng cơ bản)

B- Phơng trình quy về phơng trình bậc hai

I Nhắc lại về phơng trình bậc hai một ẩn số

1 Định nghĩa:

+ Phơng trình bậc hai một ẩn số là phơng trình có dạng tổng quát:

ax2+bx+c=0 (trong đó x là ẩn; a,b,c là các hệ số thuộc tập R; a≠0)

+ Nghiệm của một phơng trình bậc hai là những giá trị của ẩn số mà khi thay vào vế trái của phơng trình ta đợc giá trị của hai vế bằng 0

2 Giải và biện luận hệ phơng trình bậc hai

* Khi nghiên cứu về nghiệm số của phơng trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a

≠0) ta cần quan tâm tới biệt số của phơng trình:

∆=b2 - 4ac+ Nếu ∆< 0: Phơng trình bậc hai vô nghiệm

+ Nếu ∆ = 0: Phơng trình bậc hai có nghiệm kép:

∆ =b'2- ac+ Nếu ∆ '< 0: phơng trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ '= 0: phơng trình có nghiệm kép

+ Nếu ∆ '>0: phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Chú ý: Nếu a và c trái dấu (tức a.c < 0) thì phơng trình bậc hai có dạng phân

biệt và trái dấu nhau (vì ∆ >0)

* Đối với một số phơng trình bậc hai đơn giản (với hệ số nguyên) trong trờng hợp phơng trình có nghiệm (∆ ≥ 0) ta có thể dùng định lý Viet để nhẩm nghiệm của phơng trình

Trờng hợp đặc biệt:

+ Nếu a+b+c = 0 thì phơng trình có nghiệm là: x1=1; x2=

a c

+ Nếu a- b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm là: x1=-1; x2

=-a c

*Nhờ định lý Viet ta có thể khảo sát về tính chất các nghiệm của phơng trình bậc hai

+ Phơng trình bậc hai có cùng dấu khi:

a c

+ Phơng trình bậc hai có hai nghiệm dơng khi

a c

x1+x2>0 − > 0

a b

+ Phơng trình có hai nghiệm cùng âm khi:

a c

x1+x2<0 − < 0

a b

+ Phơng trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi: < 0

a c

+ Phơng trình có hai nghiệm đối nhau khi:

a c

a b

+ Phơng trình có hai nghiệm trái dấu nhng nghiệm số dơng có trị tuyệt

đối lớn hơn khi:

0

<

a c

0

>

−

a b

+ Phơng trình có hai nghiệm trái dấu nhng nghiệm số âm có trị tuyệt

* Nhờ định lý Viet, ta có thể tính đợc tổng (hoặc hiệu) các luỹ thừa bậc

n hai nghiệm của phơng trình: x1n±x2n (Với n∈Z)

Ví dụ:

Phơng trình bậc hai ax2+bx+c = 0 có hai nghiệm x1;x2 thì:

2 1

2 2 1

2 ) ( 2

) (

a

ac b

a

c a

b x

x x

II Phơng trình quy về phơng trình bậc hai :

Trong chơng trình Toán ở trờng phổ thông ta thờng gặp một số dạng phơng trình quy về phơng trình bậc hai sau:

+ Nhận định kết quả và trả lời (loại bỏ những giá trị của ẩn vừa tìm đợc không thuộc tập xác định của phơng trình).

a

(1)

Điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt:

Giải Điều kiện: x a x b≠ , ≠ :

Ta có: (1) ⇔ 2 (x−a)(x−b) =a(x−a) +b(x−b)

0 2 )

( 3

0 ) ( ) ( 3

2

) (a+b

=

∆Phơng trình có hai nghiệm phân biệt là:

b a

x1 = +

2

2

b a

1 6 7 2

4 4

1 12 8 3 2

4

2 2

2

+

+ + +

1 ) 3 2 )(

2 (

4 )

2 )(

2 (

1 )

3 2 )(

2 )(

2 (

+

+ + +

− +

−

− + +

−

⇔

x x

x x

x x

x x

4 3 2

0 5 6

2 − + =

Giải phơng trình : x2-6x+5=0 ta đợc 2 nghiệm: x1=1, x2=5

Đối chiếu với TXĐ ta thấy x1 = 1 và x2 = 5 là hai nghiệm của pt (2)

c Nhận xét:

+ Loại phơng trình chứa ẩn ở mẫu là loại thờng gặp ở trờng phổ thông.+ Khi giải loại này cần lu ý: Cần so sánh các giá trị tìm đợc của ẩn với TXĐ trớckhi kết luận về nghiệm của phơng trình

Phơng trình (2) cho nghiệm 2 và

x=-2 1

Vậy phơng trình (*) có tập hợp nghiệm là: S = -

2

1

; 2

;

Ví dụ 2:

Cho phơng trình x3- (2a+1)x2+(a2+2a-b) x-(a2- b)=0 (1)

Giải và biện luận theo a, b số nghiệm của phơng trình đã cho

Giải:

Phơng trình (1) Có tổng các hệ số bằng 0 nên có nghiệm x1=1 Do đó (1) có thể viết: (x-1)(x2- 2ax + a2- b) =0

Xét phơng trình bậc hai:

C Những phơng trình bậc cao quy đợc về phơng trình bậc hai

1- Phơng trình trùng phơng

Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng: ax4+ bx2+ c = 0 Trong

đó: x là ẩn số, a;b;c là các hệ số; a≠ 0

a) Cách giải:

Với loại phơng trình này khi giải ta thờng dùng phép đặt ẩn phụ x2=t≥

0 Từ đó ta có một phơng trình bậc hai trung gian: at2 + bt +c = 0, giải phơng trình bậc hai trung gian này rồi sau đó trả biến x2= t (Nếu những giá trị của t tìm đợc thoả mãn t≥0), ta sẽ tìm đợc nghiệm số của phơng

trình ban đầu

⇔ m>1 do đó 2< m <3

m<3

Khi 2<m<3 thì phơng trình (2') có hai nghiệm dơng phân biệt, do vậy phơng trình (2) có 4 nghiệm phân biệt (Là hai cặp số đối nhau và khác nhau).b) Phơng trình (2) có 3 nghiệm khi phơng trình (2') có nghiệm x = 0 và nghiệm số thứ hai là số thực dơng

Ta thấy nghiệm của bất phơng trình (m+1)(m-2)< 0 là -1<m<2

Vậy phơng trình (2') vô nghiệm khi -1<m <2

Phơng trình (2') có hai nghiệm cùng âm khi

hoặc m≥ 2

Bảng xét dấu:

m -∞ -1 2 + ∞

m+1 - 0 + 1 +

m-2 - 1 - 0 +

(m+1)(m-2) + 0 - 0 +

Vậy hệ trên tơng đơng với: m≤ − 1 hoặc m≥ 2 m<3 m<1 Kết hợp các điều kiện này ta đợc: m ≤ -1 Vậy phơng trình (2') có hai nghiệm cùng âm khi m ≤ -1 Tóm lại: Phơng trình (2) vô nghiệm khi -1 <m <2 hoặc m ≤ -1 c)Nhận xét: Nghiên cứu về số nghiệm của phơng trình trùng phơng: ax4+bx2+c=0 (a≠ 0) ta có nhận xét + Phơng trình vô nghiệm khi: *) Hoặc phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm: (∆<0) *) Hoặc phơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng âm sảy ra khi: ∆ ≥ 0 0 > a c 0 < − a b + Phơng trình trùng phơng có hai nghiệm khi: *) Phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm kép dơng Xảy ra khi: ∆ = 0

0

2 >

−

a b

*) Hoặc phơng trình bậc hai trung gian có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm dơng, một nghiệm âm Điều này xảy ra khi < 0

a c

+ Phơng trình có 3 nghiệm (2 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép x = 0)

Xảy ra khi at2+bt+c = 0 có hai nghiệm t1= 0; t2=− > 0

a b

Muốn vậy ta phải có: c = 0

>

−

a b

Khi đó nghiệm của phơng trình trùng phơng là: x=0; x=

a

b

−

±+ Phơng trình có 4 nghiệm đơn (phân biệt) khi phơng trình bậc hai trung gian có hai nghiệm dơng phân biệt Khi đó nghiệm của phơng trình trùng phơng là hai cặp số đối nhau, khác nhau

+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm kép t =0 (xảy ra khi b=

c = 0) thì phơng trình có nghiệm x= 0 (đây là 4 nghiệm trùng nhau)

+ Khi nói đến nghiệm số của phơng trình trùng phơng là số lẻ thì trong

2

2 2

4 2

(Đây là phơng trình trùng phơng ẩn t; ta đã biết cách giải)

2 2 12 2 2 4

2 4

= +

⇔

= + +

⇔

t t

t t

Phơng trình t4 + 6t2 = 0 có nghiệm kép t = 0

Ta có: x + 4 = t

⇒ x + 4 = 0

⇒ x = - 4

5041 584

Ta có v1 = - 75+71=- 4 ⇒ Không thoả mãn điều kiện v≥ 0

v2 =-75 -71 =-146 ⇒ Không thoả mãn điều kiện v≥ 0

Vậy phơng trình (***) vô nghiệm ⇒ phơng trình (**) vô nghiệm.

*) Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm không âm X0 thì phơng trình đã cho ban đầu có nghiệm:

Lu ý rằng số nghiệm của phơng trình đầu phụ thuộc vào số nghiệm của phơng trình trùng phơng và do đó phụ thuộc vào số nghiệm của phơng trình bậc hai trung gian.

Nh vậy: Nếu phơng trình bậc hai trung gian X2+BX+C = 0

+ Vô nghiệm hoặc chỉ có cả 2 nghiệm âm thì phơng trình đã cho ban

đầu vô nghiệm

+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có một nghiệm dơng, một nghiệm

âm thì phơng trình đã cho ban đầu có hai nghiệm phân biệt

+ Nếu phơng trình bậc trung gian có cả hai nghiệm dơng (phân biệt) thì phơng trình đã cho ban đầu có 4 nghiệm phân biệt

+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có một nghiệm dơng và một nghiệm bằng 0 thì phơng trình đầu có 3 nghiệm

+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có một nghiệm kép dơng thì

ph-ơng trình đã cho ban đầu có hai nghiệm kép phân biệt

Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì đơng nhiên phơng trình ban đầu vô nghiệm

Ta biến đổi phơng trình (1)

[(x+ 4 )(x+ 8 )] [(x+ 5 )(x+ 7 )]= 4

4 ) 35 12 )(

32 12

4 5

; 2

5 5

; 2

85 5

; 2

85 5

c) Nhận xét:

Với loại phơng trình có dạng trên, nếu khai triển vế trái đợc phơng trình bậc 4 đầy đủ ta sẽ gặp khó khăn khi giải Bằng việc nhóm hợp lý 2 đôi hệ số, khai triển biến đổi trong mỗi nhóm ta sẽ đa đợc về phơng trình bậc hai trung gian

+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm ⇒phơng trình ban đầu vô nghiệm

+ Khi giải phơng trình bậc hai trung gian (ẩn t) sau khi giải tìm đợc giá trị ta trả biến và giải phơng trình bậc hai theo ẩn x, thì nghiệm của phơng trình này (nếu có) là nghiệm của phơng trình đầu

e víi e≠0Khi = 1

e ax

e x

2 2

2

b

d x

b

d x t bx

a

e b

d22 = )

b

d t ax

Ph¬ng tr×nh (*) trë thµnh 2(t2 − 2)+ 3t− 16 = 0

0 20 3

Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2t2 + 3t− 20 = 0

4

13 3

1 = − − = −

4

13 3

x (Tho¶ m·n x≠ 0)VËy tËp hîp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) lµ:

x x x

x

0 74

105 21

x

0 74

5 21

2 − + =

Giải phơng trình x2 − 4 , 5x+ 5 = 0 ta có: x3 =2; x4 = 2,5 (thoả mãn x≠ 0)Vậy phơng trình (***) có 4 nghiệm:

S={1 ; 5 ; 2 ; 2 , 5}

d) Nhận xét:

+ Giải phơng trình dạng trên, bằng phép biến đổi tơng đơng và đổi biến

đa về phơng trình bậc hai trung gian Giải rồi trả biến tìm nghiệm của phơng trình đã cho ban đầu

x+ = có bao nhiêu nghiệm thì

phơng trình đã cho ban đầu có bấy nhiêu nghiệm

Biến đổi vế trái: VT = x4+6x3+5x2-12x+3

VT = x4+6x3+9x2-12x+3

VT = (x2+3x)2- 4(x2+3x)+3Phơng trình (2) trở thành: (x2+3x)2-4(x2+3x)+3= 0

Đặt x2+3x=tThay vào (x2+3x)2- 4(x2+3x)+3=0

Ta có phơng trình bậc hai trung gian: t2- 4t+3=0

Do 1- 4+3 =0 ⇒ t1=1; t2=3Trả biến:

; 2

21 3

; 2

13 3

; 2

13 3

(vì đều thoả mãn điều kiện)

Ví dụ 3: Giải phơng trình:

36

13 2

1 1

1 2

+ +

−

x x

Ta đợc phơng trình tơng đơng:

2

1 1

1 2 36

13 2

1 1

1 2 2

1 1

+ +

−

= + +

1 (

2 36

13 2

1 1

+ +

13 ) 2 )(

1 (

2 )

2 )(

1

(

+ + +

1

Thay vào phơng trình (3') ta có 0

36

13 2

2 + t− =

t

0 13 72

1

= + + x x

0 4 3

a) Cách giải: Do x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình (*) chia

cả hai vế của phơng trình (1) cho xn ta đợc phơng trình tơng đơng:

x; Khi đó: x2 + 12

x = X2 - 2; x3 + 13

x = X(X2 – 3); x4 + 14

x = (X2 – 2)2 - 2;

2 Giải các phơng trình: x + 1

x = - 4 và x + 1

x= 5

2 ta đợc bốn nghiệm:

x1 = -2 + 3 ; x2 = -2 - 3; x3 = 1

2; x4 = 2 Vậy phơng trình (1) có 4 nghiệm là: x1 = -2 + 3 ; x2 =-2 - 3; x3 = 1

3; y2 = 3

2 Giải các phơng trình: x - 1

Ví dụ 3: Giải phơng trình: 2x5 + 5x4 – 13x3 – 13x2 +5x + 2 = 0 (3)Giải: Phơng trình (3) tơng đơng với phơng trình:

(x +1)( 2x4 + 3x3 – 16x2 +3x + 2) = 0 (3')

(x +1) = 0(I) ( 2x + 3x - 16x +3x + 2) = 0 (II)





 Phơng trình (I) có nghiệm duy nhất: x1= - 1

Phơng trình (II) có 4 nghiệm: x2 = -2 + 3 ; x3 = -2 - 3; x4 = 1

2; x5 = 2 Vậy phơng trình đã cho có 5 nghiệm:

x1= - 1; x2 = -2 + 3 ; x3 = -2 - 3; x4 = 1

2; x5 = 2

8- Vài phơng trình bậc cao khác:

a) Ví dụ