tổng hợp tài liệu ôn tập môn toán ,tài liệu ôn tập môn toán đầy đủ chi tiết dành cho học sinh lớp 12 và giáo viên nghiên cứu học tập và tham khảotổng hợp tài liệu ôn tập môn toán ,tài liệu ôn tập môn toán đầy đủ chi tiết dành cho học sinh lớp 12 và giáo viên nghiên cứu học tập và tham khảo
Trang 1Chủ đề: VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRèNH- BPT VÀ HPT
I- TỔNG QUAN PHƯƠNG PHÁP:
Xột phương trỡnh f x( ) =0 1 ( ) (x D∈ ) với D là một khoảng cho trước.
Để vận dụng tớnh đơn điệu của hàm số để giải phương trỡnh, ta cú một số hướng biến đổi (tương ứng với 3 dạng thụng dụng) sau đõy:
1 Đối với loại phương trỡnh cú 3 hướng để giải quyết:
Dạng 1: Dạng ( )F x =0, với ( ) hoặc đồng biến, hoặc nghịch biến trên D F x
Bước 1: Đưa phương trỡnh (1) về dạng: ( ) F x =0
Bước 2: Xột hàm số y F x= ( )
Chỉ rừ hàm số y F x đồng biến hay nghịch biến trờn D.= ( )
Bước 3: Đoỏn được F x( )0 =0 Lỳc đú phương trỡnh (1) cú nghiệm duy nhất x x = 0
Dạng 2: Phương trình (1) có: ( ) đồng biến trên D hoặc ngược lại ( )
( ) nghịch biến trên D
F x
G x Bước 1: Đưa phương trỡnh (1) về dạng : ( ) F x =G x (1)( )
Bước 2: Xột hai hàm số y= f x và ( ) y g x= ( )
Chỉ rừ hàm số y F x là hàm đồng biến (nghịch biến) và= ( ) y G x là hàm = ( )
nghịch biến (đồng biến)
Bước 3: Đoỏn được F x( )0 =G x( )0 Lỳc đú phương trỡnh (1) cú nghiệm duy nhất
0
=
x x
Dạng 3: Dạng phương trình ( )F u =F v( ) (*), với ( ) hoặc đồng biến,F x
( )
hoặc nghịch biến trên ; Lúc đó, (*) có nghiệm duy nhất a b u v=
Bước 1: Đưa phương trỡnh về dạng ( ) F u =F v (1)( )
Bước 2: Xột hàm số: y F t = ( )
Chỉ rừ hàm số đồng biến hay nghịch biến trờn ( )a b ;
Bước 3: Khi đú: ( ) F u =F v( )⇔ =u v
Nhận xột:
+ Định lớ về tớnh đơn điệu trờn đoạn:
“ Nếu hàm số y= f x( ) liờn tục trờn [ ]a b và cú đạo hàm ; f x/( ) >0 trờn khoảng ( )a b ;
thỡ hàm số y= f x( ) đồng biến trờn [ ]a b ”;
+ Đối với bất phương trỡnh, hệ phương trỡnh, tư duy vận dụng tớnh đơn điệu hoàn toàn
tương tự như trờn
II- BÀI TẬP MINH HỌA:
Loại 1: Vận dụng tớnh đơn điệu để giải phương trỡnh
Bài tập 1: Giải cỏc phương trỡnh sau:
a) 4x− +1 4x2− =1 1 b) 3 sin+ x− 2 sin− x =1
Trang 2Hướng dẫn giải:
a) 4x− +1 4x2− =1 1
Điều kiện: 4 2 1 0
− ≥
x x
1 2
⇔ ≥x
Nhận xét: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hàm số 2
y x x và 1
=
y .
Xét hàm số y= 4x− +1 4x2−1 Miền xác định: 1;
2
= +∞÷
x
Do hàm số liên tục trên 1;
2
+∞÷
nên hàm số đồng biến trên
1
; 2
+∞÷
Dễ thấy 1
2
=
x thỏa (1) Do đó hàm số có nghiệm duy nhất và đó là 1
2
=
x b) 3 sin+ x− 2 sin− x =1 TXĐ: D R=
Đặt t =sinx , điều kiện t ≤1
Khi đó phương trình có dạng : 3+ −t 2− =t 1⇔ 3+ = +t 1 2−t (2)
Dễ thấy:
+ Hàm số ( )f t = 3+t là hàm đồng biến trên D= −[ 1;1]
+ Hàm số ( ) 1g t = + 2−t là hàm nghịch biến trên D= −[ 1;1]
Từ (*) suy ra : ( )f t =g t nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất( )
Ta thấy t =1 là thỏa phương trình (2), do đó: sin 1 2
2
= ⇔ = +
c) x− = − −1 x3 4x+5 (3)
TXĐ: D= +∞[1; )
Xét hàm số ( )f x = x−1 có /( ) 1 0 1
−
x nên hàm số đồng biến trên (1;+∞)
Và hàm số g x( )= − −x3 4x+5 Đạo hàm : y/ = −3x2 − <4 0 ∀ ∈ ⇔x D hàm số nghịch biến trên D
Phương trình (3) có dạng ( )f x =g x Do đó phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm ( )
đó là duy nhất Ta thấyx=1 thoả mãn phương trình
Vậy phương trình có nghiệm x=1
d) x+ x2− + −x 1 x+ +1 x2+ + =x 1 1
Điều kiện:
2
2
1 0
x x x
x x x
2
2
1
⇔
+ + ≥ − −
x x x
x x x
Trang 3+ Với
2 2
0
1 0 1
0 1
− ≤
− + ≥ − ⇔ − ≥
x
x x
x x x
x
x x x
0 0
≥
⇔ ≤x x ⇔ ∀x
+ Với
2 2
1 0
1 0
1 0
− − ≤
x
x x
x x x
x
x x x x
1 1
≥ −
⇔ ≤ −x x ⇔ ∀x Vậy D R =
Biến đổi phương trình về dạng : x+ x2 − + = +x 1 1 (x+ +1) (x+1)2− + +(x 1) 1
⇔ x+ x2− + + = + +x 1 x (x 1) (x+ +1) (x+1)2− + +(x 1) 1 (4) Xét hàm số f t( )= t+ t2− +t 1 Miền xác định D R=
2
2 /
( )
f t
t t t t t t t t
Nhận xét :
2 t − + + − =t 1 2t 1 4t − + + − =4t 4 2t 1 (2t−1) + + − >3 2t 1 2t− + − ≥1 2t 1 0
/( ) 0
⇒ f x > ∀ ⇔x hàm số đồng biến trên D.
Khi đó: (*)⇔ f x( )= f x( + ⇔ = +1) x x 1 vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
2 3
1
5
− −
x x
2x− −2x −x = x−1
c) 8sin −5 − 4 sin −1 = 8sin1 5 − 4sin1 1
Hướng dẫn giải:
2
3
1
5
− −
x x
Điều kiện: x2−3x+ ≥2 0 ≤12
3 2 0
3x x− − = −1 1 u Khi đó : (1)
2
1 3
1
5
−
u
Xét hàm số:
2
1 3
1 ( ) log ( 2)
5
−
x
f x x Miền xác định: D=[0;+∞)
Trang 4Đạo hàm : /( ) 1 1.2 5 ln 3 02
( 2)ln 3 5
+
x
x ,∀ ∈x D
Suy ra hàm số đồng biến trên D
Mặc khác: (1) 2f = Do đó (2) có dạng : ( )f u = f(1) ⇔ =u 1: 3 5 3 5
b) 2x− 1−2x2 −x = −(x 1)2 TXĐ: D R=
Biến đổi phương trình về dạng : 1 2 2
2x− + − =x 1 2x −x +x −x (2)
Xét hàm số ( ) 2f t = +t t Miền xác định : D R=
Đạo hàm : f t/( ) ln 2.2= t + >1 0 ∀ ∈t D Suy ra hàm số đồng biến trên D.
( − =1) ( − )
f x f x x ⇔ − =x 1 x2− ⇔ =x x 1 Vậy x=1 là nghiệm của phương trình
c) 8sin −5 − 4sin −1 = 8sin1 5 − 4sin1 1
1 sin
4 5 sin
8
x x
Biến đổi phương trình về dạng: 8sin −5 − 8sin1 5 = 4 sin −1 − 4sin1 1
Xét hàm số f t( )= −e t 1
t Miền xác định: D=(0;+∞)
Đạo hàm : /
2
1 ( )= +t > ∀ ∈0
t Suy ra hàm số đồng biến trên D.
Từ (*) có dạng : f( 8sinx−5) (= f 4sinx− ⇔1) 8sinx− =5 4sinx−1
8sin 5 4sin 1 8sin 5 1 4sin
⇔ x x− = − x x
sin 1
1 sin
2
=
⇔
=
x x
2 2
5
= +
⇔
Loại 2: Vận dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình
Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau:
Hướng dẫn giải:
a) x+ +9 2x+ >4 5 (1) Điều kiện: 9 0 2
+ ≥
+ ≥
x
x x
Xét hàm số y= f x( )= x+ +9 2x+4 Miền xác định : D= − +∞[ 2; )
Trang 5Đạo hàm /( ) 1 1 0 2
x x Suy ra hàm số đồng biến trên D
Để ý rằng: (0) 5f = , do đó:
+ Nếu x>0 thì ( )f x > f(0)⇔ x+ +9 2x+ >4 5, nên x >0 là nghiệm bpt
+ Nếu 2− ≤ ≤x 0 thì ( )f x ≤ f(5)⇔ x+ +9 2x+ ≤4 5 nên 2− ≤ ≤x 0 không là nghiêm bpt
Đối chiếu với điều kiện, suy ra tập nghiệm của (1) là T =(0;+∞).
b) x2−2x+ −3 x2−6x+11> 3− −x x−1 (2)
Điều kiện:
2 2
1 0
− + ≥
− ≥
x x
x x
x x
x
(*)
⇔ (x−1)2+ +2 x− >1 (3−x)2+ +2 3−x (3)
Xét hàm số 2
( )= + +2
f t t t Ta thấy hàm số đồng biến trên [ ]1;3
Từ (3) ta có (f x− >1) f(3− ⇔ − > − ⇔ >x) x 1 3 x x 2
Đối chiếu với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình (2) là T =(2;3]
Loại 3: Vận dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình
Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau:
a)
3 4
1
2
2
c)
Hướng dẫn giải:
a)
3 4
1
x y (I) Điều kiện:
4
1
⇔
Từ phương trình : ( )2 3
Ta thấy hàm số ( )f x = x−1 là hàm đồng biến trên [1;+∞)
( )= − + −2 +2
g x x x x Miền xác định: D= +∞[1; )
Trang 6Từ (1) ta thấy x=1 là nghiệm của phương trình và đó là nghiệm duy nhất.
Vậy hệ có nghiệm ( )1;0
b)
2
2
y y x (II) Điều kiện:
0 0
≥
≥
x y
Ta có (II)
2
2
⇔
3+x +3 x+ =3 3+y +3 y+3 (2) Xét hàm số f t( )= 3+ +t2 3 t +3 Miền xác định: D= +∞[1; )
Đạo hàm: /( ) 2 3 1 0
2 3
+
t
t
Từ (*) ta có ( )f x = f y( )⇔ =x y
Lúc đó: 2
3+x + x =3 (3)
+ VT (3) là hàm số hàm đồng biến trên D
+ VP (3) là hàm hằng trên D
Ta thấy x=1 là nghiệm của phương trình (3) (thỏa điều kiện)
Suy ra phương trình có nghiệm x=1 là nghiệm duy nhất
Vậy hệ có nghiệm ( )1;1
c)
Xét hàm số f t( )= + − +t3 3t 3 ln(t2− +t 1)
Lúc đó hệ có dạng:
( ) ( ) ( )
=
f x y
f y z
f z x
Miền xác định: D R=
Đạo hàm : /( ) 3 2 3 22 1 0
−
− +
t
t t Suy ra hàm số đồng biến trên D
Ta giả sử (x y z là nghiệm của hệ và ; ; ) x=max , ,{x y z khi đó ta suy ra:}
y f x f y z z f y f z x Vậy x y z x≥ ≥ ≥ ⇔ = =x y z
Thay vào hệ ta có : x3+3x− +3 ln(x2− + =x 1) x ⇔ x3+2x− +3 ln(x2− + =x 1) 0 (3)
Ta thấy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình (vì VT (3) là đồng biến trên R)
Vậy hệ có nghiệm (1;1;1)
III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Trang 7Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a) 3− +x x2 − 2+ −x x2 =1 b) 3 2
e e
x x
e) 2m x2 + 6−24x+ 3m =(4−m x2) +3m−6 f) log tan 2
tanx+2.3 x =3
4 sin sin cos
sin
2 x −2 x x = x h) 32sinx− 3+(3sinx−10 3) sinx− 2+ −3 sinx=0
Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau:
a) x + x2− ≥1 1 b) x− +1 x2− ≥1 (x+1 3) ( −x)
c) x+ ≤ −1 1 2x x+ 2−x3 d) x +3 x− ≥ −3 9 x
Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau:
a) 22 2 2
12
c)
2
2
=
x y
x y
e)
sin 2 2 sin 2 2
π
+ =
>
x y y x
x y
x y
f)
2
3 2
3 2
3
2 6.log 6
2 6.log 6
2 6.log 6
g) tan tan
x y y x
sin sin
5 , 4
π π
−
< <
e
y
x y