SKKN Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định hướng giải bài tập khác trong môn toán lớp 9

I ĐẶT VẤN ĐỀ Một trong nhưng mục tiêu và nhiệm vụ của các bộ môn văn hoá nói chung , môn toán học nói riêng là học sinh phải nắm được kiến thức cơ bản của bài học,sau đó là phải biết vậ

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Một trong nhưng mục tiêu và nhiệm vụ của các bộ môn văn hoá nói chung , môn toán học nói riêng là học sinh phải nắm được kiến thức cơ bản của bài học,sau đó là phải biết vận dụng triệt để những kiến thức đó vào những bài tập cụ thể hoặc những tình huống cụ thể Nếu học sinh chỉ nắm được kiến thức mà không biết vận dụng kiến thức đó thì mới đáp ứng được một phần rất nhỏ yêu cầu của giáo dục Học sinh phải biết phát triển , phải biết vận dụng những kiến thức đã có từ đó mới thấy được ý nghĩa sâu sắc của kiến thức và dần hình thành cho học sinh một phương pháp nghiên cứu khoa học , dần hình thành tư duy sáng tạo cho học sinh

Năm nay được nhà trường phân công dạy môn toán lớp 9 là lớp cuối cấp của bậc THCS , là một mắt xích rất quan trọng trong quá trình học tập của các em Nó đánh giá kết quả học tập của các em thông qua kì thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông Vì vậy để dạy cho học sinh phải có một vốn kiến thức sâu rộng chắc chắn thì mới đảm bảo được các yêu cầu của bậc học

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy trong sách giáo khoa toán 9 tập 2 có hai bài tập (bài 23 - trang 76 ,bài 34 - trang 80 ) có rất nhiều ứng dụng trong việc phân tích tìm lời giải bài tập hình học dạng chứng minh đẳng thức a.b = c.d , a2 = c.d Chính vì vậy tôi chọn viết sáng kiến kinh nghiệm này với mục mục đích để giúp các em học sinh và các bạn đồng nghiệp có thêm một kinh nghiệm giải toán hinh học

II CƠ SỞ KHOA KHỌC 1.Cơ sở lí luận

Quy luật của quá trình nhận thức là từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng ,song quá trình nhận thức đó đạt hiệu quả cao hay không có bền vững hay không còn phụ thuộc vào tính tích cực, chủ động ,sáng tạo của chủ thể

Ở lứa tuổi HS –THCS các em đang có xu hướng vươn lên làm người lớn , muốn tự mình tìm hiểu , khám phá trong quá trìmh nhận thức , muốn có một hình thức học tập mang tính người lớn Nhưng ở lứa tuổi này các em chưa biết thể hiện nguyện vọng của mình , chưa nắm được các phương pháp thực hiện các hình thức học tập mới Vì vậy cần phải có sự hướng dẫn , điều hành một cách khóa học của người thầy

2.Cơ sở thực tiễn

Nhìn chung hiện nay học sinh của chúng ta còn lười học,lười tư duy trong quá trình học Học sinh còn chưa nắm được phương pháp học tập , chưa có được nhưng hoạt động đích thực của bản thân để chủ động nắm kiến thức Hơn thế nữa hình học là một môn học trừu tượng khó hiểu ,đa phần các em đều sợ học môn hình ,có rất ít học sinh yêu thích môn hình Đều do các em chưa biết cách học môn hình, chưa biết vân dụng các bài đã làm vào làm các bài khác.Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy trong SGK toán 9 tập 2 có hai bài tập (bài 23 –trang 76,bài 34 trang 80) có rất nhiều ứng dụng trong việc phân tích tìm lời giải bài toán khác.Chính vì vậy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp học sinh có thêm một công cụ giải toán ,dần hình thành cho học sinh phương pháp học tâp môn hình,cung như tạo hứng thú học tập cho học sinh

III GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Bài 23: (SGK toan 9 –trang 76 tập 2)

Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn Qua điểm M kẻ hai đường thẳng Đường thẳng thứ nhất cắt đường tròn (O) tại A và B Đường thẳng thứ hai cắt đường tròn (O) tai C và D.Chứng minh MA.MB = MC.MD

Giải

Ta xét hai trường hợp

*)Trường hợp 1: Điểm M nằm ngoài đường tròn (O)

Xét AMDvà CMB

Có góc M chung

ADM = CBM (vì cùng bằng nửa số đo cung AC)

=> AMD CMB (g-g)

=> MC MA MD MB => MA.MB = MC MD

* Trường hợp 2: Điểm M nằm bên trong đường tron (O)

Xét MADvà MCB

Có AMD = CMB (đối đỉnh )

ADM = CBM (vì cùng bằng nửa số đo cung AC )

=> MAD MCB (g-g)

=> MC MA MD MB => MA.MB = MC MD

Như vậy với mọi vị trí của điêm M không nằm trên đường tròn (O) thì

ta có MA.MB =MC.MD

Bài 34: (SGK toán 9 - trang 80 tập 2)

C

O

B

A

C

B O

M

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB Chứng minh MT2 = MA.MB

Giải

Xét MATvà MTB

Có góc M chung

MAT = MBT ( vì cùng bằng nửa số đo cung AT )

=> MAT MBT ( g-g)

=>MT MA MB MT => MA.MB = MT 2

Như vậy MT 2 = MA.MB

*Kết hợp hai bài toán trên ta có kết quả sau:

Từ một điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O)

kẻ tiếp tuyến MT và hai cát tuyên MAB và MCD

ta có MT 2 = MA.MB = MC.MD

Ta coi kết quả trên là bài toán (*)

Chú ý: Tứ giác ABCD nội tiếp mà có

tia BA ,tia CD cắt nhau tại

điểm M như hình vẽ thì ta có

MA.MB = MD.MC

Bây giờ ta sẽ sử dụng bài (*) để làm một số bài tập hình học dạng chứng minh đẳng thức a.b = c.d hoặc a2 = c.d trong đó a,b,c,d là các độ dài hình hoc

Bài 1: ( Đề thi chon đội tuyển thi HSG thành phố -Vĩnh Bảo năm học

2007-2008 và thi lí thuyết gáo viên giỏi Vĩnh Bảo 2008-2009)

M

T

O

M

D T

B A

M

C

B

D A

Cho đường tròn tiếp xúc với hai cạnh OX,OY của XOY lần lượt tại A

và B Từ A kẻ tia song song với OB cắt đường tròn tại C.Tia OC cắt đường tròn tại E.Tia AE cắt OB tại K chứng minh OK = KB

*Phân tích tìm lời giải:

Theo bài toán (*) ta dễ nhận thấy KB 2 = KE.KA

=> Muốn chứng minh OK =KB ta

chứng minh OK 2 = KE.KA.Việc

làm này không khó ta chỉ việc chứng minh

OKE AKO

* Từ việc phân tích trên ta có lời giải sau

Giải

Xét KBE và KAB

Có góc K chung

KBE = KAB (Vì cùng bằng nửa số đo cung BE)

=> KBE KAB (g-g)

KB

KE

KA

KB

.

2 



Xét OKEvà AKO

Có OKE = AKO (2)

ACO = EOK (So le trong )

OAK = ACO (Vì cùng bằng nửa số đo cung AE)

=> OAK = EOK (3)

Từ (2) và (3) => OKE AKO (g-g)

OK

KE

KA

OK

.

2 



Từ (1) và (4) => OK 2 KB2 => OK = KB

O

K

B

E

C A

y x

Vậy OK = KB

Bài 2:

Cho đường tròn (O) và dây AB Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ,cắt dây AB tại D.Tia CP cắt đường tròn (O) tại I Các dây AB và QI cắt nhau tại K Chứng minh CA.CB = CK.CD

*Phân tích tìm lời giải:

Theo bài toán (*) ta có CA.CB = CI.CP

Như vậy ta chỉ việc chứng minh CI.CP = CK.CD

Mà tứ giác DKIP nội tiếp nên thêo bài toán (*)

ta có CI.CP = CK.CD

=> CA.CB = CK.CD

Giải

Xét CBP và CIA

Có góc C chung

CAI = CPB (vì cùng bằng nửa số đo cung IB)

=> CBP CIA (g-g)

=> CB CA CI CP

CA

CP

CI

CB

.



Xét CIKvà CDP

Có góc C chung

Có CDP = CIK (Vì cùng bằng 90o)

=> CIK CDP (g-g)

CP

CK

CD

CI

.



Từ (1) và (2) ta có CB.CA = CK.CD

Vậy CA.CB = CK.CD

P

A

Q

C

I

O

Bài 3: (Bài 246 -nâng cao phát triển toan 9 - tâp 2 - trang 97)

Cho tam giác ABC có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H

Chứng minh

a) BH.BE + CH.CF = BC 2

b) AH.AD + BH.BE + CH.CF =

2

2 2

2 AC BC

* Phân tích tìm lời giải:

a)Tứ giác CDHE nội tiếp nên theo bài toán (*)

ta có BH.BE =BD.BC

Tứ giác BDHF nội tiếp nên thêo bài toán (*)

ta có CH.CF =CD.BC

=> BH.BE + CH.CF = BD.BC + CD.BC

= BC (BD + CD ) = BC.BC = BC 2

* Từ phân tích trên ta có lời giả sau :

Giải

a) Xét BHD và BCE

Có góc B chung

BDH = BEC (Vì cùng bằng 90o)

=> BHD BCE (g-g)

BE

BD

BC

BH

.



Xét CDH và CFB

Có góc C chung

CDH = CFB (vì cùng bằng 90o)

=> CDH CFB (g-g)

A F

E H

=> CD CB CH CF

CB

CH

CF

CD

.



Từ (1) và (2) ta có BH.BE + CH.CF = BD.BC + CD.BC

=> BH.BE + CH.CF = BC (BD + CD)

=> BH.BE + CH.CF = BC.BC

=> BH.BE + CH.CF = BC2

b) Chứng minh tương tự câu (a) ta có

BH.BE + CH.CF = BC2

AH.AD + BH.BE = AB2

CH.CF + AH.AD = AC2

=> BH.BE+CH.CF+AH.AD+BH.BE+CH.CF+AH.AD = AB2+AC2+BC2

=> 2AH.AD + 2BH.BE + 2CH.CF = AB2 + AC2 + BC2

=> AH.AD + BH.BE + CH.CF =

2

2 2

2 AC BC

Bài 4:( Đề thi HSG thành phố Hải Phòng năm

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại E, đường thẳng DC cắt đường thẳng AB tại F Chưng minh EA.ED + FA.FB = EF2

* Phân tích tìm lời giải:

Trên EF lấy điểm H sao cho tứ giác ABHE

nội tiếp

EHB = BAD (Vì cùng bù với EAB)

BAD = BCF (Vì cùng bù với BCD)

=> EHB = BCF

Có EHB + BHF = 180o

=> BHF + BCF = 180o

O E

F

H

C

B D

A

=> Tứ giác BCFH nội tiếp => EB.EC = EH.EF

Có tứ giác ABCD nội tiếp => EA.EB = EB.EC

Có tứ giác AEHB nội tiếp => FA.FB = FH EF

=> EA.ED + FA.FB = EH.EF + FH.EF

=> EA.ED + FA.FB = EF (EH + FH )

=> EA.ED + FA.FB = EF.EF

=> EA.ED + FA.FB =EF2

* Bạn đọc tự trình bày lời giải

Bài 5:

Cho tam giác ABC có đường cao AH M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC Chưng minh ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác HBM , HCN ,AMN đồng qui tại điểm K và đường thẳng HK đi qua trung điểm của

MN

Giải

* Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác BHM cắt nhau tại điểm K

Có tứ giác AMKN nội tiếp =>ANK+AMK = 180o

Có BMK + AMK = 180o

=>ANK = BMK (1)

Có tứ giác BMKH nội tiếp

=> BMK + BHK = 180o

Có CHK + BHK = 180o

=> BMK = CHK (2)

Từ (1) và (2) ta có CHK = ANK

Có ANK + CNK = 180o

I

A

M

N

K

O 1

O 2

=> CNK + CHK = 180o

=> Tứ giác CNKH nội tiếp => Điểm K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác HCN Hay ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác AMN , HBM,HCN đồng quy tại một điểm K

* Giả sử đường thẳng HK cắt MN tại I , O1 vàO2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHM và CHN

Tam giác AHB vuông tại H , M là trung điểm của AB => MH = MB = MA

=>Tam giác BHM cân tại M => O1 thuộc đường trung trực của BH

=> MO1  BH

Tương tự NO2 CH

Có MN là đường trung bình của tam giác ABC => MN// BC

=> MN vuông góc với O1M, O2N lần lượt tại M và N

=>MN là tiếp tuyến chung hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác BHM và CHN

=> Theo bài toan (*) ta có IM2 =IK.IH , IN2 = IK.IH

=> IM2 = IN2 => IM = IN => I là trung điểm của MN

=> Đường thẳng HK đi qua trung điểm của MN

Bài 6: (Trích đề thi HSG TP Hồ Chí Minh năm 2003 )

Cho đường tròn (O;R) và hai đường kính AB và CD Tiếp tuyến tại A của đường (O) cắt hai đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng E và

F.Chứng minh CE.DF.EF = CD3 và

DF

CE BF

BE



3 3

Giải

Xét tứ giác ACBD

Có CBD = ACB = CAD = 90o(vì đều

là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) O

B

D C

=> Tứ giác ACBD là hình chữ nhật

=> CD =AB

Có tam giác EBD vuông tại A

=> AB2 = EA.FA => AB4 = EA2.FA2

Theo bài toán (*) ta có EA2 =EC.EB , FA2 =FD.FB

=>AB4 =EC.FD.EB.FB mà EB.FB = EF.AB

=> AB4 =EC.FD.EF.AB

=> AB3 = EC.FD.EF

=> CD3 = CE.DF.EF (do AB = EF )

Có

CF

CE BF

BE BF

DF

BE CE AF

AE BF

BE AF

AE EF FA

EF EA

BF

BE













3 2

2 4

4 2

2

.

.

.

Bây giơ ta xét xem bài toan (*) có bài toán đảo không

Bài toán thứ nhất:

Cho góc XOY trên tia OX lấy hai điểm A và B,trên tia OY lấy hai điểm

C và D sao cho điểm A nằm giữa O và B,điểm D nằm giữa O và C và OA.OB = OD.OC Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp

Giải

Xét OAD và OCD

Có OC OA OD OB ( Do OA.OB = OD.OC )

Góc O chung

=> OAC ODB (c- g - c )

=> OAD = DCB

Có OAD + BAD = 180 o ( vì là hai góc kề bù )

=> BAD + DCB = 180 o

O

x B A

Xột tứ giỏc ABCD cú BAD + DCB = 180 o

=> Tứ giỏc ABCD nội tiếp

Bài toỏn thứ 2:

Cho tam giỏc BCT Trờn tia CB lấy điểm A sao cho AT2 = AB.AC Chứng minh AT là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BCT Giải

Xột ATB và ACT

Cú gúc A chung

AT

AB

AC

AT

 (Do AT2 = AB.AC )

=> ATB và ACT (c-g-c)

=>ATB = ACT hay ATB = BCT

Từ O kẻ OH vuụng gúc với BT (H  BT )

Cú OT = OB => Tam giỏc OBT cõn tại O

=> Đường cao OH đồng thời là tia phõn giỏc của gúc BOT

=> HOT =12 BOT mà BCT =12 BOT => BCT = HOT

=> ATB = HOT

Có tam giác OHT vuông tại H

=> HOT + HTO = 90o

=> ATB + HTO = 90o

=> ATO = 90o

=> AT vuông góc với OT tại T

=> AT là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại T

* Nh vậy bài toán (*) có bài toán đảo

Chú ý: Bài toán (*) chính là một phần bài toán phơng tích mà học sinh đợc

học ở lớp 10.Nội dung bài toán nh sau:

T

O

H

Từ một điểm M không nằm trên đờng tròn (O;R) kẻ cát tuyến MAB với

đờng tròn.Tích MA.MB đợc gọi là phơng tích của điểm M với đờng tròn (O;R) và đợc kí hiệu kà PM/(o)= MA.MB = d2 - R2 ( trong đó d = OM ) Chứng minh

Trờng hợp 1: Điểm M nằm bên ngoài đờng tròn (O)

Từ M kẻ tiếp tuyên MT với đờng tròn (O)

Ta có MA.MB = MT2

Tam giác MTO vuông tại T nên theo định lí PITAGO

Ta có MT2 = MO2- OT2 = d2 - R2

=> MA.MB = d2 - R2

Trờng hợp 2: Điểm M nằm bên trong đờng tròn (O)

Kẻ đơng kính CD đi qua điểm M

Ta có MA.MB = MC.MD

Mà MC.MD = (OC – OM).(OD + OM)

=> MC.MD = (R - d)(R + d) = R2 - d2

=> MA.MB = R2 - d2

Nh vậy PM/(O)=MA.MB = d2-R2

B

M

O T A

B A

D

O M C

IV KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM

Từ năm học 2005 đến nay tôi được phân công giảng dạy môn toán lớp

9 và tôi đã áp dụng nội dung sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy Bước đầu tôi đã gây được hứng thú học tập cho học sinh ,học sinh đã có khả năng làm nhanh các bài tập cơ bản , đặc biệt học sinh khá giỏi đã vận dụng kha tôt nội dung sáng kiến kinh nghiệm này vào gải bài tập Cuối cùng với khả năng bình thường của một giáo viên tôi mạnh dạn viết nên sáng kiến kinh nghiệm của mình mong các bạn đồng nghiệp hưởng ứng và góp ý kiến cho tôi để công tác giảng dạy của tôi ngày càng tiến bộ

Cao Minh ngày 2 tháng 2 năm 2009

Người viết

Phạm Vãn Hưng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

STT Tài liệu Tác giả

1 Nâng cao và phát triển toán 9 tập 2 Vũ Hữu Bình

2 Bộ đề thi học sinh giỏi thành phố Hải Phòng

Nguyễn Văn Đồng

MỤC LỤC

II

Cơ sở khoa học

1.Cơ sở lí luận

2.Cơ sở thực tiễn

2

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

BẢN CAM KẾT

I Tác giả:

Họ và tên : Phạm Văn Hưng

Ngày, tháng, năm sinh : 17/ 8/1980

Đơn vị : Trường THCS Cao Minh

Điện thoại : Di động: 01698047019

II Sản phẩm :

Tên sản phẩm : Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định hướng giải bài tâp khác

III Cam kết:

Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là sản phẩm của cá nhân tôi nếu có xảy ra tranh chấp về quyền sở hữu đối với một phần hay toàn bộ sản phẩm sáng kiến kinh nghiệm, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước lãnh đạo đơn vị, lãnh đạo Sở GD – ĐT về tính trung thực của bản cam kết này

Cao Minh, ngày 15 tháng 1 năm 2009

Người cam kết

( Ký, ghi rõ họ tên)

Phạm Văn Hưng