Kinh nghiệm dạy Định lí Py-ta-go cho học sinh THCS

Với những học sinh trung bình trở nên nếu được vận đúng định lí vào một chuỗi những bài tập có mức độ khó dần thì chắc chắn tư duy của học sinh xẽ được nâng nên.. CƠ SỞ KHOA HỌC: Định lí

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

Với nội dung chương trình hiện hành yêu cầu chứng minh định lí đối với học sinh được giảm nhiều Việc tiếp cận định lí đối học sinh được thực hiện từ

đo ,vẽ, trực quan Song thời gian để vận dụng định lí, rèn kĩ năng có nhiều hơn Nhưng không phải học sinh nào cũng vân dụng thành thạo và ghi nhớ định lí tốt sau khi tiếp cận định lí Với những học sinh trung bình trở nên nếu được vận đúng định lí vào một chuỗi những bài tập có mức độ khó dần thì chắc chắn tư duy của học sinh xẽ được nâng nên Học sinh khá giỏi sẽ có nhận thức tổng hợp, logicvề kiến thức toán, rèn được tư duy sáng tạo Với cách nhìn nhận như vậy tôi thường chuẩn bị một số bài tập vận dụng định lí, đối với những định lí quan trọng có tính thực hành thực tiễn nhiều

Bài viết sau đây là một ví dụ về cách dạy và rèn kĩ năng vận dụng định lí đối với học sinh

II CƠ SỞ KHOA HỌC:

Định lí Py-ta-go về liên hệ giữa độ dài các cạnh của một tam giác vuông

là một định lí đẹp của Hình học Theo chương trình cũ học sinh học định lí vào cuối học kì 2 lớp 8 Theo chương trình mới, định lí này được học ngay từ học kì

1 của lớp 7 Nên với câu hỏi " Nếu một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 1 thì cạnh huyền bằng bao nhiêu?" Với học sinh lớp 8 năm học 2003-2004

là lúng túng vì lớp 8 đó chưa học căn bậc hai Nhưng nếu đặt câu hỏi đó cho học sinh lớp 7 từ cuối học kì 1 của năm học 2003-2004 thì em đó xẽ trả lời quá dễ Đáp số là 2 Định lí Py-ta-go và căn bậc hai trong sách toán 7 mới giúp học sinh 7, 8 có khả năng tiếp cân với nhiều bài toán tính độ dài, diện tích tam giác,

tứ giác

Nét đẹp thứ hai: Định lí Py-ta-go là cầu nối giữa hình học và số học Nếu các số

tự nhiên a,b,c là độ dài tương ứng của cạnh huyền và hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông thì bộ ba số tự nhiên (a,b,c) là nghiệm của phương trình x 2

= y2 + z2 Và được gọi là bộ ba số Py-ta-go Phương trình Py-ta-go có vô số

nghiệm Nếu (a,b,c) là bộ ba số go thì (ka, kb, kc) cũng là bộ ba số

Py-ta-go, ( k là số tự nhiên)

Sau đây là một số bộ ba số Py-ta-go (a,b,c)

(5, 4, 3); (25, 24, 7); (41, 40, 9); (65, 56, 33); (85, 84, 13); (97, 72, 65)

(13, 12, 5); (29, 21, 20); (53, 45, 28); (65, 63, 16); (85, 77, 36)

(17, 15, 8); (37, 35, 12); (61, 60, 11); (73, 55, 48); (98, 80, 39)

III PHƯƠNG PHÁP DẠY:

Phát vấn- giải quyết vấn đề

Đã có tam giác vuông nào?

Độ dài cần tính là cạnh tam giác vuông nào?

Làm xuất hiện tam giác vuông bằng cách nào? vẽ như thế nào?

Áp dụng định lí Py-ta-go vào những tam giác vuông nào ? được gì?

Biến đổi như thế nào để được phương trình ẩn là độ dài cần tìm?

Học sinh tham gia trình bàylời giải

1V MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ PY-TA-GO:

Định lí phát biểu với học sinh lớp 7 như sau:

a, Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông

b, Nếu bình phương cạnh lớn nhất của một tam giác không bằng tổng bình phương các cạnh còn lại thì tam giác đó khôngphải là tam giác vuông

c, Trong một tam giác, nếu bình phương cạnh lớn nhất bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó là vuông và góc vuông đối diện với cạnh lớn nhất

Việc chứng minh định lí Năm 1968, trong cuốn sách nói về định lí, Elisha Scott

đã thống kê phân loại 367 cách chứng minh khác nhau về định lí

Đối với học sinh trong chương trình lớp 7 đã là quen song vì lí do sư phạm mà không giới thiệu cách chứng minh Đối với đối tượng học sinh khá, giỏi thì có thể giới thệu một số cách chứng minh đơn giản

Cách 1: Từ xã xưa, ở Hy lạp cũng như ở Trung quốc, người ta đã quen với hình

vẽ được gọi là "cối xay gió"dùng để chứng minh định lí

Nội dung như sau:

∆BFC = ∆BAE nên diện tích cũng bằng nhau

Nhưng : SBFC = 1/2 SABFJ,

SBAE= 1/2 SBIHE, => SABFJ = SBIHE

Tương tự SAKGC = SCIHD

Từ đó ta có định lí phát biểu bằng "ngôn ngữ diện

tích"là diện tích hình vuông BCDE bằng tổng diện

tích hai hình vuông ABFJ và ACGK

Cách 2: Hai hình vuông ABDE và GHIK cùng

có cạnh bằng b + c

Gọi Sa, Sb, Sc lần lượt là diện tích các hình

vuông cạch a, b, c ( a là độ dài cạch huyền, b

và c là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác

vuông)

Ta có :

SABDE =(b + c)2 = Sb + S c +4.bc/2 (1)

SGHIK = ( b+c)2 = Sa + 4 bc/2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra : Sa = Sb + Sc

hay a2 = b2+c2

Cách 3: Dựng hình vuông có độ dài cạnh là b

+c;

B thuộc AD, C thuộc AF

Lấy I thuộc EF; K thuộc DE sao cho IF= KE =b

Ta nhận thấy ∆ABC =∆DKB = ∆EIK = ∆FCI

BCIK là hình vuông

=> SBCIK +SABC+SDKB+SEIK+SFCI=SADEF

tương đương SBCIK+4.SABC= SADEF

a2 +4.bc/2 = (b+c)2

a2= b2 +c2

Cách 4: Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho

CF = c; Dựng điểm D thuộc nửa mặt phẳng có bờ AE,

chứa điểm B , DE vuông AE, DE = b

Ta nhận thấy ABDE là hình thang vuông có hai đáy

AB = c, DE = b, đường cao AE = b +c;

∆ABC = ∆ECD; ∆BCD vuông cân tại C có cạnh a

=> SABDE = SBCD +SABC +SECD.

SABDE = SBCD+2.SABC.

hay (b+c)(b+c)/2 = a2/2 + 2.bc/2

a2=b2+c2

Cách 5: Tiếp tục quan sát biểu thức cần chứng

minh theo hướng khác ,

a2 = b2 +c2 = ( b-c)2 +2bc

a2 = ( b-c)2 +4.bc/2

Không mất tính tổng quát, giả sử b > c Dựng

hình chữ nhật ABA'C; Hình vuông BCED ( chứa

A'); trên BA' lấy điểm B' sao cho BB' = c; trên

DB' lấy điểm C' sao cho DC' = c; CA' cắt EC' tại

D'

Ta chứng minh được những kết quả sau :

∆ABC = ∆A'CB = ∆B'BD = ∆C'DE =∆D'EC

Và A'B'C'D'là hỡnh vuụng cạnh b - c

=> SBCED = SA'B'C' D' + SA'BC+ SB'BD+ SC'DE+ SD'EC.

<=> SBCDE = SA'B'C' 'D' + 4SABC.

<=> a2 = (b-c)2 +4.bc/2 <=> a2 +b2+c2

V BÀI TẬP RẩN KĨ NĂNG VÂN DỤNG ĐỊNH LÍ, PHÁT TRIỂN TƯ DUY LOGIC GIỮA ĐẠI SỐ VÀ HèNH HỌC

Bài 1: Tỡm độ dài x, y trờn hỡnh 1.

Lời giải:

Áp dụng định lớ Py-Ta-go vào cỏc tam giỏc vuụng

AHC, AHB ta cú:

x2 = 162 + AH2; y2 = 92 +AH2.

Do đú x2 - y2 = (162 + AH2)- ( 92 + AH2) = 175 (1)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuôngBAC:

x2+y2 = (9 +16)2 = 625 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: x2 = 400; y2 = 225

Do đó x = 20, y = 15

(H1)

Bài 2: Một tam giác có độ dài cạnh bằng 3 và 8, góc xen giữa bằng 600

Tính độ dài cạnh còn lại

Lời giải: ( hình 2)

Xét tam giác ABC có Â = 60 0 ; AB = 8, AC = 3

Kẻ đờng cao AH Tam giác vuông AHB có Â =

600 nên AH = AB: 2 = 8: 2 = 4

Do AC = 3 nên C nằm giữa A và H và

CH = AH - AC = 4- 3 = 1

áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông

CHB, AHB ta có :

BC2 = BH2+ CH2 = (AB2-AH2) + CH2 = 82 - 42

+12 =49 Vậy BC = 7

(H2) (Cú thể kẻ đường vuụng gúc từ C xuống AB.)

Bài 3:

Tính chu vi của đường gấp khúc ABCDEA

trên hình 3

Lời giải:

Kéo dài AB và DE sao cho cắt nhau tại I

áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác

vuông AIE, ta tính được AE = 5, do đó chu

vi đường gấp khúc ABCDEA bằng 12

(H3)

Bài 4:

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1 dm Tính

diện tích tam giác ABC

Lời giải:

Kẻ đường cao AH

áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AHC ta

có AH2 = AC2 -HC2 = 12 -0,52 = 0,75

Suy ra AH = 0 75 ≈0.866.

SABC= (AH.BC):2≈ 0.433(dm2)

Bài 5:

Tính diện tích một tam giác có 3

cạmh bằng 10 , 20 ; 50

Lời giải : Nhận thấy 10= 32 +12

20 = 22+42

50 = (3+2)2+(1+4)2

vẽ thêm các điểm D,H,E như trên

hình5

ta tính được

SABD = 1,5; SBHC = 4; SBDEH = 2; SAEC

(H5)

Do đó SABC = 12,5 -1,5 - 4 -2 =

5(đvdt)

( Có thể hạ đường vuông góc từ C xuống AB hoặc từ A xuống BC )

Bài 6:

Cho tam giác ABC có AB = 3 cm,

AC = 5 cm Trung tuyến AM = 2 cm

Tính diện tích tam giác ABC

Lời giải :

Gọi K là trung điểm của AC Ta chứng minh

được tam giác AMK thoả mãn định lí

Py-ta-go đảo nên góc AMK = 900

Ta tính được SAMK = 1,5 cm2

Từ đó SABC = 6 cm2

Bài 7:

Tính diện tích tam giác ABC biết độ

dài 3 trung tuyến lần lượt là : 15cm

36cm, 39cm

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC có

đường trung tuyến AD = 36 cm Lấy

K là trung điểm của GC Tam giác

DGK thoả mãn định lí Py-ta-go đảo

nên góc GDK bẳng 900

Ta tính được SDGK = 30cm2

Từ đó SABC =360cm2

Bài 8:

Tứ giác ABCD có AB = BC = 4, AD = DC =

DB = 8 Các đường chéo AC và BD cắt nhau ở

I Tính độ dài IB, ID

Hướng dẫn :

Đặt ID = x ta có IB = 8-x

Ta có: BD là đường trung trực của đoạn AC

áp dụng định lí py-ta-go vào tam

giác vuông AIB và AID

ta được 82 -x2 = 42 -(8-x)2

Từ đó x = 7 Vậy ID = 7, IB = 1

Bài 9:

Hình thang ABCD có AB//CD, AC⊥BD, AC=

20, BD = 15 Tính độ dài đường trung bình

hình thang

Hướng dẫn :

Qua B kẻ BE//AC cắt DC kéo dài ở E

Ta có DBE vuông , BD = 15, BE = 20

áp dụng định lí Py-ta-go tính được

DE = 25

Bài 10:

Tứ giác ABCD có I là giao điểm của

hai đường chéo Tính AD biết rằng

AB = 6, IA = 8, IB = 4, ID = 6

Hướng dẫn:

Kẻ AH ⊥IB Đặt BH = x, AH = y

Ta tính được:

x = 3/2, y2 =135/4

Độ dài AD= 166

Tam giác ABC có AC - AB = 7 cm, đường

cao AH ( H nằm giữa B và C) Tính độ dài

AB, AC biết HC = 15cm, HB = 6cm

Lời giải: Đặt AB = y, AC = x

áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác

vuông AHB, AHC ta được:

AH2 = x2 - 152, AH2 = y2 - 62

=> x2 - y2 = 152 - 62(1)

Theo bài ra ta có : x - y = 7 (2)

Từ (1) và (2) ta tính được x = 17, y = 10

Bài 12:

Cho tam giác ABC có Â= 600, AB = 6 cm, AC = 8cm

Tính độ dài BC, diện tích tam giác ABC?

Lời giải:

Kẻ đường cao BH, ta có : AH = AB/2= 3 cm

Xét tam giác vuông ABH ta có :

BH2 = AB2 - AH2 = 62 - 32 = 27

Xét tam giác vuông BHC ta có :

BC2 = BH2 + HC2 = 27 + 52 = 52

=> BC = 52 cm

Diện tích tam giác ABC: SABC= (27.8):2 = 108

cm2

Bài 13:

Tam giác ABC có Â = 1200, BC = a, AC = b,

AB = c

Chứng minh rằng: a2 = b2 + c2 + bc

lời giải:

Kẻ BH ⊥AC, xét ∆BHA vuông:

BH2 = c2 -(c/2)2 = 3c2/4

Xét tam giác vuông BHC:

BC2 = CH2 + BH2 = ( b + c/2)2 + 3c2/4= b2 + bc

+ c2

hay a2 = b2 + bc + c2

Bài 14:

Tam giác ABC cân tại A, có AB = AC = 9 cm, BC = 12 cm, đường cao BH Tính độ dài CH và AH?

Lời giải:

Đặt CH = x, AH = y

Ta có: x2 - y2 = ( BC2 - BH2)- ( AB2 - BH2) = BC2 - AB2 = 122 - 92 = 63

Trường hợp H nằm ngoài cạnh AC (H14b) không xảy ra, vì khi đó x- y = 9, suy ra x + y = =7, vô lí

Vậy điểm H nằm trên cạnh AC ( H14a) Ta có x + y = 9 do dó x - y = 7

Suy ra x = 8, y = 1 hay CH = 8 cm, AH =1cm

Bài 15:

Cho tam giác ABC cân tạu A, đường cao BK, AB = 9 cm và AK = 7 cm

Tính độ dài BC

Lời giải:

Ta có AC = AB = 9 cm, suy ra KC = AC - AK = 2

cm

∆AKB vuông tại K nên theo định lí Py-ta-go ta có

:

BK2 = AB2 - AK2 = 32 cm

∆AKC vuông tại K theo định lí Py-ta-go ta có :

BC2 = BK2 + KC2 = 36 hay BC = 6 cm

Nhận xét : Rất nhiều học sinh khi giải bài toán này thường vẽ hình, bắt tay vào giải và vui mừng với " kết quả đẹp"mình tìm ra được mà quên mất một việc quan trong là phải xem lại bài toán có phụ thuộc vào hình vẽ hay không Điều này dẫn đến việc xét thiếu trường hợp nhiều bài toán, kể cả với những bài dễ Trong bài toán trên, độ dài BC phụ thuộc vào độ dài của BK và KC, trong đó độ dài KC phụ thuộc vào độ dài của AK và AC

Tuy nhiên KC = AC - AK hay KC = AC + KA còn phụ thuộc vào K nằm trong hay nằm ngoài AC hay góc BAC nhọn hay tù( trường hợp vuông A trùng với K không xảy ravì AK khác 0) Điều này rất quen rhuộc nhưng nhỉều bạn vẫn bỏ qua

Như vậy lời giả trên còn thiếu trường hợp góc BAC tù , khi đó tương tự trường hợp trên ta tính được BC = 288cm

BàI 16:

Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạmh AB tại D tính số

đo góc C biết rằng AC.BC = 2AD DB

Tư duy: Bài toán tính ssô đo góc mà gt không

cho góc thì góc tính được xẽ đặc biết Nhiều khả

năng sủ dụng py-ta-go đảo

Giải:

Gọi E,F là các tiếp điểm của (O) tren cạnh CB,

Ta có: AD = à, BD = BE, CE = CF

Dặt AD = AF = x, BD = BE = y

Theo gt ab = 2 xy (1)

ta có :

AB + AC - BC = (x +y) =( x + CF)-( CE + y) =

2x

nên 2x = b+c - a

Tương tự: 2y = a +c -b

suy ra: 2x.2y = [c- (a-b)][c + ( a-b)]= c2- ( a-b)2

= c2 - a2 + 2ab - b2 (2)

Từ(1) và (2) suy ra 2ab = c2 - a2 +2ab - b2

hay a2 + b2 = c2

Theo định lý Py-t a-go đảo góc C = 90o

VI BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:

Bài 1:

Một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 2 cạnh huyền cuả tam giác có giá trị sát nhất với số nào trong các số sau:

2,6; 2,7; 2,8; 3

Bài 2:

Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 5 và 7, góc xen giữa bằng 600 Tính độ dài cạnh thứ ba

Bài 3:

Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 5 và 6, góc xen giữa bằng 1200 Tính độ dài cạnh thứ ba

Bài 4:

Tính các cạnh của một hình chữ nhật, bíêt rằng đường vuông góc kẻ từ một đỉnh đến một đường chéo chia đường chéo đó thành hai đọan độ dài là 9

và 16

Bài 5:

Cho hình vuông ABCD có đường chéo bằng 2a Gọi d là đường thẳng bất

kì đi qua giao điểm của hai đường chéo Tính tổng các bình phương của các khoảng cách từ A, B, C, D đến đường thẳng d

Bài 6:

Tam giác ABC có góc B =600, AB = 8 cm, AC = 13 cm

Tính độ dài BC

Bài 7:

Hình thang ABCD có AB//CD, AB = 16 cm, CD = 44cm, AD = 17 cm,

BC = 25 cm

a, Chứng minh rằng C và D là các góc nhọn

b, Tính diện tích hình thang

VIII KẾT QUẢ THỰC TIỄN:

5 bài toán đầu với học sinh khối 7 được thực hiện trong 2 tiết có sự hướng dẫn của thầy, các em học tập tích cực ở mỗi học sinh cũng thu được kết quả nhất định

Với học sinh trung bình bước đầu vận dụng được định lí vào bài tập đòi hỏi tư duy logíc và khả năng phân tích không nhiều và ứng dụng thực tế của định lí Với học sinh khá ngoài kĩ năng vân dụng phân tích có được sau bài học các em thấy được mối liên hệ giữa đại số và hình học

Những bài toán còn lại cũng vữa sứcđối với học sinh giỏi khối 7

Học sinh đại trà khối 8 có sự hướng dẫn của thầy trong 4 tiết khả năng tiếp thu của các em cũng nhẹ nhàng Tạo cơ hội cho các em tái hiện kiến thức cũ đồng thời thấy được khả năng thực tiễn lớn của định lí Py-ta-go và sự logic trong toán học Đặc biệt tư duy đại số, đại số hoá hình học của học sinh cũng được khắc sâu Các em tự tin hơn trước bài toán tính độ dài, diện tích

IX THAY CHO LỜI KẾT

Nhiệm vụ nâng cao chất lượng đại trà, bồi dưỡng ươm mẫm học sinh giỏi không dễ chút nào Nó phụ thuộc vào nhiều yếu tố Trong đó việc thiết kế bài giảng để học sinh tiếp cận kiến thức mới, củng cố kiến thức đại trà với nội dung vừa sức lại logic đòi hỏi người thầy phải tìm tòi, làm việc nghiêm túc

Trên đây là những suy nghĩ và cách làm của cá nhân tôi, chắc không tránh khỏi thiếu sót Rất mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học sinh

Vĩnh Bảo, ngày 20 tháng 01 năm 2009

Người viết bài

Phạm Trung Lực