SKKN Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7

Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung nhất cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cầ

PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ

Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo dục của Đảng và Nhà nước ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay

Trong tập hợp các môn nằm trong chương trình của giáo dục phổ thông nói chung, trường THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng, nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân

Đổi mới phương pháp dạy học được hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực cho người học, kích thích, thúc đẩy, hướng tư duy của người học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh hội Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh trong tự thân của người học từ đó phát triển, phát huy khả năng

tự học của họ Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những đối tượng người học nhạy cảm việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi mới là cần thiết và thiết thực Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả năng tư duy tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo

Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, giải quyết được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong cách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức Toán

PHẦN II - NỘI DUNG ĐỀ TÀI

I/ NHỮNG LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

============================================================

Trong khi tìm phương pháp giải toán hình học, ta gặp một số bài toán mà nếu không vẽ thêm đường phụ thì có thể bế tắc Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo

ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng hơn Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra lời giải Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp

Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung nhất cho việc

vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ ttieen Hơn nữa, việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản, nhiều khi người giáo viên đã tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ nhưng không thể giải thích rõ cho học sinh hiểu được vì sao lại phải vẽ như vậy, khi học sinh hỏi giáo viên: Tại sao cô (thầy) lại nghĩ ra được cách vẽ đường phụ như vậy, ngoài cách vẽ này còn

có cách nào khác không? hay: tại sao chỉ vẽ thêm như vậy mới giải được bài toán? … gặp phải tình huống như vậy, quả thật người giáo viên cũng phải rất vất vả để giải thích mà có khi hiệu quả cũng không cao, học sinh không nghĩ được cách làm khi gặp bài toán tương tự vì các em chưa biết các căn cứ cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Từ thực

tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta nên trang bị cho các em nhưng cơ sở của việc vẽ thêm đường phụ và một số phương pháp thường dùng khi vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết một bài toán hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em

có thể chủ động được cách giải, chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn

II/ NHỮNG CƠ SỞ CỦA VIỆC VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ.

I - CƠ SỞ LÝ LUẬN.

Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và một số bài toán dựng hình cơ bản Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ bản trong chương trình THCS:

Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c.

============================================================

Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An

Giải:

Cách dựng:

- Dựng tia Ax

- Dựng đường tròn(A; b) Gọi C là giao điểm của đường tròn ( A; b) với tia Ax

- dựng đường tròn (A; c) và đường tròn (C; a), gọi B là giao điểm của chúng Tam giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a

- Chú ý: Nếu hai đường tròn ( A; c) và ( C; a) không cắt nhau thì không dựng được tam giác ABC

Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trước.

Cách dựng:

- Gọi xOy là góc cho trước Dựng đường tròn (O; r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta được

OAB

- Dựng O’A’B’ = OAB ( c- c- c) như bài toán 1, ta được O ˆ  ' Oˆ

Bài toán 3: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trước.

Cách dựng:

- Dựng đường tròn ( A; r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C

- Dượng các đường tròn ( B; r) và ( C; r) chúng cắt nnhau ở D Tia phân giác phân giác của xAy

Thật vậy: ABD = ACD ( c- c- c)  A ˆ  1 Aˆ 2

============================================================

c b a

B

b

a c

y

x

O

A

x

O

A

A’

B’

x

y

z A

B

C

D r

r 1

2

Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.

Cách dựng:

- Dựng hai đường tròn ( A; AB ) và ( B; BA )chúng cắt nhau tại C, D Giao điểm của CD và AB là trung điểm của AB

*Chú ý: đây cũng là cách dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước.

Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a cho trước.

Cách dựng:

- Dựng đường tròn ( O; r) cắt a tại A, B

- Dựng đường trung trực của AB

============================================================

Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An

C

D

B A

O

D

B A

Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần nhắc lại cách dựng

Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đường

cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tuỳ tiện

I - CƠ SỞ THỰC TẾ

Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau

Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta thường làm theo các bước sau:

Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào?

Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau

Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) tương ứng bằng nhau

Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện được các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học 7 nói riêng Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ được một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực, khi hướng dẫn học sinh thực hiện giải toán rất hiệu quả

PHẦN III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VẼ YÊÚ TỐ PHỤ.

Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu một số cách đơn giản nhất, thông dụng nhất để

vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7:

CÁCH 1: VẼ TRUNG ĐIỂM CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG, VẼ TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC

Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh

AB Vẽ DH vuông góc với BC( H  BC) thì DH = 4cm

Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A

1) Phân tích bài toán:

============================================================

Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB Vẽ

DH vuông góc với BC( H  BC) và DH = 4cm

Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A

2) Hướng suy nghĩ:

ABC cân tại A  AB = AC Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của AB Vậy yếu

tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC

3) Chứng minh:

GT

ABC; AB = 10cm;

BC = 12 cm;

AB 2

1 DB

BC

DH = 4 cm

KL  ABC cân tại A

Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC = BC 6

2

1

 cm

Lại có: BD = AB

2

1

= 5 cm ( do D là trung điểm của AB) Xét  HBD có: BHD = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2

 BH2 = BD2 - DH2 = 52 – 42 = 9  BH = 3 ( cm)

Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = 3 cm)

 DH // AK ( đường nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3)

Ta có: DH  BC, DH // AK  AK  BC

Xét  ABK và ACK có:

 BK = KC ( theo cách lấy điểm K)

 AKB = AKC = 900

 AK là cạnh chung

  ABK = ACK (c – g – c)

 AB = AC   ABC cân tại A

4) Nhận xét:

============================================================

Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An

A

D

Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác , đường thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai thì song song với cạnh thử ba, kiến thức về đường trung bình này học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình toán 8 nhưng ở phạm

vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ

Bài toán 2: Cho tam giác ABC có B ˆ  Cˆ ; chứng minh rằng: AB = AC?( Giải bằng cách vận dụng trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác)

!) Phân tích bài toán:

Bài cho: tam giác ABC có B ˆ  Cˆ ; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC

2) Hướng suy nghĩ:

Đường phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của BAC (I BC)

3) Chứng minh:

GT ABC; B ˆ  Cˆ

Vẽ tia phân giác AI của BAC (I BC)

2

1

Aˆ

Aˆ1 2 (1) Mà B ˆ  Cˆ ( gt)

 Iˆ  1 Iˆ 2 (2)

Xét  ABI và  ACI ta có:

 Iˆ  1 Iˆ 2( theo (2))

 Cạnh AI chung

 A ˆ  1 Aˆ 2 ( theo (1))

  ABI =  ACI ( g – c – g)

 AB = AC (2 cạnh tương ứng)

4) Nhận xét:

Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm đoạn thẳng AI

là tia phân giác của góc BAC để tạo ra hai tam giác bằng nhau

============================================================

A

I

1 2

1 A

I

1 2

CÁCH 2: TRấN MỘT TIA CHO TRƯỚC, ĐẶT MỘT ĐOẠN THẲNG BẰNG ĐOẠN THẲNG CHO TRƯỚC.

Bài toỏn 3: Chứng minh định lớ: Trong tam giỏc vuụng, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toỏn 7 tập 2)

1) Phõn tớch bài toỏn:

Bài cho Tam giỏc ABC vuụng tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạng huyền,

yờu cầu chứng minh: BC 2 AM BC

2

1

2) Hướng suy nghĩ:

Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tỡm cỏch chứng minh BC bằng đoạn thẳng

đú Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thờm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD

3) Chứng minh:

0 90

AM là trung tuyến

2

1

AM  Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA

Xét  MAC và  MDB ta có:

 MA = MD ( theo cách lấy điểm D)

 M1 = M2 ( vì đối đỉnh)

 MB = MC ( Theo gt)

  MAC =  MDB ( c - g - c)

 AB = CD (2 cạnh tơng ứng) (1)

và Aˆ1  Dˆ (2 gúc tương ứng)

 AB // CD ( vỡ cú cặp gúc so le trong bằng nhau)

Lại cú: AC  AB ( gt)

 AC CD (Quan hệ giữa tớnh song song và vuụng gúc) hay Aˆ  Cˆ  90 0 (2)

Xột  ABC và  CDA cú:

 AB = CD ( Theo (1))

 Aˆ  Cˆ  90 0( Theo (2))

 AC là cạnh chung

  ABC =  CDA ( c – g – c)

============================================================

Giỏo viờn: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An

B

A

C M

D 1

1

2

 BC = AD (2 cạnh tương ứng) Mà AD

2

1

2

1

AM  4) Nhận xét:

Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh BC

2

1

AM  ta đã vẽ thêm đoạn thẳng

MD sao cho MD = MA, do đó AD

2

1

AM  Như vậy chỉ còn phải chứng minh AD =

BC Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác là một trong những cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp bằng nhau của tam giác Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm của BC So sánh BAM và MAC ?( Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2)

1) Phân tích bài toán:

Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC

Yêu cầu : So sánh BAM và MAC?

2) Hướng suy nghĩ:

Hai góc BAM và MAC không thuộc về một tam giác Do vậy ta tìm một tam giác có hai góc bằng hai góc BAM và MAC và liên quan đến AB, AC vì đã có AB < AC Từ

đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA Điểm D là yếu

tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này

3) Lời giải:

GT

ABC; AB < AC

M là trung điểm BC

KL So sánh BAM và MAC?

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA

Xét  MAB và  MDC ta có:

 MA = MD ( theo cách lấy điểm D)

 M1 = M2 ( vì đối đỉnh)

 MB = MC ( Theo gt)

  MAB =  MDC ( c - g - c)

============================================================

B

A

C

Đ

1

1 2

 AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1)

và Aˆ1  Dˆ (2 gúc tương ứng) (2)

Ta cú: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) CD < AC (3) Xột ACD cú:

CD < AC ( theo (3))

 Aˆ2 Dˆ (Quan hệ giữa gúc và cạnh đối diện trong một tam giỏc)

 Mà Aˆ1  Dˆ ( theo (2))

1

2 Aˆ

A ˆ  hay BAM < MAC.

4) Nhận xét:

Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong cùng một tam giác nên không vận dụng đợc định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác Ta đã chuyển góc A1 và A2 về cùng một tam giác bằng cách vẽ đờng phụ nh trong bài giải, lúc đó A1 = D, ta chỉ còn phải so sánh D và A2 ở trong cùng một tam giác ADC

CÁCH 3: NỐI HAI ĐIỂM Cể SẴN TRONG HèNH HOẶC VẼ THấM GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.

Bài toỏn 5: Cho hỡnh vẽ, biết AB // CD; AC // BD CMR: AB = CD, AC = BD? ( Bài 38/ 124 SGK Toỏn 7 tập 1)

( Bài toỏn cũn được phỏt biểu dưới dạng: Chứng minh định lớ: Hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thỡ bằng nhau)

1) Phõn tớch bài toỏn:

Bài cho hỡnh vẽ, biết AB // CD; AC // BD

Yờu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD

2) Hướng suy nghĩ:

để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra tam giỏc chứa cỏc cặp cạnh trờn, yếu

tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D

3) Chứng minh:

============================================================

Giỏo viờn: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An

B A

B A

GT AB // CD; AC // BD

KL AB = CD; AC = BD

Xét  ABD và  DCA có:

 BAD = CDA ( so le trong AB // CD)

 AD là cạnh chung

 ADB = DAC( so le trong AC // BD)

  ABD =  DCA ( g – c – g)

 AB = CD; AC = BD ( các cạnh tương ứng)

4) Nhận xét:

Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung là AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cầnm chứng minh  ABD =  DCA

Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau( cạnh chung) nên chỉ cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song

CÁCH 4: TỪ MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC, VẼ MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG HAY VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Bài toán 6: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau

Chứng minh rằng  ABC là tam giác vuông và  ABM là tam giác đều?

1) Phân tích bài toán:

Bài cho  ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau Yêu cầu ta chứng minh  ABC là tam giác vuông và  ABM là tam giác đều 2)Hướng suy nghĩ:

Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy suy ra AB  AC

và suy ra A = 900

============================================================

I

A

2 1