Mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60o.. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a... Học sinh có thể giải bài toán theo các cách khác nhau nếu
Trang 1Trường THPT Chuyên Hạ Long ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III NĂM HOC 2012-2013 - MÔN: TOÁN- KHỐI A-A1
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm)
Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số 2 1
1
x y x
+
=
− + (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2) Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I (0;1) Tìm trên (C) những điểm M có hoành độ lớn hơn 1 và khoảng cách từ M đến (d) là nhỏ nhất
Câu II ( 2,0 điểm) 1 Giải phương trình: (cotx-1)(1 2cos4x)=2sin(2x-3 )
2
π
−
2 Giải hệ phương trình
2
x y R
∈
− − − + − =
Câu III ( 1,0 điểm) Tính tích phân
2 2 3 2 3
ln 1
x
=
+
∫
Câu IV ( 1,0 điểm) Cho hình chóp SABC có cạnh SA vuông góc với đáy và AB=a, AC=2a BAC=1200 Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60o Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng
SB và AC theo a
Câu V (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a,b,c thoả mãn ab + bc + ca = 2013abc
Chứng minh rằng: 1 2 1 2 1 2 2013
(2013 1) (2013 1) (2013 1) 4
PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong 2 phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A là 3x-y+5=0, trực tâm H(-2;-1); M(1; 4
2 ) là trung điểm cạnh AB, BC = 10 Tìm toạ độ A, B, C với x B <x c
2 Trong Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 3 1 3
2
:
−
và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 7 = 0
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng (d ) tiếp xúc với (1 d ) và mặt phẳng (P) 2
Câu VII.a ( 1,0 điểm) Tính môđun của số phức z biết z3+12i=zvà z có phần thực dương
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b ( 2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn C1: (x-1)2+(y+2)2 =5 và C2: (x+1)2+(y+3)2=9 Viết phương trình
đường thẳng (∆) tiếp xúc C1 và cắt C2 tại hai điểm A, B thỏa mãn AB=4
2.Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1: 2
2
4
= −
= +
, t là tham số thực và
mặt phẳng (P): x-y+z -6=0 Lập phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song (P) và (d) cắt d1, d2 lần lượt tại M và N sao cho MN= 3 6
Trang 2Câu VII.b ( 1 điểm) Cho số phức z thoả mãn 6 7
1 3 3
z
i
+
+ Tìm phần thực của
2013
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 1
1
x y x
+
=
− + + TXĐ: D=R\{1}
+ Sự biến thiên
- Giới hạn và tiệm cận
→ = +∞ → = −∞⇒ = là đường tiệm cận đứng
→−∞ = →+∞ = − ⇒ = − là đường tiệm cận ngang
0.25
2
3
(1 )
x
= > ∀ ∈
− Hàm số (1) đồng biến trên (−∞;1)và(1;+∞) Hàm số đã cho không có cực trị
0.25
Bảng biến thiên
x -∞ 1 +∞ y' + +
y +∞
-2
-2
- ∞
0.25
I.1
1.0
Đồ thị: Điểm đặt biệt x = 0
→y = 1; y = 0 →x = 1
2
−
Vẽ đồ thị
Nhận xét: Đồ thị nhận giao
điểm I (1;-2) của tiệm cận
làm tâm đối xứng
0.25
Trang 33 1 3 1 0
Gọi ( ;2 1) ( ); ( 1)
1
m
2
2 2
2 1
3 1
10.( 1)
1 3
m m
m m
h
m
+
− +
−
10 m m 1
−
0.25
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
6 10 , 5
h
0.25
h đạt GTNN bằng 6 10
5 khi
1 1 1
1
m
m
m
>
− =
2
1 ( 1) 1
m
m
>
⇔
− =
⇔ =m 2⇒M(2; 5)−
0.25
Điều kiện: sinx ≠0 ⇔ ≠x kπ(k∈ℤ)
(1) ⇔( osx-sinx)(1- 2cos4x)=2cos2xsinxc
0.25
( osx-sinx)(1- 2cos4x)=2(cos x-sin x)sinxc
⇔
2
( osx-sinx)(1- 2cos4x-2sinxcosx-2sin x)=0c
⇔
( osx-sinx)(cos2x-sin2x- 2cos4x)=0c
⇔
0.25
cosx-sinx=0 (2)
cos2x-sin2x- 2cos4x=0 (3)
⇔
x−π = ⇔ − =x π kπ ⇔ = +x π kπ k∈ℤ
(3) 2cos(2x+ ) 2cos4x=0 cos(2x+ ) os4x
8 4
k
π
0.25
II.1
1.0
So với điều kiện, ta thấy phương trình đã cho có 3 họ nghiệm là: 0.25
Trang 4; ; ( )
k
x= +π kπ x= +π kπ x= −π + π k∈
ℤ
1
x y
− ≤ ≤
≥
(1) ⇔2 x+3y+ =2 x+ +2 3 y
4(x 3y 2) x 2 9y 6 (x 2)y
2
( 2) 2 ( 2) 0 ( 2 ) 0
0.25
Thế (3) vào phuong trinh thu 2 cua he, ta có: 2
x+ − − + −x x = (4) điều kiện
[ 1; 4]
1 2 1 4
1 2 1 4
0.25
3 (5)
1 2 1 4
x
= ⇒ =
⇔
Ta có
2
1 2
2
x
x
0.25
II.2
1.0
Mặt khác: x+ ≥ ∀ ∈3 2, x [-1;4]suy ra phương trình (5) vô nghiệm
So điều kiện, ta có nghiệm của hệ phương trình là (3;5)
0.25
2 2 2 2
2 3
1 ln
x
=
+
2 2 2
2
1 1
1
dt x
= + ⇒
=
0.25
Đổi cận:
x 3 2 2
t 2 3
Suy ra
3
2
1 ( 1) ln( 1) 2
0.25
III
1.0
Đặt
3 2
1
2 ( 1)
tdt du
t
0.25
Trang 52
1
( ) ln( 1) ( )
t
−
∫
2
9 ln 2 ln 3 ( 2 ) 9 ln 2 ln 3 ( 2 )
3 3 t t 1 dt 3 3 t t 1 t 1 dt
3
3 2
9 ln 2 ln 3 ( 2 ln )
t t
−
+
9 ln 2 ln 3 ( ln 2 ln 3) ln 2
0.25
Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Trong tam giác ABC, kẻ đường cao AH,
Ta có:
⊥
( )
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
60
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta
2 os120 4 2 .2 ( ) 7 7
2
0.25
Diện tích tam giác ABC là
2 0
.sin120 2
ABC
a
Mặt khác
2 ABC
2S
ABC
a
∆
Tam giác SAH vuông tại A, ta có: SA = AH.tan600= 21 3 3 7
Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là
.
0.25
IV
1.0
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC
Trong mặt phẳng (ABC) ta dựng hình bình hành ABDC, ta có AC//(SBD) nên
d(AC,SB) = d(AC,(SBD))=d(A,(SBD))
Trong mặt phẳng (ABC) ta kẻ AK ⊥BD (K∈BD), ta có BD AK BD (SAK)
⊥
⊥
Mà BD nằm trên (SBD) nên (SBD) ⊥(SAK) theo giao tuyến SK
Trong tam giác SAK, kẻ đường cao AI suy ra AI⊥(SBD) ⇒d A SBD( , ( ))= AI
0.25
I
2a
a
H
C
D K
A
B
S
Trang 6Ta có 2
S▱ = S∆ =a Mặt khác
2
ABCD ABCD
a AI
0.25
Từ giả thiết suy ra: 1 1 1 2013
a+ + =b c Đặt x 1;y 1;z 1
= = = và x+ + =y z 2013; x,y,z >0 0.25
Ta có:
2
1 2013
( 1)
Tương tự
;
Do đó ta có:
P
0.25
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
3
3
x
Tương tự:
3 2
3
z x
3 2
3
z
x y
0.25
V
1.0
Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế, ta có:
P+ x+ + ≥y z x+ + ⇔ ≥y z P x+ + =y z (đpcm)
x= = =y z ⇔ = = =a b c
0.25
VI.a
1
1.0
Gọi N là trung điểm của AC thì MN là đường trung
bình của tam giác ABC
MN//BC ⇒MN ⊥AH ⇒MN x: +3y+ =m 0
Do A∈AH →A a( ;3a+ →5) B(1−a;3 3 )− a
0.25
Do (25 3 ; ) (12 3 ; 4)
2
N∈MN⇒N − n n ⇒MN= − n n−
Ta có MN =
1
2
9 ( 1; )
(12 3 ) ( 4)
7
(2; ) 2
N
N
0.25
H
C B
A
Trang 7Với 1( 1; )9
2
N − , ta có C( 2− −a; 4 3 )− a ⇒x C <x B(loại)
Với 2(2; )7
2
N , ta có C(4−a; 2 3 )− a ⇒x C >x B(thoả mãn
Ta có AB= −(1 2 ; 2 6 );a − − a CH= −(a 6;3a−3)
0.25
AB⊥CH ⇔ AB CH = a − a=
0 (0;5); (1;3); (4; 2)
5 5 35 1 3 11 7 ( ; ); ( ; ); ( ; )
= ⇒
⇔
Vậy toạ độ các đỉnh của tam giác ABC là:
A(0;5); B(1;3), C(4;2) hoặc ( ;5 35); ( 1; 3); (11; 7)
0.25
Gọi I là tâm mặt cầu (S), (d1) có véc tơ chỉ phương u1 =(2;1;1)và I∈d1nên
(2 3; 1; 3)
0.25
Ta có khoảng cách từ I đến (P) là d =
| (2 3) 2( 1) 2( 3) 7 |
2 | |
1 2 2
t
+ + (d2) qua M(1;-1;3) và có VTCP là u2 =(2; 2;1),− IM= −(4 2 ; 2t − −t; 6−t)
0.25
2
[IM,n ]=(10-3t ;8; 6t-4)
; d(I,d2)=
2
2
[IM, ] (10 3 ) 64 (6 4) 45 108 180
3
2 ( 2) 1
u
+ − +
0.25
VI.a
2
1.0
45t 108t 180 36t
12 20 0
10
t
t
=
=
Từ đó suy ra mặt cầu (S) có 2 phương trình là:
(x−1) + −(y 3) + +(z 1) =16 va (x−17) + −(y 11) + −(z 7) =400
0.25
Giả sử : z= +x yi ( ,x y∈R), theo giả thiết x >0 0.25
z + i= ⇔ +z x yi + i= − ⇔x yi x − xy + x y− +y i= −x yi
3 (1)
⇔
− + = −
0.25
Do x > 0 nên từ (1) suy ra 2 2
3 1
x = y + thế vào (2) ta được:
3(3y +1)y− +y 12= − ⇔y 2y + + =y 3 0(3)
0.25
VIIa
1.0
Giải phương trình (3) ta được y = -1 2
4
x
⇒ = Do x > 0 nên x = 2 Vậy z= −2 i⇒ z = 5
0.25
Ta thấy (C1) có tâm I1(1;-2) và bán kính R1= 5; (C2) có tâm I2(-1;-3) và bán kính R2=3
0.25 VI.b
1
1.0 Ta có d(I1;(∆))= 5 (1).Gọi h = d(I2; ∆), ta có: AB=2 2 2
R −h ⇔ =h 0.25
Trang 8Từ (1) và (2) suy ra (∆) song song với I1I2 hoặc (∆) đi qua trung điểm M(0; 5)
2
− của I1I2
Dễ thấy M nằm trong (C1) nên không xảy ra khả năng (∆) đi qua M, do đó (∆) song song với I1I2, suy ra phương trình của (∆) có dạng : x-2y+m=0, khi đó:
d(I1; ∆) = 5 | 5 | 5 0
10 5
m m
m
=
+
= −
0.25
Với m=0 ; (∆) có phương trình : x-2y=0
Do M thuộc d1 nên suy ra M(1+2m; -2+m; 2-2m)
N thuộc d2 suy ra N(2-n; 3+n; 4+n); Suy ra MN= − −( n 2m+1;n m− +5; 2m+ +n 2)
Mặt phẳng (P) có VTPT là n= −(1; 1;1)
0.25
MN song song với (P) suy ra
2
3 2 2 2
2
m
m
= −
=
0.25
Vib
2
1.0
+) Với m =-1 ; M(-1;-3;4) ( loại do M thuộc (P))
+) Với m= 2 ; M(5; 0; -2) , (3; 3; 6) ( ) : 5 2
Lưu ý: Không loại một đáp số trừ 0.25
0.25
Gọi z = a + bi (a, b∈R)→ = −z a bi thay vào (1), ta được:
6 7 ( )(1 3 ) 6 7
i
+
0.25
(27a 9 ) (33b b 9 )a i 60 70i
5
3
a
b
=
+ =
+ =
0.25
(1 ) 2( os isin )
VIIb
1.0
[ 2( os isin )] ( 2) ( os isin )
3 − 2 − 2 i ⇒phần thực của 2013
2 ( ) 3
−
0.25
Yêu cầu : Học sinh trình bày chi tiết lời giải và các bước tính toán
Lời giải phải đảm bảo tính chặt chẽ, đặc biệt là điều kiện cần và đủ, các bước đánh giá
Học sinh có thể giải bài toán theo các cách khác nhau nếu đúng tổ chấm thảo luận thống nhất cho
điểm tối đa
