PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN một số phương pháp giải phương trình bậc bốn Tài liệu được cung cấp bởi Tổ chức Giáo dục và Đào tạo Quốc dân TEN Training Education of Nation Tác giả: Ngan Ltt T3N Trần Thị Thu Ngân

~ 1 ~

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

Biên soạn: Trần Thị Thu Ngân – SĐT: 01667872256 Cựu học sinh trường THCS Lý Tự Trọng – TP Lào Cai Cựu học sinh trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm

I PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng 4 2  

ax bx  c a

Phương pháp giải: Đặt 2

x  y , điều kiện y0 ta đưa được phương trình bậc hai ay2by c 0 Giải phương trình này tìm giá trị của y rồi từ đó tìm được nghiệm x của phương trình đã cho

Ví dụ Giải phương trình 4 2

13 36 0

x  x  

Giải

Đặt 2

x  y, điều kiện y0 Ta được phương trình bậc hai đối với ẩn y như sau: 2

y  y  Giải phương trình trên:  2

13 4.1.36 169 144 25 0

1

13 5

4

2

y   

(nhận, thỏa mãn điều kiện) và 2 13 5 4

2

y   

(nhận, thỏa mãn điều kiện)

 Với y y14, ta có 2

4

x  Suy ra x 2

 Với y y2 9, ta có 2

9

x  Suy ra x 3 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S    3; 2;2;3

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN CÓ HỆ SỐ ĐỐI XỨNG

Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng là phương trình có dạng 4 3 2  

ax bx cx bx a  a

Phương pháp giải: Phương trình đã cho không nhận x0 là nghiệm nên chia cả hai vế cho x ta được: 2

 

2 2

0 *

~ 2 ~

Đặt ẩn phụ y x 1

x

  suy ra y2 x2 12 2 x2 12 y2 2

       , thế vào phương trình  * ta được phương trình mới 2

ay by c  a Giải phương trình này tìm giá trị của y rồi từ đó tìm được nghiệm x của phương trình đã cho

Ví dụ Giải phương trình 4 3 2

10x 27x 110x 27x100

Giải

Phương trình đã cho không nhận x0 là nghiệm nên chia cả hai vế cho 2

x ta được:

 

2 2

Đặt ẩn phụ y x 1

x

  suy ra y2 x2 12 2 x2 12 y2 2

       , thế vào phương trình  * ta được phương trình mới 2

10y 27y1300 Giải phương trình này ta có nghiệm 1 5

2

y   và 2 26

5

y 

2

y y   , ta có 2

1

2

2

x

x

x

  





 



5

y y  , ta có 2

1

1 26

5

5

x

x

x

 









Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 2; 1 1; ;5

2 5

III PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN CÓ HỆ SỐ ĐỐI XỨNG LỆCH

Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng lệch là phương trình có dạng 4 3 2  

ax bx cx bx a  a

Phương pháp giải: Phương trình đã cho không nhận x0 là nghiệm nên chia cả hai vế cho x ta được: 2

 

2 2

0 *

Đặt ẩn phụ y x 1

x

  suy ra y2 x2 12 2 x2 12 y2 2

       , thế vào phương trình  * ta được phương trình mới 2

ay by c  a

~ 3 ~

Giải phương trình này tìm giá trị của y rồi từ đó tìm được nghiệm x của phương trình đã cho

Ví dụ Giải phương trình 4 3 2

3x 4x 5x 4x 3 0

Giải

Phương trình đã cho không nhận x0 là nghiệm nên chia cả hai vế cho 2

x ta được:

 

2 2

Đặt ẩn phụ y x 1

x

  suy ra y2 x2 12 2 x2 12 y2 2

       , thế vào phương trình  * ta được phương trình mới 2

3y 4y 1 0 Giải phương trình này ta có nghiệm y1 1 và 2 1

3

y 

2

x



3

y y  , ta có 1 1 2 1 37

x



Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 1 37 1; 5 1; 5 1; 37

S      

IV PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN CÓ HỆ SỐ ĐỐI XỨNG TỈ LỆ

Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng tỉ lệ là phương trình có dạng 4 3 2 2  

ax bx cx kbx k a  a

Phương pháp giải: Phương trình đã cho không nhận x0 là nghiệm nên chia cả hai vế cho x ta được: 2

 

2 2

Đặt ẩn phụ y x k

x

  suy ra

       , thế vào phương trình  * ta được phương trình mới 2

ay by c  ka Giải phương trình này tìm giá trị của y rồi từ đó tìm được nghiệm x của phương trình đã cho

Ví dụ Giải phương trình 4 3 2

2x 21x 34x 105x500

Giải

~ 4 ~

Nhận xét Ta thấy 105 5

21  k

2

50

2 k nên phương trình đã cho thỏa mãn là phương trình bậc bốn có

hệ số đối xứng tỉ lệ Áp dụng phương pháp giải trên cho phương trình này!

Phương trình đã cho không nhận x0 là nghiệm nên chia cả hai vế cho x ta được: 2

 

2 2

Đặt ẩn phụ y x 5

x

  suy ra y2 x2 252 10 x2 252 y2 10

       , thế vào phương trình  * ta được phương trình mới 2

2y 21y540 Giải phương trình này ta có nghiệm y1 6 và 2 9

2

y 

 Với yy1 6, ta có 5 2

x

2

2 9 10 0

x



Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 9 161;3 14;3 14;9 161

V PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN CÓ DẠNG 4 3 2

0

ax bx cx dx e  với

2 2

e d

a  b

Phương pháp giải: Phương trình đã cho không nhận x0 là nghiệm nên chia cả hai vế cho x ta được: 2

 

2

Đặt ẩn phụ y x d

bx

  suy ra

2

          , thế vào phương trình  * ta được phương trình bậc hai theo ẩn y

Giải phương trình mới tìm giá trị của y rồi từ đó tìm được nghiệm x của phương trình đã cho

Ví dụ Giải phương trình 4 3 2

10 2 4 0

x  x x  x 

Giải

~ 5 ~

Nhận xét Ta thấy trong phương trình đã cho có

2 2

4

1, 2,

1

     Áp dụng phương pháp giải phương trình dạng này vào phương trình đã cho

Đặt ẩn phụ 2

2

yx  suy ra y2 x44x2 4 thay vào phương trình đã cho và biến đổi về dạng theo phương pháp giải ta có:

 4 2   3  2  2  2 2  2

x  x   x  x  x   x  x x   x 

2

2 2 0

3 2 0

x x

x x

Giải các phương trình bậc hai trên tìm ra nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 1 3;3 17; 1 3;3 17

VI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN CÓ DẠNG 4 2

x ax bx c

Phương pháp giải:

TH1 Nếu  b2 4ac0 biến đổi đưa phương trình về dạng

2 4

2

b

x a x

a

TH2 Nếu 2

b ac

    ta chọn số thực k sao cho:

  2  2    2  

x  x  k k  x k  k x  k k ax bx c  x k  a k x bx c k 

Ta chọn k sao cho 2    2

b  a k c k 

Ví dụ Giải phương trình 4 2 3

4

x  x  x

Giải

 

2

2

2 2

3 3 1

1 3

2 6 3 0

1

1 3

x

x x

x x









Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm 3 3; 3 7

x  x  

~ 6 ~

VII PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG xax b x c xde với a b  c d

Phương pháp giải: Đặt biến phụ yx a x b  hoặc yx c x d  hoặc 2  

yx  a b x rồi thay vào phương trình đã cho, biến đổi và có phương trình bậc hai theo ẩn y

Giải phương trình mới tìm giá trị của y rồi từ đó tìm được nghiệm x của phương trình đã cho

Ví dụ Giải phương trình x1x2x3x 4 150

Giải

Nhận xét Ta thấy 1 4  2 3 nên áp dụng phương pháp giải dạng này!

x x x x    x x x x    x  x x  x   Đặt 2

yx  x , thay vào phương trình đã cho ta đươc phương trình

2 15 0 2 15 0

5

y

y





2

x  x   x  x  (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 5 21

2

x 

x a x b x c x d ex với abcd e

Phương pháp giải: Viết lại phương trình đã cho về dạng:

x a x b x c x d ex x  a b x ab   x  c d x cd ex

 Xét x0 xem có là nghiệm của phương trình hay không

 Với x0chia cả hai vế của phương trình cho x , ta được: 2 x ab a b x cd c d e

Đặt y x ab x cd

    đưa về phương trình bậc hai đối với ẩn y

Ví dụ Giải phương trình      2

x x x x  x

Giải

~ 7 ~

Nhận xét Ta thấy 2.63.4 nên áp dụng phương pháp giải dạng này!

Viết lại phương trình đã cho về dạng:

x x x x  x  x  x x  x  x

 Với x0 không là nghiệm của phương trình

 Với x0chia cả hai vế của phương trình cho x , ta được: 2 12 12  

Đặt y x 12

x

  , thay vào phương trình  * ta được phương trình mới y8y730

15 56 30 15 26 0

13

y

y

 



 Với y 2, ta có 12 2

x

 Với y 13, ta có 12 2 1

13 13 12 0

12

x

x x

 



Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 12 hoặc x 1

IX PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG   4 4

x a  x b c

Phương pháp giải: Đặt

2

a b

y x 

phương trình đã cho trở thành

phương trình về dạng phương trình trùng phương

Hằng đẳng thức áp dụng:  4 4 3 2 2 3 4

m n m  m n m n  mn n

Ví dụ Giải phương trình   4 4

x  x 

Giải

Đặt y x 4 phương trình trở thành   4 2

y  y  áp dụng hằng đẳng thức trên, khai triển và rút gọn ta được phương trình t424t2 250 Giải phương trình trùng phương này ta được t 1 hoặc t1

 Với t 1, ta có x      4 1 x 4 1 3

 Với t1, ta có x     4 1 x 4 1 5

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x3 hoặc x5

~ 8 ~

X PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TỔNG QUÁT 4 3 2

0

ax bx cx dx e 

Phương pháp giải:

Cách 1 Đặt

4

b

a

   đưa về phương trình dạng 4 2

t t  t

Cách 2 Viết lại phương trình dưới dạng:

  2 

4a x 4bax 4cax 4dax4ac 0 2ax bx  b 4ac x 4adx4ac

Thêm vào hai vế của phương trình đại lượng  2  2

2k 2ax bx k (với k là hằng số tìm sau)

2ax bx k  b 4ac4ak x 2 bk2ad x4ac k

Ta chọn k sao cho /  2  2  2 

Ví dụ Giải phương trình 4 3 2

16 57 52 35 0

x  x  x  x 

Giải

 2

x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x

Ta thêm vào phương trình hằng số k thỏa mãn:

 2 2  2  2 2  2  2

x  x  k x  x k  x  x  k x  x k

 2 2   2   2

Ta chọn k sao cho /   2   2    2 

Phương trình đã cho tương đương với:

2

11 141

2

x

x









Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 11 141

2

x 

hoặc 11 141

2

x 

~ 9 ~

XI SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

Các loại máy tính sử dụng: fx-570MS; fx-570ES; fx-570ES PLUS; fx-570VN PLUS; fx-570 Vinacal; fx-570

Vinacal plus;… Và các dòng máy có cùng chức năng

Ví dụ Giải phương trình 4 3 2

16 57 52 35 0

x  x  x  x 

Các bước sử dụng máy tính cầm tay để giải phương trình bậc bốn

Bước 1 Nhập phương trình vào máy tính

[ALPHA] [X] [^] 4 [-] 1 6 [ALPHA] [X] [^] 3 [+] 5 7 [ALPHA] [X] [^] 2 [-] 5 2 [ALPHA] [X] [-] 3 5

Bước 2 Nhấn các phím theo thủ thuật để giải phương trình

 Đối với máy fx-570MS: [SHIFT] [SOVLE] [=] [SHIFT] [SOVLE]

 Đối với máy fx-570ES, fx-570ES PLUS, fx-570VN PLUS, fx-570 Vinacal; fx-570 Vinacal plus;…

và các dòng máy có cùng chức năng: [SHIFT] [SOVLE] [=]

Bước 3 Sử dụng bộ nhớ của máy tính Sau khi máy tính hiện ra kết quả, thao tác nhấn phím:

[AC] [ALPHA] [X] [SHIFT] [STO] [A] (ở bước này ta đã nhớ kết quả vào biến A)

Bước 4 Thực hiện lại Bước 1 và Bước 2

Tuy nhiên ở bước này, sau khi nhấn [SHIFT] [SOVLE] nên nhập vào đó một giá trị bất kì của x rồi sau đó

nhấn [=] [SHIFT] [SOLVE] (Đối với máy fx-570MS ) và nhấn [=] (Đối với máy fx-570ES, fx-570ES PLUS, fx-570VN PLUS, fx-570 Vinacal; fx-570 Vinacal plus;… và các dòng máy có cùng chức năng)

Khi nhập giá trị vào như vậy thì máy tính sẽ thực hiện dò nghiệm của phương trình xung quanh giá trị đó

Bước 5 Thực hiện lại Bước 3, nhưng sử dụng biến khác:

[AC] [ALPHA] [X] [SHIFT] [STO] [B]

Bước 6 Sử dụng máy tính, tính tổng và hiệu của hai nghiệm để từ đó tìm ra mối liên hệ

[ALPHA] [A] [+] [ALPHA] [B] [=] (máy tính hiện kết quả: 11)

[AC] [ALPHA] [A] [x] [ALPHA] [B] [=] (máy tính hiện kết quả -5)

Thu được từ máy tính ta có hai nghiệm của phương trình đã cho chính là hai nghiệm thỏa mãn x1x2 11 và

1 2 5

x x   hay chính là nghiệm của phương trình x211x 5 0 Có được điều này rồi thì ra chỉ cần biến đổi phương trình đã cho để xuất hiện nhân tử 2

11 5

x  x